MỤC LỤC PHẦN TRANG MỤC LỤC 1 LƯỢNG GIÁC 1 HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT 19 CÁC BÀI TOÁN VỀ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN 26 CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 28 CÁC BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 30 LƯỢNG GIÁC A - CÁC VẤN ĐỀ VỀ LÍ THUYẾT. I. ĐỊNH NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn lượng giác. 2. Cung lượng giác và góc lượng giác. 3. Định nghĩa các hàm số lượng giác. II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC ĐẶC BIỆT IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT V. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VI. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC 1. Công thức cộng. 2. Công thức góc nhân đôi +) Công thức hạ bậc. +) Khai triển các hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi +) Công thức góc nhân 3 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 4. Công thức biến đổi tổng thành tích. VII. ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN. VIII. CÁC CÔNG THỨC TRONG TAM GIÁC. B. BÀI TẬP. DẠNG 1. CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 1. Tính hàm số lượng giác của cung a sau. 1) sina = 5 3 với 0 < a < 2 π 2) tga = - 2 với 2 π < a < π 3) cosa = 5 1 với - 2 π < a < 0 4) sina = 3 1 với a ∈ ( 2 π , π ) 5) tga = 2 với a ∈ (π, 2 3π ) 2. Chứng minh các đẳng thức sau: 1) sin 2 x + tg 2 x = xcos 1 2 - cos 2 x 2) tg 2 x - sin 2 x = tg 2 xsin 2 x 3) xtgxgcot xsinxcos 22 22 − − = sin 2 xcos 2 x 4) xtg1 )1 xcos 1 )(xgcot1( 2 2 2 + −+ = 1 5) cosx + cos(2π/3 - x) + cos(2π/3 - x) = 0 6) sin(a + b)sin(a - b) = sin 2 a -sin 2 b = cos 2 b - cos 2 a 7) batgtg1 btgatg 22 22 − − = tg(a +b)tg(a - b) Trang 1 8) cos 3 xsinx - sin 3 xcosx = 4 1 sin4x 9) xsinxcos xsinxcos + − = x2cos 1 - tg2x 10) xsin2x2sin xsin2x2sin + − = -tg 2 2 x 11) sin3xcos 3 x + sin 3 xcos3x = 4 3 sin4x 12) sinx - sin2x +sin3x = 4cos 2 x3 cosxsin 2 x 13) sinx +2sin3x + sin5x = 4sin3xcos 2 x 14) )xcos1(2 xcosxcosxsin 2 244 − +− = cos 2 2 x 15) xtg31 xtg3 tgx x3tg 2 2 − − = 3. Biểu diễn các biểu thức sau theo sinx và cosx. 1) sin(x + 2 5π ) - 3cos(x - 2 7π ) + 2sin(x + π ) 2) sin(x - π/2) + cos(x - π) - 5sin( 2 11π + x) 3) cos(π/2 + a) + cos(2π - a) + sin(π - a) + cos(π + a) 4) 2cosa - 3cos(π + a) - 5sin(π/2 - a) + cotg( 2 3π - a) 5) cos(π - a) - 2sin(3π/2 + a) + tg( 2 3π - a ) + cotg(2π - a) 4. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào a. 1) A = cos 4 a + cos 2 asin 2 a +sin 2 a 2) B = cos4a - sin4a + 2sin 2 a 3) C = 2(sin 6 a + cos 6 a) - 3(sin 4 a + cos 4 a) 4) D = gacot1 gacot1 − + - 1tga 2 − 5) E = acos4a4sin 2 + + asin4acos 24 + 6) F = cos 2 a + sin(30 0 + a)sin(30 0 - a) 7) G = sin 6 a + cos 6 a + 3sin 2 acos 2 a 8) H = 1acosasin 1acosasin 66 44 −+ −+ 9) m là mọt số cho trước, chứng minh rằng nếu: m.sin(a + b) = cos(a - b) Trong đó a - b ≠ kπ và m ≠ ± 1 thì biểu thức: A = a2sinm1 1 − + b2sinm1 1 − (m là hằng số không phụ thuộc vào a, b ). 