sở gd & đt bắc ninh trờng thpt quế võ 1 ( Đề thi gồm có 01 trang) đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng năm học 2009-2010 Môn : Toán Khối: 12 Thời gian 150 phút (Không kể thời gian phát đề) CU I: (2 im) Cho hm s 23 3 xxy (C). 1) Kho sỏt v v th hm s (C) 2) Gi )(,, 321 CAAA thng hng.Tip tuyn ti 321 ,, AAA ct (C) ln lt ti 321 ,, BBB . Chng minh rng 321 ,, BBB cng thng hng Câu II: (2 điểm ) 1) Giải phơng trình: 2sinx cosx 1 1 sinx 2cosx 3 3 2) Giải hệ phơng trình : 322 loglog yx xy yxy Câu III: (2 điểm ) 1) Tìm m để phơng trình sau có nghiệm: xxmxxx 4512 2) Cho x,y,z là các biến số dơng, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 222 3 33 3 33 3 33 2)(4)(4)(4 x z z y y x xzzyyxP CU IV: (2 im) 1) Cho tam giỏc ABC, bit C(4;-1), ng cao v ng trung tuyn k t nh A cú phng trỡnh tng ng l: 1 2 : 2 3 12 0; : 2 3 0d x y d x y . Lp phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC. 2) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng, cnh huyn BC = a, B . Cỏc mt bờn ca hỡnh chúp nghiờng u trờn ỏy mt gúc 60 0 . Chõn ng cao ca hỡnh chúp k t S min trong ca tam giỏc ABC. Tớnh th tớch khi chúp. Câu V: (2 điểm) 1) Có bao nhiêu cách chia hết 200 quyển sách ging nhau thành bốn phần biết rằng mỗi phần có ít nhất 20 quyển sách . 2) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 20 3 1 2 x x . .Ht (Thớ sinh khụng c s dng ti liu trong khi lm bi) H TấN NGI T HP Phm Thu Thy P N THI HC SINH GII CP TRNG NM HC 2009-2010 MễN TON KHI 12 (4 trang) Cõu1 2 im 1) TX:R, S bin thiờn, th 2)Gi s 23)(),( 3 iiiiii xxyCyxA . i 1,2,3 Honh giao im ca tip tuyn ti i A ca (C) vi th (C) l nghim pt: iii yxxxyxx ))(('23 3 i xx 2 Vy )268,2( 3 i i ii xxxB .Do :)( i A bxay . nxmx ii . 3 qxpxB iii )2.(,2( .Xột )'(.:)( ' i Bqxpy pcm 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 1) Giải phơng trình : 2sin cos 1 1 sin 2cos 3 3 x x x x ( 1 ) ĐK : sinx 2cosx + 3 0, x R 0,25 ( 1 ) 5sinx + 5cosx = 0 0,25 tanx = -1 4 x k 0,25 KL : Phơng trình có một họ nghiệm 4 x k 0,25 2) Giải hệ log log (1) 2 2 3(2) y x x y xy y ĐK : x,y > 0, x 1, y 1 (1) 1 1 1 log log (1 log ) 2 2 log y x y y xy y x x 0,25 đặt log , 0 y t x t . t 2 + t 2 = 0 2 1 1 2 x y t x t y + x = y hệ phơng trình có nghiệm x = y = 2 3 log 2 0,25 + 2 1 x y phơng trình (2) có dạng 2 1 2 2 3 y y ( *) với y > 1 2 1 2 2 2 1 y y phơng trình ( * ) vô nghiệm 0,25 Cõu 2 2 điểm Với 0 < y < 1 : 2 1 2 1 2 2 y y Phơng trình (*) vô nghiệm 0,25 Hệ có nghiệm : y = 2 3 log 2 1) Tìm m để phơng có nghiệm 12 ( 5 4 )(1)x x x m x x BG : ĐK 0 < x < 4 (1) 12 5 4x x x x x m 0,25 ( ) 12 5 4f x x x x x x Đặt ( ) 5 4 0 ( ) 12 0 h x x x g x x x x 0;4x 0,25 + h(x) > 0 và g(x) > 0 với 0;4x f(x) là hàm đồng biến trên đoạn 0;4 0,25 0 < x < 4 f(0) < f(x) < f(4) 12 5 4 12m 0,25 Cõu 3 2 điểm 2) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 4 4 4 2 x y z P x y y z z x y z x với x,y,z > 0 Ta có : 4(x 3 + y 3 ) > ( x + y ) 3 ( 1 ) CM : (1) 4(x 2 + y 2 xy ) > ( x + y ) 2 (x y) 2 > 0 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y 0,25 Tơng tự : 4 ( y 3 + z 3 ) > ( y + z) 3 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi y = z 4 ( z 3 + x 3 ) > ( z + x) 3 . Dấu = xảy ra khi và chỉ khi z = x 0,25 Do đó : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 2( ) 6x y y z z x x y z xyz 0,25 Lại có: 2 2 2 3 6 2 x y