HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Bài tập 1: Giải hệ phương trình sau: 1 2 3 5 2 3 2 x y y x y y + + −  + =   =   Hướng dẫn Đặt 2 3 x y y u v +  =   =   (điều kiện u, v>0), ta có hệ phương trình: 5 6 u v uv + =   =  Theo định lí viete đão thì hai số u và v là nghiệm của phương trình bậc hai: 2 5 6 0 2 2 3 3 2 3 2 3 3 2 x y y x y y X X X X + + − + =   =     = =    ⇔ ⇔   =   =     =     (Đến đây các bạn tự giải quết nhe !) Bài tập 2: Giải hệ phương trình: ( ) 2 1 2 2 2 2 log log 4 1 4 x y x y x y − +  + =   − =   Hướng dẫn. Nhân hai vế phương trình 2 1 2 2 2 x y x y− + + = cho 2 y − , ta được phương trình: ( ) 2 2 2 2 x y x y − − + = Đặt 2 , 0 x y t t − = > Khi đó ta có phương trình: 2 2 0t t+ − = Giải phương trình ta được hai nghiệm t=1 và t=-2. Vì t>0 nên nhận nghiệm t=1 Với t=1 thì 2 1 0 x y x y x y − = ⇔ − = ⇔ = Vậy hệ đã cho tương đương với: ( ) 2 log log4 1 4 x y x y =   − =  ( ) 2 2 2 2 2 1 log 1 log 4 log 2log 8 0 2 x y x y x x x x =  =    ⇔ ⇔     − = − − =  ÷       1 2 2 2 4 4 2 1 2 4 log 2 2 1 4 2 16 log 4 2 16 x x x y x y y x y x x x y y − −   =   =     =         =−  =       = ⇔ ⇔ ⇔      =   =       =    =    =      =   Kết luận: Tập nghiệm của hệ phương trình là ( ) 1 1 ; , 16;16 4 4 S     =    ÷     Bài tập 3: Giải hệ phương trình: 2 2 1 log log 2 xy x y =    + =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log log1 1 log log 0 log log 2 log log 2 log log 2 log log 0 log log 0 log log 1 log log 2 log log 2 xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y =  = + =      ⇔ ⇔    + = + =   + =     + =  + =   ⇔ ⇔   = − + − =    (Các bạn tự giải quết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) 1 1 , 10; ( , ) ;10 10 10 x y x y     = =  ÷  ÷     Bài tập 4: Giải hệ phương trình: 4 4 4 20 log log 1 log 9 x y x y + =   + = +  Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y > 0. Với điều kiện đó ta có: ( ) 4 4 4 4 4 20 20 20 log log 1 log 9 log log 36 36 x y x y x y x y xy xy + = + =  + =   ⇔ ⇔    + = + = =    Theo định lí viete đão ta có hai số x, y là nghiệm của phương trình: 2 20 36 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ pt có nghiệm: ( ) ( ) , 2,7x y = − Bài tập 5: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 log log 1 x y x y x y  − =   + − − =   Hướng dẫn. 2 Điều kiện xác định của hệ phương trình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 2 log log 1 2 log log 1 log log 1 log 3 x y x y x y x y x y x y x y  + + − =  − =   ⇔ −   + − = + − − =     Tiếp theo ta đặt ( ) ( ) 2 2 log log u x y v x y = +   = −   Khi đó ta có hệ phương trình: 2 1 1 log 3 u v v u + =    − =   (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) 3 1 , ; 2 2 x y   =  ÷   Bài tập 6: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 5 5 7 5 2 2 5 log log 7 log 1 log 2 3 log log 5 1 3log x y y x  + = +   + = +   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 55 5 7 5 2 2 2 5 2 2 5 5 5 5 3 3 2 2 log log log 10log log 7 log 1 log 2 3 log log 5 3 log 5 log 3 log log 5 1 3log log log log 10 10 2 5 log 8 log 5 8 5 x yx y y x y x x y xy x y y x y x  + =+ = +    ⇔   + = + + = +     + =  =  =    ⇔ ⇔ ⇔    = = =      Kết luận: Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 2;5x y = Bài tập 7: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 log 5 log log log4 1 log log3 x y x y x y − = − +  −  = −  −  Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 log 5 log log 5 32 log log4 1 12 log log log log3 4 3 x y x y x y x y x x y xy y  − = − + − =  − =    ⇔ ⇔ −    = − =   = −   −   (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 6;2x y = 3 Bài tập 8: Giải hệ phương trình: ( ) 9 3 2 8 2 2 1 1 1 log log 9 2 2 x y y x −  =   + =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) 3 3 2 9 3 3 3 3 2 8 2 2 2 2 2 1 1 1 1 log log 9 log 1 