Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai. Cách giải : Từ phương trình bậc nhất, biểu diễn một ẩn qua ẩn còn lại. Đem thế vào phương trình bậc hai rồi giải phương trình nhận được. Ví dụ : Giải hệ phương trình :    =++ =+ 3 32 22 yxyx yx 2. Hệ phương trình đối xứng của hai ẩn a) Hệ đối xứng loại I : có dạng    = = 0),( 0),( yxg yxf trong đó f(x , y) , g(x , y) là các hàm hai biến x, y mà nếu ta đổi x thành y và y thành x thì chúng không thay đổi. Tức là: f(x , y) = f(y, x) và g(x , y) = g(y , x). Cách giải : Đặt ẩn phụ S = x + y , P = x.y. Giải hệ phương trình với các ẩn phụ, sau đó tìm các nghiệm với ẩn số x, y. Hệ đã cho có nghiệm theo x, y với điều kiện là S 2 – 4P ≥ 0 Ví dụ : Giải hệ phương trình :    =−− =++ 12 113 22 yxxy yxyx b) Hệ đối xứng loại II : có dạng    = = )2(0),( )1(0),( yxg yxf nếu đổi x thành y và đổi y thành x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia của hệ và ngược lại. Tức là: f(y , x) = g(x, y) và g(y , x) = f(x , y). Cách giải : Trừ từng vế hai phương trình (1) và (2) của hệ ta thu được phương trình mới biến đổi về dạng : (x - y).h(x, y) = 0 (3) Phương trình (3)    = = ⇔ 0),( yxh yx + Với x = y thay vào (1) hoặc (2) thì được phương trình một ẩn x (hoặc y). + Với h(x , y) = 0 ta giải tìm x theo y hoặc tìm y theo x rồi thay vào (1) hoặc (2) thì thu được phương trình một ẩn, giải tìm ẩn đó rồi tính ẩn còn lại. Ví dụ : Giải hệ phương trình : a)      += += xyy yxx 83 83 3 3 ; b)      +=+ =+ 2255 33 1 yxyx yx c) Hệ đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn Hệ có dạng :    = = )2(),( )1(),( nyxg myxf ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn x , y Cách giải: + kiểm tra x = 0 hoặc y = 0 có thoả mãn là nghiệm của hệ hay không. +Xét trường hợp x ≠ 0 (hoặc y ≠ 0). Ta đặt y = kx (hoặc x = ty) sẽ đưa đến việc xác đònh k (hoặc t) và giải tiếp một phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y) Ví dụ : Giải hệ phương trình      =++ =++ 1732 1123 22 22 yxyx yxyx GV: An Văn Long 1 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình B. CÁC VÍ DỤ GIẢI TOÁN Bài 1 Cho hệ phương trình : (I)    −=+ =+ 222 6 myx myx với m là tham số. a) Giải hệ (I) với m = 1. Kq: (-1;2), (2;-1) b) Với giá trò nào của m thì hệ có nghiệm. Kq: [ ] 2;2− Bài 2 Xác đònh giá trò của m để hệ phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :    =+ =++ 1 22 yx mxyyx Kq : 2 4 2 2 m ± = Bài 3 Giải hệ phương trình : a)      +=− +=− xyxy yxyx 22 22 22 22 ; b)      =+− −=+− 1333 13 22 22 yxyx yxyx Kq: (0;0) v (-3;-3) Kq: (1;2), (2;1), (-1;-2), (-2;-1) Bài 4 Giải hệ phương trình : a)    −=++ =++ 322 3 22 yxyx yxyx ; b)      =+−+ =+−−+ 0363 02242 2 2 yxxyx yxxyx : ( 3; 3), ( 3; 3), ( 1; 1)Kq − − − − Kq: (-2;14/9), (-3;2) Bài 6 Giải hệ phương trình : a)      =−+ =+− 3 13 22 xyyx yxyx ; b)    +=+ =+ 2233 1 yxyx yx : (4;1),(1; 4), (2 3; 2 3), (2 3; 2 3)Kq + − − + Kq: (0;1), (1;0) Bài 7 Giải hệ phương trình : a)    =+ =++ 30)( 11 yxxy yxyx ; b)      =−−− =+−+ 38923 143 22 22 yxyx yxyx ; c)    =+ =+ 12 4 22 xyyx yx KQ: (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) 3 13 3 13 : (0; ),( 4; ) 2 2 Kq ± ± − Kq: (3;1), (1;3) Bài 8 Giải hệ phương trình : a)      −+= −+= yyxy xxyx 167 167 223 223 ; b) ( )( )    =−− =++++ 6)1).