Gv : Phan Hữu Huy Trang Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Các kiến thức Tốn ♦ HÌNH HỌC PHẲNG LỚP 10 TỌA ĐỘ PHẲNG: r I Định lý: Cho A(x A , y A ), B(x B , y B ) , a = (a1 ,a2 ) uuu r AB = (x B − x A ,y B − y A ) ; (ngọn – gốc) uuu r AB = AB = (x B − x A )2 + (y B − y A )2 r 2 a = a1 + a2 r r II Tính chất Vectơ: Cho a = (a1 ,a2 ) , b = (b1 , b2 ) r r a =b a = b ⇔ a = b1 2 r ka = (ka1 , ka2 ) r r a ± b = (a1 ± b1;a2 ± b2 ) r r ma ± nb = (ma1 ± nb1; ma2 ± nb2 ) rr a.b = a1b1 + a2 b2 r r r u r  a = k.b a phương b ⇔ a b − a b =  2 r r rr 10 a ⊥ b ⇔ a.b = ↔ a1b1 + a2 b2 = rr rr a1b1 + a2 b2 a.b 11 cos(a; b) = r r = a b a1 + a2 b12 + b2 uuu r uuu r 12 AB = (a1 ,a2 ) , AC = (b1 , b2 ) ⇒ SABC = a1b2 − a2 b1 Dạng toán thường gặp: uuu r uuur u A, B, C thẳng hàng ⇔ ABcùng phươngAC { A,uuu C lập thành tam giác u B, r uuur ⇔ AB không phương AC uuu uuur r A,B,C,D hình bình hành ⇔ AD = BC x + xB yA + yB ; ) M trung điểm AB: M( A 2 x − kx B y A − ky B ; ) M chia AB theo tỉ số k≠1: M( A 1− k 1− k xA + xB + xC  xG = Trọng tâm G :  yA + yB + yC yG =  uuu uuu r r  AH.BC = r r Trực tâm H: Giải hệ:  uuu uuu  BH.AC = uuu r EB AB r E chân phân giác trong: uuu = − , F chaân AC EC uur u FB AB A u p.giác ngoài: uur = FC AC C F E B GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  IA = IB2 Giải hệ:  IA = IC2  ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng:  qua M(x ; y ) r Phương trình tổng quát ∆:   pvt : n = (A; B) ⇔ ∆: A(x - x ) + B(y - y ) = ⇔ ∆: Ax + By + C =  qua M(x ;y ) r  vtcp : a = (a1;a2 ) Phương trình tham soá ∆:   x = x + a1t (t ∈ R) y = y + a2 t  ⇔ ∆:   qua M(x ;y ) r  vtcp : a = (a1;a2 ) Phương trình tắc ∆:  ⇔ ∆: x - x0 y - y0 = a1 a2 II Vi trí tương đối hai đường thẳng: Cho (D1 ) : A1x + B1y + C1 = vaø (D2 ) : A x + B2 y + C2 = A1 B1 ≠ (D1 ) ∩ (D2 ) ⇔ A B2 A1 B1 C1 = ≠ (Δ1 ) // (Δ ) ⇔ A2 B2 C2 A1 B1 C1 = = (Δ1 ) ≡ (Δ ) ⇔ A2 B2 C2 III Góc hai đường thẳng: A1 A2 + B1 B2 cos ϕ = A12 + B12 A22 + B22 IV Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho (Δ) : Ax + By + C = vaø M ( x0 ; y0 ) Ax0 + By0 + C ⇒ d(M, ∆) = A2 + B Chú ý : ° Trục Ox có pttq : y = ° Trục Oy có pttq : x = ° Đường thẳng song song trùng với Oy : ax + c = ( b = ) Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO ° Đường thẳng song song trùng với Ox : by + c = ( a = ) ° Đường thẳng qua gốc tọa ñoä : ax + by = ( c = ) ° Đường thẳng cắt Ox A ( a;0 ) Oy B ( 0; b ) x y : + =1 a b ° Đường thẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k : y − y0 = k ( x − x0 ) ( a, b ≠ ) ° Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ) song song với đường thẳng ∆ : ax + by + c = coù pttq laø : a ( x − x0 ) + b ( y − y0 ) = ° Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ) vuông góc với đường thẳng ∆ : ax + by + c = có pttq : b ( x − x0 ) − a ( y − y0 ) = ° Cho (Δ) : Ax + By + C = ( d ) // (Δ) ⇒ ( d ) : Ax + By + m = ( d ) ⊥ (Δ) ⇒ ( d ) : Bx − Ay + m = ĐƯỜNG TRÒN Gv : Phan Hữu Huy Trang M ∈ ( E ) ⇔ MF1 + MF2 = 2a (a > c > 0) II Phương trình tắc: 2 x y (E) : + = ( a > b > 0) 2 a b III Hình dạng Elíp:  tâm I(a; b)  bán kính R  2 ⇔ (C): ( x − a ) + ( y − b) = R P trình tổng quát đ.tròn (C): tâm I(a; b)  2  bán kính R = a2 + b - c (ÑK: a + b − c > )  2 ⇔ (C): x + y − 2ax − 2by + c = II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Phương trình tiếp tuyến TẠI M ( x0 ; y0 ) :  qua M ( x0 ; y0 ) uu r ∆:  pvt : IM = ( x0 − a ; y0 − b )  ⇔ ∆: ( x0 − a)( x − x0 ) + ( y0 − b)( y − y0 ) = Điều kiện tiếp xúc: d ( I , ∆) = R ELÍP I Định nghóa: Cho F1 ,F2 cố định F1F2 = 2c (c > 0) ♦ ĐẠI SỐ a < • ∀ x ∈ ¡ , ax + bx + c < ⇔  ∆ < a < • ∀ x ∈ ¡ , ax + bx + c ≤ ⇔  ∆ ≤ GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Trang b B2 A1 − c − a •F1 c • F2 O A2 a x − b B1 IV Các vấn đề đặc biệt: 1.Tiêu điểm : F1 (−c; o), F2 (c; o) 2.Tiêu cự : F1 F2 = 2c 3.Đỉnh trục lớn: A1 (− a ;0), A2 (a ;0) 4.Đỉnh trục bé : B1 (0; −b), B2 (0; b) 5.Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a 6.