ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Tóan Thời gian : 150 phút Câu 1 Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 2 : Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) Câu 3 : Định a và b để đa thức A = x 4 – 6 x 3 + ax 2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 4 : Cho biểu thức : P =         + − +−         + + − + − 2 10 2: 2 1 36 6 4 2 3 2 x x x xxxx x a) Rút gọn p . b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 3 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 5: 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ). Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. Hết 1 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Tóan Câu 1 : Vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1 ⇒ a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ⇔ 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac = 2 1 ( 1 + a 2 + b 2 + c 2 + 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = 2 1 ( 1 + a + b + c ) 2 ≥ 0 ( vì a 2 + b 2 + c 2 = 1 ) Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 Câu 2 : Ta có M = 3 xyz + x ( y 2 + z 2 ) + y ( x 2 + z 2 ) + z ( x 2 + y 2 ) = ( xyz + xy 2 + yx 2 ) + ( xyz + xz 2 + zx 2 ) + ( xyz + yz 2 + y 2 Z ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) Câu 3 : Ta có thể viết : A = x 4 – 6x 3 + ax 2 + bx + 1 = ( x 2 – 3x + k ) 2 = x 4 + 9x 2 + k 2 – 6x 3 + 2kx 2 – 6kx = x 4 – 6x 3 + ( 9 + 2k )x 2 – 6kx + k 2 Đồng nhất 2 vế ta có : a = 9 + 2k (1) b = - 6k (2) 1 = k 2 (3) Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 Ta có : A = x 4 – 6 x 3 + 7 x 2 + 6 x + 1 = ( x 2 – 3 x – 1 ) 2 Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 Ta có : A = x 4 – 6 x 3 + 11 x 2 – 6x + 1 = ( x 2 – 3x + 1 ) 2 Câu 4 : a) p = 2 6 : 2 1 2 2 )2)(2( +         + + − − −+ xxxxx x 2 = xxxxx xxx − = − −= ++− −++− 2 1 2 1 2 6 : )2)(2( 2)2(2 b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định /x/ = 4 3 nên x = 4 3 hoặc x = - 4 3 + Nếu x = 4 3 thì p = 5 4 4 3 2 1 = − + Nếu x = - 4 3 thì p = 11 4 4 3 2 1 = + c) Với p = 7 thì 7 2 1 = − x ⇒ x = 7 13 ( thỏa mãn điều kiện của x ) d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ; Câu 5: . Cho hình vuông ABCD cạnh a, vẽ đường tròn ( c ) đường kính AB, O là tâm đường tròn ( c ), Từ C vẽ tiếp tuyến CT với đường tròn ( c ) khác CB, gọi T là tiếp điểm, gọi E là giao điểm của AD và OT T D O B C A H E a. Đặt DE = x tính theo a, x các cạnh của tam giác OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) Ta có: ( , )DCE TCE EC chung CT CD BC∆ = ∆ = = ET ED x⇒ = = 3 Mà 2 2 a OA AE a x a OE OT TE x ⇒ = = − = + = + Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOE: OE 2 = OA 2 + AE 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 3 ( 0) 3 a a x a x a a x ax a x ax ax a a x a     ⇔ + = + −  ÷  ÷     ⇔ + + = + + − ⇔ = ⇔ = ≠ Đáp số: 3 a x = b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. (1,0 điểm) 2 2 . ( 2 ) 5 2 3 ( ) 2 2 4 4 12 3 OCE a a a x a a CT OE a a x a a S khi x ∆     + +  ÷  ÷ +     = = = = = = Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông BOC: OC 2 = OB 2 + BC 2 = 2 2 2 5 5 4 4 2 a a a a O C+ = ⇔ = 2 2 . 5 5 5 2. : 2 12 2 3 OCE OCE S EH OC a a a S EH OC ∆ ∆ = ⇔ = = = Đáp số: 2 5 5 ; 12 3 OCE a a S EH ∆ = = 4 . ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Môn : Tóan Thời gian : 150 phút Câu 1 Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2. OAE, sau đó tính x theo a (1,0 điểm) b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. Hết 1 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Tóan Câu 1 : Vì a 2 + b 2 +. + = + + − ⇔ = ⇔ = ≠ Đáp số: 3 a x = b. Tính theo a diện tích tam giác OCE và đường cao EH xuất phát từ E của tam giác đó. (1,0 điểm) 2 2 . ( 2 ) 5 2 3 ( ) 2 2 4 4 12 3 OCE a a a x a a CT OE