Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Mở đầu *** Lý chọn đề tài Dạng toán Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình chơng trình đại số lớp trờng trung học sở dạng toán tơng ®èi khã ®èi víi häc sinh Do ®Ỉc trng cđa loại toán thờng loại toán có đề tài lời văn thờng đợc xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, vật lý ) Hầu hết toán có kiện giàng buộc nhau, ẩn ý dới dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm đợc liên quan đại lợng dẫn đến việc lập phơng trình hệ phơng trình mà thực chất vấn đề khoa học giải toán giải phơng trình Trong phân phối chơng trình toán trờng trung học sở toán lớp học sinh đợc học khái niệm phơng trình phơng trình Nhng việc giải phơng trình đà có chơng trình toán từ lớp với mức độ yêu cầu tùy theo đối tợng học sinh lớp 7, 8, mối liên hệ nh toán cho dới dạng lời văn có kiện kèm theo Vì vậy, muốn giải đợc loại toán học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phơng trình ( hệ phơng trình ) Mối đặc thù riêng loại toán hầu hết toán đợc gắn liền với nội dung thực tế Chính mà việc chọn ẩn số thờng số liệu có liên quan đến thực tế Do giải toán học sinh thờng mắc sai lầm thoát li đợc thực tế, dẫn đến quên điều kiện ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc thực tế từ lý mà học sinh ngại làm dạng toán Mặt khác, trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy học sinh mức độ truyền thụ tinh thần Sách Giáo Khoa mà cha biết phân loại toán, cha khái quát đợc cách giải cho dạng toán Kỹ phân tích tổng hợp học sinh yếu trình đặt ẩn số, mối liên hệ số liệu toán, dẫn đến lúng túng việc giải toán Vì thế, muốn giải toán cách lập phơng trình hay hệ phơng trình điều quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ toán thành quan hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ ngời thầy phải dạy cho học sinh cách dẫn giải tập Do hớng yêu cầu giải toán phải dựa số nguyên tắc chung: Yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phơng trình, phân loại dạng toán dựa vào trình biến thiên đại lợng (tăng, giảm, thêm, bớt) làm sáng tỏ mối quan hệ đại lợng dẫn đến lập đợc phơng trình dễ dàng Với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng toán Giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Vì đà chọn đề tài Dạy học giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình. Trong thời gian giảng dạy trờng THCS đà đợc học hỏi nhiều kinh nghiệm thầy cô giáo lớp trớc đợc đồng nghiệp nhóm giúp đỡ, đặc biệt hớng dân tận tình Giáo s Lê Mậu Hải đà giúp hoàn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn ! Đề tài nghiên cøu khoa häc vỊ thùc nghiƯm s ph¹m Trêng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Nội dung *** chơng i Phơng pháp nghiên cứu yêu cầu giải toán I Phơng pháp nghiên cứu Dựa vào phân phối chơng trình chung Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành chơng trình toán THCS với nội dung: Phơng trình hệ phơng trình Phơng pháp hớng dẫn học sinh giải toán dựa vào nguyên tắc chung: Giải toán cách lập phơng trình Nội dung quy tắc gồm bớc: Bớc 1: Lập phơng trình (gồm công việc) - Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị điều kiện cho ẩn) - Biểu thị số liệu cha biết qua ẩn số liệu đà biết - Dựa vào mối quan hệ số liệu để lập phơng trình (hệ phơng trình) Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình Tùy thuộc vào dạng phơng trình hệ phơng trình mà chọn cách giải cho thích hợp Bớc 3: Nhận định kết trả lời - So sánh nghiệm tìm ®ỵc víi ®iỊu kiƯn cđa Èn xem cã thÝch hỵp không trả lời kết (có kèm đơn vị) - Mặc dù đà có quy tắc song ngời giáo viên trình hớng dẫn giải toán cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu giải toán nói chung ii Yêu cầu giải toán Yêu cầu 1: Lời giải không phạm phải sai lầm, sai sót dù nhỏ Muốn giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, trình giải sai sót kiến thức bản, phơng pháp suy luận, kỹ tính toán, cách kí hiệu ẩn phải xác, phải phù hợp với toán trªn thùc tÕ * VÝ dơ 1: Tû sè ti anh tuổi em 0,5 ; sau năm tỷ số tăng thêm 0,1 Hỏi tuổi anh tuổi em nay? - Phân tích đề bài: Tỷ số ti anh vµ ti em b»ng 0,5 ( = /2) Từ ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em Sau năm, tuổi anh tuổi em tăng đơn vị; đó, tỷ số tuổi anh vµ cđa em lµ: 0,5 + 0,1 = 0,6 Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Giải: Gọi tuổi em là: x ( x > 0; x N) Thì tuổi anh là: 2x Sau năm tuổi em là: x + Sau năm tuổi anh là: 2x + Theo đầu ta có phơng trình : x + 0,6 2x + x + = 0,6 (2x + 3) x = (T/m ®iỊu kiƯn) VËy ti em hiƯn lµ: (ti) Ti anh hiƯn lµ : x = 12 (ti) Yêu cầu 2: Lời giải toán lập luận phải có xác Trong trình thực bớc phải có lôgíc chặt chẽ với có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải ý đến việc thỏa mÃn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện đà cho phải làm bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quan đại lợng toán thiết lập đợc phơng trình (hệ phơng trình), từ tìm đợc giá trị ẩn Muốn giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu ẩn đâu kiện, đâu điều