5. Tính các biểu thức đại số. 1) Tính sin 3 a -cos 3 a biết sina -cosa = m 2) Biết sina + cosa = m hãy tính theo m giá trị của biểu thức: A = 2 a tg 2 a gcot a2cos1 − + 3) Biết )bacos( )bacos( − + = q p . Tính tga.tgb 4) Biết sina + sinb = 2sin(a + b) với (a + b) ≠ k2π tính tg 2 a .tg 2 b 5) Tính sin2x nếu: 5tg 2 x - 12tgx - 5 = 0 ( 4 π < x < 2 π ) 6. Tính giá trị các biểu thức mà không tra bảng. 1) A = cos20 0 cos40 0 cos60 0 cos80 0 2) B = cos 7 π .cos 7 4π .cos 7 5π 3) C = sin6 0 .sin42 0 .sin66 0 .sin78 0 4) Với a ≠ kπ chứng minh rằng: cosa.cos2a.cos4a. cos2na = asin2 a2sin 1n 1n + + , từ đó tính : Trang 2 D = cos 65 π . cos 65 2π . cos 65 32π 5) Tính: E = sin5 0 .sin15 0 sin25 0 .sin35 0 . sin85 0 6) Tính: F = sin 18 π .sin 18 3π .sin 18 5π .sin 18 7π . sin 18 9π 7) A = sin37 0 .cos53 0 + sin127 0 .cos397 0 8) A = tg110 0 + cotg20 0 9) Tính sin15 0 và cos15 0 10) Tính tgx.tgy biết : )yxcos( )yxcos( − + = 2 1 7. Chú ý các công thức sau: 1) 4sinx.sin( 3 π - x)sin( 3 π + x) = sin3x 2) 4cosx.cos( 3 π - x)cos( 3 π + x) = cos3x 3) tgx.tg( 3 π - x)tg( 3 π + x) = tg3x 4) cosa.cos2a.cos4a cos2na = asin2 a.2sin 1n 1n + + 5) để tính S = cosa - cos(a + x) + cos(a +2x) + +(-1) n . cos(a +nx). thì nhân 2 vế với 2cos 2 x nếu cos 2 x ≠ 0. 8.Các bài tập khác: 1. Chứng minh rằng : a) oo oo 15sin15cos 15sin15cos − + = 3 b) oo oo 75sin75cos 75cos75sin + − = 3 1 2. Rút gọn các biểu thức sau: a) A = sin3x.sin 3 x + cos3x.cos 3 x b) B = xsin xcos1+ [1 + xsin )xcos1( 2 2 − ] c) C = cos3x.cos 3 x - sin3x.sin 3 x 3. Không dùng bảng số hãy tính: a) A = tg20 o .tg40 o .tg60 o .tg80 o b) B = o 10sin2 1 - 2sin70 o c) C = sin 4 16 π + sin 4 16 3π + sin 4 16 5π + sin 4 16 7π d) D = tg2 12 π + tg 2 12 3π + tg 2 12 5π e) E = tg9 o - tg27 o - tg63 o + tg81 o . f) F = cos 6 16 π + cos 6 16 3π + cos 6 16 5π + cos 6 16 7π g) G 1 = sin18 o .cos18 o ; G 2 = sin36 o .cos36 o h) H = cos 7 2π + cos 7 4π + cos 7 6π i) I = sin 5 π + sin 5 23π + sin 6 π + cos 5 13π k) K = cos 5 π + cos 5 2π + cos 5 3π + cos 5 4π m) M = cos 5 π - cos 5 2π 4. Với a ≠ kπ (k ∈ Z) chứng minh: a) cosa.cos2a.cos4a cos16a = asin.32 a32sin b) cosa.cos2a.cos4a cos2 n a = asin2 a2sin 1n 1n + + 5. Tính: A = cos20 o .cos40 o .cos60 o . 6. Tính: A = sin6 o .sin42 o .sin66 o .sin78 o . 7. Tính: A = cos 7 π . cos 7 4π . cos 7 5π . Trang 3 8. Tính: cos 65 π . cos 65 2π . cos 65 4π . cos 65 8π . cos 65 16π . cos 65 32π . 9.Tính: sin 18 π . sin 18 3π . sin 18 5π . sin 18 7π . sin 18 9π . 10. Tính: cos 15 π . cos 15 2π . cos 15 3π . cos 15 4π cos 15 7π . 