z y z x xyz Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 0,25 3 3 1 6 12P xyz xyz Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1xyz x y z Vậy MinP = 12 khi và chỉ khi x = y = z = 1 0,25 Cõu 4 2 im 1) ( 1 im) + Vỡ BC 1 d nờn BC nhn VTPT (2; 3)n ca 1 d lm VTCP ca mỡnh 0,25 d1 d2 C(1;-1) A B M PT: 3( 4) 2( 1) 0 3 2 10 0x y x y        + Tọa độ điểm A là nghiệm của hpt:   2 3 12 0 3 ( 3;2) 2 3 0 2 x y x A x y y            AC (7; 3)     VTPT của AC là (3;7) :3( 3) 7( 2) 0 3 7 5 0 AC n PT AC x y x y          + Gọi M là trung điểm BC . Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hpt:   3 2 10 0 6 (6; 4) 2 3 0 4 x y x M x y y            Gọi B(x;y) thì   4 12 8 (8; 7) (11; 9) 1 8 7 x x B AB y y                VTPT của AB là (9;11) :9( 3) 11( 2) 0 9 11 5 0 AB n PT AB x y x y          + KL: 0,25 0,25 0,25 2) (1 điểm) B C A O S I K H + Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC). H,I,K lần lượt là hình chiếu của O trên AB, AC, BC.    0 60SHO SIO SKO    là góc của các mặt bên hợp với đáy  các tam giác vuông SOH, SOI, SOK bằng nhau 0,25 OH OI OK O    Cách đều 3 cạnh của ABC O là tâm đường tròn nội tiếp ABC , bán kính OH OI OK x   Ta có diện tích ABC là: 1 . . 2 ABC S p r AB AC  Trong đó: 2 2 ; .cos ; .sin ; . sin cos (1 sin cos ) p AB BC CA AB a AC a BC a AB AC a r AB AC BC a                    Xét tam giác vuông SOH có: 0 .tan60 3SO OH r  + Thể tích SABC là: 2 2 3 2 3 2 1 1 . 1 . . . . . 3 3 3 2 6 1 ( sin cos ) 3 sin 2 3 6 . (1 sin cos ) 24 1 sin cos 6.sin 2 96cos cos( ) 2 2 4 SABC ABC AB AC V S SO SO AB AC r a a a a                       0,25 0,25 0,25 Câu5 1) (1đ) 2) (1đ) 1) Gọi x ,y, z, t là số sách mà từng phần có đựoc thì x.y.z.t thoả mán điệu kiện x,y,z,t ;20 x+y+z+t=200 (1) ( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) (1) trỏ thành 124a b c d (*) ( Đặt a=x-19;b=y-19;c=z-19;d=t-19) thì a,b,c,d dơng . số cách chia quà là số nghiệm nguyên dơng của phơng trình (*) +)Đặt 276 dấu chấm theo hàng ngang tạo đơc 275 khoảng trống .Đặt 3 que tính vào ba khoảng trống bất kỳ .(phần dấu chấm đầu tiên gán cho a. phần dấu chấm thứ hai gán cho b.phần dấu chấm thứ ba gán cho c. phần dấu chấm thứ t gán cho d) nh vậy ta có một nghiệm nguyên. dcba / / / vậy số nghiệm nguyên của pt(*) là số cách đặt 3 que và ba khoảng trống bất kỳ là số tổ hợp chập 3 của 123. KL :Số cách chia 200 quyển sách thoả mãn đàu bài là 3 123 C 2) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển 6 560 20 20 0 20 3 1 20 2 1 20 0 20 20 3 1 2 1 20 3 2 22 1 2 k k k k k k k k x xxxx x x C C ; ,0 20 k k Hệ số không chứa x thì 60-5k=0 nên k=12( T/m) Hệ số cần tìm là . 8 12 20 2 C =32248320 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 . & đt bắc ninh trờng thpt quế võ 1 ( Đề thi gồm có 01 trang) đề thi chọn học sinh giỏi cấp trờng năm học 200 9-2 010 Môn : Toán Khối: 12 Thời gian 15 0 phút (Không kể thời gian phát đề) CU I:.    0,25 0,25 0,25 Câu5 1) (1 ) 2) (1 ) 1) Gọi x ,y, z, t là số sách mà từng phần có đựoc thì x.y.z.t thoả mán điệu kiện x,y,z,t ;20 x+y+z+t=200 (1) ( Đặt a=x -1 9 ;b=y -1 9 ;c=z -1 9 ;d=t -1 9 ) (1) trỏ thành 12 4 a b. z 0,25 3 3 1 6 12 P xyz xyz Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1xyz x y z Vậy MinP = 12 khi và chỉ khi x = y = z = 1 0,25 Cõu 4 2 im 1) ( 1 im) + Vỡ BC 1 d nờn BC nhn VTPT (2; 3)n ca 1 d lm