Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng một số bất đẳng thức từ những bất đẳng thức quen thuộc Nguyễn Hữu Thi êm Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học sinh. Bất đẳng thức xuất hiện ở nhiều dạng khác nhau và việc chứng minh bất đẳng thức cũng rất phong phú. Ta có thể biến đổi tơng đơng, sử dụng các bất đẳng thức đã biết nh Côsi, Bunhiacopxki hay Trêbxep Becnuli Trong bài viết này tôi muốn giúp học sinh xây dựng một số bất đẳng thức dựa vào một số bất đẳng thức quen thuộc. (Việc chứng minh những bất đẳng thức này thật đơn giản mà không chứng minh lại). Đó là các bất đẳng thức sau: 1. 2+ x y y x x, y >0 2. yxyx + + 411 x, y >0 3. (x+y+z) 9 111 ++ zyx x, y, z >0 Bài toán 1: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: 2 3 + + + + + ba c ac b cb a (*) H ớng dẫn: Có rất nhiều cách chứng minh bất đẳng thức (*). Một trong các cách là ta có thể chứng minh (*) dựa vào bất đẳng thức (3). Thật vậy: (*) 3 2 3 111 ++ + ++ + ++ + ) ba c () ac b () cb a ( (a+b+c) 2 9111 + + + + + baaccb [(b+c)+(c+a)+(a+b)] 9 111 + + + + + baaccb Bất đẳng thức cuối cùng đúng do bất đẳng thức (3). Dấu = xảy ra a+b = b+c = c+a a = b = c Bài toán 2: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: bacacbcbaaccbba ++ + ++ + ++ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 Nghuyễn Hữu thiêm 92 Sáng kiến kinh nghiệm H ớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức (2): yxyx + + 411 cba)acb()ba(acbba ++ = ++++ ++ + + 2 2 23 4 2 1 3 1 Tơng tự ta có: acbbaccb ++ ++ + + 2 2 2 1 3 1 baccbaac ++ ++ + + 2 2 2 1 3 1 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và ớc lợng ta đợc: bacacbcbaaccbba ++ + ++ + ++ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 Dấu = xảy ra ++=+ ++=+ ++=+ bacac acbcb cbaba 23 23 23 a = b = c Bài toán 3: Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: )(2 1 4 1 4 1 4 1 cbabacacbcba ++ ++ + ++ + ++ H ớng dẫn: áp dụng bất đẳng thức 3 với: x = a + 4b + c y = b + 4c + a z = c + 4a + b Ta đợc: )(2 1 4 1 4 1 4 1 cbabacacbcba ++ ++ + ++ + ++ Dấu = xảy ra a + 4b + c = b + 4c + a = c + 4a + b a = b = c Các bài toán có đợc nhờ phát triển bài 1, 2, 3. 1. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: cbaaccbba ++ + + + + + 3 2 1 2 1 2 1 2. Cho a, b, c là các số dơng, , , là các số thực thỏa mãn: a + b + c > 0; a; b; c > 0; a + b + c > 0. Nghuyễn Hữu thiêm 93 Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh rằng: )cba)((cbacbacba ++++ ++ + ++ + ++ 9 1 1 1 Khi ta chọn , , là các số cụ thể ta sẽ có đợc các bất đẳng thức: Ví dụ: a) )cba(bacacbcba ++ ++ + ++ + ++ 2 3 32 1 32 1 32 1 b) cbaaccbba ++ + + + + + 1 8 1 8 1 8 1 3. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: ++ ++ + cabcab cba 222 2 1 222 2 1 2 cba cabcab ba c ac b cb a ++ ++ + + + + + H ớng dẫn: Vì baba + + 411 theo (1). Nên: + + + + + ++ accbbacba 111 2 111 ab + bc + ca 2abc + + + + + accbba 111 ab + bc + ca + 2(a 2 + b 2 + c 2 ) + + + + + +++ ac bca cb abc ba abc cba 222 2 = 2 )cabcab( ba c ac b cb a ++ + + + + + ++ ++ + cabcab cba 222 2 1 ba c ac b cb a + + + + + Dấu = xảy ra = = = ac cb ba a = b = c áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a + b + c) 2 ))ba(c)ac(b)ba(a( ba c ac b cb a +++++ + + + + + )cabcab( )cba( ba c ac b cb a ++ ++ + + + + + 2 2 ba c ac b cb a + + + + + 1+ 222222 222 2 1 2 1 cba cabcab cba cabcab cabcab cba ++ ++ ++ ++ + ++ ++ Nghuyễn Hữu thiêm 94 Sáng kiến kinh nghiệm mà 2 A B B A + A, B 0 Và A, B >0 ba c ac b cb a + + + + + 2 - 222 2 1 cba cabcab ++ ++ Mặt khác: 222 2 1 cba cabcab ++ ++ 2 1 a, b, c Do đó: 2 - 222 2 1 cba cabcab ++ ++ 2 3 Nh vậy bất đẳng thức: ba c ac b cb a + + + + + 2 - 222 2 1 cba cabcab ++ ++ chặt hơn bất đẳng thức ở bài toán 1. 4. Cho a, b, c là các số dơng. Chứng minh rằng: a) ba c ac b cb a + + + + + < ba c ca b cb a + + + + + b) )cba( )cabcab( ba c ac b cb a ++ ++ + + + + + 2 3 222 H ớng dẫn: ở hai bất đẳng thức bài số 4 này có cùng 1 dạng đó là chứng minh bằng phơng pháp bắc cầu tức là xen vào giữa 2 vế bất đẳng thức một biểu thức trung gian. đó là: a) biểu thức bằng 2. b) biểu thức bằng 2 cba ++ . Cụ thể có thể giải bài 4 nh sau: Ta có: cba ca ba a ++ + < + cba ab cb b ++ + < + cba cb ca c ++ + < + ba c ac b cb a + + + + + < 2. Nghuyễn Hữu thiêm 95 Sáng kiến kinh nghiệm Mặt khác: cba a cba a )cb(a a )cb(a ac cb a ++ = ++ + = + = + 2 2 ba c ca b cb a + + + + + 2 2 = ++ ++ cba )cba( Dấu = không thể xảy ra vì hệ: += += += bac acb cba vô nghiệm với a, b, c dơng. b) Theo bất đẳng thức Côsi: a cb cb a 2 2 2 2 + + + 2 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + Mặt khác: (a+b+c) 2 3(ab+bc+ca) 2 cba ++ )cba( )cabcab( ++ ++ 3 5. Cho a, b, c là các số dơng có: a+b+c = 1 Chứng minh rằng: 111 + + + + + z z y y x x 4 3 H ớng dẫn: Với a, b, c dơng theo (3): (a+b+c)( 9 111 ++ ) cba 4 9 111 9 1 1 1 1 1 1 = +++++ + + + + + )z()y()x(zyx D = 3 ( 1 1 1 1 1 1 + + + + + zyx ) 3 - 4 3 4 9 = Dấu =xảy ra x = y = z = 3 1 Bài toán 4: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý [; ] (<) thoả mãn điều kiện: a + b + c = + + với tuỳ ý. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 2 + 2 + 2 H ớng dẫn: Vì a, b, c < (a- )(b-)(c-) + (-a)( -b)( -c) 0 Nghuyễn Hữu thiêm 96 Sáng kiến kinh nghiệm ab + bc + ca (a+b+c)( +) + 2 + + 2 0 (a+b+c) 2 2(a+b+c)( +) + ( +) 2 + 2 + 2 a 2 + b 2 + c 2 2 + 2 + 2 a 2 + b 2 + c 2 Nếu [; ] thì dấu = xảy ra a, b, c là một hoán vị của , , . Nếu [; ] thì đẳng thức không xảy ra xảy ra. áp dụng bài toán 4 ta có 1 số bài toán tơng tự nh sau: 1) a, b, c [0; 2]; a+b+c = 3. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 5. 2) a, b, c [1; 3]; a+b+c = 6. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 14. 3) Cho n là số thực tuỳ ý. a, b, c [n-1; n+1] thoả mãn: a+b+c = 3n. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 3n+2. 4) Cho x i [-1; 1]; = 3nx i Chứng minh rằng: 1nx 2 i 5) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Chứng minh rằng: a) 8 1 111 + + + ba c ca b cb a b) 3 + + + + + cba c cba b acb a c) 3 + + + + + bac c acb b cba a Bài toán 5: Cho C có 3 cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng: xa 2 + yb 2 + zc 2 S.zxyzxy ++ 4 (*) Trong đó: S:diện tích C;x, y, z R: x+y 0; y+z 0; z+x 0; xy+yz+xz 0 H ớng dẫn: (*) xa 2 + yb 2 + z(a 2 + b 2 2abcosC) Csinab.zxyzxy 2 1 4 ++ (x+z)a 2 + (y+z)b 2 )CcoszCsin.zxyzxy(ab +++ 2 Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 )CcoszCsin.zxyzxy( +++ (xy+yz+xz+z 2 )(sin 2 C+cos 2 C) = (x+z)(y+z) Theo bất đẳng thức Côsi: Nghuyễn Hữu thiêm 97 Sáng kiến kinh nghiệm (x+z)a 2 + (y+z)b 2 2ab )zy)(xx( ++ (*) hoàn toàn đợc chứng minh. áp dụng bài toán 5 ta có: x = y = z = 1: a 2 + b 2 + c 2 4 S3 x = tg 222 C tgz; B tgy; A == ta có 1 222222 =++ C tg B tg A tg B tg A tg C tg S C tgc B tgb A tga 4 222 222 ++ Với tam giác ABC nhọn x= cotgA; y = cotgB; z = cotgC. Ta có: cotgB.cotgA + cotgB.cotgC + cotgA.cotgC = 1 4S = gCcotgBcotgAcot cba ++ ++ 222 (áp dụng định lí cotg) a 2 cotgA + b 2 cotgB + c 2 cotgC gCcotgBcotgAcot cba ++ ++ 222 ở bài 5 với x = y = 3; z = -1. Ta có bất đẳng thức: 3a 2 + 3b 2 c 2 4 S3 (Đây là bất đẳng thức đã biết) Ngoài ra ta có thể chứng minh bất đẳng thức này bằng cách khác: áp dụng: a 2 + b 2 + c 2 4 S3 vào tam giác có 3 cạnh là: a/2; b/2; m C và công thức về đờng trung tuyến ta cũng có: 3a 2 + 3b 2 c 2 4 S3 C Để kết thúc bài viết này tôi xin đa ra 1 số bất đẳng thức cùng với gợi ý ngắn gọn về các số dơng hay độ dài của một tam giác: Bài 1: Cho x, y, z là các số dơng: x+y+z 3/2 Chứng minh rằng: x+y+z+ 2 15111 ++ zyx Hớng dẫn: Cách 1: x+ 1 2 1 2 4 1 = . x ( ) 3 111 4 1 +++++ zyx zyx (1) Nghuyễn Hữu thiêm 98 B A m c a/2 b/2 Sáng kiến kinh nghiệm ( ) 9 111 ++++ zyx zyx 6 3 29111 =++ . zyx 2 9 4 36111 4 3 = ++ . zyx (2) Từ (1) và (2) ta suy ra: x+y+z+ 2 15111 ++ zyx Cách 2: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: z;y;x;zyx zyx zyx 222 111 ++ +++++ (x+y+z+ ( ) 2 64 111 )zyx()zyx(zyx) zyx ++++++++++ x+y+z+ )zyx( zyx zyx ++ +++ ++ 5 6111 Xét f(x) = x )x( 5 6 2 + với 0 < x 3/2 f(x) 15/2 Dấu = xảy ra x = y = z = 1/2 Bài 2: Cho x, y, z > 0; x+y+z 3/2 Chứng minh rằng: 17 2 3111 2 2 2 2 2 2 +++++ z z y y x x Hớng dẫn: VT ( ) 2 2 111 +++++ zyx zyx (BĐT về độ dài) Đặt: a = x+y+z) 2 b = 2 111 ++ zyx a + b = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 62 3 6 92 3 2 62 3 6 2 3 62 3 aababa + + + a+b 2 2 2 2 3 6 2 3 2 + . = 2 2 2 3 6 + Nghuyễn Hữu thiêm 99 Sáng kiến kinh nghiệm VT 17 2 3 2 3 6 2 2 = + Bài 3: Cho x 1 , x 2 , ,x n là n số thực không âm. Chứng minh rằng: nếu: x 1 + x 2 + + x n < 2 1 thì: (1-x 1 )(1-x 2 ) (1-x n ) > 2 1 Hớng dẫn: Từ nhận