11. Tính: sin5 o . sin15 o .sin25 o sin85 o . 12. Tính: 96 3 .sin 48 π .cos 48 π . cos 24 π . cos 12 π . cos 6 π . 13. Tính: 16.sin10 o .sin30 o .sin50 o .sin70 o . 14. Tính: sin10 o .sin20 o .sin30 o sin80 o . 15. Tính: cos9 o .cos27 o .cos45 o .cos63 o .cos81 o . cos99 o . cos117 o .cos135 o . cos153 o .cos171 o 16. Tính: A = cos 5 π + cos 5 2π B = cos 5 π + cos 5 3π 17. Chứng minh rằng : a) 4.cosx.cos( 3 π - x).cos( 3 π + x) = cos3x. b) 4.sinx.sin( 3 π - x).sin( 3 π + x) = sin3x. c) tgx.tg( 3 π - x).tg( 3 π + x) = tg3x. Áp dụng tính: A = sin20 o .sin40 o .sin80 o . B = cos10 o .cos20 o .cos30 o cos80 o . C = tg20 o .tg40 o .tg60 o .tg80 o . 18. Chứng minh rằng : a) sin 6 x + cos 6 x = 8 5 + 8 3 cos2x b) tgx = x2sin x2cos1− Áp dụng tính: A = sin 6 ( 24 π ) + cos 6 ( 24 π ) B = tg 2 ( 12 π ) + tg 2 (3. 12 π ) + tg 2 (5. 12 π ) 19. Chứng minh rằng: a) sin 4 x = x4cos 8 1 x2cos 2 1 8 3 +− b) sin 8 x + cos 8 x = xcos 16 1 x4cos 16 7 64 35 ++ Áp dụng tính A = sin 8 ( 24 π ) + cos 8 ( 24 π ) B = sin 4 ( 16 π ) + sin 4 (3. 16 π ) + sin 4 (5. 16 π ) + sin 4 (7. 16 π ) 20. Chứng minh rằng: tg 2 x + tg 2 ( x 3 − π ) + tg 2 ( x 3 + π ) = 9tg còn thiếu 21. Tính: cos( 7 2π ) + cos( 7 4π ) + cos( 7 6π ) 22. Tính cos( 5 π ) + cos( 5 2π ) + cos( 5 3π ) + cos( 5 4π ) 23. Cho: sin2a + sin2b = 2sin2(a + b) Tính: tga.tgb. 24. Chứng minh rằng: 00 00 75cos75sin 75cos75sin + − = 3 1 Trang 4 DẠNG 2. CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC. I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. + A + B + C = π + ba − < c < a + b + a 2 = b 2 + c 2 - 2a.b.cosC + R2 Csin c Bsin b Asin a === + S = .r)ap(pr R4 abc Csin.ab 2 1 h.a 2 1 aa −==== = )cp)(bp)(ap(p −−− Trong đó: p = 2 cba ++ r: bán kính đường tròn nội tiếp r a : bán kính đường tròn ngoại tiếp góc A. + Định lý hàm tang: 2 ba tg ) 2 ba (tg ba ba + − = + − .; ) 2 cb (tg ) 2 cb (tg cb cb + − = + − ; ) 2 ca (tg ) 2 ca (tg ca ca + − = + − + Các công thức tính bán kính: R = Csin2 c Bsin2 b Asin2 a == r = (p - a)tg 2 A = (p - b)tg 2 B = (p - c)tg 2 C = A 2 C 2 B 2 cos sin.sina = B 2 C 2 A 2 cos sin.sinb = C 2 A 2 B 2 cos sin.sinc r a = p.tg 2 A = p.tg 2 B = p.tg 2 C . = A 2 C 2 B 2 cos cos.cosa = B 2 C 2 A 2 cos cos.cosb = C 2 A 2 B 2 cos cos.cosc + Đường trung tuyến : m a 2 = 4 a 2 cb 222 − + m b 2 = 4 b 2 ca 222 − + m c 2 = 4 c 2 ab 222 − + + Đường phân giác: l a = cb 2 A cos.bc2 + l b = ca 2 B cos.ac2 + l a = ba 2 C cos.ab2 + + Mở rộng định lí hàm sin và cosin: CotgA = s4 acb 222 −+ CotgB = s4 bca 222 −+ CotgC = s4 cba 222 −+ II. CÁC ĐẲNG THỨC CƠ BẢN TRONG TAM GIÁC. 1. sinA + sinB + sinC = 4cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . 2. sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC. Trang 5 3. sin3A + sin3B + sin3C = -4cos 2 A3 . cos 2 B3 . cos 2 C3 . 