kiện Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn không? Từ mà xác đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải * Ví dụ 2: Hai cạnh khu đất hình chữ nhật nhay 4m Tính chu vi cđa khu ®Êt ®ã nÕu biÕt diƯn tÝch cđa nã b»ng 1020 m2 - Gi¶i: Gäi chiỊu réng cđa khu đất hình chữ nhật là: x (m) (x > 0) => Chiều dài khu đất là: x + (m) Ta có phơng trình: x (x + 4) = 1020 ⇔ x2 + 4x - 1020 = x1 = 30 (t/m) x2 = -34 (lo¹i) VËy: ChiỊu rộng khu đất là: 30m Chiều dài khu đất là: 30 + = 34m Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m) Chú ý: giáo viên cần lu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 lấy nghiệm: x =30 Yêu cầu 3: Lời giải thích phải đầy đủ mang tính toàn diện Hớng dẫn học sinh không đợc bỏ sót khả chi tiết nào, không thừa nhng không đợc thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin tra lại lời giải xem đà đầy đủ cha? Kết toán đà đại diện phù hợp với cách chung? Nếu thay đổi điều kiện toán rơi vào trờng hợp kết đúng? * Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao 3/4 cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3cm cạnh đáy giảm 5cm diện tích tam giác 9/10 diện tích ban đầu Tính chiều cao cạnh đáy tam giác lúc đầu? - Phân tích: Dù chiều cao cạnh đáy hai tam giác có thay đổi diện tích(S) tam giác đợc tính theo công thức: S = 1/2 x ( cạnh đáy x chiều cao) - Giải: Gọi cạnh đáy tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5) Chiều cao tam giác là: x (cm) Diện tích tam giác ban đầu là: S1 = 3 x x = x (cm ) x + (cm) Khi giảm cạnh đáy 5cm cạnh đáy là: x - (cm) Diện tích tam giác là: Khi tăng chiều cao lên 3cm chiều cao là: S2 = Theo ta cã: ⇔ ⇔ ( x + 3) ( x − 5) ( x + 3).( x − 5) = x 2 10 x2 – 10x – 200 = x1 = 20 ( tháa m·n ®iỊu kiƯn ) x2 = - 10 ( lo¹i ) Vậy cạnh đáy tam giác lúc ban đầu 20cm Chiều cao tam giác là: 20 = 15 (cm) 4 Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số học sinh hiểu áp dụng đợc * Ví dụ 4: Một xởng may phải may xong 3000 áo thời gian quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, ngày xởng đà may đợc nhiều áo so với số áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, ngày trớc hết thời hạn xởng đà may đợc 2650 áo Hỏi theo kế hoạch xởng phải may thời gian ngày xởng phải may xong áo? Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Giải: Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch x (x N; x > 0) Thời gian quy định may xong áo 3000 (ngày) x Số áo thực tế may đợc ngày là: x + (áo) Thời gian may xong 2650 áo là: 2650 (ngày) x+6 Vì xởng may xong 2650 áo trớc hết hạn ngày nên ta có phơng trình: 3000 2650 = x x+6 x - 64x – 3600 = x1= 100 (thỏa mÃn điều kiện) x2= -36 (loại) Vậy: Theo kế hoạch, ngày xởng phải may xong 100 áo 3000 Thời gian quy định may xong 3000 áo là: = 30 (ngày) 100 Yêu cầu 5: Lời giải phải đợc trình bày khoa học, mối liên hệ bớc giải toán phải lôgíc, chặt chẽ với nhau, bớc sau đợc suy luận từ bớc trớc đà đợc kiểm nghiệm, chứng minh ®óng hc ®· biÕt tríc * VÝ dơ 5: ChiỊu cao tam giác vuông 9.6 m chia cạnh huyền làm đoạn 5,6 m Tính độ dài cạnh huyền tam giác - Phân tích: Xét tam giác vuông ABC Giả sử AC > AB ⇔ CH > BH CÇn chó ý r»ng: AH2 = BH CH C Giải: Gọi độ dài BH x (m) (x>0) Độ dài CH x+ 5,6 (m) Theo công thức hệ thức lợng tam giác, ta có phơng trình: H x.(x + 5,6) = 9,62 x2 + 5,6 x - 92,16 = A B x1 = 7,2 (tháa m·n ®iỊu kiƯn) x2 = - 12,8(lo¹i) VËy: BH = 7,2 m CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m Độ dài cạnh huyền lµ : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m) Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ Các bớc cần lập luận không chồng chéo, phủ định lẫn Muốn cần rÌn cho häc sinh cã thãi quen sau gi¶i xong cần thử lại kết tìm nghiệm toán, tránh bỏ sót nghiệm phơng trình bậc hai, hệ phơng trình * Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền tam giác 25, tổng độ dài hai cạnh góc vuông Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin 35 Tìm độ dài cạnh tam giác - Giải: Gọi độ dài cạnh góc vuông tam giác x; y (x > 0; y > 0) Ta có hệ phơng trình: x + y = 35 x + y = 35 x2 +y2 = 252 = 625 x y = 300 y nghiệm phơng trình: a2 35 a + 300 = x, a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mÃn điều kiện) Vậy độ dài cạnh góc vuông tam giác vuông 20 15 Nhận xét: toán này, tìm kết 20 15, học sinh phân vân: hay đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15) Trên thực tế tam giác vuông Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết với điều kiện đầu bài, đảm bảo nghiệm dều hợp lí (Một toán không thiết có kết quả) CHƯƠNG II : PHÂN LOạI BàI TOáN GIảI BàI TOáN BằNG CáCH LậP PHƯƠNG TRìNH Và CáC GIAI ĐOạN GIảI MộT BàI TOáN I Phân loại toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Trong tập lớp 9, giải tập cách lập phơng trình hệ phơng trình phân loại nh sau: Loại toán chuyển động Loại toán liên quan đến số học Loại toán suất lao động (tỷ số phần trăm) Loại toán công việc làm chung, làm riêng (toán quy đơn vị) Loại toán tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số chúng) Loại toán có liên quan đến hình học Loại toán có nội dung vật lí, hóa học Dạng