Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ÔN luyện thi vào TH - PT Rút gọn biểu thức chứa căn Phần I. Các kiến thức cần nhớ. Các hằng đẳng thức: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + = + + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 2) (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = + 2 ( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 3) a 2 b 2 = (a + b).(a b) = + a b ( a b).( a b) (a,b 0) 4) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 5) (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 6) + = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) + = + = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 7) = + + 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) = = + + 3 3 a a b b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 8) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc 9) + + = + + + + + 2 ( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b 0) 10) = 2 a a Phần II. Phân dạng bài tập: Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: a) 10. 40 b) 5. 45 c) 2. 162 d) 9 169 e) 12,5 0,5 f) g) Bài 2. Rút gọn A = 4 + 2 3 1 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi 3. Rót gän B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bµi lµm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1 13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bµi 4. Rót gän − −C = 13 160 53 + 4 90 Bµi lµm: − − = − + − + = − − = − − = − 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bµi 5. Rót gän + +40 60G = 10 + 24 Bµi lµm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bµi 6. Rót gän A = 3 + 5 + 3 - 5 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 2 A = 6 + 2 = A = 4 10 10 Bµi 7. Rót gän 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bµi lµm: 2 3 2 3 6 6 2 − + + 3 3 A = = 2 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 8. Rút gọn 5 5 5 5 + + + 7 7 A = 7 7 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 3 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: + + = + ữ ữ ữ ữ + x x 9 3 x 1 1 C : 9 x 3 x x 3 x x a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Bài 1. Cho biểu thức: = + + 2 A 2x x 6x 9 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của A khi x = - 5 Bài 2. Cho biểu thức: = + 1 1 B 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức B tại x = 4 Bài 3. Cho biểu thức: = + + ữ ữ + 2 1 1 C 1 a : 1 1 a 1 a Tính giá trị của biểu thức C tại a = 1 và a = + 3 2 3 Bài 4. Cho biểu thức: = + ữ ữ + + 1 1 1 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x Tính giá trị của biểu thức tại x = 3 2 2 Dạng 3: Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức. 4 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 Bài 1. Cho biểu thức: = + 2 A 4x 4x 12x 9 Tính giá trị của x biết A = - 15 Bài 2. Cho biểu thức: = + ữ ữ ữ ữ + + + + a a a a a B : b a a b a b a b 2 ab Biết rằng khi = a 1 b 4 thì B = 1. Tìm a; b Hàm số bậc nhất. Dạng 1: Điểm thuộc đờng thẳng. D.1.1: Chứng minh ba điểm thuộc đờng thẳng. D.1.2: Tìm toạ độ của điểm khi biết điểm thuộc đờng thẳng. D.1.3: Tìm giá trị tham số khi biết điểm thuộc đờng thẳng. Dạng 2: Giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.1: Tìm giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.2: Tìm giá trị một tham số khi biết giao điểm của hai đờng thẳng. D.2.3: Tìm 2 giá trị tham số khi biết giao điểm của 2 đờng thẳng. Dạng 3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm. D.3.