Độ dài trục bé : B1 B2 = 2b 7.Tâm sai : e = c b > 0) vaø a b (Δ) : Ax + By + C = ⇒ (Δ) tiếp xúc (E) ⇔ A2 a + B 2b = C * Chú ý: Cho (Δ) : Ax + By + C = (d ) // (Δ) : Ax + By + C = ⇒ ( d ) : Ax + By + m = (d ) ⊥ (Δ) : Ax + By + C = ⇒ ( d ) : Bx − Ay + m = a > • ∀ x ∈ ¡ , ax + bx + c > ⇔  ∆ < a > • ∀ x ∈ ¡ , ax + bx + c ≥ ⇔  ∆ ≤ Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO Chuù yù : Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) • f ( x ) > vô nghiệm ⇔ f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ • f ( x ) ≥ vô nghieäm ⇔ f ( x ) < 0, ∀x ∈ ¡ • • f ( x ) < vô nghieäm ⇔ f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ Gv : Phan Hữu Huy Trang B ≥  A = B ⇔  A = B  A = − B  • A < B ⇔ (A – B) (A + B) < • f ( x ) ≤ vô nghiệm ⇔ f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ • Cho phương trình : ax2 + bx + c = a ≠ ° Pt có nghiệm phân biệt ⇔  ∆ > a ≠ ° Pt coù nghiệm kép ⇔  ∆ = • • a = a ≠  ° Pt vô nghiệm ⇔ b = ∨  ∆ < c ≠  A ≥ A< B ⇔  A < B B ≥ A> B ⇔  A > B A ≥  A < B ⇔ B >  A < B2  A < B • A −B • A > B ⇔ (A – B) (A + B) > ° Pt có nghiệm trái daáu ⇔ P < ∆ ≥ ° Pt có nghiệm dấu ⇔  P > A > B • A >B ⇔   A < −B  A ≥ 0( B ≥ 0) • A = B ⇔ A = B ∆ >  ° Pt có nghiệm phân biệt dương ⇔  P > S >  ∆ >  ° Pt có nghiệm phân biệt âm ⇔  P > S <  • Các công thức : A = B • A = B ⇔  A = −B • B ≥ A =B ⇔  A = B  B <   A ≥ >B ⇔  A B ≥   A > B2  LỚP 11 ♦ LƯỢNG GIÁC A.Caùc Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản: + sin α + cos2 α = 1( ∀α ∈ R )   π + tan α.cot α =  ∀α ≠ k ,k ∈ Z ÷     π + = + tan α  ∀α ≠ + kπ,k ∈ Z ÷ 2 cos α   = + cot 2α ( ∀α ≠ kπ,k ∈ Z ) sin α B Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: Cung – Góc đối nhau: −α α : +  cos ( −α ) = cos α ;  sin ( −α ) = − sin α  tan ( −α ) = − tan α ;  cot ( −α ) = − cot α Cung – Góc bù nhau: π − α α  sin ( π − α ) = sin α ;  cos ( π − α ) = − cos α  tan ( π − α ) = − tan α ;  cot ( π − α ) = − cot α GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 π − α vaø α π  π   sin  − α ÷ = cosα ;  cos  − α ÷ = sinα 2  2  π  π   tan  − α ÷ = cotα ;  cot  − α ÷ = tanα 2  2  π : π + α vaø α Cung– Góc Cung – Góc phụ nhau:  sin ( α + π ) = − sin α  cos ( α + π ) = − cos α ;  tan ( α + π ) = tan α ; cot ( α + π ) = cot α π π Cung – Goùc : + α α 2 π  π   sin  + α ÷ = cos α ;  cos  + α ÷ = − sin α 2  2  π  π   tan  + α ÷ = − cot α ;  cot  + α ÷ = − tan α 2  2  Trang Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Gv : Phan Hữu Huy Trang Trang C Công thức lượng giác CÔNG THỨC CỘNG : Với cung có số đo a, b ta coù:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb      tanx = a+ b a−b cos a + cos b = cos  ÷cos  ÷      a+ b  a−b  cos a − cos b = −2sin  ÷sin  ÷     a+ b a−b sin a + sin b = sin   ÷cos  ÷      a+ b  a−b  sin a − sin b = cos  ÷sin  ÷     sin( a ± b) π tan a ± tan b = ( a , b ≠ + kπ , k ∈ Z )  cos a.cos b sin( a + b) cot a + cot b = ( a , b ≠ kπ , k ∈ Z )  sin a.sin b − sin( a + b) cot a − cot b = ( a , b ≠ kπ , k ∈ Z )  sin a.sin b  A sin x + B cos x = A2 + B sin( x + α ) tan a − tan b + tan a.tan b tan a + tan b tan(a + b) = − tan a.tan b cota.cotb + cot(a – b) = cotb − cota cota.cotb − cot(a + b) = cotb + cota tan a − tan a  co s α =      3tan a − tan a − 3tan a cot a − 3cot a cot3a = 3cot a − tan3a = + cos a − cos 2a sin2a = − cos2a tan a = + cos2a sina.cosa = sin 2a − s in3a + 3sin a sin3 a = cos3a + cos a cos3 a = cos2a = Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t =tan ( Gsử: x ≠ π + k 2π , đặt t = tan  sinx = Với Công thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b = [ cos(a − b) + cos(a + b) ] sin a.sin b = [ cos( a − b) − cos( a + b) ] sin a.cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b) ] Các đẳng thức khác : 4.Công thức hạ bậc:  A2 + B co s( x − α ) A B ; sin α = A2 + B A2 + B = cot a -  c ot2a = cot a Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa  π + kπ , k ∈ Z )  tan(a – b) = tan2a = (x ≠ Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức nhân đôi:  sin2a = 2sina.cosa  cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – sin2a  2t 1− t2 x ) 2t 1− t2 ,  cosx = 1+ t2 1+ t2 sin x + cos x = − 2sin x.cos x sin x + cos x = − 3sin x.cos x π π   sin x + cos x = sin  x + ÷ = cos  x − ÷ 4 4   π π   sin x − cos x = sin  x − ÷ = − cos  x + ÷ 4 4   π π   cos x − sin x = − sin  x − ÷ = cos  x + ÷ 4 4   Phương trình lượng giác : x :  x = α + k2π ,k ∈ ¢ sin x = sin α ⇔   x = π − α + k2π  x = α + k2π ,k ∈ ¢ cos x = cos α ⇔   x = −α + k2π tan x = tan α ⇔ x = α + kπ, k ∈ ¢ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ, k ∈ ¢ π + kπ π tan x = ±1 ⇔ x = ± + kπ tan x = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ π cot x = ±1 ⇔ x = ± + kπ π cot x = ⇔ cos x = ⇔ x = + kπ * TH đặc biệt: cos x = ⇔ x = π sin x = ⇔ x = + k2π π sin x = −1 ⇔ x = − + k2π sin x = ⇔ x = kπ cos x = ⇔ x = k2π cos x = −1 ⇔ x = π + k2π CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: (kx)' = k α α−1 (x )' = α.x ( x ) ' = x → (ku)' = k.u' → (uα )' = α.u'.u → ( u) ' = ' 1  ÷ = − x x (sin x)' = cos x (cos x)' = − sin x u' u α −1 ' → → → u' → (tan u)' = cos x cos2 u −1 − u' (cot x)' = → (cot u)' = sin x sin u (ex )' = e x → (e u )' = u'.e u u' 10 (ln x)' = → (ln u)' = x u u' 11 (loga x)’ = → (loga u)’ = x ln a u ln a x x 12 (a )' = a ln a u u → (a )' = u'.a ln a (tan x)' = u' 1  u ÷ = − u2   (sin u)' = u'.c os u (cos u)' = − u'.sin u ♦ HÌNH HỌC ƠN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP – 10 A Hệ thức lượng tam giác vuông : cho ∆ABC vuông A ta có : a) Định lý Pitago : BC = AB + AC d) 1 = + 2 AH AB AC b c b) BA2 = BH BC ; CA2 = CH CB c) AB AC = BC AH B M H a AH2 = HB HC BC = 2AM b c b c g) sin B = , cosB = , tan B = , cot B = a a c b e) f) h) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = b b = , b = c tanB = c.cot C sin B cos C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 a.b.c = p.r = S = a.ha = a.b sin C = 4R Đặc biệt :* ∆ABC vuông A : S= p.( p − a )( p − b)( p − c) với p = AB AC b/ Diện tích hình vng : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng ,* ∆ABC cạnh a: S= a +b+c a2 C (chéo dài x chéo ngắn) d/ Diện tích hình thang : S = (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình trịn : S = π R d/ Diên tích hình thoi : S = ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11 A.QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung a / / (P) ⇔ a ∩ (P) = ∅ (P) II Các định lý: d ĐL1:Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P)  d ⊄ (P)   d / /a ⇒ d / /(P)  a ⊂ (P)  ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a  a / /(P)  ⇒ d / /a  a ⊂ (Q)  (P) ∩ (Q) = d  a (P) (Q) a d (P) ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng  (P) ∩ (Q) = d  ⇒ d / /a  (P) / /a  (Q) / /a  d a Q P §2.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung II.Các định lý: (P) / /(Q) ⇔ (P) ∩ (Q) = ∅ P Q ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với  a,b ⊂ (P)  ⇒ (P) / /(Q) a ∩ b = I  a / /(Q),b / /(Q)  ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng (P) / /(Q) ⇒ a / /(Q)  a ⊂ (P) P a b I Q a P Q R ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song (P) / /(Q)  (R) ∩ (P) = a ⇒ a / / b (R) ∩ (Q) = b  a P b Q B.QUAN HỆ VNG GĨC §1.ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a a ⊥ mp(P) ⇔ a ⊥ c, ∀c ⊂ (P) c P II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P)  d ⊥ a ,d ⊥ b   a ,b ⊂ mp(P) ⇒ d ⊥ mp(P)  a,b caét  d b a P a a ⊥ mp(P), b ⊂ mp(P) b ⊥ a ⇔ b ⊥ a' P a' §2.HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: b ĐL1:Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) Q a  a ⊥ mp(P) ⇒ mp(Q) ⊥ mp(P)   a ⊂ mp(Q) P P (P) ⊥ (Q)  (P) ∩ (Q) = d ⇒ a ⊥ (Q) a ⊂ (P),a ⊥ d  a Q d ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba P (P) ⊥ (Q)  A ∈(P) ⇒a ⊂ (P)  A ∈a  a ⊥ (Q)  a A Q (P) ∩ (Q) = a  ⇒ a ⊥ (R) (P) ⊥ (R) (Q) ⊥ (R)  P a R §3.KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d((P);(Q)) = OH O O a H P a O H P P Q O H H Q 4.Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng d(a;b) = AB A a b B §4.GĨC Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b a a' b' b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ mp(P) Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 a a' P Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm b a Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) a b Q P S S' = Scos ϕ ϕ góc hai mặt phẳng (P), (P’) A C ϕ B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diện tích đáy với  h : chiều cao h B a) Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a,b,c ba kích thước b) Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh a c b a a a  Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) y y • O I • O x a>0 y y I I I • • a0 a0 y y x O a>0 a , b > , α , β ∈ R , m ∈ Z , n ∈ N* 1) a m n = 5) n 9) ( a :b ) 12) n am = n α a ( a) n ; m 2) a ; 6) m = a α : bα ; 10) ab = n a n b ; 13) 14) a > aα > a β −α a = α 3)     a b aα a β = aα + β (a ) α n β 7) α b =  a ⇔ α > β n ; n.k a m k = n n k a = ; 8) 4) aα : a β = a α − β = a α β ; 11) a:b = n a : −α ( ab ) nk α am b ; 15) < a < a α > aβ ⇔ α < β α α α α 16) α > vaø a > b > a > b ; 17) α < a > b > a < b Vấn đề II : Lôgarit Kiến thức cần nhớ Cho a > , b > , a ≠ , u > , v > c log b 1) a = b ⇔ c = log a b ; 2) a a = b u v ; 3) log a = 4) log a a = α 5) log a (uv ) = log a u + log a v ; 6) log a ( ) = log a u − log a v ; 7) log a b = α log a b a = a α b α (1) 8) log a d 2n = 2n log a d ; 9) log a α b = β log a b ; 10) log aα b β = log a b α α log c b hay log c a log a b = log c b ; 12) a log b c = c log b a log c a hay log a b log b a = ; 14) log10 x = lg x = log x ; 15) log e x = ln x 13) log a b = log b a 16) a > log a u > log a v ⇔ u > v ; 17) < a < log a u > log a v ⇔ u < v 11) log a b = Kiến thức cần nhớ Vấn đề III : Hàm số Mũ hàm số Lôgarit 1) Cho a > , a ≠ , x ∈ R Hàm số mũ y = ax * Tập xác định R * Tập giá trị ( , + ∞ ) ( tức ax > với x ) * Khi a > hàm số mũ luôn đồng biến lim a x = ; lim a x = + ∞ x→ − ∞ * Chú ý : ) ln1 = ; lne = ) lnu > ⇔ u > ) lnu < ⇔ < u < ) lim x→0 ex − = x→0 x x→ + ∞ ) lim * Khi < a < hàm số mũ luôn nghịch biến lim a x = + ∞ ; lim a x = x→ − ∞ ( ) ln(1 + x ) = x x→ + ∞ ( ) / / * Đạo hàm e x = e x ; eu = u / eu 2) Cho a > , a ≠ , x ∈ R+ Hàm số lôgarit log a x có : * Tập xác định ( , + ∞ ) y= * Tập giá trị R * Khi a > hàm số lôgarit luôn đồng biến lim+ log a x = − ∞ ; lim log a x = + ∞ x→ + ∞ x→ * Khi < a < hàm số lôgarit luôn nghịch biến lim log a x = + ∞ ; x→ 0+ lim log a x = − ∞ * Đạo hàm 1 / ; ( ln x ) = x x / / ( ln u ) / = u ; ( ln u ) / = u u u ( log a x ) / = ; ( log a x ) / = x ln a x ln a / / ( log a u ) / = u ; ( log a u ) / = u u ln a u ln a ( ln x ) / = x→ + ∞ Vấn đề IV : Phương trình Mũ Lôgarit Kiến thức cần nhớ A) PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Phương trình mũ ax = b , ( < a ≠ ) Neáu b ≤ , phương trình vô nghiệm Nếu b > , phương trình có nghiệm x = log a b 2) Phương trình mũ đơn giản a) Đưa phương trình mũ cách áp dụng phương pháp : * Đưa số * Đặt ẩn phụ *Lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hoá ) b) Phương trình giải phương pháp đồ thị c) Phương trình giải cách sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số mũ B) PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1) Phương trình lôgarit : log a x = b , ( < a ≠ ) Phương trình có nghiệm x = a b 2) Phương trình logarit đơn giản a) Đưa phương trình logarit cách áp dụng phương pháp : * Đưa số * Đặt ẩn phụ * Mũ hoá hai vế b) Phương trình giải phương pháp đồ thị c) Phương trình giải cách sử dụng tính chất đồng biến, nghịch biến hàm số lôgarit Vấn đề V : Bất Phương trình Mũ , bất phương trình Lôgarit –Hệ phương trình , hệ bất phương trình Mũ Logarit Kiến thức cần nhớ A) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1) Bất phương trình mũ Dạng : ax > b , ( < a ≠ ) Nếu b ≤ , bất phương trình có nghiệm x tùy ý Nếu b > a > , bất phương trình nghiệm với x > log a b Nếu b > < a < , bất phương trình nghiệm với x < log a b Dạng : ax ≥ b , ( < a ≠ ) Nếu b ≤ , bất phương trình có nghiệm x tùy ý Nếu b > a > , bất phương trình nghiệm với x ≥ log a b Nếu b > < a < , bất phương trình nghiệm với x ≤ log a b Dạng : ax < b , ( < a ≠ ) Nếu b ≤ , bất phương trình vô nghiệm Nếu b > a > , bất phương trình nghiệm với x < log a b Nếu b > < a < , bất phương trình nghiệm với x > log a b Dạng : ax ≤ b , ( < a ≠ ) Nếu b ≤ , bất phương trình vô nghiệm Nếu b > a > , bất phương trình nghiệm với x ≤ log a b Nếu b > < a < , bất phương trình nghiệm với x ≥ log a b B) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 1) Bất phương trình lôgarit log a x > b , ( < a ≠ ) Dạng : Nếu a > bất phương trình có nghiệm x > a b Nếu < a < bất phương trình có nghiệm < x < a b log a x ≥ b , ( < a ≠ ) Daïng : Nếu a > bất phương trình có nghiệm x ≥ a b Nếu < a < bất phương trình có nghiệm < x ≤ a