toán xác định hệ số đa thức Dạng toán có chứa tham số ii giai đoạn giải toán cách lập phơng trình hệ phơng trình Phần giai đoạn: - Với toán bậc ẩn số: Là dạng toán sau xây dựng phơng trình, biến Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin đổi tơng đơng dạng ax + b = (a  0) - Víi bµi toán: Giải toán phơng trình bậc dạng toán sau xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng dạng: ax2 + bx + c = (a,b 0) - Với toán: Giải toán hệ phơng trình bậc hai ẩn dạng toán sau biến đổi tơng đơng dạng nguyên (nh mẫu số) có dạng: ax + by = c a,x + b,y = c, ( Trong ®ã a, b, a,, b, không đồng thời ) Để đảm bảo yêu cầu toán bớc quy tắc giải toán cách lập phơng trình (hệ phơng trình) nh phần I đà trình bày giải toán chia làm giai đoạn cụ thể bớc quy tắc giải toán lập phơng trình (hệ phơng trình) * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận toán giúp học sinh hiểu toán cho kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú đợc mô tả hình vẽ) * Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề có liên quan đến lập phơng trình Tức chọn ẩn số cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mÃn * Giai đoạn 3: Lập phơng trình, dựa vào quan hệ ẩn số đại lợng đà biết, dựa vào công thức, tính chất để xây dựng phơng trình, biến đổi tơng đơng để đa phơng trình đà xây dựng phơng trình dạng đà biết, đà giải đợc * Giai đoạn 4: Giải phơng trình , vận dụng kí thuật giải phơng trình đà biết để tìm nghiệm phơng trình * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phơng trình, để xác định lời giải toán tức xét nghiệm phơng trình với điều kiện đặt toán, với thực xem có phù hợp không? * Giai đoạn 6: Trả lời toán kết luận xem có nghiệm, sau thử lại * Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần thờng mở rộng cho học sinh tơng đối khá, giỏi Sau giải xong gợi ý cho học sinh biến đối toán thành toán khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số, thay đổi yếu tố khác (dữ kiện giả thiết) - Giữ nguyên kiện, thay đổi yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển t cho học sinh - Giải toán cách khác, tìm cách giải hay Chơng III: Những loại toán hớng dẫn học sinh giải Phân loại toán Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin I Dạng toán chuyển động: Bài toán 1: Nhà Nam Lan nằm đờng quốc lộ cách m Nếu Lan Nam xe đạp lúc ngợc chiều sau 25 phút họ gặp Tính vận tốc ngêi? BiÕt r»ng vËn tèc cña Lan b»ng vËn tốc Nam + Phân tích: Đây toán chuyển động ngợc chiều hai ngời gặp tổng quÃng đờng mà hai ngời đà khoảng cách ban đầu hai ngời Có thể minh häa b»ng b¶ng sau: VËn tèc Thêi gian Qu·ng ®êng x × x 4 Nam x Lan x 4 - Giải: Gọi vận tốc Nam x (km/h) (x>0) vận tốc Lan sau 25 phút = x (km/h) h th×: x (km/h) Qu·ng ®êng Lan ®i đợc là: x (km) 4 Đến gặp nhau, tổng quÃng đờng ngời đà khoảng cách nhà Lan nhà Nam Ta có phơng tr×nh: 1 x+ × x=7 4 ⇔ x + x = 112 Qu·ng ®êng nam đợc là: x = 112 x = 16( T / m) VËy vËn tèc cña Nam lµ 16 km/ h VËn tèc cđa Lan là: ì = 12( km / h) 16 Bài toán : Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B cách 120 km thời gian quy định Sau đợc giờ, ô tô bị chắn xe hỏa 10 phút Do để đến B kịp xe đà phải tăng vận tốc thêm km/h Tính vận tốc ô tô lúc đầu Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Phân tích : + Thời gian thực tế ô tô đà cố thể chia làm giai đoạn : - Giai đoạn : Ô tô với vận tốc dự định - Giai đoạn : Ô tô dừng lại - Giai đoạn : Ô tô với vận tốc + Do ô tô đến B kịp nên thời gian theo dự định = thời gian thực tế ô tô đà - Giải : Gọi vận tốc theo dự định ô tô x ( km/h ) ( x> ) ⇒ Thêi gian ô tô theo dự định : 120 ( h) x Sau đầu ô tô đợc x ( km ) QuÃng đờng lại : 120 – x ( km ) VËn tèc cđa « tô đoạn đờng lại : x + ( km/h ) 120 − x ⇒ Thời gian ô tô nốt đoạn lại : ( h) x+6 thời gian ôtô nốt đoạn lại : ( h) 120 − x + ( h) x+6 120 120 _ x =1+ + ô tô đến B kịp thời nên ta có phơng trình : x x+6 thời gian thực tế ô tô đà lµ : + ⇔ x2 + 42x –4320 = ⇔ x1 =48 ( t/m ®iỊu kiƯn ) x2 = - 90 ( lo¹i ) VËy vËn tèc theo dự định ô tô 48 km/h Bài toán : Trên sông , ca nô xuôi dòng 108 km ngợc dòng 63 km h Một lần khác ca nô xuôi dòng 81 km ngợc dòng 84 km h Tính vận tốc dòng nớc chảy vận tốc riêng ca nô - Phân tích : Trong chuyển động dòng nớc cần lu ý : Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nớc Vận tốc ngợc dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nớc - Giải : Gọi vận tốc riêng ca nô x ( km/h ) vận tốc dòng nớc y ( km/h ) (x>y>0) Vận tốc ca nô xuôi dòng : x + y ( km/h ) Vận tốc ca nô ngợc dòng : x y ( km/h ) Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Lần đầu : Ca nô xuôi dòng 108 km : Ca nô ngợc dòng 63 km : Ta có phơng trình : 108 ( h) x+y 63 (h) x−y 108 63 + = (1) x+y x−y 81 ( h) x+y 84 ( h) Ca n« ngợc dòng 84 km : xy Lần sau : Ca nô xuôi dòng 81 km : Ta có phơng trình : 81 84 + =7 x+y xy Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình : (2) 108 63 + =7 x+y x−y 81 84 + =7 x+y xy Giải hệ phơng trình ta đợc: x = 24 (Thoả mÃn điều kiện) y = (Thoả mÃn điều kiện) vận tốc thực ca nô 24 km/h Vận tốc dòng nớc km/h * Tóm lại: Với toán minh họa giáo