SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: ( 5 điểm) 1a) Giải hệ phương trình sau:         3)1ln(3 3)1ln(3 3)1ln(3 32 32 32 zxzzz yzyyy xyxxx 2a) Cho dãy số (U n ), biết rằng : *Nn, 126 10 4 12 2 1           nnn UUU U U . Chứng minh rằng : (U n + 4) chia hết cho n, với mọi số nguyên tố n. Câu 2: ( 4 điểm) Cho hàm số   xf liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện     .10 ff  Chứng minh rằng phương trình          2009 1 xfxf có nghiệm   1,0x . Câu 3: ( 5 điểm) 3a) Cho tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: 27 8 ''.'.  CCBBAA CIBIAI 3b) Gọi , ,  là góc giữa đường thẳng (d) và theo thứ tự với các đường thẳng chứa ba cạnh BC, CA, AB của tam giác đều ABC. Tính M = sin 2 .sin 2 .sin 2  + cos 2 .cos 2 .cos 2  Câu 4: (3 điểm) Tìm ba số nguyên tố a, b, c thỏa a b – c + 1 = 0. Câu 5: (3 điểm) Trong một giải đấu thể thao vòng tròn một lượt có n vận động viên   1, ,, 21 nPPP n .Mỗi vận động viên đấu với tất cả mọi đấu thủ còn lại và nguyên tắc đấu không có hòa. Đặt r W và r L là số trận thắng và số trận thua tương ứng của đấu thủ r P .Hãy chứng tỏ rằng:    n r r n r r LW 1 2 1 2 . HẾT Đề chính thức . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2010 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày. ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15 tháng 11 năm 2009 (Đề thi gồm có: 01 trang) Câu 1: ( 5 điểm) 1a) Giải hệ phương trình sau:         3)1ln(3 3)1ln(3 3)1ln(3 32 32 32 zxzzz yzyyy xyxxx 2a). sau:         3)1ln(3 3)1ln(3 3)1ln(3 32 32 32 zxzzz yzyyy xyxxx 2a) Cho dãy số (U n ), biết rằng : *Nn, 126 10 4 12 2 1           nnn UUU U U . Chứng minh rằng : (U n + 4) chia hết cho n,