4. sin4A + sin4B + sin4C = -4sin2A.sin2B.sin2C. 5. cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin 2 A .4sin 2 B .4sin 2 C . 6. cos2A + cos2B + cos2C = -1 -4cosA.cosB.cosC. 7. cos3A + cos3B + cos3C = 1 - 4sin 2 A3 . sin 2 B3 . sin 2 C3 . 8. cos4A + cos4B + cos4C = -1 + 4cos2A.cos2B.cos2C. 9. tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC. 10. tg2A +tg2B + tg2C = tg2A.tg2B.tg2C. 11. cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1 12. tg 2 A . tg 2 B + tg 2 B . tg 2 C + tg 2 C . tg 2 A = 1 13. cotg 2 A + cotg 2 B + cotg 2 C = cotg 2 A .cotg 2 B . cotg 2 C . 14. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 - 2cosA.cosB.cosC. 15. cos 2 2A + cos 2 2B + cos 2 2C = 1 + 2cos2A.cos2B.cos2C. 16. 2 a m + 2 b m + 2 c m = 4 3 (a 2 + b 2 + c 2 ). 17. la = cb 2 A cos.bc2 + = bc 2 )ap.(p.c.b − . 18. r = p.tg 2 A . tg 2 B . tg 2 C = 2 A cos 2 C sin 2 B sina . 19. R = 2 C cos. 2 B cos. 2 A cos.4 p . 20. r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . 21. sin 2 A = bc )cp)(ap( −− = 2 C cos. 2 B cos 2 A sin.p 22. cos 2 A = c.b )ap.(p − . 23. tg 2 A = )ap(p )cp)(bp( − −− . 24. ( a 1 + b 1 )l c + ( a 1 + c 1 )l b + ( c 1 + b 1 )l a = 2(cos 2 A + cos 2 B + +cos 2 C ). III. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. 1. Chứng minh rằng diện tích tam giác có thể tính theo các công thức sau: Trang 6 S = )BAsin(.2 Bsin.Asin).ba( 22 − − = 4 1 (a 2 sin2B + b 2 sin2A) = = p 2 .tg 2 A . tg 2 B .tg 2 C = 2R 2 .sinA.sinB.sinC. 2. Chứng minh các đẳng thức sau: a) a.sin(B - C) + b.sin(C - A) + c.sin(A - B) = 0 b) (b - c)cotg 2 A +(c - a)cotg 2 B + (a - b)cotg 2 C = 0. c) (b 2 - c 2 )cotgA + (c 2 - a 2 )cotgB + (a 2 - b 2 )cotgC = 0. d) 2p = (a + b)cosC + (a + c)cosB + (a + b)cosC. e) sin 2 CB − = a cb − cos 2 A . f) cos 2 CB − = a cb + sin 2 A . g) b.cosB + c.cosC = a.cos(B - C). h) cosA + cosB = 2 c ba + sin 2 2 C . i) r 1 = a h 1 + b h 1 + c h 1 . 3. Tam giác ABC có 2a = b + c chứng minh rằng: a) 2sinA = sinB + sinC. b) tg 2 B . tg 2 C = 3 1 . 4. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: a) r = 4R.cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C . b) IA.IB.IC = 4Rr 2 . c) cosA + cosB + cosC = 1 + R r 5. Các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng công sai của cấp số cộng đó được xác định theo công thức sau: d = 2 3 r(tg 2 C - tg 2 A ) 6. Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN vuông góc. Chứng minh rằng: b 2 + c 2 = 5a 2 . 7. Chứng minh rằng: a l 2 A cos + b l 2 B cos c l 2 C cos = a 1 + b 1 + c 1 . 8. Chứng minh rằng các trung tuyến Â' và BB' vuông góc với nhau khi: cotgC = 2(cotgA + cotgB). 9. Cho b c = c b m m ≠ 1 chứng minh rằng : 2cotgA = cotgB + cotgC. 