(1( 311 22 yx yyxx ; c)    −=− =+ yyxx yx 33 1 Kq: (0;0), (4;4) Kq: (-1;-2); (-2;-1) Kq: (1/2;1/2), (0;1), (1;0) Bài 9 Giải hệ phương trình : a)        =+ =++ 6 5 2 x y x y x yx ; b)      =+ +=+ 78 1 7 xyyxyx xy x y y x (quy đồng); c) ( )        =         ++ =         ++ 49 1 1 5 1 1).( 22 22 yx yx xy yx (nhân ra-đặt a âp) Kq: (2,;1), (3/2;1/2) Kq: (4;9), (9;4) Kq: 7 3 5 7 3 5 : ( 1; ),( ; 1) 2 2 Kq ± ± − − GV: An Văn Long 2 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Bài 10 Giải hệ phương trình : a)      −=−         −=− 11 11 4 33 yx yx yx ; b)      + = +−+=+−+ y x x xyyyxx 5 4 )2)(142()2)(142( 2 22 Kq: (1;1), (2;2 ) Kq: (1;1), (4;4) * Chia hai vế pt (1) cho (x+1).(y+2) C. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 11 Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình :    =+ =+ myx yx 22 3 1353 Bài 12 Chứng minh rằng hệ phương trình :    +=+ +=++ mmxyyx myxyx 222 12 luôn luôn có nghiệm với mọi giá trò của tham số m Bài 13 Giải hệ phương trình : a)    =++ =+++ 08 026 22 yx yxyx ; b)    =−− =+ 18)1)(1( 65 22 yx yx ; c)      =+++ =+++ 013 0322 2 22 yyxy xyxyx Kq: (-6;-2), (-4;-4) Kq: (7;4), (4;7), (-1;-8), ( 8;-1) Hd: pt(2) nhân 2ø cộng pt(1) đưa ra (x+2y) Bài 14 Giải hệ phương trình : a)    +=+ =+ 2233 1 yxyx yx ; b)      =−+ =−+ 3 13 22 xyyx xyyx ; c)      =+− −=+− 1333 13 22 22 yxyx yxyx Bài 15 Giải hệ phương trình : a)      =+ =−+− 13 414 yx yx ; b)      =−++ =−++ 321 321 xy yx ; c)    =− =− 26 2 33 yx yx Bài 16 Giải hệ phương trình : a)      =−++++−+++ =+++++++++ 211 1811 22 22 yyxyxyxx yyxyxyxx ; b)      =− =− 28 12 2 2 xyx yxy Bài17 Giải hệ phương trình : a)      =+ −=− 2 22 33 22 yx yyxx ; b)        =+ =+ 6 9 1 2 2 3 3 x y x y y x ; c)        + = + = y x x x y y 4 4 Bài 18 Giải hệ phương trình : a) ( )      −=−+ −=++ )2(724 21924 22 2 22 yxxyyx yxxyyx ; b)      =+ =+ 333 22 351 30 xyx xxyy GV: An Văn Long 3 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Bài 19 Giải hệ phương trình : a)    =+++ =++ 13)1()1( 24)2)(2( 22 yx yxxy ; b)      =+ =+ xy yx 21 21 3 3 ; c)    =+ =+ 97 5 44 yx yx Bài 20 Giải hệ phương trình : a)        −= + −= + ++ 3 2 5 2 142 2 yx x yx xyx ; b)        =+ =+ yx y xy x 31 2 31 2 ; c)        =+++ =+++ 4 11 4 11 22 22 yx yx yx yx Bài 21 Giải hệ phương trình : a)      −= + −= + − 6 1 1 1 1 3 xy y y x x ; b)      =+ −=− 1 33 44 33 yx yyxx ; c)      +−=− +=− 2 3 22 yxyx yxyx Bài 1: Giải và biện luận các hệ phương trình sau (ẩn số là x và y) 1a)    +=++ −=− 12)62( 44 myxm mmyx ; 1b)    −=+− =+ 2 12 myx ymx 2a)    =+− =+− 2)2( 32)1(3 2 myxm ymxm ; 2b)    =+ =+− 12 )1( myx myxm 3a)      =− −=− mymmx mnmynx 4 2 2 ; 3b)      =− =− 2 2 nynx mmyx 4a)    =++− =++− mynmxnm nynmxnm )()( )2()2( ; 4b)    =+ +=+ mnmynx nmnym x 2 22 Bài 2: 1) Cho hệ phương trình :    =+−− =+−− 02)1( 036)2( ymmx myxm a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . 2) Cho hệ phương trình :    =−− =−+ 2)1( 9)2(6 myxm ymmx a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m . b) Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ ,tìm một hệ thức giữa x và y độc lập đối với m . Bài 3: Tìm m là số nguyên để mỗi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y đều là các số nguyên. Lúc đó tìm (x;y) : GV: An Văn Long 4 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ Hệ phương trình dạng    =+ =+ ''' cybxa cbyax Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình 1a)    =−++ =−++++ 04)2(2 02)13()1( ymx mymxm ; 1b)    =−−+ =−+ 012 03 mm yx mymx 2a)    −=+ +=+ 122 12 mmyx mymx ; 2b)    +=+ =+ 1 32 myx mymx Bài 4: Tìm m và n để hai hệ phương trình sau tương đương với nhau :    =+ +=+ 3 12 yx nymx và    =+ +=+ 33 22 2 yx myx Bài 5: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất :      =−+ =−+ =−+ 0 01 01 myx myx ymx Bài 1)Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m 1) (m+1)x 2 -(2m+1)x+(m-2)=0 ; 2) mx 2 +2x+1=0 3) (m 2 -5m-36)x 2 -2(m+4)x+1=0 ; 4) 2x 2 -6x+3m-5=0 Bài 2)Giả sử x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình 2x 2 -11x+13=0. Không giải phương trình , hãy tính giá trò các biểu thức sau : 1) A = 3 2 3 1 xx + ; 2) B = 4 2 4 1 xx + 3) C = 4 2 4 1 xx − ; 4) D = ( ) ( ) 2 1 1 2 2 2 2 1 11 x x x x x x −+− Bài 3)Chứng tỏ rằng kb 2 = (k+1) 2 .ac là điều kiện cần và đủ để phương trình ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) có hai nghiệm thoả mãn nghiệm này bằng k lần nghiệm kia. Bài 4)Tìm m và n để hai số m ,n là nghiệm của phương trình x 2 +mx+n=0. Bài 5)Cho a,b là nghiệm của phương trình x 2 +px+1=0 và b,c là nghiệm của phương trình x 2 +qx+2=0 .Chứng minh rằng : (b-a)(b-c)=pq-6. Bài 6)Cho hai phương trình x 2 +p 1 x+q 1 =0 (1) và x 2 +p 2 x+q 2 =0 (2) biết p 1 p 2 =2(q 1 +q 2 ) . Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm . Bài 7)Cho hai số βα ; là các nghiệm của phương rình x 2 +px+q=0 .Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm số là 22 )(&)( βαβα −+ . Bài 8)Cho phương trình x 2 +4x+m+1=0 (1) GV: An Văn Long 5 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI-TAM THỨC BẬC HAI-BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình 1.Đònh m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 thoả mãn hệ thức 7 2 1 2 2 2 2 2 1 ≥+ x x x x 2.Đònh m để phương trình (1) có đúng một nghiệm âm. 3.Chứng tỏ rằng nếu phương trình (1) có một nghiệm dương x 1 thì phương trình : (m+1)x 2 +4x+1=0 cũng có một nghiệm dương 1 1 x . Bài 9)Cho phương trình 2x 2 +2(m+1)x+m 2 +4m+3=0. 1.Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1. 2.Gọi x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình .Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức : A = )(2 2121 xxxx +− . Bài10)Cho hai phương trình x 2 +3x+2a=0 (1) và x 2 +6x+5a=0 (2).Tìm tất cả các giá trò của a để mỗi phương trình đều có hai nghiệm phân biệt và giữa hai nghiệm của phương trình này có đúng một nghiệm của phương trình kia . Bài11)Tìm các giá trò nguyên của a,b để phương trình : x 2 +ax+b=0 có hai nghiệm x 1 và x 2 thoả mãn điều kiện :    << −<<− 21 12 2 1 x x Bài12)Xác đònh m để phương trình mx 2 +(2m+1)x-1=0 có ít nhất một nghiệm dương . Bài13)Giả sử x 1 ,x 2 là các nghiệm của phương trình x 2 +2mx+4=0 .Hãy tìm các giá trò của m để xảy ra đẳng thức : 3 2 1 2 2 2 1 =         +         x x x x . Bài14)Tìm các giá trò của a để hiệu hai nghiệm của phương trình : 2x 2 -(a+1)x+a+3=0 bằng 1. Bài15)Hãy tìm các giá trò của k để các nghiệm của phương trình :2x 2 -(k+2)x+7=k 2 trái dấu nhau và là nghòch đảo của nhau về giá trò tuyệt đối. Bài16)Giả sử a,b là hai số thoả mãn a>b>0 .Không giải phương trình abx 2 -(a+b)x+1=0 .Hãy tính tỉ số giữa tổng hai nghiệm và hiệu hai nghiệm của phương trình. Bài17)Tìm các giá trò của m để phương trình : 1. 059)1(2 2 =−+++ mxmx có cả hai nghiệm đều âm. 2. 032)2( 2 =++−− mmxxm có cả hai nghiệm đều dương. Bài18)Giải và biện luận phương trình : 08)12(2)1( 24 =+−−− xmxm Bài19)Cho phương trình 02)1(2)2( 2 =−+−−+ mxmxm . 1.Xác đònh m để phương trình có một nghiêïm x=-1 và tìm nghiệm còn lại. 2.Xác đònh m để phương trình có đúng một nghiệm dương. Bài20)Xác đònh m để phương trình (x-2)[x 2 -2(m+1)x+m 2 +5]=0 có ba nghiệm phân biệt . GV: An Văn Long 6 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Bài22)Tìm các giá trò của m để mỗi phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : 1.(m+3)x 4 -3(m-1)x 2 +4m=0 ; 2. (m-1)x 4 +(2m-3)x 2 +m-1=0 Bài23)Cho phương trình : x 2 -2(m-1)x+m 2 -3m+4=0. 1.Xác đònh m để ptrình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 2.Xác đònh m để 20 2 2 2 1 =+ xx . 3.Xác đònh m để biểu thức 2 2 2 1 xx + đạt giá trò nhỏ nhất . Bài24)Cho phương trình 01)2(2)4( 22 =+++− xmxm .Tìm m để phương trình có đúng 1 nghiệm Bài25)Cho phương trình 0)5( 2 =++− mxmx . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = 21 xx − trong đó x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình . Bài26)Tìm m để phương trình 02)1()12( 22 =++−+− mxmxm có hai nghiệm x 1 ,x 2 sao cho : x 1 < 1 < x 2 Bài27)Tìm m để phương trình 02)()4( 22 =+−++ mxmmxm có hai nghiệm x 1 ,x 2 sao cho : 21 1 xx ≤−< . Bài28)Tìm m để phương trình 0)12()1( 2 =+−−+ mxmxm có nghiệm thoả điều kiện 1 2 x≤− <x 2 Bài29)Tìm m để phương trình 02)13(4 2 =−−+− mxmx có hai nghiệm thuộc khoảng (-1;2). Bài30)Tìm các giá trò của m để phương trình (m+1)x 2 -3mx+4m=0 : 1. Có một nghiệm thuộc (-1;1), còn nghiệm kia nhỏ hơn -1. 