Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 A. Hệ thống kiến thức cơ bản Phần 1: Tam giác I. Tính chất chung: A B C 1.T/c về góc: Tổng số đo 3 góc trong một tam giác bằng 180 o Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. 2. T/c về cạnh: Mỗi cạnh của tam giác lớn hơn hiệu hai cạnh và nhỏ hơn tổng hai cạnh 3. T/c Về quan hệ cạnh và góc: Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại. 4. T/c các đờng trong tam giác. A a. Đờng trung bình: MN là đờng trùng bình của ABC M N MN // BC ; MN = 1/2BC b. Đờng trung tuyến: B C +G là giao của 3 đờng trung tuyến thì: A - G là trọng tâm của tam giác - GA = AM 3 2 ( GM = AM 3 1 ; GM = )AG 2 1 các trung tuyến còn lại tơng tự. G B M C Mở rộng: -Trung tuyến của tam giác chia tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau - S GAB = S GBC = S GAC c. Đờng trung trực: + T/c trung trực của đoạn thẳng. d là trung trực của đoạn thẳng AB - M thuộc d suy ra MA = MB - NA = NB suy ra N thuộc d + Ba đờng trung trực của tam giác cắt nhau tại một điểm điểm đó cách đều 3 đỉnh của tam giác và điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác. d. Đờng phân giác: + T/c tia phân giác của một góc. - Điểm bất kì nằm trên tia phân giác của một góc cách đều hai cạnh - Điểm cách đều hai cạnh của góc nằm trên tia phân giác. + T/c đờng phân giác trong và ngoài của tam gíac. Đờng phân giác trong và ngoài của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn thẳng đó. A AC AB DC BD CD BD , , == D , B D C Trờng THCS Thụy Phong 1 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 + T/c 3 đờng phân giác trong tam giác: 3 đờng phân giác của tam giác đồng quy tại một điểm , điểm đó cách đều 3 cạnh của tam giác . Điểm đó là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác. + Đờng phân giác trong của một góc và hai đờng phân giác ngoài của hai góc còn lại cắt nhau tại một điểm, điểm đó cách đều 3 đờng thẳng chứa 3 cạnh của tam giác . Điểm đó là tâm đờng tròn bàng tiếp tam giác đó. e. Đờng cao: - Ba đờng cao của tam giác cắt nhau tại một điểm , điểm đó gọi là trực tâm của tam giác f. Đờng song song với một cạnh của tam giác ( Định lí ta let và hệ quả ) II. Tính chất riêng: 1. Tam giác cân: - Hai cạnh bên bằng nhau - Đờng cao , đờng trung trực , đờng trung tuyến, đờng phân giác xuất phát từ đỉnh trùng nhau. + Dấu hiệu nhận biết tam giác cân: - Có hai góc bằng nhau - Có hai cạnh bằng nhau - Có đờng cao đồng thời là đờng trung tuyến . 2. Tam giác vuông: a. Tính chất: - Cạnh huyền lớn hơn mỗi cạnh góc vuông - Tổng hai góc nhọn bằng 90 o A - Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. - Cạnh đối diện với góc 30 o bằng nửa cạnh huyền. b. Các hệ thức lợng trong tam giác vuông: b 2 = a.b , a . h = b. c h 2 = c , . b , 222 111 cbh += B C c. Tỉ số lợng giác của góc nhọn. Cần nhớ: - Định nghĩa tỉ số lợng giác của góc nhọn. - Tỉ số lợng giác của các góc đặc biệt - Mối quan hệ tỉ số lợng giác của hai góc phụ nhau. - Một số công thức: 11 22 =+= = = CosSin;Cotg.Tg; Sin Cos Cotg; cos sin tg - Với nhọn thì: 0 < sin ; cos <1 * Nếu góc tăng từ 0 o đến 90 o thì sin và Tg tăng còn Cos và Cotg giảm 3. Tam giác đều: a. Tính chất: - 3 cạnh bằng nhau - các đờng cao, đờng trung trực, đờng trung tuyến , đờng phân giác xuất phát từ một đỉnh trùng nhau. - Tâm đờng tròn nội tiếp, tâm đờng tròn ngoại tiếp, trực tâm , trọng tâm trùng nhau. b. Dấu hiệu nhận biết. - Tam giác có 3 cạnh bằng nhau - Tam giác có 3 góc bằng nhau - Tam giác cân có một góc bằng 60 o III. Các trờng hợp bằng nhau và đồng dạng của hai tam giác: 1. Hai tam giác thờng: Bằng nhau Đồng dạng Cạnh cạnh cạnh Góc góc Góc cạnh góc Cạnh góc - cạnh Cạnh góc cạnh Cạnh cạnh cạnh Trờng THCS Thụy Phong 2 c b , b h a c , H Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2. Hai tam giác vuông: Bằng nhau Đồng dạng Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. Một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia Cạnh huyền và góc nhọn của tam giác vuông này thứ tự bằng cạnh huyền và góc nhọn của tam giac vuông kia. Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. Cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và canh góc vuông của tam giác vuông kia. Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia. Chú ý: Nếu hai tam giác đồng dạng theo tỉ số k thì: - Tỉ số diện tích bằng k 2 - Tỉ số các đờng cao, đờng trung tuyến, đờng phân giác tơng ứng bằng k - Tỉ số chu vi bằng k - Tỉ số hai bán kính đờng tròn nội tiếp , ngoại tiếp bằng tơng ứng bằng k IV. Một số công thức tính diện tích của tam giác 1. S = h.a 2 1 2. S = SinB.acSinA.bcabSinC 2 1 2 1 2 1 == 3. S = r. cba 2 ++ (r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác) 4. S = R c.b.a 4 ( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) Chú ý: Trong tam giác ABC có: R SinC c SinB b SinA a 2=== ( R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác) Phần 2: Tứ giác I. Tính chất chung: Tổng số đo 4 góc = 360 o II. T/c của một số tứ giác đặc biệt. 1. Hình thang: + Định nghĩa: Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song. + Tính chất: - Tổng hai góc kề một cạnh bên bằng 2v - Đờng trung bình song song với 2 đáy và băng nửa tổng độ dài hai đáy. + Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có hai cạnh song song. - Hai góc kề một cạnh có tổng bằng 180 o 2. Hình thang cân: +Đ/n: Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. + T/c : - Có t/c của hình thang - Hai cạnh bên bằng nhau. - Hai đờng chéo bằng nhau. - Trục đối xứng là đờng thẳng đi qua trung điểm hai đáy. Trờng THCS Thụy Phong 3 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 + Dấu hiệu nhận biết: - Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau - Hình thang có hai đờng chéo bằng nhau. 3. Hình bình hành: + Đ/n: Tứ giác có các cạnh đối song song + T/c: - Có tính chất của hình thang - Tứ giác có Các cạnh đối bằng nhau. - Tứ giác có các cạnh đối song song - Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau - Tứ giác có các góc đối bằng nhau - Tứ giác có hai đờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng. 4. Hình chữ nhật: + Đ/n: Tứ giác có 4 góc vuông + T/c: - Các cạnh đối bằng nhau - Các cạnh đối song song - 2 đờng chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng. - Có hai trục đối xứng và một tâm đối xứng. + Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có 3 góc vuông - Hình bình hành có một góc vuông - Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau - Hình thang cân có một góc vuông. 5. Hình thoi: + Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau. + T/c: - Hai đờng chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng. - Mỗi đờng chéo là phân giác các góc ở đỉnh. - Tâm đỗi xứng là giao điểm của hai đờngchéo. - Hai đờng chéo là hai trục đối xứng. +Dấu hiệu nhận biết: - Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau - Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau - Hình bình hành có hai đờng chéo vuông góc với nhau - Hình bình hành có 2 đờng chéo là phân giác của một góc ở đỉnh. 6. Hình vuông: +Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và có 4 góc vuông. + T/c: - Hai đờng chéo bằng