b log a x < b , ( < a ≠ ) Dạng : Nếu a > bất ph/tr có nghiệm < x < a b Neáu < a < bất ph/tr có nghiệm x > a b log a x ≤ b , ( < a ≠ ) Dạng : Nếu a > bất ph/tr có nghiệm < x ≤ a b Nếu < a < bất ph/tr có nghieäm x ≥ a b CHUYÊN ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN §1 NGUN HÀM 1) Định nghĩa : Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) ( a, b ) F ′ ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a, b ) Ghi nhớ : Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) hàm số có dạng F ( x ) + C ( C số) nguyên hàm f ( x ) hàm số có dạng F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) Ta gọi F ( x ) + C họ nguyên hàm hay tích phân bất định hàm số f ( x ) ký hiệu ∫ f ( x ) dx Như vậy: ∫ f ( x ) dx = F ( x ) +C 2) Tính chất: ∫kf ( x ) dx =k ∫ f ( x ) dx; ( k ≠ ) a.TC1: b.TC2: c.TC3:   ∫ f ( x ) ±g ( x ) dx =∫ f ( x ) dx ±∫g ( x ) dx Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C 3) Bảng nguyên hàm: ∫ 0dx = C ∫ dx = x + C x α+1 + C (α ≠ − 1) α+ 1 ∫ kx + b dx = k ln kx + b + C (x ≠ 0) dx ∫ x2 = − x + C dx ∫ x =2 x +C kx + b kx + b + C ∫ e + dx = k e a kx + b a kx + b dx = + C (0< a≠1) ∫ k.ln a sin(kx + b) +C ∫ cos(kx + b)dx = k cos (kx + b) +C ∫ sin(kx + b)dx = − k tan(kx + b) ∫ cos2 (kx + b) dx = k + C cot(kx + b) ∫ sin (kx + b) dx = − k + C α ∫ x dx = ∫ 0du = C ∫ du = u + u α+1 + C (α ≠ − 1) α+ α ∫ u du = ∫ u du = ln u du ∫u ∫ + C (u ≠ 0) +C u =− C du =2 u +C u ∫e u du = e u + C au ∫ a du = ln a + C u ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin udu = − cos u + C ∫ cos u ∫ sin u du = tan u + C du = − cot u + C Ghi nhớ: - Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm hàm số thành phần - Nguyên hàm tích (thương) nhiều hàm số khơng tích (thương) nguyên hàm hàm số thành phần - Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm ngun hàm §2 TÍCH PHÂN b 1) ∫ f ( x ) dx = F ( x ) Định nghĩa: a 2) b a = F ( b) − F ( a) Tính chất: b a a b ∫ f ( x ) dx = −∫ f ( x ) dx a TC1: b b a a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx (k ≠ 0) b TC2: b b b a a a   ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx c TC3: b c b a a c ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx d TC4: b Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] ∫ f ( x ) dx ≥ e TC5: a Nếu f ( x ) ≥ g ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] f TC6: b b ∫ f ( x ) dx ≥ ∫ g ( x ) dx a a b Nếu m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀ x ∈ [ a; b ] m ( b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b − a ) g TC7: a  Ghi nhớ: - Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hiệu hàm số biết nguyên hàm - Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu - Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ §3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ β 1) Công thức tổng quát: b   ∫ f ϕ ( x ) .ϕ′( x ) dx = ∫ f ( t ) dt α a Công thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f ϕ ( x )  (hàm số theo biến ϕ ( x ) ) với đạo hàm hàm ϕ ( x ) Áp dụng công thức vào trường hợp   thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau: β a) TH1: → ∫ f ( sin x ) cos xdx α Đặt t = sin x → t = p sin x + q ( p, q ∈ R ) → t = β b) TH2: n p sin x + q biểu thức p sin x + q nằm ∫ f ( cos x ) sin xdx α n Đặt t = cos x → → t = p cos x + q ( p, q ∈ R ) → t = n p cos x + q biểu thức p cos x + q nằm β n n TH3: ∫ f ( ln x ) x dx c) α Đặt t = ln x → → t = p ln x + q ( p, q ∈ R ) → t = n p ln x + q biểu thức p ln x + q nằm dấu β TH4: ∫ f ( tan x ) cos2 x dx d) α Đặt t = tan x → → t = p tan x + q ( p, q ∈ R ) → t = n β p tan x + q biểu thức p tan x + q nằm dấu n TH5: ∫ f ( cotx ) sin x dx e) α Đặt t = cotx → → t = pcotx + q ( p, q ∈ R ) → t = n pcotx + q biểu thức pcotx + q nằm n §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN 1) Công thức tổng quát: b b b b ∫ uv′dx = ( uv ) a − ∫ vu′dx a hay a 2) b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu a (1) a Các bước thực hiện: • Bước 1: • Bước 2: • Bước 3:  u = u( x ) du = u′( x )dx (Đạo hàm ) Ñaët  ⇒ dv = v′( x )dx  v = v( x ) (nguyên hàm) Thế vào cơng thức (1) b b Tính ( uv ) a suy nghĩ tìm cách tính tiếp ∫ vdu a (Tích phân tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy tốn cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần: Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau: b Dạng 1: ∫ p ( x ) q ( x ) dx a) a Trong p ( x ) hàm số đa thức, q ( x ) hàm sin α ( x ) cosα ( x ) →  u = p( x) Trong trường hợp ta đặt:  dv = q ( x ) dx b  Ghi nhớ : Trong trường hợp đặt ngược lại vào cơng thức ta ∫ vdu a b phức tạp ∫ udv ban đầu a b b) Dạng 2: ∫ p ( x ) q ( x ) dx a Trong p ( x ) hàm số đa thức, q ( x ) hàm logarit →  u = q( x ) dv = p ( x ) dx Trong trường hợp ta đặt:  Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv Chú ý : Tích phân hàm hữu tỉ : Nếu mẫu bậc lấy tử chia mẫu Nếu mẫu bậc hai có nghiệm kép đưa đẳng thức Nếu mẫu bậc hai có hai nghiệm đồng thức Nếu mẫu bậc hai vơ nghiệm đổi biến số Tích phân hàm lương giác : - − cos2x + cos2x   ;cos x = ÷ Nếu sinx,cosx có số mũ chẳn hạ bậc  sin x = 2 2   Nếu sinx,cosx có số mũ lẻ tách đặt t Nếu có tan2x cot2x thêm bớt Nếu có tanx,cotx đưa sinx,cosx đặt t Nếu có sina.cosb,sina.sinb,cosa.cosb dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG 1) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: ( C1 ) : y = f ( x ) ; ( C2 ) : y = g ( x ) ; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) b a) Công thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (2) a b) • Các bước thực hiện: Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (PTHĐGĐ ( C1 ) ( C2 ) ) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) • Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g ( x ) , sau xét dấu hiệu • Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ c) Chú ý: Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ, ( C1 ) nằm ( C2 ) hiệu f ( x ) − g ( x ) ≥ , ( C1 ) nằm ( C2 ) hiệu f ( x ) − g ( x ) ≤ 2) • Diện tích hình phẳng giới hạn đường khơng rơi vào trường hợp 1: Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát) • Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức (2) • Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ  y = f(x)(C1)   y = g(x)(C2 ) Ghi nhớ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn :  x = a  x = b(a < b)  - Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (C2) - Giải pt tìm nghiệm thuộc [a,b] (giả sử có nghiệm c∈ [a,b] ) c b c b a c a c - Khi diện tích cần tìm : S = ∫ f(x) − g(x) dx + ∫ f(x) − g(x) dx = ∫ [f(x)-g(x)]dx + ∫ [f(x)-g(x)]dx 3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong hai đường thẳng x = a; x = b thiếu hai) b a) Công thức: V = π ∫  f ( x )  dx   (3) a b) Các bước thực hiện: • Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề cho thiếu hai giải phương trình f ( x ) = (PTHĐGĐ ( C ) trục Ox) để tìm • Bước 2: Áp dụng công thức (3) Ghi nhớ : Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường :  y = f(x)  b y = xoay quanh Ox → Thể tích cần tìm : V = π∫ [f(x)] dx  a x = a  x = b(a < b)   y = f(x)(C1)  b  y = g(x)(C2 ) 2 xoay quanh Ox → Thể tích cần tìm : V = π ∫  f (x) − g (x)  dx    a x = a  x = b(a < b)   x = g(y)  b x = xoay quanh Oy → Thể tích cần tìm : V = π ∫ [g(y)] dy  a y = a  y = b(a < b)  Chú ý :Khi tính thể tích, đề cho đủ cận khơng cần xét phương trình hồnh độ giao điểm CHUN ĐỀ 4: SỐ PHỨC Vấn đề I : Số phức Biểu diễn hình học số phức Kiến thức cần nhớ * Số phức z = a + ib có phần thực a ; phần ảo b * a + ib = c + id ⇔ a = c vaø b = d * Số phức z = a + ib biểu diễn điểm M(a,b) mặt phẳng toạ độ uuuu r * Độ dài OM môđun số phức z , tức z = OM = a + b * Số phức liên hợp z = a + ib z = a – ib * Dạng lượng giác số phức : Cho số phức z = a + ib ( với a2 + b2 ≠ )  a  a + b2 a2 + b2   Thì z = + i   a2 + b2   b = r.