viên phần đà hình thành cho học sinh làm quen với việc giải toán chuyển động cách lập phơng trình nêu cách giải đại diện cho dạng phơng trình bậc nhất, phơng trình bậc 2; hệ phơng trình Trong toán chuyển động học sinh cần nhớ nắm mối liên hệ đại lợng: vận tốc, quÃng đờng, thời gian Thông thờng ba đại lợng đợc chọn ẩn số (với điều kiện tơng ứng); Một đại lợng đà đợc xác định; ta phải biểu thị đại lợng lại theo ẩn dựa vào mối liên hệ toán để lập phơng trình (hệ phơng trình) * Cần lu ý toán chuyển động chia làm nhiều dạng nhỏ + Nếu chuyển động ngợc chiều sau mét thêi gian chun ®éng cïng nhau, ta có: S1 + S2 = khoảng cách ban đầu Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 10 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin + Nếu chuyển động chiều sau thời gian chuyển động nhau, ta có: S1 - S2 = khoảng cách ban đầu (S1 > S1) + NÕu chun ®éng cïng mét qu·ng đờng vận tốc thời gian hai đại lợng tỉ lệ nghịch với + Nếu chuyển động đoạn đờng không đổi từ A đến B tõ B vỊ A biÕt tỉng thêi gian thùc tÕ chuyển động thì: Tổng thời gian = thời gian ®i + thêi gian vỊ + NÕu lµ chun ®éng dòng nớc thì: - Vận tốc xuôi dòng = vËn tèc thùc + vËn tèc dßng - VËn tèc ngợc dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng - Vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng = vận tốc dòng - Vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng = vận tốc dòng - Thời gian dự định ban đầu + thời gian ®Õn chËm = Thêi gian cđa chun ®éng sau tăng tốc độ + thời gian với vận tốc ban đầu + thời gian nghỉ (nếu có) ii Dạng toán liên quan đến số học Bài toán 1: Tìm hai số biết tổng 17 tổng bình phơng hai số 157 - Phân tích: Bài toán giải cách lập phơng trình lập hệ phơng trình theo bảng sau: Cách Số thứ hai PT (hệ pt) Cha bình phơng x 17 – x x2 + (17 – x)2 = x2 (17 x)2 157 Cha bình phơng x y x + y = 17 Bình phơng Số thứ Bình phơng Quá trình x2 y2 x2 + y2 = 157 - Giải: Gọi số thứ x => số thứ 17 x Tổng bình phơng hai số 157 Ta có phơng trình: x2 + (17 – x)2 = 157  x2 – 17x + 66 = x1 = 11 (Thoả mÃn điều kiện) x2 = (Thoả mÃn điều kiện) Số thứ 11 số thứ 17 11 = Số thứ hai số thø lµ 17 – = 11 VËy số phải tìm 11 Bài toán 2: Tìm số có hai chữ số biết tổng chữ số viết Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 11 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin thêm chữ số vào hai chữ số đợc số lớn số ban đầu 360 đơn vị - Phân tích: Với số có hai ch÷ sè: ab = 10a + b Víi sè cã ba ch÷ sè: abc = 100 a + 10 b + c Khi viết thêm chữ số vào gi÷a hai ch÷ sè cđa sè cã hai ch÷ sè số trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục số ban đầu chữ số hàng trăm số mới, chữ số hàng đơn vị số ban đầu chữ số hàng đơn vị số - Giải: Gọi chữ số hàng chục số ban đầu x ( x N, 0 Chữ số hàng đơn vị số ban đầu x Số ban đầu 10x + (9 x) = 9x + Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số số là: 100x + 90 + (9 – x) = 99x + Sè míi lín số ban đầu 360 đơn vị Ta có phơng tr×nh: (99x + 99) – (9x + 9) = 360 90x = 270 x = (t/m đk) Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị = Vậy số cần tìm 36 Bài toán 3: Cho số có hai chữ số Tìm số biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích chữ số đợc chữ số viết theo thứ tự ngợc lại với số đà cho - Phân tích: Chú ý sử dụng ab = 10 a + b Ngoài cần ý viết số theo thứ tự ngợc lại vai trò chữ số hàng chục hàng đơn vị đợc hoán đổi cho nhau: - Giải: Gọi chữ số hàng chục số ban đầu x ( x  N, 0 x = = 5(t / m ) + Víi y = => x = = 25 (loại) Vậy số cần tìm 54 Tóm lại: Với dạng toán liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ số đặc biệt số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dới dạng tắc nó: ab = 10a + b abc = 100 a + 10b + c Khi đổi chỗ vị trí chữ số thay đổi giá trị chữ số có thay đổi tơng ứng với vị trí Ngoài cần ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp iii dạng toán suất lao động ( Tỷ số phần trăm ) Bài toán : Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết máy, tháng sau tổ đạt vợt mức 10%, tổ đạt vợt mức 15% nên tổ sản xuất đợc 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất đợc chi tiết máy - Phân tích : + Đà biết suất chung tổ tháng đầu đợc 400 chi tiết máy Nếu biết tổ ta tính đợc tổ ( chọn ẩn ) + Giả sử đà biết suất tháng đầu tính đợc tổng chi tiết máy sản xuất tháng sau + Tính suất tổ tháng sau để xây dựng phơng trình - Giải : Cách 1: Gọi x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (x Z, < x < 400 ) Nh tổ sản xuất đợc 400 – x ( chi tiÕt m¸y ) Th¸ng sau tỉ đà làm vợt mức 10%x ( chi tiết máy ) tổ đà làm vợt mức (400 x ).15% ( chi tiết máy ) Do tổ đà vợt đợc : 448 400 = 48 ( chi tiết máy ) Theo ta có phơng trình : 10%.x + ( 400 x ).15% = 48 x = 240 ( t/m ®iỊu kiƯn ) Vậy : Tháng đầu tổ sản xuất đợc 240 chi tiết máy, tổ sản xuất đợc 400 – 240 = 160 chi tiÕt m¸y C¸ch : Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất đợc tháng đầu x số chi tiết máy tổ sản xuất đợc tháng đầu y (x ∈ Z , < x < 400 , y ∈ Z , < y < 400 ) Ta cã : x + y = 400 (1) Trong tháng sau tổ làm vợt mức 10%.x chi tiết máy tổ làm vợt mức 15%.y chi tiết