Đề thi HSG huyện môn toán 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Đề bài Bài 1(2,0 điểm): Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9 số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá. Bài 2(2,0 điểm): a. Giải phơng trình: 8x 11 4 6 11 4 6 + = . b. Cho biểu thức: A = ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 2 1 3 + . Chứng minh rằng A là một số nguyên. Bài 3(2,0 điểm): a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x 3 + (2 - x) 3 . b. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau: 2 2 2 x y z xy 3y 4z 6+ + < + + . Bài 4(2,5 điểm): Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung với đờng tròn. M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là tiếp điểm). a. Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định. b. Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P. Hãy xác định vị trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất. Bài 5(1,5 điểm): Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c. Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4. Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền. Hết Đáp án chấm bai thi HSG môn toán 9 Bài 1(2,0 điểm): Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9 số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá. Giải Xét 10 số nguyên dơng liên tiếp l x, x + 1, , x + 9. Tổng của 10 số l 10x + 1 + 2 + + 9 = 10x + 45. Giả sử số b xoá l x + k (k = 0, 1, 2, , 9) thì tổng 9 số còn l i l T = 9x + 45 k. Vì 18047 chia cho 9 có số d l 2 nên k < 9 v do đó số T chia cho 9 có d l 9 k = 2, suy ra k = 7. Ta có 9x + 45 - 7 = 18047 nên x = 2001. S b xoá l 2008. Bài 2(2,0 điểm): c. Giải phơng trình: 8x 11 4 6 11 4 6 + = . (0,75đ) d. Cho biểu thức: A = ( ) ( ) 3 3 3 3 2 1 2 1 3 + . Chứng minh rằng A là một số nguyên. (1,25đ) Giải a) Phơng tình đã cho tơng đơng với: ( ) ( ) = + + = + + = + + = + + = = 2 2 8x 11 4 6 11 4 6 8x 2 2 3 2 2 3 8x 2 2 3 2 2 3 8x 2 2 3 2 2 3 2 2x 4 2 x 2 b) Đặt B = ( ) ( ) 3 3 3 2 1 2 1+ ta có: (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + + + = + + = + + = = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 B 2 1 2 1 2 3 2 2 1 1 2 1 3 2 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3 Do đó = 3 B 3 . Suy ra 3 3 3 A B : 3 3 : 3 1 = = = l số nguyên. Bài 3(2,0 điểm): c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x 3 + (2 - x) 3 . (0,75đ) d. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau: (1,25đ) 2 2 2 x y z xy 3y 4z 6+ + < + + . Giải a) Ta có ( ) ( ) ( ) = + = + + = + = + + = + 3 3 3 2 3 2 2 2 Q x 2 x x 8 12x 6x x 6x 12x 8 6 x 2x 1 2 6 x 1 2 2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy = min Q 2 (đạt đợc khi x = y = 1). b) Bất đẳng thức + + < + + 2 2 2 x y z xy 3y 4z 6 tơng đơng với + + + < 2 2 2 x y z xy 3y 4z 7 1 (*) Vì x, y, z nguyên nên từ (*) ta có + + + 2 2 2 x y z xy 3y 4z 7 0 Do đó: ( ) + + ữ ữ 2 2 2 y y x 3 1 z 2 0 2 2 (2) Suy ra = = = y x 0 2 y 1 0 2 z 2 0 Từ đó ta có các số nguyên thoả mãn bất đẳng thức đã cho l : = = =x 1, y 2,z 2 (2) Bài 4(2,5 điểm): Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung với đờng tròn. M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn (A, B là tiếp điểm). c. Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định. (1,25đ) d. Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P. Hãy xác định vị trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất. (1,25đ) Giải (d) N O K A P M B H a) Vì MA, MB l các tiế p tuyến của đờng tròn nên MA = MB v MA OA. Vì MA = MB v OA = OB nên OM l trung trự c của AB, suy ra AB OM. Trong tam giác AOM vuông tại A có AN l đ ờng cao nên ON. OM = OA 2 = R 2 (không đổi). Gọi H l chân đ ờng vuông góc hạ từ O đến (d) v K l giao củ a AB v OH. T hai tam giác đồng dạng ONK v OHM (g- g) có ON OK OH OM = Suy ra ON.OM HK OH = Vì ON.OM, OH không đổi nên OK không đổi. Mặt khác K nằm giữa O v H nên suy ra K cố định. Vậy khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một điểm cố định. (3) b) Ta có ( ) ( ) MOP 1 1 1 S MP.OA MA AP .OA MA AP .R 2 2 2 = = + = + (1) p dụng bất đẳng thức Côsi có ( ) 1 MA AP MA.AP 2 + (2) Dấu đẳng thức xẩy ra khi v ch khi MA = AP. Trong tam giác vuông MOP có MA . AP = OA 2 = R 2 (3) T (1), (2) v (3) có 2 MOP S R Tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất l R 2 (đạt đợc khi MA = MP = R. Vậy để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất thì OM = R 2 . Bài 5(1,5 điểm): Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c. Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4. Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền. Giải Từ giả thiết b : c = 3 : 4 ta có = = b c k 3 4 Suy ra b = 3k, c = 4k p dụng định lý Pitago v o tam giác vuông đang xét có: ( ) ( ) + = 2 2 2 3k 4k 140 hay ( ) = 2 2 5k 140 Suy ra 5k = 140, do đó k = 28. Từ đó các cạnh b, c của tam giác l 84cm v 112cm. Từ = = bc ah bc h a . Do đó đờng cao thuộc cạnh huyền l = = 84.112 h 67,2cm 140 Hết . Đề thi HSG huyện môn toán 9 (Thời gian làm bài 150 phút) Đề bài Bài 1(2,0 điểm): Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9 số còn li bằng 18047 1, , x + 9. Tổng của 10 số l 10x + 1 + 2 + + 9 = 10x + 45. Giả sử số b xoá l x + k (k = 0, 1, 2, , 9) thì tổng 9 số còn l i l T = 9x + 45 k. Vì 18047 chia cho 9 có số d l 2 nên k < 9 v do. cao h thuộc cạnh huyền. Hết Đáp án chấm bai thi HSG môn toán 9 Bài 1(2,0 điểm): Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9 số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá. Giải Xét