chuyên đề lý thuyết ch ơng trình lớp 12 I/ Công thức l ợng giác: 1, Bảng g/trị l ợng giác của các góc đặc biệt : 30 0 (/6) 45 0 (/4) 60 0 (/3) 90 0 (/2) 120 0 (2/3) 135 0 (3/4) 150 0 (5/6) 180 0 ( ) Sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Cos 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 Tan 1 3 1 3 //// - 3 -1 - 1 3 0 Cot 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 //// 2, Các công thức cơ bản cần nhớ: sin 2 + cos 2 = 1 tan .cot =1 1 2 cos = 1+ tan 2 1 2 sin = 1+ cot 2 3, Công thức về góc: Góc đối: và - sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc bù: và - sin(-) = sin cos(-) = - cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc: và + sin(+) = - sin cos(+) = - cos tan(+) = tan cot(+) = cot Góc phụ: và 2 - sin( 2 -) = cos cos( 2 -) = sin tan( 2 -) = cot cot( 2 -) = tan Góc : và 2 + sin( 2 +) = cos cos( 2 +) = -sin tan( 2 +) = -cot cot( 2 +) = -tan 4, Công thức cần nhớ: Công thức cộng: cos(a b) = cosa.cosb m sina.sinb sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb tan(a b) = tan tan 1 tan .tan a b a b m Công thức nhân đôi: sin2a = 2 sina.cosa cos2a = cos 2 a- sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a C«ng thøc h¹ bËc 2: ( §îc suy ra tõ c«ng thøc nh©n ®«i). 1 2 2 2 cos a cos a + = 1 2 2 2 cos a sin a − = 1 2 2 tan 1 2 cos a a cos a − = + C«ng thøc biÕn tÝch thµnh tæng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a+b)+ cos(a-b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a+b)+sin(a-b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a-b)- cos(a+b)] C«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch: cosa + cosb = 2 cos 2 a b+ .cos 2 a b− cosa - cosb = -2 sin 2 a b+ .sin 2 a b− sina + sinb = 2 sin 2 a b+ .cos 2 a b− sina - sinb = 2cos 2 a b+ .sin 2 a b− tana ± tanb = sin( ) cos .cos a b a b ± cota ± cotb = sin( ) sin .sin a b a b ± Chó ý: mét sè ct hay dung trong biÕn ®æi 1+ sin2x = ( sinx + cosx) 2 1- sin2x = ( sinx - cosx) 2 1- cos2x = 2sin 2 x 1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx = 2 sin 2x sinx + cosx = 2 ( ) 4 cos x Π − sinx - cosx = 2 s ( ) 4 in x Π − cosx- sinx = 2 ( ) 4 cos x Π + cos3x = 4cos 3 x - 3cosx sin3x = 3sinx - 4sin 3 x II/ MỘT VÀI DẠNG TOÁN VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để hàm số đồng biến trên ¡ ? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Để hàm số đồng biến trên ¡ thì ' 0y x≥ ∀ ∈¡ ⇔ 0 0 a >   ∆ ≤  Dạng 2: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để hàm số nghịch biến trên ¡ ? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + cĐể hàm số đồng biến trên ¡ thì ' 0y x≤ ∀ ∈¡ ⇔ 0 0 a <   ∆ ≤  Dạng 3: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số có cực trị? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Đồ thị hàm số có cực trị khi phương trình y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua hai nghiệm đó ⇔ 0 0 a ≠   ∆ >  Dạng 4: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị hàm số luôn luôn có cực trị? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Xét phương trình y’ = 0, ta có: ∆ =….>0, ∀m Vậy với mọi m đồ thị hàm số đã cho luôn luôn có cực trị. Dạng 5: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số không có cực trị? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Hàm số không có cực trị khi y’ không đổi dấu trên toàn tập xác định 0 0 a ≠  ⇔  ∆ ≤  Dạng 6: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đạt cực đại tại x 0 ? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Để hàm số đạt cực đại tại x 0 thì 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   <  Dạng 7: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại x 0 ? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì 0 0 '( ) 0 ''( ) 0 f x f x =   >  Dạng 8: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đạt cực trị bằng h tại x 0 ? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Để hàm số đạt cực trị bằng h tại x 0 thì 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x h =   =  Dạng 9: Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m. Định m để đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị M(x 0 ;y 0 )? Phương pháp: TXĐ: D Ta có: y’ = ax 2 + bx + c Để hàm số đi qua điểm cực trị M(x 0 ;y 0 ) thì 0 0 0 '( ) 0 ( ) f x f x y =   =  Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x 0 ;y 0 )∈(C). Viết PTTT tại điểm M(x 0 ;y 0 ) ? Phương pháp: Ta có: y’ = f’(x) ⇒ f’(x 0 ) Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ;y 0 ) là y – y 0 = f’(x 0 ).( x – x 0 ) Các dạng thường gặp khác : 1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hòanh độ x 0 . Ta tìm: + y 0 = f(x 0 ) + f’(x) ⇒ f’(x 0 ) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là y – y 0 = f’(x 0 ).( x – x 0 ) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm thỏa mãn phương trình f”(x)= 0.(®iÓm uèn) Ta tìm: + f’(x) + f”(x) +Giải phương trình f”(x) = 0⇒ x 0 + y 0 và f’(x 0 ). Suy ra PTTT. 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) qua điểm M(x 0 ;y 0 ): - gsö ®êng th¼ng qua M cã hÖ sè gãc lµ k cã d¹ng: y=k(x-x 0 ) +y 0 - ®t trªn lµ tiÕp tuyÕn khi hÖ sau cã nghiÖm 0 0 ( ) ( ) '( ) k x x y f x f x k − + =   =  thay pt díi vµo pt trªn t×m x, sau ®ã t×m k , thay vµo pt®t lµ ®îc tt Dạng 11: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) a/ song song với đường thẳng y = ax + b. b/ vuông góc với đường thẳng y = ax + b. Phương pháp: a/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) song song với đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng a. Ta có: f’(x) = a (Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm) Tính y 0 tương ứng với mỗi x 0 tìm được. Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y 0 = a. ( x – x 0 ) b/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc bằng 1 a − . Ta có: f’(x) = 1 a − (Nghiệm của phương trình này chính là hoành độ tiếp điểm) Tính y 0 tương ứng với mỗi x 0 tìm được. Suy ra tiếp tuyến cần tìm (d): y – y 0 = 1 a − . ( x – x 0 ) Chú ý: + Đường phân giác của góc phần tư thứ nhất y = x.; góc phần tư thứ hai y = - x. Dạng 12: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên [a;b] Phương pháp: Ta có: y’ = f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0, ta được các điểm cực trị: x 1 , x 2 , x 3 ,…∈ [a;b] Tính: f(a), f(b), f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ),… Từ đó suy ra: [ ] [ ] ; ; ax ; in a b a b m y m y= = Phương pháp chung ta thường lập BBT Dạng 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m là tham số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong trên đi qua với mọi giá trị của m. Phương pháp: Ta có: y = f(m,x) Am + B = 0, ∀m(1) Hoặc Am 2 + Bm + C = 0, ∀m (2) Đồ thị hàm số (1) ln ln đi qua điểm M(x;y) khi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình: 0 0 A B =   =  (a)(đối với (1)) Hoặc 0 0 0 A B C =   =   =  (b)(đối với (2)) Giải (a) hoặc (b) để tìm x. Suy ra y tương ứng. Từ đó kết luận các điểm cố định cần tìm. Dạng 14: Giả sử (C 1 ) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C 2 ) là đồ thị của hàm số y = g(x). Biện luận số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ), (C 2 ). Phương pháp: Phương trình hồnh độ giao điểm của y = f(x) và y = g(x) là f(x) = g(x) ⇔ f(x) – g(x) = 0 (*) Số giao điểm của hai đồ thị (C 1 ), (C 2 ) chính là số nghiệm của phương trình (*). Dạng 15: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x) - g(m) = 0 Phương pháp: Ta có: f(x) - g(m) = 0 ⇔ f(x) = g(m) (*) Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường g(m). Dựa vào đồ thị (C), ta có:…v.v… Dạng 16: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR điểm I(x 0 ;y 0 ) là tâm đối xứng của (C). Phương pháp: Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục OXY theo vectơ ( ) 0 0 ;OI x y= uur . Cơng thức đổi trục: 0 0 x X x y Y y = +   = +  2 3 x y x + = − Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số lẻ. Suy ra I(x 0 ;y 0 ) là tâm đối xứng của (C). Dạng 17: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C). CMR đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của (C). Phương pháp: Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ ( ) 0 ;0OI x= uur Cơng thức đổi trục 0 x X x y Y = +   =  Thế vào y = f(x) ta được Y = f(X) Ta cần chứng minh hàm số Y = f(X) là hàm số chẵn. Suy ra đường thẳng x = x 0 là trục đối xứng của (C). Dạng 18: Sự tiếp xúc của hai đường cong có phương trình y = f(x) và y = g(x). Phương pháp: Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ( ) ( ) '( ) '( ) f x g x f x g x =   =  Có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hồnh độ tiếp điểm của hai đường cong đó. III/ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT. A. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 1. Các đònh nghóa: n n thua so a a.a a= 123 (n Z ,n 1,a R) + ∈ ≥ ∈ 1 a a= a ∀ 0 a 1= a 0 ∀ ≠ n n 1 a a − = { } (n Z ,n 1,a R / 0 ) + ∈ ≥ ∈ m n m n a a= ( a 0;m,n N> ∈ ) m n m n m n 1 1 a a a − = = 2. Các tính chất : • m n m n a .a a + = m m n n a a a − = • m n n m m.n (a ) (a ) a= = n n n (a.b) a .b= n n n a a ( ) b b = 3. Hàm số mũ: Dạng : x y a= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : D R= • Tập giá trò : T R + = ( x a 0 x R> ∀ ∈ ) • Tính đơn điệu * a > 1 : x y a= đồng biến trên R * 0 < a < 1 : x y a= nghòch biến trên R B. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 1. Đònh nghóa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 dn M a log N M a N= ⇔ = Điều kiện có nghóa : N a log có nghóa khi      > ≠ > 0 1 0 N a a 2. Các tính chất : • a log 1 0= a log a 1= • M a log a M= log N a a N= • a 1 2 a 1 a 2 log (N .N ) log N log N= + 1 a a 1 a 2 2 N log ( ) log N log N N = − • a a log N .log N α = α Đặc biệt : 2 a a log N 2.log N= 3. Công thức đổi cơ số : • a a b log N log b.log N= a b a log N log N log b = * Hệ quả: a b 1 log b log a = và k a a 1 log N log N k = 4. Hàm số logarít: Dạng a y log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) • Tập xác đònh : + =D R • Tập giá trò =T R • Tính đơn điệu: * a > 1 : a y log x= đồng biến trên + R * 0 < a < 1 : a y log x= nghòch biến trên + R 5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 1. Đònh lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : a M = a N ⇔ M = N 2. Đònh lý 2: Với 0 < a <1 thì : a M < a N ⇔ M > N (nghòch biến) 3. Đònh lý 3: Với a > 1 thì : a M < a N ⇔ M < N (đồng biến ) 4. Đònh lý 4: Với 0 < a ≠ 1 và M > 0;N > 0 thì : log a M = log a N ⇔ M = N 5. Đònh lý 5: Với 0 < a <1 thì : log a M < log a N ⇔ M >N (nghòch biến) 6. Đònh lý 6: Với a > 1 thì : log a M < log a N ⇔ M < N (đồng biến) C. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M(x) = a N(x) (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : x 10 x 5 x 10 x 15 16 0,125.8 + + − − = Bài tập rèn luyện: a, 3 17 7 5 128.25,032 − + − + = x x x x (x=10) b, ( ) ( ) 2 2 2 4 log (2 3 5) log (3 5) 2 3 7 4 3 x x x− + + − = + c, 2 1 2 1 2 3 1 x x x x − + − + = d, 2 1 1 2 3 0,12 5 x x x − + −   =  ÷  ÷   e, ( ) ( ) 2 1 2 1 2 3 2 3 x x x − − + − = + 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2f(x) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . . or . . . 0 2 . . 3 . . . 4 . a+b . a-b 5 . a+b . a-b . f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x a a c a a a c a a c a b c c c α β α β γ α β α β γ α β α β γ − + = + + + = + = + = + = + = Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x 8 x 5 3 4.3 27 0 + + − + = 2) x x x 6.9 13.6 6.4 0− + = 3) x x ( 2 3) ( 2 3) 4− + + = 4) 322 2 2 2 =− −+− xxxx 5) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 6) 07.714.92.2 22 =+− xxx 7, ( ) ( ) 2 5 21 5 21 10.2 x x x − + − = Bài tập