10. Cho tam giác ABC và AM là trung tuyến. gọi α = AMB . Chứng minh rằng: a) cotgα = s4 cb 22 − . b) cotgα = cotgC - cotgB. c) cotgα = CsinBsin2 )cBsin(2 − 11. Chứng minh rằng b c là nghiệm của phương trình: (1 + x 2 -2xcosA)(b 2 - bc) = a 2 (1 - x). 12. Tam giác có 3 cạnh lần lượt là: (x2 +2); (x 2 - 2x +2); (x 2 + 2x + 2). Với giá trị nào của x(dương) thì tam giác đó tồn tại. 13. Cho m a = c. Chứng minh rằng: Trang 7 a) bcosC = 3cosB. b) tgB = 3tgC. c) sinA = 2sin(B - C). 14. Gọi H là trực tâm tam giác ABC. H chia đường cao xuất phất từ A theo tỉ số k cho trước. Chứng minh rằng : a) tgB.tgC = 1 + k. b) tgB + tgC = ktgA c) cos(B - C) = ( 1 + k 2 )cosA. 15. Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng : cotg 2 A cotg 2 C = 3. 16. Tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: tgA.tgB = 6; tgC tgA =3. Chứng tỏ rằng: tgA, tgB, tgC theo thứ tự đó lập 1 cấp số cộng. 17. Tam giác ABC có cotg 2 A , cotg 2 B , cotg 2 C theo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a, b, c theo thứ tự cũng lập một cấp số cộng. 18. Tam giác ABC có: cotgA, cotgB, cotgC hteo thứ tự lập một cấp số cộng. Chứng minh rằng a 2 , b 2 , c 2 theo thứ tự đó cũng lập một cấp số cộng. 19. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2tgA = tgB + tgC. Chứng minh rằng a) tgB.tgC = 3. b) cos(B- C) = 2cosA. IV - NHẬN DẠNG TAM GIÁC CÂN. A. Chứng minh rằng tam giác cân khi và chỉ khi: 1. atgA + btgB = (a+b)tg 2 BA + 2. 2tgB + tgc = tg 2 B.tgC. 3. )tgBtgA( 2 1 BcosAcos BsinAsin += + + 4. )BgcotAg(cot 2 1 BsinAsin BcosAcos 22 22 22 += + + 5. Csin Bsin.Asin2 2 C gcot = 6. sin 2 A cos. 2 B sin 2 B cos. 2 A 33 = 7. (p - b)cotg 2 B tg.p 2 C = 8. 22 ca4 ca2 Bsin Bcos1 − + = + 9. a 2 sin2B +b 2 sin2A=c 2 cotg 2 C 10. a.sin(B - C)+b.sin(C - A) = 0 11. sin 2 A cos. 2 B sin 2 B cos. 2 A 33 = 12. a = 2b.cosC. Chứng minh ∆ ABC cân tại A. B.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu : 1. tgC tgB Csin Bsin 2 2 = 2. (b 2 + c 2 )sin(C - B) = (C 2 - B 2 )sin(B - C) 3. B2cos1 )CBcos(1 .2 b )cb( 2 2 − −− = − 4. sin(B - C)= 2 22 a cb − V. NHẬN DẠNG TAM GIÁC VUÔNG. A. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác vuông là: 1. cos2a + cos2B + cos2C = -1 2. tg2A + tg2B + tg2C = 0 3. sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC B. Chứng minh tam giác vuông khi: 1. Csin.Bsin a Ccos c Bcos b =+ 2. cotg 2 B = b ca + Trang 8 3. )bc( bc a gAcot Asin 1 ≠ − =+ 4. a cb gAcot Asin 1 + =+ 5. cotg2C = )gBcotgC(cot 2 1 − 6. tgB )BCsin(Asin )CBcos( = −+ − 7. tgA AcosBsin BcosAsin = + + 8. sin 2 B = a2 ca − 9. cos a2 ac 2 B + = 10. tg ac ac 2 B + − = 11. cos(B - C) = 2 a bc2 12. S = B2sina 4 1 2 13. Ccos.Bcos.Asin Ccos 1 Bcos 1 CsinBsin = + + 14. 1 + cotg(45 0 - B) = gAcot1 2 − 15. sin 4 C + 2sin 4 A + 2sin 4 B = 2sin 2 C(sin 2 A + sin 2 B) 16. 