máy Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 13 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Ta có phơng trình : 10%.x + 15%.y = 48 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình : x + y = 400 (1) 10%.x + 15%.y = 48 (2) Giải hệ phơng tr×nh ta cã x = 240 ; y = 160 ( thoả mÃn điều kiện ) Kết luận Bài toán : Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trớc 2% với số dân đầu năm 2002 triệu dân Do tỷ lệ tăng dân số đà giảm 1,8% vùng thành thị giảm 1000 ngời so với số đạt đợc với tỷ lệ 2% vùng nông thôn , nên số dân đầu năm 2003 tỉnh 2038400 ngời Tính số dân vùng thành thị tỉnh vào đầu năm 2003 - Giải : Gọi số dân vùng thành thị ; vùng nông thôn tỉnh đầu năm 2002 lần lợt x ; y ( triệu dân ) (x>0;y>0) Ta cã : x + y = (1) Sè d©n tăng vùng thành thị : 1,8%.x ( triệu dân ) Số dân tăng vùng nông thôn : 2%.y – 0,001 ( triƯu d©n ) Sè d©n tăng tỉnh : 2,0384 = 0,0384 ( triệu dân ) Ta có phơng trình : 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2) Tõ (1) vµ (2) ta có hệ phơng trình : x + y = (1) 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 (2) Giải hệ ta đợc x= 0,3 ; y = 1,7 ( t/m diều kiện ) Số dân đầu năm 2002 tỉnh vùng thành thị 300000 ngời Số dân tăng : 1,8%.300000 = 5400 ( ngời ) Vậy: số dân tỉnh vùng thành thị đầu năm 2003 : 300000 + 5400 = 305400(ngời) * Tóm lại : Với loại toán học sinh phải xác định tỷ lệ tăng suất lao động ( tăng dân số , )so với mốc ban đầu từ lập phơng trình iv Dạng toán công việc làm chung , làm riêng ( Toán quy đơn vị ) Bài toán : Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau h bể đầy Mỗi lợng nớc vòi chảy đợc lợng nớc vòi chảy đợc Hỏi vòi chảy sau đầy bể? - Phân tích : Trong loại toán cần lu ý thời gian để vòi chảy đầy bể phần bể mà vòi chảy hai đại lợng nghịch đảo - Giải : Cách : Gọi thời gian để vòi chảy đầy bĨ lµ x (h) ( x > 4 ) Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 14 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Trong vòi chảy ®ỵc ( bĨ ) x 3 = (bÓ ) x 2x + Trong hai vòi chảy đợc ( bể ) x 2x 4 Do c¶ hai vòi chảy sau h bể đầy ; ta có phơng trình : ( + ) = 5 x 2x 24 ⇔ = x = 12 (t/m ®iỊu kiƯn ) 2x Vậy : Vòi chảy sau 12 h đầy bể Một vòi chảy đợc : = ( bể ) 2.12 Vòi chảy sau h đầy bể Trong vòi chảy đợc Cách : Gọi thời gian để vòi chảy đầy bể x (h) Gọi thời gian để vòi chảy đầy bể y (h) Một vòi chảy đợc ) ( bể ) x Một vòi chảy đợc ( x;y > ( bÓ ) y = x y 1 ( + ) = x y Gi¶i hệ ta đợc x = ; y = 12 ( t/m điều kiện ) => Kết luận Bài toán : Hai đội công nhân làm công việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày đội thứ làm ngày đợc 25% công việc Hỏi đội làm hoàn thành công việc? - Giải : Gọi thời gian để đội làm xong công việc x ( ngày ) Gọi thời gian để đội làm xong công việc y ( ngày ) ( x > 16 ; y > 16 ) Theo bµi ta có hệ phơng trình : Đề tài nghiên cøu khoa häc vỊ thùc nghiƯm s ph¹m 15 Trêng đai học s phạm hà nội khoa toán tin ( công việc ) x Một ngày đội làm đợc ( công việc ) y Một ngày đội làm đợc Do đội làm 16 ngày xong công việc nên ta có phơng trình: ( 1 + ).16 = (1) y x ( công việc ) x Đội làm ngày đợc : ( công việc ) y Đội làm ngày đợc : 1 ) công việc ; ta có phơng trình : + = (2) x y 4 1 Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình : ( + ).16 = (1) y x + = (2) x y Khi đội làm đợc 25% ( = Giải hệ phơng trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m ®iỊu kiƯn ) VËy ®éi làm sau 24 ngày hoàn thành công việc Vậy đội làm sau 48 ngày hoàn thành công việc * Tóm lại : Với loại toán cần làm cho học sinh thấy rõ đợc quan hệ thời gian suất làm việc : Nếu công việc làm x ngày ( ) ngày ( ) làm đợc công việc x v dạng toán tỷ lệ chia phần ( Thêm , bớt , tăng , giảm , tổng , hiệu , tỷ số chúng ) Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 hàng Khi làm việc xe cần điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 hàng Hỏi lúc đầu đội có xe? - Phân tích : Có thể minh họa toán bảng sau : Sè xe Sè hµng ( tÊn ) Sè hµng xe chở ( ) Dự định x 12 12 x Thực tế x2 12 12 x Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 16 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Giải : Gọi số xe đội lúc đầu x (xe ) ( x N ; x > ) Theo dự định xe phải chë : 120 ( tÊn hµng ) x Sè xe thực tế : x ( xe ) 120 Khi xe phải chở : ( tÊn hµng ) x −2 120 120 Theo bµi ta có phơng trình : =16 x x x2 – 2x – 15 = x1 = - ( lo¹i ) x2 = ( t/m ®iỊu kiƯn ) VËy ®éi xe lóc ®Çu cã xe vi dạng toán có liên quan đến hình học Bài toán : Cho tam giác vuông , tăng cạnh góc vuông lên cm ; cm ; diện tích tam giác tăng thêm 50 cm2 Nếu giảm cạnh góc vuông 2cm diện tích tam giác giảm 32 cm2 Tính cạnh góc vuông tam giác vuông - Phân tích : Cần lu ý dù cạnh thay đổi diện tích tam giác vuông nửa tích hai cạnh góc vuông - Giải : Gọi cạnh góc vuông tam giác vuông x ; y (cm) ( x > ; y > ) DiƯn tÝch cđa tam giác lúc đầu xy ( cm2 ) Khi tăng cạnh góc vuông tam giác vuông lên cm; 3cm diện tích tam giác ( x + 2).( y + 3) (cm2) 1 Ta có phơng trình : ( x + 2).( y + 3) - xy =50 (1) 2 Khi giảm cạnh góc vuông tam giác vuông cm diện tích tam giác ( x 2).