rèn luyện: 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1 ± x ) 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 3) 13 250125 + =+ xxx (x=0) 4) 12 21025 + =+ xxx (x=0) 5) x x ( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2±=x 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 Ví dụ : Giải phương trình sau : 1) 8.3 x + 3.2 x = 24 + 6 x 2) 0422.42 2 22 =+−− −+ xxxxx víi (a+b)(a-b)=1 ta ®Ỉt Èn phơ t= (a+b) f(x) víi b=a.c ta chia 2 vÕ cho c 2f(x) råi ®Ỉt Èn phơ víi a b a b . 1 c c + − = ta ®Ỉt Èn phơ t= ( a b c + ) f(x) Bài tập rèn luyệnï: a, 20515.33.12 1 =−+ +xxx ( 3 5 log 3 =x ) b, 2 2 2 2 1 2 4 .2 3.2 2 8 12 x x x x x x x + + + = + + + 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 . . . 3 . a+b . a-b 4 . a+b . a-b . 5 a ( ) 6 f x g x f x f x f x f x f x f x f x x x f g a b a b c c c b f x a b g f α β γ α β α β γ = + = + = + = + = − = − Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 x + 4 x = 5 x 2) 2 x = 1+ x 2 3 3) x 1 ( ) 2x 1 3 = + 4; 3.25 x-2 +9(3x-10).5 x-2 +3-x=0 5; 2 2 2 log log 3 log 9 2 .3 x x x x− = Bài tập rèn luyện: 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 2) x x −= 32 (x=1) 3; 2 2 log 3 log 5 x x x+ = 4; 2 1 2 2 2 ( 1) x x x x − − − = − 5; 2 x + 3 x = x + 4 6; 2 2 sin cos 8 8 10 cos 2 x x y+ = + D. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N= (đồng cơ số) Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) + = x log (x 6) 3 2) x x 1 2 1 2 log (4 4) x log (2 3) + + = − − 3) )3(log)4(log)1(log 2 1 2 2 1 2 2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) 4; 2 2 2 2 2 log (x 3x 2) log (x 7x 12) 3 log 3+ + + + + = + 2. Phương pháp 2: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸ víi a b a b . 1 c c ≠ + − víi (a+b).(a-b) 1≠ víi b a.c≠ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) f(x) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a ( ) a a a 1 log log ( ) ( ).log 2 b log b log log b f x f x f x g x f x g x f x a b a b a b a b f x g x b b a a a = ⇔ = ⇔ =   = ⇔ = ⇔ =  ÷   VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau. a, 2 x .3 x+1 =12 b; 2 x x-x x = 10 c; 3 1+log x 2 x = 3 .x d; 2x 2x 7 5 5 7= e; 3 x x x+2 .8 = 6 3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 3 3 2 2 4 log x log x 3 + = 2) 051loglog 2 3 2 3 =−++ xx 3; x 2x 2 log 2.log 2.log 4x 0= 4; ( ) 2 3 3 x 3 log (x 2) 4(x 2)log (x 2) 16+ + + + + = 5; 2 2 3x 7 2x 3 log (9 12x 4x ) log (6x 23x 21) 4 + + + + + + + = 6; 2 25 5 log (5 ) 1 log 7 7 0 x x − − = 3. Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B = 0 Ví dụ : Giải phương trình sau : 2 7 2 7 log x 2.log x 2 log x.log x+ = + Bài tập rèn luyệnï: )112(log.loglog.2 33 2 9 −+= xxx (x=1;x=4) 2 3 2 3 log x log x log x.log x+ = 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) * Ta thường sử dụng các tính chất sau: • Tính chất 1 : Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong kho¶ng (a;b) thì phương trình f(x) = C có không quá một nghiệm trong kho¶ng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) • Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong kho¶ng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong kho¶ng (a;b) . do đó nếu tồn tại x 0 ∈ (a;b) sao cho f(x 0 ) = g(x 0 ) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)) Ví dụ : Giải các phương trình sau : a; 2 2 2 log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + b; 2 3 log (x 1) log (x 2)+ = + c; 2 2 log (x x 5) 2 x+ − = − E. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a M < a N ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x x 1 x 2x 1 3 ( ) 3 − − − ≥ 2) 2 x 1 x 2x 1 2 2 − − ≥ 3; ( ) 2 3 2 1 1 x x x − + − ≤ Bài tập rèn luyện: a; 11 3322 −+ +≤+ xxxx ( 2≥x ) b; 2 3 2 1 2 1 x x x − −   ≤  ÷ +   2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau : 1) 2x x 2 2 3.(2 ) 32 0 + − + < 2) x 3 x 2 2 9 − + ≤ 3) 2 1 1 x x 1 1 ( ) 3.( ) 12 3 3 + + > 4) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 5) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2 ≤ x ) 6; 0449.314.2 ≥−+ xxx F. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a a log M log N< ( , ,≤ > ≥ ) Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 1) 2 x log (5x 8x 3) 2− + > 2) − < 2 3 3 log log x 3 1 3) 2 3x x log (3 x) 1 − − > 4) x x 9 log (log (3 9)) 1− ≤ 5) )12(log12log4)1444(log 2 555 ++<−+ −xx 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. Ví dụ : Giải các phương trình sau: 1) x x 2 3 2 log (3 2) 2.log 2 3 0 + + + − > 2) 2 2x x log 64 log 16 3+ ≥ 3) 2 3log 3)(log 2 2 2 > + + x x ( 2 1 8 1 << x ) 3. Phương pháp 3: Ph¬ng ph¸p l«garÝt ho¸ Tỉng qu¸t: ( ) ( ) f(x) ( ) ( ) ( ) 1 2 b f x f x g x a b a b a > > VÝ dơ : gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau. a, 2 x .3 x+1 <24 b; 5 ≥ x-1 x x .8 500 c; 2x 2 x 7 5 5 7≥ d; 2x 4 (2x) ≥ 2 log x G. PHƯƠNG PHÁP Gi¶i pt-bpt mò vµ LOGARIT cã tham sè DẠNG 1: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số Bài 1: Với giá trò nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−− xx m ( 10 ≥∨< mm ) Bài 2: Cho phương trình: 022.4 1 =+− + mm xx Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx ≠ sao cho 3 21 =+ xx (m=4) Bài 3: Tìm m để pt sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm xx ( 4 3 1 −<<− m ) DẠNG 2: Sử dụng công cụ đạo hàm giải các bài toán có chứa tham số Bài 1: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: xxx m 36.81.216.5 =+ ( 102<m ) Bài 2: Tìm m sau cho bất phương trình: 0)4(log)1(log1 2 5 2 5 >++−++ mxxx có nghiệm x ]3,2[∈ ( 2921 ≤≤− m ) Bài 3: Tìm m để phương trình: 02 3 1 3 1 1 =++ − − m x x có nghiệm ( 2 −≤ m ) Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 0544)5(16 2 11 2 11 =+++− −−−− mm xx BÀI TẬP RÈN LUYỆN  Bài 1: Giải các phương trình 1) 1 2 12 2 1 2.62 )1(3 3 =+−− − xx xx (x=1) 2) )4(log4log2)1(log 3 8 2 2 4 xxx ++−=++ ( 622;2 −== xx ) 3) )2(loglog 37 += xx (x=49) 4) )2(loglog 75 += xx (x=5) 5) 072.32.5 35 13 =+− − − x x (x=1) 6) 3 28 12 2 1 log4log232log +=− − x x ( 2 5 =x ) 7) x xx x 1 3 2 2 log 3 2 log = −− (x=1,x=2,x=4) 8) 05 8 log3 2 2 log 2 =− − + x x x x ( 2, 2 1 == xx ) 9) xxxx 26log)1(log 2 2 2 −=−+ ( 2, 4 1 == xx ) 10) x x x 4 4 log 2 )10(log.2log21 =−+ (x=2,x=8) Bài 2: Giải các bất phương trình 1) 09.93.83 442 >−− +++ xxxx (x>5) 2) 23.79 12 2 2 2 ≤− −−−−− xxxxxx ( 20 4 1 ≥∨≤≤− xx ) 3) xxx −+−       <       112 2 1 2 1 36 ( 1101 >∨<<∨−< xxx ) 4) 0128 8 1 4 1 13 ≥−       −       −xx ( 3 4 −≤x ) 5) )1(log1)21(log 5 5 ++<− xx ( 2 1 5 2 <<− x ) 6) xx 22 loglog2 >− ( 2 4 1 <≤ x ) 7) 1)93(loglog 9 <− x x ( 10log 3 >x ) 8) )13(log 1 )3(log 1 2 2 4 − < + x xx ( 1 3 2 << x ) 9) 0 1 )3(log)3(log 3 3 1 2 2 1 > + +−+ x xx (-2 < x <-1) Bài 3 : Tìm tập xác đònh của các hàm số sau: [...]... xdx hc Π 4 1 ∫ cos 0 4 x dx ®Ỉt t = tanx l, Π 2 3 cos x.sin x ∫ sin 2 x + 1 0 Π 2 hc dx 4sin x + 9co s x 2 0 Π 2 0 5 2 ®Ỉt t = dx cos x dx 3.sinx ± cos x ∫ m, Π 2 ∫ cos x.sin 3 ®Ỉt t = x sin 2 x + 1dx sin 2 x + 1 0 sin 2 x ∫ Π 2 4sin 2 x + 9co s 2 x cos x = cos x Π 3.sinx ± cos x 2sin( x ± 3 ) cã ®Ỉt t = x± Π 3 cos 2 x dx 3.sinx ∫ cos x − 3 Π 2 Π 2 3s inx + 4 cos x dx 2 2 x ∫ 3sin x + 4 cos n, 0 Π 3... tÝnh ∫ tan 2 xdx dïng ct h¹ bËc cos 2a = dïng ct 1 2 2α = 1+ tan α cos 1 + cos 2a 2 sin2a = 1 − cos 2a 2 ∫ 1 dx ; x +1 − x + 3 ∫ cosx.cos5 xdx 2 1 ; ∫ cosx.sin 5 xdx 2 ∫x ∫ x +1− x2 − 3 dx dïng c¸ch nh©n liªn hỵp dïng ct biÕn tÝch thµnh tỉng 2 − x − 2 dx ∫ ( 2 x − 1 − x ) dx ; −3 chia kho¶ng ®Ĩ bá dÊu gtt® −1 Π 3 ∫ cos 0 x 1 ± sin 2 xdx 2 cã cos x x 1 ± sin 2 x = cos sinx ± cos x 2 2 x−5 x −5 A B dx t×m... 2sinx − 3cosx ∫ 2sinx + 5cosx dx t×m A,B sao cho 2sinx − 3cosx = A(2sinx + 5cosx) + B(2cosx − 5sinx) ∫ 2x Π 3 ∫ 2 Π 2 tan x + cot x − 2dx 2 2 ∫ Π 6 0 1 dx cã 2 + sinx − cos x VÝ dơ2: : Tính các tích phân sau: 1 1 x x dx dx 1) ∫ 2) ∫ 3 (2x + 1) 2x + 1 0 0 1 1 + sin 2x ∫ cos2 x dx 0 0 4 dx −2 x + 2 x − 3 VÝ dơ3: ∫ 2 3 1) ∫x 2 − 1dx 2) 5) ∫ 0 2 − 4dx x ∫ 15) ∫ sin 3 x dx 0 2 cos 3 x + 1 4sin3 x ∫ 1 + cos xdx... 2 x 4 π 2 2) cos xdx ∫ 5 0 π 4 1 6) ∫ cos4 xdx 0 1 10) ∫ x (1 − x ) dx 5 3 6 0 π 2 π 4 1 3) sin 4x dx ∫ 1 + cos2 x 0 e 7) 4) ∫ x 1 8) cos x 11) ∫ 6 − 5sin x + sin 2 xdx 0 dx 14) ∫ dx 15) ∫ x −x −3 ln 3 e + 2e 0 cos 2 x + 4 sin 2 x π 4 18) ∫ (1 − tg 8 x)dx 0 ln 5 π 2 19) ∫ π 4 sin x − cos x 1 + sin 2 x π 4 1 ∫ cos xdx 0 π 6 sin 2 x 1 − x 2 dx 0 1 + ln x dx x ∫ 3 dx 3 12) ∫ 0 tg 4 x dx cos 2x π 2 sin... du = u + c 2 1 ∫ sin 1 ∫ sin 2 x dx = − cot x + c 1 ∫ x dx = ln x + c x x ∫ e dx = e + c 1 x2 − 2x − 8 ∫ cos udu = sin u + c 1 ∫ cos u du = tan u + c 2 ∫x − log 0,3 ( x − 1) α ∫ u du = ∫ cosxdx = sin x + c 1 ∫ cos x dx = tan x + c ax a dx = +c ∫ ln a + uα +1 +c α +1 ∫ sin udu = − cos u + c xα +1 x dx = +c ∫ α +1 ∫ sin xdx = −cosx + c α x x −3 − 8− x 