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15 17. (ĐHCĐ - 99) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = 0 C. Tam giác ABC có đặc điểm gì khi thỏa mãn các điều kiện sau. 1. sin3A + sin3B + sin3C = 0 2. sin4A + sin4B + sin4C = 0 3. sin5A + sin5B + sin5C + sin2A + sin2B = 4sinA.sinB 4. a 3 = b 3 + c 3 5. c = Ccos2B + Bsin2B 6. (1+cotgA)(1 + cotgB) = 2 7. sin 2 A + sin 2 B =5sin 2 C 8. a l 1 c 1 b 1 =+ 9. sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2 10. cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ≤ 1 11. Chứng minh nếu trong tam giác ABC có: sin 2 A = sin 2 B .sin 2 C thì tg 2 B . tg 2 C = 2 1 và ngược lại. 12. Chứng minh rằng nếu a = 2c thì a 2 = bc + c 2 13 Trong tam giác ABC có đường cao CB cắt đường cao AD tại trung điểm H của AD. Chứng minh rằng tgB.tgC = 2. 14. Cho tam giác ABC vuông tại A cạnh huyền có độ dài bằng a. Chứng minh rằng: sin 2 B .sin 2 C = l b . 2 c a4 l 15. Cho tam giác vuông ABC tại A. Gọi I là góc giữa đường cao và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chứng minh rằng: tg 2 I = tg 2 CB − 16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = BA chứng minh rằng: tgB = 3tgC; sin A = 2sin(B - C) 17. (ĐHBK - 99) Cho A, B, C là 3 góc nhọn của một tam giác. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức. 3)gCcotgBcotgA(cot Csin 1 Bsin 1 asin 1 =++−++ 18. (ĐHSP II - A99) Cho tam giác ABC với 3 góc đều nhọn. Chứng minh rằng: (sinA) 2sinB + (sinB) 2sinC + (sinC) 2sinA > 2 Bất đẳng thức trên có đúng không nếu tam giác ABC vuông, vì sao? VI. BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC. A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN. Trang 9 a. Hàm lồi lõm. + Tính chất hàm lồi: ) 2 yx (f 2 )x(f)x(f 21 + ≤ + ∀x, y ∈ R + tính chất hàm lõm: ) 2 yx (f 2 )x(f)x(f 21 + ≥ + Ứng dụng 1: Xét hàm số y = sinx có y " = -sinx. Nếu x ∈ [0, π] Còn thiếu B. BÀI TẬP ÁP DỤNG. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. sinA + sinB +sinC ≤ 2 33 2. 1 < sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C ≤ 2 3 3. 1 < cosA + cosB + cosC ≤ 2 3 4. Sin 2 A + Sin 2 B + Sin 2 C ≥ 4 9 5. 2 < cos 2 2 A + cos 2 2 B + cos 2 2 C ≤ 4 9 6. 4 3 ≤ sin 2 2 A + sin 2 2 B + sin 2 2 C < 1. 7. sin 2 A . sin 2 B . sin 2 C ≤ 8 1 8. sinA.sinB.sinC ≤ 3 33 9. cosA.cosB.cosC ≤ 8 1 10. cos 2 A . cos 2 B . cos 2 C ≤ 3 33 11. 1 + cosA.cosB.cosC ≥ 3 .sinA.sinB.sinC 12. Acos 1 + Bcos 1 + Ccos 1 ≥ 6 13. 2 A sin 1 + 2 B sin 1 + 2 C sin 1 ≥ 6 14. CsinBsinAsin Csin.Bsin.Asin.2 ++ ≤ 33 1 15. (1 + Asin 1 ) + (1 + Bsin 1 ) + (1 + Csin 1 ) ≥ 5 + 9 326 16. (1+ Asin 1 ).(1+ Bsin 1 ).(1+ Csin 1 ).(1 + Acos 1 )(1+ Bcos 1 )(1+ ccos 1 ) ≥ 135 + 78 3 17. tg 2 A + tg 2 B + tg 2 C ≥ 3 18. tg 2 2 A + tg 2 2 B + tg 2 2 C ≥ 1 19. tgA + tgB + tgC ≥ 3 3 . Với ∆ABC nhọn. 20. tg 2 A + tg 2 A + tg 2 A ≥ 9. Với ∆ABC nhọn. 21. tg 2 A . tg 2 B . tg 2 C ≥ 33 1 22. cos 3 A + cos 3 A + cos 3 A ≤ 4 9 + 4 1 (cos3A + cos3B + cos3C). 