( y 2) (cm2) 1 Ta có phơng trình : xy - ( x − 2).( y − 2) = 32 (2) 2 Tõ (1) vµ (2) ta cã hệ phơng trình : 1 ( x + 2)( y + 3) − xy = 50 2 1 xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 2 (1) (2) Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 17 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin 3x + 2y = 94 x + y = 34 Giải hệ ta đợc x = 26 ; y = ( t/m điều kiện ) Vậy : cạnh góc vuông tam giác vuông 26 cm cm Bài toán : Cho tam giác vuông ABC ( A = 900 )có cạnh AB = cm ; AC = cm M điểm AB Qua M kẻ đờng thẳng song song với AC , BC chúng lần lợt cắt BC , AC P Q HÃy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD B diện tích tam giác ABC - Phân tích:: M AB.AC SMNCP = AM.NC - Giải : Gọi độ dài AM lµ x (cm) ( < x < ) P Chó ý : SABC = A N C ¸p dụng định lý Ta lét tam giác ABC với MN // BC ta cã : AM AN X AN 3x = ⇒ = ⇒ AN = (cm) AB AC 3x (cm) 3x SMNCP =AM.NC = x.(6 ) (cm2) 1 SABC = AB.AC = 6.8 = 24 (cm2) 2 3x Theo bµi ta có phơng trình : x.(6 ) = 24 x2 – 8x + 12 =  NC = AC – AN = - x1 = ; x2 = ( t/m ®iỊu kiƯn ) Vậy : Điểm M cách A cm cm * Tóm lại : loại toán liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ đợc tính chất hình vào toán Nếu tốt nên cho học sinh vẽ hình minh họa dựa hình vẽ để phân tích kiện mà đầu cho vii dạng toán có nội dung vật lí ; hóa học Bài toán : Dùng nhiệt lợng , nhiệt lợng 168 KJ để đun nóng khèi níc kÐm kg , th× khèi nớc nhỏ có nhiệt độ lớn khối nớc lớn 20C Tính xem khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm độ Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 18 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Phân tích : Cần cho häc sinh hiĨu kÜ vỊ kiÕn thøc vËt lÝ đà học cần sử dụng công thức tính nhiƯt lỵng Q = Cm.( t2 – t1 ) ; t2 t1 nhiệt độ đợc tăng thêm Q => m = C(t2 t1 ) Cần nhớ : nhiệt dung riêng nớc C = 4,2 KJ / kg.độ - Giải : Gỉa sử khối nớc nhỏ đợc đun nóng thêm x độ ( x > ) Q 168 kg Nh vËy khèi lỵng cđa khèi níc nhá lµ : m = = C(t2 t1 ) 4,2 x Vì khối nớc lớn đợc đun nóng khối nớc nhỏ 20C nên khối lợng khối nớc 168 kg lớn : 4,2( x − 2) 168 168 V× hai khèi níc kg nên ta có phơng trình : +1= 4,2x 4,2( x 2) Giải phơng trình ta ®ỵc x1 = 10 ( t/m ®iỊu kiƯn ) x2 = - ( lo¹i ) VËy :khèi níc nhá đợc đun nóng thêm 100C Bài toán :Có loại dung dịch chứa loại a xít : lo¹i chøa 30% a xÝt, lo¹i chøa 5% a xÝt Muèn cã 50 g dung dÞch a xít 10% cần pha trộn lẫn g loại - Phân tích : Cần ý công thức C% = mchat tan 100% mdungdich - Gi¶i : Gäi lợng dung dịch axit 30% cần đổ x (g) lợng dung dịch axit 5% cần đổ y(g) ( < x < 50 ; < y < 50 ) Ta có phơng trình : x + y = 50 (1) Sè g a xÝt nguyªn chÊt cã x g dung dịch a xít 30% x.30% (g) Sè g a xÝt nguyªn chÊt cã y g dung dịch a xít 5% y.5% (g) Số g a xít nguyên chất có trong50 g dung dịch a xít 10% 50.10% (g) Ta có phơng trình : x.30% + y.5% = 50.10% 30x +5y = 500 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phơng tr×nh : x + y = 50 (1) 30x +5y = 500 (2) Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 19 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Giải hệ phơng trình ta đợc x = 10 ; y = 40 ( t/m điều kiện ) Vậy : cần đổ 10 g dung dịch a xít 30% 40 g dung dịch a xít 5% Tóm lại : Trong loại toán có nội dung liên quan đến vật lí ; hóa học học sinh cần nắm vững kiến thức vật lí ; hóa học có liên quan từ áp dụng để thiết lập phơng trình theo yêu cầu VIII Dạng toán xác định hệ số đa thức Bài toán : Xác định giá trị m để đa thức: f(x) = x4 + 2mx3 4mx + bình phơng đa thức khác - Phân tích: Nếu f(x) = g(x)2 g(x) phải đa thức bậc hai - Giải: Đa thức f(x) = x4 + 2mx3 4mx + bình phơng đa thức g(x) ®a thøc g(x) cã d¹ng: g(x) = x2 + ax + b Ta phải xác định m để có đồng nhÊt thøc: x4 + 2mx3 – 4mx + = (x2 + ax + b)2 x4 + 2mx3 – 4mx + = x4 + 2ax3 + (a2 + 2b)x2 + 2abx +b2 Ta có đồng thức vµ chØ khi: 2a = 2m a= m a + 2b = o  a2 = -2b 2ab = -4m ab = -2m b =4 b = b = -2 Giá trị b = làm cho a2 = -2b = - < nªn lo¹i, ta cã a=m a2 = -2b ab = - 2m b=-2  a=m a2 = b=-2 m=2 a=2 a=m b = -2 a = hc a = -2  m = -2 b = -2 a = -2 b = -2 NÕu m = (a = 2; b = -2) th× f(x) = x + 4x – 8x + =(x2 + 2x - 2)2 NÕu m = -2 ( a = -2; b = -2) th× f(x) = x4 - 4x3 + 8x + =(x2 - 2x - 2)2 Bài toán 1: Xác định đa thức f(x) biết rằng: + f(x) chia cho x + th× d + f(x) chia cho x – th× d + f(x) chia cho (x + 3)(x 4) dợc thơng 3x d Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 20 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Phân tích: Vì f(x) chia cho đa thức bậc hai có thơng 3x nên f(x) có bậc đa thức d có bậc - Giải: Khi chia đa thức f(x) cho ®a thøc bËc hai (x + 3)(x – 4) đa thức d phải bậc nhất cã d¹ng ax + b Ta cã: f(x) = (x + 3)(x – 4).3x + ax + b (*) + Vì f(x) chia cho x + d nên f(-3) = + V× f(x) chia cho x – d nên f(4) = Lần lợt thay x = -3; x = vµo (*) ta cã hệ phơng trình: - 3a + b = a=1 4a + b = b=4 Đa thức phải xác định : f(x) = (x + 3)(x 4).3x + x + = 3x3 – 3x2 -35x + * Tóm lại : Đối với dạng tập xác định hệ số đa thức học sinh cần phải nắm vững kiến thức đa thức tính chất đồng nhat thức, từ tìm mối quan hệ hệ số để lập đợc hệ phơng trình Ix dạng toán có chứa tham