http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán-lớp 12. Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010. Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao ñề). Câu I. (5,0 ñiểm) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (m là tham số) (1) 1. Tìm m ñể hàm số (1) ñạt cực trị tại x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 2x 2 = 3. 2. Tìm m ñể ñường thẳng y = 1 c ắt ñồ thị hàm số (1) tại ba ñiểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. Câu II. (4,0 ñiểm) 1. Giải hệ phương trình: 8 5. x x y x y y x y  − = +   − =   (x, y ∈ R) 2. Giải phương trình: sin 4 cos4 4 2 sin ( ) 1 4 x x x π + = + − . (x ∈ R) Câu III.(2,0 ñiểm) Cho phương trình: 2 log( 10 ) 2log(2 1) x x m x + + = + (với m là tham số) (2) Tìm m ñể phương trình (2) có hai nghiệm thực phân biệt. Câu IV. (2,0 ñiểm) Tính tích phân: 4 2 0 tan cos 1 cos xdx x x π + ∫ . Câu V. (4,0 ñiểm) 1. Trong hệ tọa ñộ Oxy, cho ñiểm A(3; 2), các ñường thẳng ∆ 1 : x + y – 3 = 0 và ñường thẳng ∆ 2 : x + y – 9 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc ∆ 1 và ñiểm C thuộc ∆ 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. 2. Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñiểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. Tìm tọa ñộ ñiểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA 2 + MB 2 ñạt giá trị nhỏ nhất. Câu VI. (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuô ng góc với ñáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60 0 . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD. Câu VII. (1,0 ñiểm) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 4 a b c b c a + + ≥ + + + . (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh:……………………………………….SBD:…………………… ðỀ CHÍNH THỨC http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2009-2010 Môn thi: Toán, lớp 12. Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 (Hướng dẫn có 4 trang) Chú ý : Dưới ñây chỉ là sơ lược từng bước giải và cách cho ñiểm từng phần của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà ñúng thì chấm ñiểm từng phần tương ứng. Câu Phương pháp - Kết quả ðiểm 1. Ta có y’ = 3x 2 + 6x + m 0,5 Ycbt tương ñương với phương trình 3x 2 + 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 2x 2 = 3. 0,5 ⇔ 1 2 1 2 1 2 9 -3 0 -2 . 3 2 3 m x x m x x x x >   + =    =   + =   0,5 I.1 (2ñiểm) Giải hệ trên ta ñược m = -105 0,5 2.+) Hoành ñộ ñiểm chung của (C) và d là nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x 2 + 3x + m) = 0 0,5 Từ ñó tìm ñược m < 9 4 và m ≠ 0 thì d cắt (C) tại ba ñiểm phân biệt A(0; 1), B, C. 0,5 +) B(x 1 ; 1), C(x 2 ; 1) với x 1 ; x 2 là nghiệm của phương trình x 2 + 3x + m = 0 . Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là k 1 = 3x 1 2 + 6x 1 + m và tại C là k 2 = 3x 2 2 + 6x 2 + m 0,5 Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi k 1 .k 2 = -1 0,5 ⇔ 4m 2 – 9m + 1 = 0 0,5 I.2 (2ñiểm) ⇔ 9 65 m ( t/m) 8 9 65 m ( t/m) 8  − =    + =   0,5 1. ðiều kiện x, y ≥ 0 0,5 II.1 (2ñiểm) Xét y = 0, không thỏa mãn hpt +) y ≠ 0, ñặt x t y = , t ≥ 0. Hệ phương trình trở thành 3 3 2 2 2 2 2 5 5 8 (*) 8 1 1 5 ( 1) 5 ( 1) 1 t t t y t y t t y t y t t  − = +   − = +   − − ⇔   − =    = ≠  −  (*) ⇔ 4t 3 – 8t 2 + t + 3 = 0 1 ð Ề CHÍNH THỨC http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 3 ⇔ t = 1; t = - 1 2 ; t = 3 2 . ðối chiếu ñiều kiện ta ñược t = 3 2 Từ ñó tìm ñược (x;y) = (9; 4). (HS có thể giải bài toán