xét: 0 u, v < 1 (1-u)(1-v) > 1-(u+v) VT 1 (x 1 + x 2 + +x n ) > 2 1 (đpcm) (vì x i không âm, i x < 2 1 0 x i < 1 i = n,1 ). Bài 4: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn: abc = 1. Chứng minh rằng: cbaaccbba + + + + + ++ + ++ + ++ 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Hớng dẫn: Đặt x = a+b+c; y = cba 111 ++ = ab+bc+ca (vì abc = 1) Theo bất đẳng thức Côsi: x 3; y 3 Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành yx yx xyxyxy xyx 249 412 2 43 2 2 ++ ++ +++ +++ 3x 2 y + xy 2 + 6xy 5x 2 y 2 24x 3y 27 0 0273933 3 12 3 4 3 33 5 3 5 2 2 2 2 2 22 ++ + + + + )xy()xxy(x xy xyxy xy y xy xyx Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do x 3; y 3 Dấu = xảy ra a = b = c = 1. Bài 5: Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x+y+z = 1. Chứng minh rằng: 0 xy+yz+zx-2xyz 27 7 Hớng dẫn: Nghuyễn Hữu thiêm 100 Sáng kiến kinh nghiệm Đặt S = xy+yz+zx-2xyz = xy(1-2z) + x+y)z Không mất tính tổng quát giả sử z 3 1 0++ z)xy(xy 3 1 S Mặt khác: S=xy(1-2z) +(x+y)z 4 12 121 2 23 2 + =+ + zz z)z()z( yx Do 0 z 3 1 27 1 S Dấu = xảy ra a = b = c = 3 1 Bài 6: Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn: x+y+z = 1. Chứng minh rằng: 7(xy+yz+zx) 2+9xyz Hớng dẫn: Do x+y+z = 1 nên bất đẳng thức tơng đơng: 7(xy+yz+zx)(x+y+z) 2(x+y+z) 3 +9xyz xy 2 + yx 2 + xz 2 + zx 2 + y 2 z + z 2 y 2(x 3 + y 3 + z 3 ) Theo bất đẳng thức Côsi ta có: yxyxzxx 2 3 36333 27 1 3 3 1 3 1 3 1 =++ Tơng tự với 2 bất đẳng thức còn lại Đpcm Dấu = xảy ra x = y = z = 3 1 Bài 7: Cho a, b, c là các số không âm thoả mãn: a+b+c = 1. Chứng minh rằng: 4 1 111 + + + + + b ca a bc c ab Bài 8: Cho x, y, z là các số dơng mà: x 2 +y 2 +z 2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: S = y xz x yz z xy ++ H ớng dẫn: Đặt a = y xz c; x yz b; z xy == a, b, c > 0 ta có: ab+bc+ca = 1; S = a+b+c Nghuyễn Hữu thiêm 101 [...]... 3 abc + 1 Trên đây là 1 số bài toán về các số dơng và mối liên hệ giữa các độ dài cạnh trong một tam giác Trong bài viết có su tầm 1 số bài toán từ các kỳ thi chọn học sinh giỏi, IMO, báo Toán học và Tu i trẻ, các kỳ thi Olympic các nớc Do thời gian và năng lực còn nhiều hạn chế, nên bài viết không khỏi thiếu những thiếu sót Mong nhận đợc sự đóng góp, góp ý từ phía các thầy cô Em xin chân thành cảm . 4 3 4 9 = Dấu =xảy ra x = y = z = 3 1 Bài toán 4: Cho a, b, c là 3 số tu ý [; ] (<) thoả mãn điều kiện: a + b + c = + + với tu ý. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 2 + 2 + 2 H ớng. bài viết này tôi muốn giúp học sinh xây dựng một số bất đẳng thức dựa vào một số bất đẳng thức quen thuộc. (Việc chứng minh những bất đẳng thức này thật đơn giản mà không chứng minh lại). Đó. Sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng một số bất đẳng thức từ những bất đẳng thức quen thuộc Nguyễn Hữu Thi êm Bất đẳng thức là một trong những bài toán gây khó khăn đối với học