( cos ϕ + i.sin ϕ ) ( r gọi môđun , ϕ gọi acgumen z ) Vấn đề II : Cộng , trừ nhân, chia số phức Kiến thức cần nhớ * Cho z = a + ib vaø z/ = c + id , ta coù 1) z + z/ = ( a + c ) + ( b + d ).i 2) z – z/ = ( a – c ) + ( b – d ).i 3) z.z/ = ( ac – bd ) + ( ad + bc ).i z ac + bd ad − bc = + i 4) / z a +b a + b2 a + ib * Chú ý : để tính ta nhân tử mẫu với số phức liên hiệp a + ib c + id Vấn đề III : Phương trình bậc hai với hệ số thực, hệ số phức Kiến thức cần nhớ * Các bậc hai số thực a < ± i a * Xét phương trình bậc hai : ax + bx + c = , với a, b, c ∈ R , a ≠ Đặt ∆ = b − 4ac b • Nếu ∆ = pt có nghiệm kép ( thực ) x = − 2a −b± ∆ • Nếu ∆ > pt có nghiệm thực x1,2 = 2a • Nếu ∆ < pt có nghiệm phức x1,2 = −b±i ∆ 2a CHÚ Ý : Xét phương trình bậc hai : Az + Bz + C = , với A,B,C ∈ £ Đặt ∆ = B2 – 4AC gọi ∂ bậc hai ∆ Khi phương trình (1) có hai nghiệm x1,2 = CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN §1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Tọa độ véctơ: Trong không gian với hệ tọa độ Oyz r r r r r 1) a = (a1 ; a ; a ) ⇔ a = a i + a j + a k r r r 2) i = (1,0,0) ; j = (0,1,0) ; k = (0,0,1) r r 3) Cho a = (a1 ; a ; a ) b = (b1 ; b ; b3 ) ta có : • • −B ± ∂ 2A a1 = b1 r r  a = b ⇔ a = b a = b  r r a ±b =(a ±b1 ; a ±b ; a ±b ) r • k.a = (ka ; ka ; ka ) • r 2 a = a1 + a + a • rr r r r r a.b = a b cos(a; b) = a 1b1 +a b +a b II/ Tọa độ điểm : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz 1) uu r u r r r M ( x M ; yM ; zM ) ⇔ OM = x M i +y M j +z M k 2) Cho A ( x A ; y A ; z A ) B ( x B ; y B ; z B ) ta có: uu r AB = (x B − x A ; y B − y A ; z B − z A ) AB = (x B −x A ) +(y B − y A ) +(z B −z A ) ( uuu r uuu r ) 3) Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k MA = kMB ta có : xM = x A − kx B y − kyB z − kz B ; yM = A ; zM = A 1− k 1− k 1− k (Với k ≠ –1) Đặc biệt M trung điểm AB (k = – ) ta có : xM = III/ xA + xB y + yB z + zB ; yM = A ; zM = A 2 Tích có hướng hai vectơ ứng dụng: r r  a 2a a 3a1 a1a r r 1) Nếu a = (a1 ; a ; a ) b = (b1 ; b ; b3 ) a, b  =    b b ;b b ;bb  3 1 r rr r r 2) Vectơ tích có hướng c = a, b  vng góc vơi hai vectơ a b   rr r r rr 3)  a, b  = a b sin(a, b)   4) SABC = r r uuu uuu [AB, AC] uuu uuu uuuu r r r 5) VHộpABCDA’B’C’D’ = [AB, AD].AA ' r r r uuu uuu uuu 6) VTứdiện ABCD = [AB, AC].AD IV/ Điều kiện khác: a1 = kb1 rr r r r r r  1) a b phương ⇔ a, b  = ⇔ ∃k ∈ R : a = kb ⇔ a = kb   r a = kb  rr r 2) a b vng góc ⇔ a.b = ⇔ a1 b1 + a b + a b3 = r rr rr r 3) Ba vectơ a, b, c đồng phẳng ⇔ a, b  c =   uur uur uuu r 4) A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện ⇔ AB, AC, AD khơng đồng phẳng  ÷ ÷  xA + xB + xC  x G =  y + yB + yC  5) G trọng tâm tam giác ABC ⇔ y G = A  z A + z B + zC  z G =  6) G trọng tâm tứ diện ABCD uuu uuu uuu uuu r r r r r ⇔ GA + GB + GC + GD = 3VABCD 7) Chieàu cao AH kẻ từ đỉnh A tứ diện ABCD: AH = S ∆ BCD §2 MẶT PHẲNG A Phương trình mặt phẳng: 1) Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2 + B2 + C2 ≠ phương trình r tổng quát mặt phẳng, n = (A;B;C) vectơ pháp tuyến r 2) Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n = (A;B;C) làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = r r 3) Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận a = (a1 ; a ; a ) b = (b1 ; b ; b3 ) làm cặp vectơ phương r rr a a a a a a  3 1 mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến : n = a, b  =  b b ; b b ; b b ÷    ÷ 1   B Vị trí tương đối hai mặt phẳng 1) Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = (Q):A’x + B’y + C’z + D’ = • (P) cắt (Q) ⇔ A : B : C ≠ A’: B’: C’ • (P) // (Q) ⇔ A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’ • (P) ≡ (Q) ⇔ A : B : C : D = A’: B’: C’: D’ 2) Cho hai mặt phẳng cắt : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là:m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (với m2 + n2 ≠ 0) C Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức d(M , α) = Ax + By + Cz + D A + B2 + C2 D Góc gữa hai mặt phẳng Gọi φ góc hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Ta có: uu uu r r n P n Q uu uu r r A.A' + B.B'+ C.C ' cosϕ = cos(n P , n Q ) = uu uu = r r nP nQ A + B2 + C A '2 + B'2 + C '2 (00≤φ≤900) uu uur r ϕ = 900 ⇔ n P ⊥ n Q ⇔ hai mặt phẳng vng góc §3 ĐƯỜNG THẲNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình ttham số đường thẳng :  x = x + a1 t   y = y0 + a t (t ∈ R) z = z + a t  r Trong M0(x0 ; y0 ; z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1 ; a ; a ) vectơ phương đường thẳng x − x y − y0 z − z = = a1 a2 a3 2) Phương trình tắc đuờng thẳng : r Trong M0(x0 ; y0 ; z0) điểm thuộc đường thẳng a = (a1 ; a ; a ) vectơ phương đường thẳng II/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: 1) Vị trí tương đối hai đường thẳng : r u r Cho hai đ.thẳng (∆) qua M có VTCP a (∆’) qua M’ có VTCP a ' • (∆) chéo (∆’) • (∆) cắt (∆’) • (∆) // (∆’) • (∆) ≡ (∆’) r u uuuu r r a, a ' MM ' ≠   r u uuuu r r ru r r a, a ' MM ' = với a, a ' ≠ ⇔     u r ru r r  r '  r a;a  = [a,a ']=0    ⇔  r uuuuu  r r  a;MM' =  M ∉ ∆'    u r ru r r r '  r [a,a ']=0  a;a  =   ⇔   r uuuuu r r  a;MM' = M ∈ ∆'   ⇔   2) Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: r Cho đ.thẳng (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a = (a1 ; a ; a ) m.phẳng (α):Ax + By +Cz + D= có VTPT r n = (A; B; C) rr • (∆) cắt (α) ⇔ a.n ≠ • (∆) // (α) • (∆) nằm mp(α) rr a.n =  ⇔   M ∉ (α )  rr a.n =  ⇔   M ∈ (α )  III/ Khoảng cách: uuuur r u r 1) Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (∆ ) qua M0 có VTCP a d(M, ∆ ) = [M M, a] r a 2) Khoảng cách hai đường chéo : r u uuuu r r r u r (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a , (∆’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' d(∆, ∆ ') = [a, a '].MM ' ru r [a, a '] Chú ý : * Nếu (∆) (∆’) cắt trùng d((∆),(∆’)) = * Nếu (∆) (∆’) song song d((∆),(∆’)) = d(M , (∆’)) = d(N , (∆)) ( M∈ (∆) N ∈ (∆’)) IV/ Góc : 1) Góc hai đường thẳng : u r r (∆) qua M(x0;y0;z0) có VTCP a = (a1 ; a ; a ) ; (∆’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a ' = (a '1 ; a '2 ; a '3 ) ru r ru r a.a ' cosϕ = cos(a, a ') = r u = r a a' 2) Góc đường thẳng mặt phẳng : a1 a '1 + a a '2 + a a '3 a1 2 2 + a + a a '1 + a '2 + a '3 r r (∆) qua M0 có VTCP a = (a1 ; a ; a ) , mp(α) có VTPT n = (A; B; C) Gọi φ góc hợp (∆) mp(α) , ta có rr sin ϕ= cos(a, n) = Aa1 +Ba +Ca A 2 2 2 + B + C a1 + a +a §4 MẶT CẦU CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình mặt cầu: 1) Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a) + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 2).Phương trình x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = với a2 + b2 + c2 – d > phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R = a + b + c − d 3).Phương trình mặt cầu tâm gốc tọa độ O , bán kính R : x + y2 + z = R2 4).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với mặt phẳng Oxy có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = c2 5).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) tiếp xúc với trục Ox có dạng : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = b2+ c2 II/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng: Cho mặt cầu (S):(x – a)2 +(y – b)2+(z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R m phẳng(P): Ax + By + Cz + D = • Nếu d(I,(P)) > R mp(P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung • Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc nhau.Khi (P) gọi tiếp diện mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm • Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương trình : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R   Ax + By + Cz + D =  Trong bán kính đường trịn r = R − d(I, (P)) tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) III/ Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu :  x = x + a 1t  Cho mặt cầu (S):(x – a)2 +(y – b)2+(z – c)2 = R2 đường thẳng (d) :  y = y0 + a t z = z + a t  Muốn tìm giao điểm (d) (S) , ta thay x, y, z phương trình (d) vào phương trình (S) ta phương trình bậc hai theo t • Nếu phương trình theo t vơ nghiệm (d) (S) khơng có điểm chung • Nếu phương trình theo t có nghiệm t (d) tiếp xúc với (S) Khi (d) gọi tiếp tuyến mặt cầu (S) điểm chung gọi tiếp điểm • Nếu phương trình theo t có hai nghiệm phân biệt t1 ; t2 (d) cắt (S) hai điểm phân biệt Heát Chuùc em ôn tập thật tốt đạt kết cao kỳ thi ... mp(P’) a b Q P S S'' = Scos ϕ ϕ góc hai mặt phẳng (P), (P’) A C ϕ B ÔN TẬP KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 I/ Các cơng thức thể tích khối đa diện: THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ: V= B.h B : diện tích... = − tan α 2  2  Trang Trường THPT TRẦN HƯNG ĐẠO GIÁO KHOA TOÁN – ÔN TỐT NGHIỆP & ĐH CĐ NĂM 2010 Gv : Phan Hữu Huy Trang Trang C Công thức lượng giác CÔNG THỨC CỘNG : Với cung có số ño a,... cos C 2.Hệ thức lượng tam giác thường: * Định lý hàm số Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA a b c = = = 2R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: Các cơng thức tính diện tích a/ Cơng thức tính diện