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(x 1 ; y 1 ); B(x 2 ; y 2 ) với x 1 x 2 ; y 1 y 2 . D.3.2: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có hoành độ bằng nhau và tung độ khác nhau. D.3.3: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm có tung độ bằng nhau và hoành độ khác nhau. D.3.4: Tìm giá trị tham số để đờng thẳng đi qua 2 điểm. Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng. D.4.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. D.4.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng. Dạng 5: Ba đờng thẳng đồng qui. D.5.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng qui. D.5.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui. Dạng 6: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng. D.6.1: Hai đờng thẳng song song. D.6.2: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung. D.6.3: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục hoành. D.6.4: Hai đờng thẳng trùng nhau. Dạng 7: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. 5 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 D.7.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. D.7.2: Tìm giá trị của tham số để phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. Dạng 8: Tìm giá trị tham số khi biết góc tạo bởi đờng thẳng với trục hoành. Rút gọn biểu thức chứa căn Dạng 1: Tính - Rút gọn biểu thức không có điều kiện: Bài 1. Tính: h) 10. 40 i) 5. 45 j) 2. 162 k) 9 169 l) 12,5 0,5 m) 12,5 0,5 n) 49 81 Bài 2. Rút gọn A = 4 + 2 3 Bài 3. Rút gọn B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 Bài làm: = = = = = = = = 2 2 2 B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 13 + 30 2 + 8 + 2 8 +1 13 + 30 2 + 8 + 1) 13 + 30 2 + 8 +1 13 + 30 2 + 2 2 +1 13 + 30 2 +1) 18 + 2 18.5 + 25 18 + 5) 2 + 5 ( ( ( 3 Bài 4. Rút gọn C = 13 160 53 + 4 90 Bài làm: = + + = = = 2 2 2 5 8 ( ) ( ) 3 4 C = 13 160 53 + 4 90 8 5.8 45 + 2 45.8 8 5 45 + 8 8 5 5 - 8 5 Bài 5. Rút gọn + +40 60G = 10 + 24 Bài làm: + + = + + = + + = + + 2 40 60 . 2. 2. 5 2. 3. 5 ( 5) 5 G = 10 + 24 2 + 3 + 5 + 2. 2 3 2 3 2 3 Bài 6. Rút gọn A = 3 + 5 + 3 - 5 6 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi lµm: NhËn xÐt: > 0A = 3 + 5 + 3 - 5 ( ) 2 2 ) 2 2 A = 3 + 5 + 3 - 5 A = 3 + 5 + 3 - 5 = 3 + 5 + 2 3 - ( 5 + 3 - 5 ⇒4 10 10 2 A = 6 + 2 = A = Bµi 7. Rót gän 1 1 3 2 6( 2) + + + 1 A = 3 3 Bµi lµm: 2 3 2 3 6 6 2 − + + 3 3 A = = Bµi 8. Rót gän 5 5 5 5 + − + − + 7 7 A = 7 7 Bµi 9. Rót gän − −F = 4 + 7 4 7 Bµi lµm: − − ⇒ − − + − + + − − + − + = ⇒ 2 2 2 2. 2. 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 2 F = 4 + 7 4 7 .F = 4 + 7 4 7 = 7 + 2. 7 7 - 2. 7 = 7 7 = 7 7 F = 2 Bµi 10. Rót gän − 3 3 A = 5 + 2 13 5 - 2 13 Bµi lµm: 7 Ph¹m V¨n HiÖu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + 3 2 2 5 2 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 3 . 5 2 5 2 3 )(5 2 .A 3 27.A 9.A 9.A 10 ( 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 A = 5 + 2 13 13 = 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 5 + 2 13 13 5 + 2 13 13 = 10 (5 + 2 13 13) = 10 A = 10 A = 0 A - 1)(A + A + 10) = 0 A - 1 = 0 A = 1 Bài tập về nhà: Rút gọn các biểu thức sau: a) 6 - 11 - 6 + 11 b) + 3 3 2 7 7 7 c) + 6 10 6 10 3 3 3 3 d) + + 1 1 5 1 12 3 2 6 1 3 3 Dạng 2: Rút gọn biểu thức có điều kiện: Bài 1. Rút gọn biểu thức: a) + 5 5 2 x x (Với x 5 ) b) + + 2 2 x x 2 2.x 2 2 (Với x 2 ) Bài 2. Rút gọn biểu thức: 8 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 a) 2 9x 2x (Với x < 0) b) + + 2 x 4 16 8x x (Với x > 4) Bài 3. Rút gọn biểu thức: a) 2 4(a 3) (Với a 3 ) b) 2 2 b (b 1) (Với <b 0 ) Bài 4. Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) + x y y x x y x y (Với x > 0 và y > 0) Bài 5. Rút gọn biểu thức: + + = + + + x 1 2 x 2 5 x P 4 x x 2 x 2 (Với x 0 và x 4) Bài 6. Rút gọn biểu thức: + = + + a b a b M a b a b (Với a 0, b 0 và a b) Bài 7. Cho biểu thức: + (2 x y)(2 x y) a) Tìm điều kiện để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức với điều kiện trên. Bài 8. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ 1 1 a 1 a 2 Q : a 1 a a 2 a 1 a) Tìm điều kiện để Q xác định. b) Rút gọn Q. Bài 9. Cho biểu thức: + + = ữ ữ ữ ữ + + + 3 3 2x 1 x x 1 B . x x x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện để B xác định. b) Rút gọn B. Bài 10. Cho biểu thức: + + = + ữ ữ ữ ữ + x x 9 3 x 1 1 C : 9 x 3 x x 3 x x a) Tìm điều kiện để C xác định. b) Rút gọn C. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. 9 Phạm Văn Hiệu V× sù nghiÖp gi¸o dôc 2009 - 2010 2008 Bµi 1. Cho biÓu thøc: = + − + 2 A 2x x 6x 9 TÝnh gi¸ trÞ cña A khi x = - 5 Bµi 2. Cho biÓu thøc: = − − + 1 1 B 1 x 1 x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B t¹i x = 4 Bµi 3. Cho biÓu thøc:     = + − +  ÷  ÷ +   −   2 1 1 C 1 a : 1 1 a 1 a TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C t¹i a = 1 vµ a = + 3 2 3 Bµi 4. Cho biÓu thøc:     = + − −  ÷  ÷ − + − +     1 1 1 1 D : x 1 x 1 x 1 x 1 x TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x = −3 2 2 Bµi 5. Cho biÓu thøc: x 1 1 8 x 3 x 2 E : 1 9x 1 3 x 1 1 3 x 3 x 1     − − = − + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − − + +     TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc t¹i x = −3 2 2 D¹ng 4: T×m gi¸ trÞ cña biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cña biÓu thøc. Bµi 1. Cho biÓu thøc: = − − + 2 A 4x 4x 12x 9 TÝnh gi¸ trÞ cña x biÕt A = - 15 Bµi 2. Cho biÓu thøc:     = + −  ÷  ÷  ÷  ÷ − + + + +     a a a a a B : b a a b a b a b 2 ab BiÕt r»ng khi = a 1 b 4 th× B = 1. T×m a; b Bµi 3. Cho biÓu thøc: 10 Ph¹m V¨n HiÖu [...]... công việc là 1 đơn vị + Tìm trong 1 đv thời gian đối tợng tham gia bài toán thực hiện đợc bao nhiêu phần công việc Phần công việc = 1 thoigian Bài 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 8 giờ thì xong Nếu ngời thứ nhất làm trong 6 giờ sau đó dừng lại và ngời th hai làm tiếp trong 9 giờ nữa thì sẽ hoàn thành công việc Hỏi mỗi ngời làm một mình trong bao lâu thì xong công việc? Giải: Cách 1: Gọi... Tìm độ dài hai cạnh góc vuông Dạng 8: Toán phần trăm Bài tập: Trong một kho giấy có 1500 tấn giấy loại I và II Sau đó ngời ta bổ sung vào trong kho thêm 255 tấn giấy cả hai loại Trong đó giấy loại I bằng 15% lợng giấy loại I trong kho, giấy loại II bằng 20% lợng giấy loại II trong kho Hỏi ban đầu lợng giấy loại I và loại II trong kho là bao nhiêu? Dạng 9: Toán quan hệ giữa hai số Bài 1: Tìm hai số tự... giáo dục 2009 - 2010 2008 Cách 2: Gọi số phần công việc ngời thứ nhất làm trong 1giờ là: x (x > 0) Và số phần công việc ngời thứ hai làm trong 1giờ là: y (y > 0) - Do hai ngời làm chung trong 8 giờ thì xong công việc nên ta có: x + y = 1 8 8x + 8y = 1 (1) Do ngời thứ nhất làm trong 6 giờ và ngời thứ hai làm tiếp trong 9 giờ thì xong công việc nên ta có pt: 6x + 9y = 1 (2) 1 x = 24 8x + 8y = 1 Từ (1)... thứ nhất làm một mình thì xong công việc là: x(giờ) (x > 0) Gọi thời gian ngời thứ hai làm