nhau, vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của mỗi đờng ,là phân giác của các góc ở đỉnh. - Có một tâm đối xứng - Có 4 trục đối xứng. + Dấu hiệu nhận biết: - Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. - Hình thoi có một góc vuông - Hình thoi có hai đờng chéo bằng nhau. - Hình chữ nhật có một đờng chéo là phân giác của một góc. - Hình chữ nhật có hai đờng chéo vuông góc nhau. Phần 3 : Đa giác đều * Tính chất: Trờng THCS Thụy Phong 4 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - Tổng các góc trong của một đa giác đều n cạnh là: (n-2).180 o - Số đo mỗi góc là : ((n-2).180 o ):n - Bán kính đờng tròn ngoại tiếp: R = n sin a 180 2 - Bán kính đờng tròn nội tiếp là r = n tg a 180 2 - Diện tích: S = r.P n.r.a = 2 ( P là nửa chu vi) Phần 4: Đ ờng tròn Hình tròn I. Đờng tròn: + Định nghĩa: đờng tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm cách điểm O cho trớc một khoảng bằng R ( R > 0) kí hiệu: (O;R) + Công thức tính độ dài đờng tròn: C = 2 R + Công thức tính diện tích hình tròn: S = R 2 + Công thức tính độ dài cung n o là : l = 180 Rn +Công thức tính diện tích quạt tròn n o là: S = 360 2 nR + Diện tích hình viên phân = S quạt S tam giác. 1. Quỹ tích là đờng tròn: a. { } )R;O(Ocodinh,ROM/M == b. ) AB ;I(VBMA/M 2 1 = = với I là trung điêm của AB. 2. Quỹ tích là cung tròn: = BMA/M là hai cung chứa góc dựng trên đoạn AB. 3. Các cách xác định một đờng tròn: - Biết tâm và bán kính - Qua 3 điểm không thẳng hàng - 3. Tính chất đối xứng của đờng tròn: - 1 tâm đối xứng chính là tâm của đờng tròn - Mỗi đờng kính là một trục đối xứng. 4. Định lí liên hệ giữa đờng kính và dây cung - Đờng kính là dây cung lớn nhất của đờng tròn. - Trong một đờng tròn, đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. - Trong một đờng tròn , đờng kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. 5. Định lí liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm. Trong một đờng tròn : - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngợc lại - Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn va ngợc lại. 6. Vị trí tơng đối của đờng thẳng và đờng tròn, của điểm và đờng tròn, của hai đờng tròn. 7. Tiếp tuyến của đờng tròn: a. Các dấu hiệu nhận biết một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn. - Đờng thẳng chỉ có một điểm chung với đờng tròn. - Khoảng cách từ tâm của đờng tròn đến đờng thẳng bằng bán kính. Trờng THCS Thụy Phong 5 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - Đờng thăngr đi qua một điểm của đờng tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó. b. Tích chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm - Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến. - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. 7 . Liên hệ giữa cung và dây: Trong một đờng tròn hoặc hai đờng tròn bằng nhau: - Dây lớn hơn căng dây lớn hơn. - Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. - Hai dây bằng nhau căng hai dây bằng nhau. ( Chú ý: Ta chỉ xét các cung nhỏ) 8 . Các loại góc trong đờng tròn: Góc nội tiếp, góc ở tâm , góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đờng tròn. ( Định nghĩa, định lí và hệ quả) Chuyên đề 1: Chứng minh một đờng thẳng là tiếp tuyến của một đờng tròn. I/Phơng pháp: - Chứng minh đờng thẳng vuông góc với bán kính tại mút nằm trên đờng tròn. - Chứng minh khoảng cách từ tâm đờng tròn tới đờng thẳng bằng bán kính - Giả sử đờng thẳng a 1 là tiếp tuyến của đờg tròn , chứng minh a trùng với a 1 - Dựa vào t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung. II/ Bài tập áp dụng: Bài 1: Từ điểm A ở ngoài (O) vẽ tiếp tuyến AB ở ngoài (O) . (B là tiếp điểm) kẻ dây BC AO. Chứng minh AC là tiếp tuyến của (O) Bài 2: Cho điểm A ở ngoài (O) . Vẽ ( A;OA) Gọi CD là tiếp tuyến chung của hai đ- ờng tròn C thuộc (O) và D thuộc (A). Đoạn nối tâm OA cắt (O) tại H. Chứng minh: DH là tiếp tuyến của (O) Bài 3: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến Ax và By với nửa đ- ờng tròn . M là điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn, Qua M kẻ tiếp tuyến bất kì với nửa đờng tròn cắt Ax tại C và cắt By tại D. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi O là giao điểm của tia phân giác góc B với AC. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O; OA) Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn có hai đờng cao BD và CE cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh a. MD là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD. b. ME là tiếp tuyến của (AEHD) c. MEOD là tứ giác nội tiếp. Bài 6: Cho (O;R) dây AB bất kì ( AB < 2R) . Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB . Dây MC cắt AB tại D. Chứng minh: Trờng THCS Thụy Phong 6 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 a. AM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD. b. BM là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Bài 7: Cho (O;R) và từ điểm A cách O một khoảng bằng 2R kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) với B, C là các tiếp điểm. Đờng thẳng vuông góc với OB tại O cắt AC tại N, Đ- ờng thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M . Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O). Chuyên đề 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng I. Phơng pháp 1.Ph ơng pháp 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng (Mỗi đoạn có hai đầu là hai trong 3 điểm) tạo thành góc 180 o A B C c/m góc ABC = 180 o Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM, CN . Trên tia đối của tia NC lấy điểm K sao cho KN = NC, trên tia đối của tia MB lấy điểm I sao cho MI = MB. Chứng minh rằng K, A, I thẳng hàng. A N M B C Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi M là một điểm bất kì trên đờng tròn. Gọi I, J, K thứ tự là hình chiếu của M lên các đờng AB, AC, BC Chứng minh rằng I, J , K thẳng hàng. A B C Ví dụ 3: Cho (O) và (O , ) tiếp xúc ngoài tại I . AB và CD là hai đờng kính của (O) và (O , ) ; AB // CD Chứng minh A; I ; D thẳng hàng. 2. Ph ơng pháp 2: Sử dụng tiên đề ơclit Chứng minh hai đờng thẳng đi qua 2 trong ba điểm đó cùng song song với một đ- ờng thẳng cố định Ví dụ1: Cho hình thang ABCD ( AB//CD) . Gọi I là giao của hai đờng phân giác ngoài tại đỉnh A vàD; J là trung điểm của AD , K là trung điểm của BC. Chứng minh: I; J; K thẳng hàng. A B I J K Trờng THCS Thụy Phong 7 . K J I Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 D C Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD , O là giao điểm của hai đờng chéo. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. DE cắt BC tại F, H là trung điểm của EC. Chứng minh: O; F; H thẳng hàng. A B E o F H D C 3. Ph ơng pháp 3: Sử dụng định lí hai đờng thẳng vuông góc: Chứng minh 2 đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm đó cùng vuông góc với một đờng thẳng cố định Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có D thuộc AC, I là chân đờng vuông góc hạ từ D xuống BC. Đờng thẳng qua C vuông góc với BD cắt AB tại K. Chứng minh: K; I và D thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho nửa (O) đờng kính AB . C là một điểm trên nửa đờng tròn . Gọi D là điểm trên tia AC sao cho AD = AB. E là điểm trên đờng kính AB sao cho AE =AC , BC cắt DE tại H , AH cắt (O) tại K. Chứng minh: D; K và B thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho (O) và hai dây không qua tâm AB và CD song song với nhau. Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD. Chứng minh rằng O; I và J thẳng hàng. 4. Ph ơng pháp 4: Chứng minh một đờng thẳng đi qua 2 trong 3 điểm chứa điểm còn lại. - Tâm thuộc đờng kính: Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và đờng cao AH , đờng tròn (H,HA) cắt tia AB tại E cắt AC tại F. Chứng minh E, H và F thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). D là một điểm thoả mãn để tứ giác ABCD la hình bình hành. Đờng thẳng qua A và vuông góc với BD cắt (O) tại H. Chứng minh rằng: H, O và C thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn có đờng cao BD và CE cắt nhau tai H, Gọi I là trung điểm của BC , đờng thẳng qua C và // với BH cắt đờng thẳng qua B và //CH tại D. chứng minh rằng: a. H, I và D thẳng hàng b. A, O , D thẳng hàng ( O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) c. Gọi J và K thứ tự là trung điểm của AH và FE. Chứng minh I, J và K thẳng hàng. - Tâm hình bình hành thuộc đờng chéo của hình bình hành. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD có O là tâm đối xứng. Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của DC. Chứng minh M, O, N thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Đờng cao BD và CE cắt nhau tại H, AO cắt (O ) tại D , gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh: H, I và D thẳng hàng. - Trực tâm thuộc đờng cao: Trờng THCS Thụy Phong 8 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Ví dụ : Cho nửa (O) đờng kính AB . C và D là hai điểm thuộc nửa đờng tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC tại H , AC cắt BD tại E. đờng tròn đờng kính AE cắt đờng kính AB tại I. Chứng minh E, I và H thẳng hàng. - Trọng tâm thuộc trung tuyến: Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đờng chéo. E là điểm đối xứng của A qua B. ED cắt BC tại F, OF cắt EC tại H, OE cắt BC tại G. Chứng minh A, G , H thẳng hàng. 5. Ph ơng pháp 5: chứng minh 3 điểm có cùng một tính chất: + Cách đều hai đầu đoạn thẳng cố định + Cách đều hai cạnh của một góc + Cách đều một đờng thẳng và cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng đó. Ví dụ1: Cho tam giác ABC vuông tại A , D thuộc cạnh AB , H là hình chiếu của B lên DC, BH cắt AC tại E . Gọi O là trung điểm của DE, I là trung điểm của AH , J là trung điểm của BC. Chứng minh: I, J và O thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho hình chữ nhật ABCD với O là tâm . Một góc vuông xAy, tia Ax cắt BC tại E, cắt DC tại F , Ay cắt DC tại P cắt BC tại Q. Gọi I là trung điểm của FQ, J là trung điểm của PE. Chứng minh J, O, I thẳng hàng. Ví dụ 3: Cho tứ giác ABCD có AD không // với BC. Gọi I là giao điểm của hai đờng của góc A và góc B, J là giao điểm của hai đờng phân giác trong của góc D và góc C. K là giao điểm của hai đờng phân giác ngoài tại đỉnh D và C. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. 