số Bài toán : Một hình tròn có diện tích S = 3,14 R2 với R bán kính a, Khi R tăng lần S tăng hay giảm lần Khi R giảm lần S tăng hay giảm lần b, Khi S tăng lần R tăng hay giảm lần Khi S giảm 16 lần R tăng hay giảm lần - Phân tích : Trong toán học sinh phải xác định đợc mối tơng quan tỷ lệ độ dài bán kính đờng kính Độ tăng diện tích bình phơng độ tăng bán kính ngợc lại - Giải : Gọi R = a S = 3,14 a2 a, Nếu R tăng lần R1 = 2R = 2a => S1 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14.a2 = 4.S => DiÖn tÝch tăng lần Tơng tự : R giảm lần diện tích giảm lần b, Nếu S giảm 16 lần S1 = 1 S => 3,14.R12 = 3.14.R2 =>R12 = R2 16 16 16 => R1 = R Vậy bán kính giảm lần Tơng tự : S tăng lần R tăng lần Bài toán : Một « t« ®i tõ A ®Õn B Cïng lóc ®ã « t« thø ®i tõ B ®Õn A với vận tốc Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 21 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin vận tốc ô tô thứ Sau h chúng gặp Hỏi ô tô quÃng đờng AB mÊt bao l©u - Ph©n tÝch : Khi ô tô gặp tổng quÃng đờng mà chúng đợc = quÃng đờng AB Trong toán quÃng ®êng AB cha biÕt ;ta cã thĨ coi AB lµ tham số tìm cách biểu diễn đại lợng lại theo AB - Giải : Gọi thời gian ô tô thứ hết quÃng đờng AB lµ x (h) ( x > ) Ta có : vận tốc ô tô thứ vận tốc ô tô thứ hai Mỗi ô tô ®i ®ỵc AB ( km / h) x AB AB = (km/h) x 3x AB AB + ( km ) x 3x Sau h hai ô tô gặp , ta có phơng trình : x ( + AB AB + = AB x 3x ) = x = (t/m ®iỊu kiƯn ) 3x Vậy thời gian ô tô thứ hết quÃng đờng AB h AB AB = (km / h) VËn tèc « t« thứ 25 3.8 Thời gian ô tô thứ hết quÃng đờng AB AB : AB 25 = = 12 (h) 25 2 X Một số toán khác Bài toán 1: Ba ngời bạn An, Bình, Châu ba ngời vợ Lan, Mai Nga buổi nãi chun vui hä cã nh÷ng nhËn xÐt vỊ ti tác nh sau: - Châu nói: Tuổi sáu 151 - An nói: Ngời chồng vợ tuổi -Bình nói: Tổng số tuổi Nga 52 - Nga nói: Tổng số tuổi Châu 48 Lan nói: Tôi ngời vợ trẻ Dựa vào nhận xét trên, em hÃy lập giải phơng trình kết hợp với suy luận để xác địnhtuổi ngời cho biết vợ ai? - Phân tích: Trong toán học sinh cần phải xác định số tuổi ngời sau xác định vợ Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 22 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin - Giải: Tổng số tuổi ba ngời vợ là: (151 15) : = 68 Tỉng sè ti cđa ba ngêi chång lµ: 151 – 68 = 83 Dùa vµo lêi nãi cđa Nga vµ Bình, ta chọn x tuổi Nga(x số nguyên dơng, x < 48) Suy ra: - Tuổi Bình là: 52 x - Tuổi Châu là: 48 x Vì ngời chồng vợ tuổi, nên tổng số tuổi cặp vợ chồng số lẻ, Nga vợ Bình hay Châu Vậy Nga vợ An - Tuổi An là: x + Vì tổng số tuổi ba ngời chồng 83 nên ta có phơng trình: x + + 52 x + 48 – 48 = 83 - x = -22 x = 22 + VËy ti cđa Nga lµ : 22 ti + VËy ti cđa An lµ : 22 + = 27 ti + VËy ti cđa B×nh lµ : 52 - 22 = 30 ti + VËy tuổi Châu : 48 22 = 26 tuổi Vì Lan ngời vợ trẻ nên Lan vợ Châu, và: + Tuổi Lan là: 26 -5 = 21 tuổi Suy Mai vợ Bình, và: + Tuổi Mai là: 26 = 21 ti KL: VËy Lan (21 ti) lµ vợ Châu (26 tuổi), Mai (25 tuổi) vợ Bình (30 tuổi) Nga (22 tuổi) vợ An (27 tuổi) Bài toán 2: Một cánh đồng cỏ dày nh nhau, mọc cao nh toàn cánh đồng suốt thời gian bò ăn cỏ cánh đồng Biết bò ăn hết cỏ cánh đồng tuần, bò ăn hết cỏ cánh đồng tuần Hỏi bò ăn hết cỏ cánh đồng tuần?( Giả thiết bò ăn số cỏ nh nhau) - Phân tích: + Bài toán khó chỗ suốt thời gian bò ăn cỏ, cỏ mọc cánh đồng + Học sinh cần biết cách biểu diễn số cỏ ăn tuần bò theo ẩn đà chọn Đồng thời học sinh cần phải biết quy ớc khối lợng cỏ có sẵn ban đầu đơn vị - Giải: Gọi khối lợng cỏ có sẵn cánh đồng trớc bò ăn 1(đơn vị khối lợng quy ớc) Khối lợng cỏ mọc thêm cánh đồng tuần y(với đơn vị khối lợng nh trên) Gọi số bò phải tìm theo dầu x (con)(x nguyên dơng) Theo đề ta có: 1+2y 18 1+4y bò ăn tuần hết + 4y, bò tuần ăn hết 24 1+6 y x bò ăn tuần hết + 6y, bò tuần ăn hết 6x bò ăn tuần hết 1+ 2y, bò tuần ăn hết Đề tài nghiên cøu khoa häc vỊ thùc nghiƯm s ph¹m 23 Trêng đai học s phạm hà nội khoa toán tin 1 + y + y  18 = 24 Ta có hệ phơng trình: + y = + y  24 6x Phơng trình (1) cho ta y = (1) ( 2) Thay vào phơng trình (2) ta đợc x = (thoả mÃn điều kiện) Vậy bò ăn hết cỏ cánh đồng tuần * Tóm lại: Các toán phần toán khó, đòi hỏi học sinh cần phảI có t nhạy bén khả sâu chuỗi kiện toán Đồng thời phải biết suy luận lôgíc giải đợc kết luận chơng Trên dạng toán thờng gặp chơng trình THCS lớp Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia thành dạng nhỏ cho dạng Việc chia dạng chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại , nhng chung sở bớc giải Giải toán cách lập phơng trình , hệ phơng trình Mỗi dạng , chọn số toán điển hình có tính chất giới thiệu hớng dẫn em việc xây dựng phơng trình theo loại : - Bài toán đa phơng trình bậc ẩn - Bài toán đa phơng trình bậc hai ẩn - Bài toán đa hệ phơng trình Đó loại phơng trình ( hệ phơng trình ) đà đợc học làm quen với cách giải THCS Với ví dụ ý thiên hớng dẫn em cách giải phơng trình; hệ phơng trình mà chủ yếu gợi ý cho em xây dựng đợc phơng trình ; hệ phơng trình từ toán thực tế để từ giúp em dễ dàng việc nhận dạng giải toán thực tế cách lập phơng trình ; hệ phơng trình Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 24 