một mình thì xong công việc là: y(giờ) (y> 0) 1 Trong 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc: (công việc) x 1 Trong 1 giờ ngời thứ hai làm đợc: (công việc) y 1 1 1 1 (công việc) nên ta có: + = (1) x y 8 8 6 Trong 6 giờ ngời thứ nhất làm đợc: (công việc) x Vậy trong 1 giờ cả hai ngời làm đợc - - Trong 9 giờ ngời thứ hai làm... đợc trong tháng1 là x(sản phẩm) (x > 0, x Z) Và số sản phẩm của tổ II sản xuất đợc trong tháng 1 là y(sản phẩm) (y> 0, y Z) Do cả hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm đợc 900 sản phẩm nên ta có: x + y = 900 (1) 33 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 90 (sản phẩm) x 100 120 (sản phẩm) Trong tháng 2 tổ II sản xuất đợc: y 100 Trong tháng 2 tổ I sản xuất đợc: Do tổng số sản phẩm trong tháng... dài ban đầu của HCN là 10 (m) Và chiều rộng ban đầu của HCN là 8 (m) Bài 2: Hai tổ sản xuất trong tháng 1 làm đợc 900 sản phẩm Sang tháng 2 do sự thay đổi nhân sự nên số sản phẩm của tổ I bằng 90% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ I; số sản phẩm của tổ II bằng 120% số sản phẩm ở tháng 1 của tổ II Vì vậy tổng số sản phẩm trong tháng 2 của cả hai tổ là 960 sản phẩm Hỏi trong tháng 1 mỗi tổ sản xuất đợc bao... 15 = 13 Bài 2: Trong phòng học có một số ghế dài Nếu xếp mỗi ghế ba HS thì sáu HS không có chỗ Nếu xếp mỗi ghế bốn HS thì thừa một ghế Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu ghế và bao nhiêu HS HD: Gọi số ghế là: x ( x Ơ * ) Gọi số HS là: y ( y Ơ * ) 3x + 6 = y Lập đợc hệ: ĐS: x = 10 và y = 36 4(x 1) = y Bài 3: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định Nếu giảm ba ngời thì thời... trong một thời gian quy định Nếu giảm ba ngời thì thời gian kéo dài sáu ngày Nếu tăng thêm hai ngời thì xong sớm hai ngày Hỏi theo quy định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của mọi thợ đều nh nhau? HD: Gọi số thợ cần thi t là: x (ngời, x Ơ * ) Gọi thời gian cần thi t là: y (ngày, y Ơ * ) 1 (x 3)(y + 6) xy = 1 Lập đợc hệ: ĐS: x = 8 và y = 10 (x + 2)(y 2) 1... bay cánh quạt từ Đà Nẵng đi Hà Nội Sau đó 10phút một máy bay phản lực từ Hà Nội bay đi Đà Nẵng với vận tốc lớn hơn vận tốc của máy bay cánh quạt là 300km/h Nó đến Đà Nẵng trớc khi máy bay kia đến Hà Nội 10 phút Tính vận tốc của mỗi máy bay HD: Gọi vận tốc của máy bay cánh quạt là: x (km/h, x > 0) Khi đó vận tốc của máy bay phản lực là: x + 300 (km/h) 600 1 600 1 Lập đợc pt: = + + ĐS: x = 600 x 6 x... điện trở 1 là 6 Dạng 6: Toán năng xuất kế hoạch + Gồm ba đại lợng: Tsp; Ns; t Tsp Tsp + Quan hệ: Tsp = Ns.t; t = ; Ns = Ns t Bài tập: Một tổ công nhân theo kế hoạch phải sản suất 1200sp trong một thời gian nhất định Nhng trong thực tế sau khi làm xong 12 tiếng với năng suất dự định thì tổ công nhân cải tiến kĩ thuật tăng năng suất lên 5 sản phẩm trong 1 giờ Vì vậy họ đã hoàn thành số sản phẩm đó trớc . 2 điểm. Dạng 4: Ba điểm thẳng hàng. D.4.1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng. D.4.2: Tìm giá trị tham số để ba điểm thẳng hàng. Dạng 5: Ba đờng thẳng đồng qui. D.5.1: Chứng minh ba đờng thẳng đồng. đi qua một điểm và song song với đờng thẳng cho trớc. 5 Phạm Văn Hiệu Vì sự nghiệp giáo dục 2009 - 2010 2008 D.7.1: Lập phơng trình đờng thẳng đi qua một điểm và song song với đờng thẳng. đờng thẳng đồng qui. D.5.2: Tìm giá trị tham số để ba đờng thẳng đồng qui. Dạng 6: Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng. D.6.1: Hai đờng thẳng song song. D.6.2: Tìm giá trị tham số để hai đờng thẳng