2 2 3 x y x y x y y xy xy x − −   − =  =     = ⇔ ⇔    + =    = − =     (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) 1 ; 2; 6 x y   =  ÷   Bài tập 9: Giải hệ phương trình: 3 2 1 2 5 4 4 2 2 2 x x x x y y y +  = −   + =   + (Trích đề thi ĐH khối D – 2002) Hướng dẫn. Ta có: ( ) ( ) 3 2 3 2 3 2 2 1 2 5 4 2 5 4 2 5 4 2 2 2 4 2 2 2.2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y +   = − = −  = −     ⇔ ⇔    + + + =    = =  +   +  + 3 2 3 2 1 2 0 2 5 4 5 4 1 4 2 2 4 2 x x x x y y x y y y y y y y y y y x  =   =     = = − = −      ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =      =  = =        =    =    ( Chú ý 0y ≠ ). Kết luận: Tập nghiệm của hệ phương trình: ( ) ( ) { } 0;1 ; 2;4S = Bài tập 10: Giải hệ phương trình: ( ) 1 4 4 2 2 1 log log 1 25 y x y x y  − − =    + =  (Trích đề thi ĐH khối A năm 2004) 4 Bài tập 11: Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 9 3 1 2 1 3log 9 log 3 x y x y  − + − =   − =   (Trích đề thi ĐH khối B năm 2005) Bài tập 12: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 log 1 log8 log log log3 x y x y x y  + = +   + − − =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 log log80 80 log 1 log8 3 log log3 log log log3 x y x y x y x y x y x y x y x y x y   + = + =  + = +    ⇔ ⇔    + + = = + − − =     − −   (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ; 8;4x y = Bài tập 13: Giải hệ phương trình: ( ) 3 3 .2 972 log 2 x y x y  =   − =   Hướng dẫn. Hệ phương trình: ( ) 3 3 3 3 .2 972 3 .2 972 log 2 3 3 .2 972 x y x y y y x y x y x y +  = + =   =    ⇔ ⇔    − = − = =       3 5 2 6 36 y x y x y = +  =   ⇔ ⇔   = =    Kết luận: Hệ pt có nghiệm ( ) ( ) ; 5;2x y = Bài tập 14: Giải hệ phương trình: 2 2 25 log log 2 x y x y + =   − =  Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: 2 2 2 25 25 25 20 log 2 4 log log 2 5 x y x y x y x x x x y y y y + = + =   + = =     ⇔ ⇔ ⇔     = = − = =       Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ; 20;5x y = 5 Bài tập 15: Giải hệ phương trình: 3 3 4 1 x y x y  + =   + =   Hướng dẫn. Cách 1: Hệ phương trình: 1 3 3 4 3 3 4 3 3 4 1 1 1 x y x y x x x y y x y x −    + = + = + =    ⇔ ⇔    + = = − = −       Đặt 3 , 0 x t t= > khi đó ta có phương trình: 3 4t t + = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Cách 2: Hệ phương trình: 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 3 1 3 3 3 1 x y x y x y x y x y x y x y x y +  + =    + = + =    ⇔ = ⇔    + =  =     + =   Áp dụng định lí viète ta có: 3 x và 3 y là hai nghiệm của phương trình bậc hai 2 4 3 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) ; 1;0x y = hoặc ( ) ( ) ; 0;1x y = Bài tập 16: Giải hệ phương trình: 4 3 3 9 3 x y x y − −  + =    + =  Hướng dẫn. Cách 1: Hệ phương trình: 3 4 4 4 3 3 3 3 3 3 9 9 9 3 3 3 x y x y x x x y y x y x − − − − − −    + = + = + =    ⇔ ⇔       + = = − = −    Đặt 3 , 0 x t t= > khi đó ta có phương trình: 1 4 27 9 t t + = (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Cách 2: Hệ phương trình: ( ) 4 3 3 4 4 3 3 9 3 3 9 3 9 1 3 3 3 3 3 3 27 x y x y x y x y x y x y x y x y − − − − − − − − − + − −  + =   + =   + =    ⇔ + = ⇔       + = =  =     Áp dụng định lí viète ta có: 3 x− và 3 y− là hai nghiệm của phương trình bậc hai 6 2 4 1 0 9 27 X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y là ( ) 1;2 và ( ) 2;1 Bài tập 17: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 5 3 log log 1 x y x y x y  − =   + − − =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là 0x y± > . Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 3 5 3 log log 1 3 log log 1 log log 1 log 5 x y x y x y x y x y x y x y  + + − =  − =   ⇔ −   + − = + − − =     Đặt ( ) ( ) 3 3 log log u x y v x y = +   = −   Khi đó ta có hệ phương trình 3 1 1 log 5 u v v u + =    − =   (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) , 2;1x y = Bài tập 18: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log log log log log log 0 x y xy x y x y  = +   − + =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x>y>0. Với điều kiện đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 log log log log log log log log log log 0 log log log 0 x y xy x y x y x y x y x y x y   = + = + +   ⇔   − + = − + =     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 log 0 log log log 0 2log 2 log log 0 log log 0 log log log 0 log log log 0 y x y x y y x y x y x y x y x y x y  =      − + = + =     ⇔   + =  − + =       − + =    Xét hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 log 0 log log log 0 y x y x y =    − + =   Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 log 0 1 log log log 0 log 1 log log1 0 y y x y x y x x = =     ⇔   − + = − + =     7 1 1 1 1 2 y y x x = =   ⇔ ⇔   − = =   Xét hệ phương trình ( ) ( ) ( ) 2 log log 0 log log log 0 x y x y x y + =    − + =   Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 log log 0 log log log 0 log log log 0 x y y x x y x y x y x y  + = =    ⇔   − + =    − + =  ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 log log log 0 log log 0 y y x x x x x x x x x   = =     ⇔       −   − + = − =  ÷  ÷         2 2 2 2 2 1 1 1 log log 2 1 1 2 2 1 log log y x x x x y x x y x y x x x x   =       −   =  =  =      ⇔ ⇔   =     = =        −   = −     Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm ( ) ;x y là ( ) 2;1 và 1 2; 2    ÷   Bài tập 19: Giải hệ phương trình: ( ) ( ) log log log 4 log 3 3 4 4 3 x y x y  =   =   Hướng dẫn. Điều kiện xác định của hệ phương trình là x, y >0. Với điều kiện đó ta có: Lấy logarit cơ số 10 hai vế của hai phương trình trong hệ ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log log 4 log3 3 4 log log3 log log4 log4 log4 log log3 log3 log 4 3 x y x y x y x y  = =    ⇔   + = + =     Tiếp theo ta đặt log , logu x v y= = (Các bạn tự giải tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) 1 1 ; ; 4 3 x y   =  ÷   Bài tập 20: Giải hệ phương trình: 8 1. ( ) ( ) 3 3 log 2 log 2 2 4 2 3 3 12 xy xy x y x y  = +   + − − =   2. 2 4 4 3 9 9 4 16 16 log log log 2 log log log 2 log log log 2 x y z y z x z x y + + =   + + =   + + =  3. 4 2 3 0 log log 0 x y x y  − + =   − =   4. 2 2 2 2 1 x x y x x y  + = +   + =   Bài tập 21: Giải hệ phương trình: 1. 2 1 log 64 y y x x = +    =   2. ( ) ( ) 3 2 3 2 log 2 3 5 3 log 2 3 5 3 x y x x x y y y y x  + − − =   + − − =   3. 3 1 2 3 2 2 3.2 3 2 1 1 x y y x x xy x + − +  + =   + + = +   4. 1 2 2 2 3 .2 2 2 .2 3 .8 1 x y x y x y x y x y x y − + + + +  + =   + =   Bài tập 22: Giải hệ phương trình: 1. ( ) ( ) 2 2 5 3 9 4 5 log 3 2 log 3 2 1 x y x y x y  − =   + − − =   2. log log 2 2 3 y x x y xy y  =   + =   3. 2 3 3 3 2 1 log log 0 2 2 0 x y x y y  − =    + − =  4. ( ) 3 3 2 972 log 2 x y x y  =   − =   5. ( ) 8 8 8 8 8 8 log 3log .log log 4log log xy x y xx y y =    =   Bài tập 23: Giải hệ phương trình: 1. ( ) ( ) ln ln ln 6 ln5 5 6 6 5 x x x y  =   =   2. 1 2 1 4 4 3.4 2 3 2 log 3 x y y x y + − −  + =   + = −   3. ( ) 2 2 2 4 2 log 5 2log log 4 x y x y  + =   + =   4. 3 3 log log 3 3 2 27 log log 1 y x x y y x  + =   − =   5. 2 7 12 1 6 x x y x y − +   =  + =   9 .  + =   ⇔ ⇔    + = + = =    Theo định lí viete đão ta có hai số x, y là nghiệm của phương trình: 2 20 36 0X X− + = (các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ pt có nghiệm: ( ) (. =     Tiếp theo ta đặt ( ) ( ) 2 2 log log u x y v x y = +   = −   Khi đó ta có hệ phương trình: 2 1 1 log 3 u v v u + =    − =   (Các bạn tự giải quyết tiếp nhe !) Đáp số: Hệ. log3 log 4 3 x y x y x y x y  = =    ⇔   + = + =     Tiếp theo ta đặt log , logu x v y= = (Các bạn tự giải tiếp nhe !) Đáp số: Hệ phương trình có nghiệm ( ) 1 1 ; ; 4 3 x y   = 