bằng phương pháp thế hoặc cách khác ñược kết quả ñúng vẫn ñược ñiểm tối ña) 0,5 2. PT ⇔ 2sin 2x cos 2x + 2cos 2 2x = 4(sin x + cos x) 0,5 ⇔ (cos x + sin x) (cos x – sin x) (sin 2x + cos 2x) = 2(sin x + cos x) ⇔ sinx cos 0 (cos sinx)(sin 2 os2 ) 2 x x x c x + =   − + =  0,5 ⇔ 4 os3 sinx 2 x k c x π π  = − +   − =  0,5 II.2 (2ñiểm) Chứng minh ñược phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm KL: x = 4 k π π − + 0,5 3. PT ⇔ 2 2 2 1 1 2 2 10 (2 1) 3 6 1(**) x x x x m x m x x   > − > −   ⇔     + + = + = − +   1 III (2ñiểm) Ycbt ⇔ (**) có hai nghiệm phân biệt thoả mãn x >- 1 2 Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) = 3x 2 – 6x + 1 trong (- 1 2 ;+∞ )ta tìm ñươc m ∈ (-2; 19 4 ) 1 I = 4 2 0 tan cos 1 cos xdx x x π + ∫ = 4 2 2 0 tan cos 2 tan xdx x x π + ∫ . 0,5 ðặt t = 2 2 2 2 tan x 2 tan t 2 tan tdt = cos dx x x x + ⇒ = + ⇒ 0,5 ðổi cận : x = 0 ⇒ t = 2 x = t 3 4 π ⇒ = 0,5 IV (2ñiểm) I = 3 3 2 2 3 2 tdt dt t = = − ∫ ∫ 0,5 1. B ∈ ∆ 1 ⇔ B(a; 3 –a) . C ∈ ∆ 2 ⇔ C(b; 9-b) ∆ ABC vuông cân tại A ⇔ 2 2 . 0 AB AC AB AC  =   =   uuur uuur 0,5 V.1 (2ñiểm) ⇔ 2 2 2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1) 2a - 8a = 2b 20b 48 (2)   − +  a = 2 không là nghiệm của hệ trên. 0,5 http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 4 (1) ⇔ b = 5a - 8 a - 2 . Thế vào (2) tìm ñược a = 0 hoặc a = 4 0,5 Với a = 0 suy ra b = 4. Với a = 4 suy ra b = 6. 0,5 2.Gọi I là trung ñiểm của AB ⇒ I ( 1; 1; 1) +) MA 2 + MB 2 = 2MI 2 + IA 2 + IB 2 Do IA 2 + IB 2 không ñổi nên MA 2 + MB 2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của I lên mặt phẳng (P) 1 +) Phương trình ñường thẳng MI : x-1 y-1 z-1 = = 1 1 1 . 0,5 V.2 (2ñiểm) M là giao ñiểm của MI và mặt phẳng (P). Từ ñó tìm ñược M(2; 2; 2) 0,5 3. D C BA S M Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh ñược góc DMB = 120 0 và ∆ DMB cân tại M 0,5 Tính ñư ợc: DM 2 = 2 3 a 2 0,5 ∆ SCD vuông tại D và DM là ñường cao nên 2 2 2 1 1 1 = + DM DS DC Suy ra DS = a 2 . Tam giác ASD vuông tại A suy ra SA = a. 0,5 VI (2ñiểm) Vậy thể tích S.ABCD bằng 1 3 a 3 0,5 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 4 a b c b c a + + ≥ + + + (***). Do ab + bc + ca = 3 nên VT (***) = 3 3 3 2 2 2 a b c b ab bc ca c ab bc ca a ab bc ca + + + + + + + + + + + = 3 3 3 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a b c a b c a b c a + + + + + + + + Theo BðT AM-GM ta có 3 3 ( )( ) 8 8 4 a b c a b a b c c a + + + + ≥ + + 3 5 2 ( )( ) 8 a a b c b c c a − − ⇒ ≥ + + (1) 0,5 VII (1ñiểm) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh ñược: http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 5 3 5 2 ( )( ) 8 b b c a c a a b − − ≥ + + (2), 3 5 2 ( )( ) 8 c c a b a b c a − − ≥ + + (3) Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta ñược (***) 4 a b c VT + + ≥ Mặt khác ta dễ dàng chứng minh ñược : a + b + c ≥ 3( ) ab bc ca + + = 3. ðẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (ðpcm) 0,5 . Thư viện Sách Tham Khảo, ðề thi , ðáp án 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 200 9-2 010 Môn thi: Toán- lớp 12. Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 án 2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 200 9-2 010 Môn thi: Toán, lớp 12. Ngày thi: 28 tháng 03 năm 2010 (Hướng dẫn. của mỗi bài. Bài làm của học sinh yêu cầu phải chi tiết, lập luận chặt chẽ. Nếu học sinh giải cách khác mà ñúng thì chấm ñiểm từng phần tương ứng. Câu Phương pháp - Kết quả ðiểm 1. Ta có