23. 36r 2 ≤ ab + bc + ca ≤ 9R 2 . 24. (a + b + c)(h a + h b + h c ) ≥ 18S. 25. h a + h b + h c ≥ 9r ( r 1 = a h 1 + b h 1 + c h 1 ) 26. (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b) ≤ abc 27. a 2 (b + c - a) + b 2 (a + c - b) + c 2 (a + b - c) ≤ 3abc. 28. a(b 2 + c 2 - a 2 ) + b(a 2 + c 2 - b 2 ) + c 2 (a 2 + b 2 - c 2 ) ≤ 3abc 29. a(b - c) 2 + b(c - a) 2 + c(a - b) 2 + 4abc ≥ a 3 + b 3 + c 3 30. c l ab + a l bc + b l ac ≤ 6R. Trang 10 [...]... f(x) > g(x) Trong đó: y = f(x) là hàm luôn đồng biến y = g(x) là hàm luôn nghịch biến Theo phương pháp về giải phương trình thì f(x) = g(x) có nghiệm, giả sử nghiệm là x0 +Ta có x = x0 ⇔ f(x0) = g(x0) = d → x0 không là nghiệm +Nếu x > x0 → f(x) > f(x0) = d =g(x0) > g(x) → x > x0 là nghiệm của bất phương trình +Nếu x < x0 → f(x) < f(x0) = d = g(x0) < g(x) → x < x0 không là nghiệm Vậy: Nghiệm là x > x0 II...  x = π − α + n 2π (k, n∈ Z)  +) Chú ý: Các trường hợp đặc biệt: m = 0, 1, -1 1 2 3 • Các giá trị đặc biệt: m = ± , ± ,± 2 2 2 • Sau khi giải phải biết kết hợp nghiệm trên đường tròn lượng giác • Không được áp dụng công thức một cách máy móc Ví dụ giải : sinx = cosx Trang 12 b) cosx = m +) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm +) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = cosα khi đó phương trình đã cho có... ± 3 , ± 3 +/ Không được áp dụng công thức nghiệm một cách máy móc d) cotgx = m (như ý c,) 2) Phương trình bậc nhất đối với sin và cos a) Dạng: asinx + bcosx = c b) Phương pháp giải: Sử dụng khai triển hàm bậc nhất của sin, cos để đưa phương c trình về dạng: Asin(x + ϕ) = c ⇔ sin(x + ϕ) = A c c c) Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ ≤1 ⇔ ≤ 1 ⇔ A2 ≥ c2 hay A A a2 + b2 ≥ c2 3) Giải phương trình lượng giác bằng... MỎ - 01 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó 1 (4 cos x − 1)(7 sin 2 x − sin 2 x − 6) = 0 đều là nghiệm của phương trình: 2 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Phương trình lượng giác cơ bản a) sinx = m +) Nếu m >1 hoặc m < -1 thì phương trình vô nghiệm +) Nếu -1 ≤ m ≤ 1 đặt m = sinα khi đó phương trình đã cho có hai họ nghiệm:  x = α + k 2π... phương trình: • Có nghiệm • Có nghiệm ∈ (α, β) • Vô nghiệm • Có 1, 2, 3, 4 nghiệm • Có 1, 2, 3, 4 nghiệm ∈ (α, β) Ở đây ta không xét trường hợp (1) có thể tìm được điều kiện nghiệm trực tiếp theo biến x (nghĩa là (1) không phải là phương trình bậc hai đối với x) Mà ta phải thông qua việc đặt ẩn phụ +) Giả sử đặt ϕ(x) = t +) Khi đó (1) có dạng: g(t, m) = 0 (2) Vấn đề đặt ra là để (1) có nghiệm x thỏa... 0.