Sở GD&DT Lào Cai Trờng THPT Số 1 Bảo Yên Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT Năm học 2006-2007 Môn thi: Toán (thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: Chứng minh rằng : cbaaccbba + + + + + ++ + ++ + ++ 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Với a,b,c>0;a.b.c=1 Câu 2: Cho hệ phơng trình : ( ) ( ) =+ = mxmy xmmy 2 12 22 23 a, Giải hệ phơng trình khi m=1 b, Giải và biện luận hệ phơng trình theo m Câu 3: Cho 2 dãy số ( ) n u và ( ) n v xác định nh sau: 1, 1 1 =u 2, * 1 ,12 Nnnuu nn += + 3, * 1 , Nnuuv nnn = + a, Chứng minh rằng dãy số ( ) n v là một cấp số cộng . Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó . b, Tính m vvv +++ 21 với * Nm theo m từ đó suy ra công thức tính n u theo n. Câu 4: Tìm các hàm số f,g thỏa mãn : ( ) ( ) ( ) ( ) =++ =++ 43613 1232 xgxf xxgxf Câu 5: Cho tam giác cân ABC, AB=AC. Một điểm M thay đổi trên đơng thẳng vuông goc với mặt phẳng (ABC) tại A (m không trùng với A). a, Tìm quỹ tích trọng tâm G và trực tâm H của tam giác MBC. b, Gọi trực tâm của tam giác ABC ,hãy xác định vụ trí của M để có thể tích tứ diện OHBC đạt giá trị lớn nhất. Sở GD&DT Lào Cai Trờng THPT Số 1 Bảo Yên Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT Năm học 2005-2006 Môn thi: Toán (thời gian lam bài 180 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) Cho hệ phơng trình : +=+ =+ 32 12 222 aayx ayx a, Giải hệ phơng trình với a=2. b, Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) ma xy nhỏ nhất. Câu 2 : (4 điểm) Cho 1 ,36 3 => cbaa Chứng minh rằng : cabcabcb a ++>++ 22 2 3 Câu 3: (4 điểm) Tìm hàm f(x), biết rằng: 2 4 2 1 1 x x x x f + = + ( ) 0x Câu 4: (6 điểm) Cho hình chóp tam giác DABC, N là một điểm nằm trong tam giác ABC . Các đ- ờng thẳng qua M song song với AD,BD,CD theo thứ tự cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD),(ABD) tại A',B',C'. a, Gọi N là giao điểm của DA' và BC.Chng minh rằng: A,M,N thẳng hàng. b, CMR: AD MA V V ABCD MBCD ' = c, CMR: CD MC BD MB AD MA ''' ++ không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trong ABC. Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH LàO CAI LớP 12 THPT Đề CHíNH THứC NĂM HọC : 2005-2006 Đề THI MÔN TOáN (Thời gian làm bài : 180 phút,không kể thời gian giao đề.) Bài số 1:(5 điểm) 1) Chứng minh rằng : cbaaccbba + + + + + ++ + ++ + ++ 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 Với a,b,c>0;a.b.c=1 2) Giải hệ phơng trình : =++ =+++ 24 549 yxyx yxyx Bài số 2:(4 điểm) 1) Tìm Zn sao cho phơng trình : ( ) ( ) 09.3.527.5 sin22 =+ xxtgx nnn có nghiệm [ ) 2 ;0 x 2) Cho phơng trình : 20051227 23 +++ xxax =0 có 3 nghiệm thực phân biệt.Tìm số nghiệm thực của phơng trình sau: 4( 20051227 23 +++ xxax ) ( ) ( ) 2 2 12543273 +++=+ xaxax ,với 0, aRa Bài số 3:(3 điểm) Cho dãy { } n u đợc xác định nh sau: ( ) += + 11ln 2 1 2 1 1 nn uu Ru với * Nn .Tìm lim n u Bài số 4:(4 điểm) Tìm các hàm số RRf : thỏa mãn điều kiên : ( )( ) ( ) xfxyxyxff +=+ ; Ryx , Bài số 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J thứ tự là trung điểm của BC và AD.Lấy G bất kì thuộc IJ sao cho E BC ; F AD thỏa mãn IE=IG; JE=JG. Gọi M là giao điểm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác GEF và đờng phân giác của góc EGF. Tìm quỹ tích điểm M. Hết Sở GIáO DụC Và ĐàO TạO Kì THI CHọN HọC SINH GIỏI CấP TỉNH LớP 12 LàO CAI TRUNG HọC PHổ THÔNG. Đề CHíNH THứC NĂM HọC : 2007-2008 Đề THI MÔN TOáN (Thời gian làm bài : 180 phút.) Câu 1:(3 điểm): a) (1,5 điểm) Giải hệ phơng trình : =+ =+++ =+++ =+++ xyztzytx tzyx tzyx tzyx 2 252 50 12 2222 3333 2222 b) (1,5 điểm) Giải phơng trình nghiệm dơng: 1 111 =++ zyx Câu 2: (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f:R R thỏa mãn đẳng thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] yfxfyxyfxf += 22 Ryx , Câu 3:(4 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đờng tròn tâm O.Đờng phân giác của góc C cắt đ- ờng tròn ở điểm R ,các đờng trung trực của 2 cạnh BC và CA theo thứ tự cắt CR ở P và Q.Gọi trung điểm của CB và CA lần lợt là S vàT. Chứng minh rằng hai tam giác QRT và PRS có diện tích bằng nhau. Câu 4:(4 điểm): Cho a>0 và dãy ( ) n U xác định bởi : ( ) ++= = + 3 4 1log 3 1 3 31 1 nn UU aU Chứng minh rằng dãy ( ) n U có giới hạn và tìm giới hạn đó. Câu 5:(3 điểm): Cho tập hợp 10 số có hai chữ số.Chứng minh rằng tập hợp đó có ít nhất 2 tập hợp con không giao nhau, mà tổng những phần tử trong chúng bằng nhau. Câu 6:(3 điểm): Cho a,b,c là các sồ thực dơng.Chứng minh rằng: ( ) ++++ ++ cba cba a c c b b a 111 2 Hết Dự KIếN ÔN TậP (Cm n s Ging dy tn tỡnh ca thy To n v th y Phm i An-B mụn toỏn tin ca trng THPT s 1 Bo Yờn) Một số: Đề thi HSG cấp tỉnh (Lào Cai) 2005-2006: 1.Giải hệ phơng trình : a, =+ =+ =+ 33 33 33 3 3 3 xzz zyy yxx b, =++++ =++++++++ 2006.200 51 111 2007.20061 111 2006321 2006321 xxxx xxxx 2.Cho đa thức P(x) bậc 4, đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 1. Biết rằng : P(1)=10 P(2)=20 P(3)=30 Hãy xác định : P(10)+P(-6) 3. Cho dãy số : 1 10 ==UU 1 2 1 1 + + = n n n U U U với n=1,2,3 a, Chứng minh rằng các số hạng của dãy số đều là các số nguyên. b, Xác định số hạng tổng quát của dãy số n U theo n. 4.Cho hàm số : ZZf : thỏa mãn các điều kiện. a. ( ) ( ) nff n = b. ( ) ( ) nff n =+ + 2 2 c. ( ) 1= o f Hãy xác tính gá trị : ( ) ( ) ?3?;1 == ff 5.Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn với AB<AC .Điểm D là chân đờng cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A .Một đờng thẳng đi qua điểm D cắt AC của tam giác ABC tại I ( CIAI ; ) Điểm D nằm trên đờng thẳng sao cho AE vuông góc với BE ( ) DE .Điểm F nằm trên tia đối của IA sao cho AF vuông góc với CF .Gọi M,N lần lợt là trung điểm của đoạn BC ,EF. a, Chứng minh rằng : ABC~ AEF. b, Chứng minh AN MN. . b, =++++ =++++++++ 2006.200 51 111 2007.200 61 111 20063 21 20063 21 xxxx xxxx 2.Cho đa thức P(x) bậc 4, đa thức P(x) có hệ số cao nhất là 1. Biết rằng : P (1) =10 P(2)=20 P(3)=30 Hãy xác định : P (10 )+P(-6) 3. Cho dãy số. GD&DT Lào Cai Trờng THPT Số 1 Bảo Yên Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT Năm học 2005-2006 Môn thi: Toán (thời gian lam bài 18 0 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: (6 điểm) Cho. GD&DT Lào Cai Trờng THPT Số 1 Bảo Yên Kỳ Thi Chọn HSG Cấp Trờng Lớp 12 THPT Năm học 2006-2007 Môn thi: Toán (thời gian lam bài 18 0 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1: Chứng minh rằng