2. Có nghiệm lớn hơn 1. Bài31) Tìm m để phương trình 04)3(2)2( 2 =++−− xmxm có hai nghiệm ,trong đó có một nghiệm lớn hơn 3 còn nghiệm kia nhỏ hơn 2. Bài32)Tìm các giá trò của m để số -4 nằm giữa hai nghiệm của phương trình : (m+3)x 2 -2(m-1)x+4m =0 . Bài33)Tìm các giá trò của m để phương trình (m-5)x 2 -(m-9)x+m-5=0 có: 1. Hai nghiệm lớn hơn -3 . 2. Hai nghiệm nằm giữa -2 và 3 . Bài34)Cho phương trình (3m-5)x 2 -2(3m+2)x+4m-1=0 .Xác đònh m để phương trình có : 1. Hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn -1. 2. Một nghiệm thuộc khoảng (-1;0) và nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;0] GV: An Văn Long 7 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Bài35)Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x : 1. 2 1 2 3 2 2 ≤ +− −+ ≤− xx mxx ; 2. 4 1 42 6 2 2 < +− −+ ≤− xx mxx Giải các hệ phương trình sau : 1)    =+ =++ 30)( 11 yxxy yxyx ; 2)      =−−− =+−+ 38923 143 22 22 yxyx yxyx ; 3)    =+ =+ 12 4 22 xyyx yx 4)      −+= −+= yyxy xxyx 167 167 223 223 ; 5) ( )( )    =−− =++++ 6)1).(1( 311 22 yx yyxx ; 6)    −=− =+ yyxx yx 33 1 7)        =+ =++ 6 5 2 x y x y x yx ; 8)      =+ +=+ 78 1 7 xyyxyx xy x y y x với x,y>0 ; 9) ( )        =         ++ =         ++ 49 1 1 5 1 1).( 22 22 yx yx xy yx 10)        −= + −= + ++ 3 2 5 2 142 2 yx x yx xyx ; 11)        =+ =+ yx y xy x 31 2 31 2 ; 12)        =+++ =+++ 4 11 4 11 22 22 yx yx yx yx 13)      =+ =−+− 13 414 yx yx ; 14)      =−++ =−++ 321 321 xy yx ; 15)    =− =− 26 2 33 yx yx 16)      =−++++−+++ =+++++++++ 211 1811 22 22 yyxyxyxx yyxyxyxx ; 17)      =− =− 28 12 2 2 xyx yxy 18)      =+ −=− 2 22 33 22 yx yyxx ; 19)        =+ =+ 6 9 1 2 2 3 3 x y x y y x ; 20) ( )      −=−+ −=++ )2(724 21924 22 2 22 yxxyyx yxxyyx GV: An Văn Long 8 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN SỐ (ÔN CHUNG CHO LTĐH) Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình 21)      =+ =+ 333 22 351 30 xyx xxyy ; 22)    =+++ =++ 13)1()1( 24)2)(2( 22 yx yxxy ; 23)        + = + = y x x x y y 4 4 24)      =+ =+ xy yx 21 21 3 3 ; 25)    =+ =+ 97 5 44 yx yx 26*)      −= + −= + − 6 1 1 1 1 3 xy y y x x ; 27*)      =+ −=− 1 33 44 33 yx yyxx ; 28*)      +−=− +=− 2 3 22 yxyx yxyx 29*)      −=−         −=− 11 11 4 33 yx yx yx ; 30*)      + = +−+=+−+ y x x xyyyxx 5 4 )2)(142()2)(142( 2 22 GV: An Văn Long 9 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt . –Phương Trình BậcHai & Hệ Phương Trình Một số hệ phương trình bậc hai , hai ẩn số đặc biệt A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Hệ hai phương trình, một phương trình bậc nhất, một phương trình bậc hai. Cách. phương trình x 2 +4x+m+1=0 (1) GV: An Văn Long 5 Chúc Các Em Ôân Tập Tốt PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI- TAM THỨC BẬC HAI- BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Kiến thức cơ bản đại số lớp 10 –Phương Trình BậcHai &. đẳng cấp bậc hai theo hai ẩn Hệ có dạng :    = = )2(),( )1(),( nyxg myxf ,trong đó m, n là số đã biết và các biểu thức f(x , y) và g(x , y) có tất cả các số hạng đều là bậc hai theo hai ẩn