(1) Tìm m để bất phương trình: • Có nghiệm • Nhận ∀ x là nghiệm • Nhận ∀ x ∈ (α, β) là no Trang 30 • Vô nghiệm Ở đây ta không xét trường hợp (1) có thể tìm được điều kiện nghiệm trực tiếp theo biến x (nghĩa là (1) không phải là bất phương trình bậc hai đối với x) Mà ta phải thông qua việc đặt ẩn phụ +) Giả sử đặt ϕ(x) = t +) Khi đó (1) có dạng: g(t, m) > 0 (hoặc < 0)(2) Vấn đề đặt ra là để (1) có... - B) = 2sinA.sinB Chứng minh rằng tam giác ABC vuông 30 ĐHBK - A – 01 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng 1 Gọi ma, mb, mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi: sin A sin B sin C + + = 3 ma mb mc 31 ĐH MỎ - 01 Chứng minh rằng không tồn tại tam giác mà cả 3 góc trong của nó 1 (4... ) > 0   g ( x ) > 0  +) Dạng: log f ( x ) g(x) = log f ( x ) h(x) ⇔ 0 < f ( x ) ≠ 1 g( x ) = h ( x )    2) Phương pháp mũ hóa: Khi phương trình logarit không có cùng cơ số thì ta thường đưa phương trình này về phương trình mũ không chính tắc bằng phương pháp mũ hóa: Ví dụ: log2(1 + x ) = log3x 3) Phương pháp đặt ẩn phụ: Trang 23 4) Phương pháp đánh giá: Như phương trình mũ II - BÀI TẬP LUYỆN... Phương trình đẳng cấp với sin và cos d) Phương trình đối xứng với sin và cosin e) Phương trình đối xứng với tg và cotg f) Phương pháp đặt ẩn phụ trong góc 4) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá 5) Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đại số II BÀI TẬP 1 sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = 1 2 cosx + 3 sinx = 3 3 sinx + sin2x = 3 + sin3x 4 tgx + 3 cõtg = 1 + 5 3cotg2x + 2 2 sin2x = (2... tgx 2 2 139 TSĐH - B - 2003 cotgx - tgx + 4sin2x = sin 2x 140 TSĐH - B - 2004 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg2x cos12 o + cos18o − 4 cos15o cos 21o cos 24 o = − DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I - CÁC DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1) Dạng cơ bản: a) sinx < m(1) • Nếu m > 1 bất phương trình nhận mọi x là nghiệm • nếu m ≤ -1 bất phương trình vô nghiệm π π • Nếu -1 < m ≤ 1 đặt m = sinα ( - < α ≤ ) nghiệm . NGHĨA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn lượng giác. 2. Cung lượng giác và góc lượng giác. 3. Định nghĩa các hàm số lượng giác. II. DẤU CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC III. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG. BIỆT IV. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA NHỮNG GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT V. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VI. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LỰONG GIÁC 1. Công thức cộng. 2. Công thức góc nhân đôi +) Công thức. hàm số lượng giác theo tg góc chia đôi +) Công thức góc nhân 3 3. Công thức biến đổi tích thành tổng. 4. Công thức biến đổi tổng thành tích. VII. ĐỊNH LÍ HÀM SỐ SIN VÀ COSIN. VIII. CÁC CÔNG THỨC