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Chơng iv : Phần dạy thực nghiệm Tiết 63: Bài soạn: Giải toán cách lập phơng trình I Mục tiêu Giúp học sinh nắm vững yêu cầu giải toán quy tắc: giải toán cách lập phơng trình dựa sở bớc giai đoạn giải loại toán Rèn luyện kỹ biểu diễn số liệu đà biết từ dạng văn thành biểu thức đại số xây dựng đợc phơng trình Rèn cho học sinh có thói quen tìm thòi cách giải hay kỹ phân biệt đợc dạng toán II Chuẩn bị - Giáo viên: Giáo ¸n, m¸y chiÕu, bót d¹, giÊy - häc sinh: + Học kỹ bớc giải toán cách lập phơng trình + Chuẩn bị tập: 47, 49, 52 (trang 59, 60 – SGK) III TiÕn tr×nh lên lớp A Tổ chức: ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B Tổ chức hoạt động dạy học Hoạt động 1: Kiểm tra cũ Giáo viên Học sinh ? Quy tắc giải toán cách lập ph- Bớc 1: Chọn ẩn xác định điều kiện ơng trình ẩn Bớc 2: Lập phơng trình Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 25 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin + Giáo viên gọi học sinh lên b¶ng tr¶ lêi + Gäi mét häc sinh nhËn xÐt + Giáo viên hệ thống lại giai đoạn giải toán cách lập phơng trình - Biểu thị đại lợng cha biết qua ẩn đại lợng đà biết - Dựa mối liên hệ đại lợng để lập phơng trình Bớc 3: Giải phơng trình Bớc 4: chọn kết thích hợp trả lời Hoạt động 2: Bài Giáo viên Học sinh - Giáo viên dùng máy chiếu đa đầu bµi - Bµi 47 ( trang 59 – SGK) cđa 47 (trang 59 SGK) QuÃng đờng: 30km - Yêu cầu học sinh đọc tóm tắt đầu Bác Hiệp, cô Liên khởi hành lúc vào từ làng lên tỉnh - Giáo viên cho học sinh nhắc lại mối liên Vận tốc xe bác Hiệp > vận tốc xe cô Liên: hệ đại lợng: vận tốc, quÃng đ- km/h ờng, thời gian Bác Hiệp đến tỉnh trớc cô Liên 0,5 - Giáo viên gợi ý: Trong toán Tính vận tốc xe ngời? đại lợng đà biết, đại lợng phải Bài giải tìm? ? HÃy chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn Gọi vận tốc xe cô Liên x (km/h), (x>0) (học sinh có nhiều cách chọn ẩn khác nhau, giáo viên cần lu ý cho học sinh điều kiện ẩn tơng ứng với cách chọn; chẳng hạn: Nếu gọi vận tốc xe Bác Hiệp x (km/h) điều kiện là: x>3) Khi vận tốc xe bác Hiệp là: x + (km/h) Thời gian bác Hiệp từ làng lên tỉnh là: ? HÃy biểu diễn đại lợng lại 30 (h) toán theo ẩn (Vận tốc xe bác Hiệp, x thời gian ngời đi) Thời gian cô Liên từ làng lên tỉnh là: 30 (h) x +3 Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 26 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Do bác Hiệp đến trớc cô Liên 0,5 giờ, nên ? Dựa vào mối liên hệ để lập phơng ta có phơng trình: 30 30 = x +3 x ⇔ x + x − 180 = ⇔ x1 = −15 tr×nh x2 = 12 (t / m ) ? HÃy lập phơng trình Vậy: Vận tốc xe cô Liên 12 km/h - Giáo viên gọi học sinh lên bảng giải phơng trình ? Nghiệm phù hợp với điều kiện Vận tốc xe bác Hiệp là: 12 + = 15 (km/h) (Loại ) toán ? HÃy kết luận nghiệm - Giáo viên dùng máy chiếu đa đầu Bài 49 (trang 59 SGK) 49 (trang 59 SGK) Hai đội làm ngày xong công việc - Yêu cầu học sinh tóm tắt đầu vào Nếu hai đội làm riêng đội hoàn ? Bài toán thuộc loại toán thành công việc nhanh đội ? Nhắc lại mối liên hệ đại lợng ngày Nếu làm riêng đội làm loại toán ngày để xong việc? Giải ? Cách chọn ẩn nh Gọi thời gian đội làm xong công việc là: x (ngày), (x> 4) ? HÃy biểu diễn đại lợng lại Vì đội hoàn thành công việc lâu đội ngày nên thời gian đội làm qua ẩn xong công việc x + (ngày) Mỗi ngày đội làm đợc: (công việc) x Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 27 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Mỗi ngày đội làm đợc: (công việc) Mỗi ngày hai đội làm đợc: ? Dựa vào mối liên hệ để lập phơng + x+6 x (công việc) x+6 Do hai đội làm ngày xong trình - Giáo viên gọi học sinh lên bảng giải ph- công việc nên ta có phơng trình: ơng tr×nh 4.( 1 + )=1 x x+6 x2 – 2x – 24 = ? NghiƯm nµo phï hợp với điều kiện x = (t/m đk) toán x2 = - (loại) ? HÃy kết luận nghiệm Vậy đội làm ngày xong công việc Đội làm trong: + = 12 (ngày) xong công việc Hoạt động 3: Củng cố - Giáo viên nhắc lại bớc giải toán cách lập phơng trình - Nhắc lại mối liên hệ đại lợng toán dẫn đến lập đợc phơng trình HÃy nêu cách giải khác cho toán Hoạt động 4: Hớng dẫn nhà - Giải tập lớp theo cách khác - Làm 46, 51, 52 (trang 59, 60 – SGK) - Híng dÉn 52: + Gọi vận tốc ca nô nớc yên lặng x (km/h), (x> 3) + Vận tốc xuôi dòng = vận tốc nớc yên lặng + vận tốc dòng nớc + Vận tốc ngợc dòng = vận tốc nớc yên lặng - vận tốc Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 28 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiƯm s ph¹m 29 ... Phân tích đề bài: Tỷ sè ti anh vµ ti em b»ng 0,5 ( = /2) Từ ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em Sau năm, tuổi anh tuổi em tăng đơn vị; đó, tỷ số tuổi cđa anh vµ cđa em lµ: 0,5 + 0,1 = 0,6 Đề tài nghiên... Vận tốc ngợc dòng = vận tốc nớc yên lặng - vận tốc Đề tài nghiên cứu khoa học thực nghiệm s phạm 28 Trờng đai học s phạm hà nội khoa toán tin Đề tài nghiên cứu khoa học thùc nghiƯm s ph¹m 29 ... (con)(x nguyên dơng) Theo đề ta có: 1+2y 18 1+4y bò ăn tuần hết + 4y, bò tuần ăn hết 24 1+6 y x bò ăn tuần hết + 6y, bò tuần ăn hết 6x bò ăn tuần hết 1+ 2y, bò tuần ăn hết Đề tài nghiên cứu khoa