2 u du = − cot u + c 1 ∫ u du = ln u + c ∫ e du =... cos 3 x + 1 4sin3 x ∫ 1 + cos xdx 9) 0 1 dx 13) e +1 0 12) ∫ x π 2 cos x dx 0 5 − 2 sin x 16) ∫ 2 5 x − 3x + 2dx 2 3) ∫ ( x + 2 − x − 2 )dx −3 π 2π ∫ π 2 6 π 2 −1 6) 2 1 1 + sin 2x + cos 2x dx 11) ∫ sin x + cos x π 4 14) ∫ cos 2 x dx 0 1 + 2 sin 2 x 1 dx 18) ∫ 2 −1 x + 2x + 5 4 8) 0 π 4 −3 3 7) (sin 6 x + cos6 x)dx ∫ 0 4 0 0 π 6 10) cos 2xdx ∫ ∫ (cos x − sin x)dx 4 4x + 11 dx x + 5x + 6 0 4) ∫ π 2 π... 16) ∫ π 2 20) ∫ sin 2 x + sin x dx 0 1 + 3 cos x π 2 π 2 2 x dx 22) ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 23) ∫ 11+ x −1 0 21) ∫ sin 2 x cos x dx 0 1 + cos x e 24) ∫ 1 1 + 3 ln x ln x dx x π 4 2 25) ∫ 1 − 2 sin x dx 0 1 + sin 2 x 4, Ph ¬ng ph¸p 4: TÝch ph©n tõng phÇn b ∫ udv = uv b a a b − ∫ vdu a b D¹ng 1: ∫ b f ( x).cosxdx hc a ∫  u = ex §Ỉt   dv = sinx.dx or dv = cosx.dx ph¶i ®Ỉt 2 lÇn tÝch ph©n tõng phÇn... ; ∫ dx ; 0, ∫ 2 2 Π cosx cos x + 1 Π (1 + t anx ) tan x 4 ln 2 ∫ p, 0 4 e x + e− x dx e x − e− x e ∫ t, 5cosx − 4 si n x ∫ (cosx + si n x) ®Ỉt t = e x 3 dx ®Ỉt t = tanx 0 ln 2 ln x ln x + 1 dx x 1 3 Π 2 q, ∫ 0 1 1+ e dx 2x ®Ỉt t = 1+e2x 2 ®Ỉt t = 3 ln 2 x + 1 Tính các tích phân sau: π 2 1) cos x sin xdx ∫ 3 2 0 π 2 5) sin 2x(1 + sin 2 x)3dx ∫ 0 e 1 + ln 2 x dx 9) ∫ x 1 π 4 13) cos x + sin x dx ∫ 3... xdx = − ln cosx + c 2 au +c ln a du = (a>0) −1 +c u 1 du = 2 u + c u ∫ tan udu = − ln cos u + c ∫ ∫ ∫ cot xdx = ln s inx + c ∫ cot udu = ln sin u + c A/ C¸c ph ¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm – tÝch ph©n : Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ a; b ] Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: b b ∫ f ( x )dx = [ F( x )] a = F(b) − F(a) • a 1, Ph ¬ng ph¸p 1: BiÕn ®ỉi c¸c biĨu thøc ∫ cos xdx... 4 0 2 + sinx − cos x = 2(1 − cos( x + 1 + cos 2xdx ∫ 7) 0 1 + sin xdx 0 4) ∫ 1 2 x2 + 1 − 2dx x2 2 2 8) ∫ x − x dx 0 VÝ dơ4: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) = A sin πx + B thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 f (1) = 2 ' và ∫ f(x)dx = 4 0 17) 2, Ph ¬ng ph¸p 2: §ỉi biÕn lo¹i I a 1 2 2 2 2 2 D¹ng 1: ∫ a − x dx ∫a a 2 − x 2 dx ∫ x a − x dx − §Ỉt x = a.sint ( hc x = a.cost ) Ψdx = a.cost.dt , ®ỉi cËn . tæng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a+b)+ cos(a-b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a+b)+sin(a-b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a-b)- cos(a+b)] C«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch: cosa + cosb = 2 cos 2 a b+ .cos 2 a b− cosa. + cosx) 2 1- sin2x = ( sinx - cosx) 2 1- cos2x = 2sin 2 x 1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx = 2 sin 2x sinx + cosx = 2 ( ) 4 cos x Π − sinx - cosx = 2 s ( ) 4 in x Π − cosx- sinx = 2 ( ) 4 cos. = - sin cos(+) = - cos tan(+) = tan cot(+) = cot Góc phụ: và 2 - sin( 2 -) = cos cos( 2 -) = sin tan( 2 -) = cot cot( 2 -) = tan Góc : và 2 + sin( 2 +) = cos cos( 2 +)