6. Các ph ơng pháp khác: - A, B , C thẳng hàng AB + BC = AC - Hai điểm là tâm của hai đờng tròn tiếp xúc nhau và tiếp điểm. - Sử dụng t/c trung điểm các cạnh bên và trung điểm các đờng chéo của hình thang thẳng hàng. - Sử dụng vị trí của hai góc đối đỉnh. - Sử dụng t/c các đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ khi đã có 3 điểm tơng ứng thẳng hàng: Ta có B, D, N thẳng hàng nếu == KN KG KD KF KB KE E, F , G thẳng hàng. B E D K G N Bài tập: BT1: Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O) , B thuộc cung BC. đờng thẳng qua P //AB cắt AC tại I , đờng thẳng qua P //AC cắt BC tại J, đờng thẳng qua P //BC cắt AB tại K Chứng minh rằng I; J; K thẳng hàng. BT2: Cho tam giác ABC đờng cao AA , , Gọi I, J, K , L thứ tự là hình chiếu của A , lên AB, AC, BB , và CC , . Chứng minh I, J, K và L thẳng hàng. Trờng THCS Thụy Phong 9 F Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 BT3: Cho hình thang ABCD có O làgiao điểm của hai đờng chéo , hai cạnh bên kéo dài cắt nhau tại I. M, N thứ tự là trung điểm của AB và DC. Chứng minh rằng I, M, N, O thẳng hàng. BT4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi P là điểm đối xứng của H qua trung điểm K của BC. a. Chứng minh A, O , P thẳng hàng. b. Gọi I là trung điểm của AH, J là trung điểm của EF. Chứng minh I, J, K thẳng hàng Chuyên đề: Chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy A. Phơng pháp chung: - Tìm giao của hai đờng thẳng sau đó chứng minh đờng thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của hai đờng thẳng trên. nhờ các phơng pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng. - Chứng minh một điểm thuộc 3 đờng thẳng - Sử dụng các t/c đồng quy của các đờng trong tam giác. - Sử dụng tính chất các đờng thẳng định ra trên hai đờng thẳng song song những đoạn thẳng tỉ lệ. - Chứng minh cho các đờng tròn cùng đi qua một điểm. B. Bài tập: BT1: Cho tam giác ABC trung tuyến AM, các điểm E và D thuộc các cạnh AB và AC sao cho AE = 1/3AB và AD = 1/3 AC. Chứng minh AM , BD và CE đồng quy. BT2: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB , C và D là hai điểm thuộc nửa đờng tròn ( AC < AD ) . Gọi E là giao điểm của BC và AD. F là hình chiếu của E lên AB. Chứng minh AC, BD, EF đồng quy. D C A B BT3: Cho tứ giác lồi ABCD có các cạnh đối không song song , phân giác góc A cắt phân giác góc B tại M, Phân giác góc D cắt phân giác góc C tại N . Chứng minh rằng : AD, BC, MN đồng quy. BT4: Cho tam giác ABC vuông tại A, D thuộc cạnh AC, đờng tròn đờng kính DC cắt BC tại E và cắt BD tại F. Chứng minh AB, ED và CF đồng quy. Chuyên đề 4: Chứng minh tứ giác nội tiếp A. Phơng pháp: - Chứng minh 4 đỉnh cách đều 1 điểm - Chứng minh tổng hai góc đối bằng 2 vuông Trờng THCS Thụy Phong 10 [...]... Phong 15 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Từ (4) và (5) => HAK là tam giác cân tại A có AE là đờng cao nên đồng thời là đơng trung tuyến => E là trung điểm của HK (6) Từ (3) , (4) và (6) => AKFH là hình thoi ( vì có hai đờng chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đờng) (HD) Theo trên AKFH là hình thoi => HA // FH hay IA // FK => tứ giác AKFI là hình thang Để tứ giác AKFI nội tiếp... tâm O) hay MEN = 900 (3) Từ (1), (2), (3) => tứ giác CMEN là hình chữ nhật => EC = MN (tính chất đờng chéo hình chữ nhật ) Trờng THCS Thụy Phong 18 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 2 Theo giả thi t EC AB tại C nên EC là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng tròn (I) và (K) => B1 = C1 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN) Tứ giác CMEN là hình chữ nhật nên => C1= N3 => B1 = N3.(4) Lại có KB = KN... tam giác ABC tại F, chứng minh FBC là tam giác vuông cân 3 Cho biết ABC > 450 ; gọi M là giao điểm của BF và ED, Chứng minh 5 điểm b, k, e, m, c cùng nằm trên một đờng tròn 4 Chứng minh MC là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải: 1 Theo giả thi t ABHK là hình vuông => BAH = 450 Tứ giác AEDC là hình vuông => CAD = 450; tam giác ABC vuông ở A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 +... (1) Theo giả thi t Ta có CD AB; PM AB => CO//PM (2) Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành 3 Xét hai tam giác OMC và NDC ta có MOC = 900 ( gt CD AB); DNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đờng tròn ) => MOC =DNC = 900 lại có C là góc chung => OMC NDC Trờng THCS Thụy Phong 17 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 CM CO => => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN... Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 - Chứng minh hai đỉnh nhìn hai đỉnh còn lại dới một góc vuông - Chứng minh hai đỉnh liên tiếp nhìn hai đỉnh còn lại dới hai góc bằng nhau B Bài tập: BT1: Cho tam giác ABC có các đờng cao AD , BE, CF cắt nhau tại H a Chứng minh tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp b Trên hình có bao nhiêu tứ giác nội tiếp BT2: Cho tam giác ABC nhọn đờng cao AH Gọi D , E thứ tự là hình chiếu của... AEB vuông tại A có EC AB (gt) => EC2 = AC BC EC2 = 10. 40 = 400 => EC = 20 cm Theo trên EC = MN => MN = 20 cm 4 Theo giả thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) = OA2 = 252 = 625 ; S(I) = IA2 = 52 = 25 ; S(k) = KB2 = 202 = 400 1 Ta có diện tích phần hình đợc giới hạn bởi ba nửa đờng tròn là S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 2 1 1 S = ( 625 - 25 - 400 ) = 200 = 100 ... OQ lớn nhất nên QH lớn nhất Bài 22 Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đờng thẳng vuông góc với DE, đờng thẳng này cắt các đờng thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K 1 Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp 2 Tính góc CHK 3 Chứng minh KC KD = KH.KB 4 Khi E di chuyển trên cạnh BC thì H di chuyển trên đờng nào? Lời giải: 1 Theo giả thi t ABCD là hình vuông nên BCD = 900; BH DE tại H nên BHD... mà BDC = 450 (vì ABCD là hình vuông) => CHK = 450 3 Xét KHC và KDB ta có CHK = BDC = 450 ; K là góc chung KC KH = => KHC KDB => => KC KD = KH.KB KB KD 4 (HD) Ta luôn có BHD = 900 và BD cố định nên khi E chuyển động trên cạnh BC cố định thì H chuyển động trên cung BC (E B thì H B; E C thì H C) Bài 23 Cho tam giác ABC vuông ở A Dựng ở miền ngoài tam giác ABC các hình vuông ABHK, ACDE 1 Chứng minh... MM AB tại H => MM// SS ( cùng vuông góc với AB) => AMM = ASS; AMM = ASS (vì so le trong) (2) => Từ (1) và (2) => ASS = ASS Trờng THCS Thụy Phong 16 Bùi Văn Bằng Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Theo trên bốn điểm A, M, S, P cùng nằm trên một đờng tròn => ASP=AMP (nội tiếp cùng chắn AP ) => ASP = AMP => tam giác PMS cân tại P 3 Tam giác SPB vuông tại P; tam giác SMS vuông tại M => B1 = S1 (cùng phụ với... nên tam giác BFC vuông tại F (1) FBC = FAC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) mà theo trên CAD = 450 hay FAC = 450 (2) Từ (1) và (2) suy ra FBC là tam giác vuông cân tại F 3 Theo trên BFC = 900 => CFM = 900 ( vì là hai góc kề bù); CDM = 900 (t/c hình vuông) => CFM + CDM = 1800 mà đây là hai góc đối nên tứ giác CDMF nội tiếp một đờng tròn suy ra CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC là hình vuông) => CMF = 450 . toán ôn thi vào lớp 10 2. Hai tam giác vuông: Bằng nhau Đồng dạng Hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia. Một góc nhọn của tam giác vuông này. tam giác vuông kia. Cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và canh góc vuông của tam giác vuông kia. Cạnh góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này tỉ lệ. hiệu nhận biết: - Tứ giác có 3 góc vuông - Hình bình hành có một góc vuông - Hình bình hành có hai đờng chéo bằng nhau - Hình thang cân có một góc vuông. 5. Hình thoi: + Đ/n: Tứ giác có 4 cạnh