Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác BÀI GI NG 01 PHƯƠNG TRÌNH ð NG C P ð I V I SIN, COS (TÀI LI U BÀI GI NG) Bài PHƯƠNG TRÌNH ð NG C P B C NH T V I SINX, COSX Phương pháp chung: a sin x + b cos x = c; a + b > (1) Cách (1) ⇔ V i a a + b2 c a +b = sin α ; a = a +b b a2 + b2 sin x + = cos α ; b cos x = cos( x − α ) a + b2 c = cos β ⇒ x = α ± β + 2kπ a2 + b2 Chú ý: (1) có nghi m ⇔ c ≤ a + b x Cách Xét cos = nghi m c a (1) ⇔ b + c = Xét b + c = ð t t = tan x 2t 1− t2 sin x = ; cos x = Khi 1+ t2 1+ t2 (1) ⇔ f (t ) = (c + b)t − 2at + (c − b) = Cách Phân tích thành phương trình tích Các t p m u minh h a Bài Gi i phương trình: 3sin x − cos x = + sin x Gi i 3sin x − cos x = + 4sin 3 x ⇔ (3sin x − 4sin 3 x) − cos x = ⇔ sin x − cos x = ⇔ π  sin x − cos x = ⇔ sin  x −  = 2 3  π π π 2kπ    x − = + kπ  x = 18 + ⇔ ⇔ (k ∈ Z ) 9 x − π = 5π + 2kπ  x = 7π + 2kπ   54   Bài Gi i phương trình: cos x.cos x − sin x = − sin x.sin x (1) Gi i: (1) ⇔ (cos x.cos x + sin x.sin x) − sin x = ⇔ cos(7 x − x) − sin x = ⇔ cos x − sin x = Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun ñ –Phương trình lư ng giác π π cos x − sin x = ⇔ cos cos x − sin sin x = 2 3 π π π −π  ⇔ cos  x +  = ⇔ x + = ± + 2kπ ⇔ x = kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 3 3  ⇔ Bài Gi i phương trình: 2(sin x + cos x) cos x = + cos x (1) Gi i: (1) ⇔ sin x + 2(1 + cos x) = + cos x ⇔ sin x + ( − 1) cos x = − ( ) ( ( ) ) a + b = 2 + − = − 2  Ta có:  Ta s ch ng minh: a2 + b2 < c2 c = − = 11 −  ⇔ − 2 < 11 − ⇔ (4 2)2 < 62 ⇔ 32 < 36 (đúng) V y (1) vơ nghi m π π π    Bài Gi i phương trình: 3sin  x −  + 4sin  x +  + 5sin  x +  = 3 6 6    Gi i: π π  π  π   ⇔ 3sin  x −  + cos  −  x +   = −5sin  x +  3  6   2  π  π   π  ⇔ 3sin  x −  + cos  − x  = 5sin  x +  + π  3 6  3    ð t: sin α = ; cos α = 5 π π 7π     ⇔ cos α sin  x −  + sin α cos  x −  = sin  x +  3 3       π 7π  ⇔ sin  x −  + α  = sin  x + 3    π α kπ 9π α kπ  + + ∨x= − + ⇔ x= 24 36  Bài Gi i phương trình: 4sin x cos x + cos3 x sin x + 3 cos x = (1) Gi i: (1) ⇔ [3sin x − sin x ] cos x + [3cos x + cos 3x ] sin 3x + 3 cos x = ⇔ [sin x cos x + sin 3x cos x ] + 3 cos x = ⇔ sin x + cos x = ⇔ π π π  sin x + cos x = ⇔ cos sin x + sin cos x = sin  x +  = 2 3 3  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương ⇔ x= Chun đ –Phương trình lư ng giác −π kπ π kπ + ∨x= + ) (k ∈ Z) 24 Bài Gi i phương trình: 3sinx + cosx = Gi i: Ta có 3sin x + cos x = ⇔ 3sin x = − cos x x x x x x x ⇔ 6sin cos = 2sin ⇔ 2sin  3cos − sin  = Xét kh 2 2 2 x x = ⇔ = kπ ⇔ x = kπ 2 x x x x b 3cos − sin = ⇔ tan = ⇔ = α + kπ ⇔ x = 2α + 2kπ (k ∈ Z ) 2 2 a sin Bài Gi i phương trình: sinx + 5cosx = (1) Gi i: x x  x x  x x  (1) ⇔ 5cos x = − sin x ⇔  cos − sin   cos + sin  =  cos − sin  2  2  2  x x  x x x x  ⇔  cos − sin  cos + 6sin  = ⇔ tan = ∨ tan = − = tan α 2  2 2  π x π x ⇔ = + kπ ∨ = α + kπ ⇔ x = + 2kπ ∨ x = 2α + 2kπ ( k ∈ Z ) 2 Bài Gi i phương trình: sin x + cos x + sin x + cos x = 2 (1) Gi i: 1  π  cos x  = 2sin  x +  Ta có: sin x + cos x =  sin x + 3  2  π  ð t t = sin x + cos x = 2sin  x +  ⇒ ≤ t ≤ , 3  (1) ⇔ t + t = ⇔ t = − t ⇔ t = (2 − t ) ⇔ t − 5t + = ⇔ t = ∈ [ 0; 2] −π π π π   ⇔ 2sin  x +  = ⇔ sin  x +  = ⇔ x = + kπ ∨ x = + k π ( k ∈ Z ) 3 3   Bài Gi i phương trình: (1 + 3) sin x + (1 − 3) sin x = (1) Gi i: Do b + c = (1 + 3) + = − ≠ nên cos Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t x = không nghi m c a (1) T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương ð t t = tan Chuyên ñ –Phương trình lư ng giác x 2t 1− t2 cos x = , ⇒ sin x = 1+ t2 1+ t2 (1) ⇔ (1 + 3) 2t 1− t2 + (1 − 3) = ⇔ 2(1 + 3)t + (1 − 3)(1 − t ) = 2(1 + t ) 2 1+ t 1+ t ⇔ (3 − 3)t − 2(1 + 3)t + (1 + 3) = ⇔t= x x 1+ 5π 5π π π ∨t = − ⇔ tan = tan ∨ tan = tan ⇔ x = + kπ ∨ x = + 2kπ 12 1− Bài 10 Gi i phương trình: sin x + ( − 2) cos x = (1) Gi i: Do b + c = ( − 2) + = − ≠ nên cos ð t t = tan 3x = không nghi m c a (1) 3x 2t 1− t2 , ⇒ sin x = cos x = 1+ t2 1+ t2 (1) ⇔ 2t + ( − 2)(1 − t ) = + t ⇔ (1 − 3)t + 2t + ( − 3) = t = π kπ 3x 3x 2π 2kπ (k ∈ Z ) ⇔ ⇔ tan = ∨ tan = 3⇔x= + ∨x= + 2 t =  −π π  Bài 11 Tìm m đ 2sin x + m cos x = − m (1) có nghi m x ∈  ;   2 Gi i Do b + c = m + (1 − m) ≠ nên cos ð t t = tan x = không nghi m c a (1) 2t 1− t2 x (1) ⇔ + m = 1− m 1+ t2 1+ t2 ⇔ 4t + m(1 − t ) = (1 − m)(1 + t ) ⇔ f (t ) = t − 4t + − 2m = Cách 1: Yêu c u toán ⇔ f (t ) = t − 4t + − 2m = có nghi m t ∈ [ −1;1] Xét f (−1) = ⇔ − 2m = ⇔ m = th a mãn Xét f (1) = ⇔ −2 − 2m = ⇔ m = −1 th a mãn Xét f (t ) = có nghi m t ∈ [ −1;1] nghi m t ∉ [ −1;1] ⇔ f ( −1) f (1) = (6 − 2m)( −2 − 2m) < ⇔ (2m − 6)(2m + 2) < ⇔ −1 < m < Xét f (t ) = có nghi m t1, t2 th a mãn −1 < t1 ≤ t2 < S   ⇔ ∆ ' ≥ 0;1 f ( −1) > 0; f (1) > 0; − < < 1 , h vô nghi m    −π π  K t lu n: (1) có nghi m x ∈  ;  ⇔ −1 ≤ m ≤  2 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác Cách 2: f (t ) = t − 4t + − 2m = có nghi m t ∈ [ −1;1] 1 g (t ) = t − 2t + = m có nghi m t ∈ [ −1;1] 2 Ta có: g’(t) = t – < ∀ t ∈ [ −1;1] ⇒ g (t ) ngh ch bi n [ −1;1]  −π π  Suy t p giá tr g(t) ño n [ g (1); g (−1)] ≡ [ −1;3] T (1) có nghi m x ∈  ;   2 ⇔ g (t ) = m có nghi m t ∈ [ −1;1] ⇔ −1 ≤ m ≤ II PHƯƠNG TRÌNH ð NG C P B C V I SINX , COSX Phương pháp chung a sin x + b sin x cos x + c cos x + d = v i a + b > (1) Bư c 1: Xét cosx = có nghi m c a (1) hay khơng ⇔ a + d = Bư c 2: Xét a + d ≠ ⇒ cos x = không nghi m c a (1) Chia c v c a (1) cho cos2x ≠ ta nh n đư c phương trình (1) ⇔ a tan x + b tan x + c + d (1 + tan x) = ð t t = tanx (1) ⇔ f (t ) = (a + d )t + bt + (c + d ) = Bư c 3: Gi i bi n lu n f (t ) = ⇒ nghi m t0 = tan x ⇒ nghi m x Các t p m u minh h a Bài a Gi i phương trình: sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x – = b Gi i phương trình: sin2x – 3sinxcosx +1 = Gi i: a sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x – = (1) sin x = cos x =  ⇔ N u cosx = nghi m c a (1) t (1) ⇒  sin x = sin x − =  ⇒ Vô lý Chia v c a (1) cho cos2x ≠ ta nh n ñư c (1) ⇔ tan x + tan x + − 3(1 + tan x) = ⇔ tan x − tan x =  x = kπ  tan x = ⇔ tan x (1 − tan x) = ⇔  ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ tan x =   b sin x – 3sinxcosx +1 = (2) cos x = N u cosx = nghi m c a (2) t (2) ⇒  ⇒ Vơ lý sin x + = Chia v c a (2) cho cos2x ≠ ta nh n ñư c phương trình (2) ⇔ tan x − tan x + (1 + tan x) = ⇔ tan x − tan x + = Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác π  π   tan x = = tan  x = + kπ ( k ∈ Z ) (tan x − 1)(2 tan x − 1) = ⇔  ⇔   tan x = = tan α  x = α + kπ   Bài a Gi i phương trình: sin x cos x + cos x = 2sin x +  5π  π   3π  b GPT: 3sin x(3π − x) + 2sin  + x  cos  + x  − 5sin  + x = 2       Gi i: a Phương trình ⇔ 2sin x − sin x cos x − cos x + = (1) = ⇒ Vô lý Chia v c a (1) cho cos2x ≠ ta nh n ñư c phương trình (1) ⇔ tan x − tan x − + (1 + tan x) = ⇔ tan − tan x − = π π − ⇔ tan x = = tan ∨ tan x = = tan α ⇔ x = + kπ ∨ x = α + kπ (k ∈ Z ) b N u cosx = nghi m c a (1) t (1) ⇒ 2sin x +  5π  π   3π  3sin x(3π − x) + 2sin  + x  cos  + x  − 5sin  + x =   2    2 ⇔ 3sin x − 2sin x cos x − 5cos x = (2) cos x = N u cosx = nghi m c a (2) t (2) ⇒  ⇒ Vô lý sin x = Chia v c a (2) cho cos2x ≠ ta nh n ñư c phương trình −π  −π   tan x = −1 = tan  x = + kπ ( k ∈ Z ) (2) ⇔ tan x − tan x − = ⇔  ⇔   tan x = = tan α  x = α + kπ   Bài Gi i phương trình: a sin x + cos x = cos x b.4sin x + cos x = cos x Gi i: a sin x + cos x = sin x + cos x ⇔ = ⇔ tan x + = + tan x cos x cos x cos x  tan x = π   ⇔ tan x − tan x = ⇔ tan x(tan x − 3) = ⇔  ⇔ x ∈  kπ ; + kπ     tan x = b 4sin x + cos x = 4sin x + cos x ⇔ = ⇔ tan x + = + tan x ⇔ cos x cos x cos x Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác −π −π    tan x = −1 = tan ⇔  x = + kπ ( k ∈ Z ) tan x − tan x − = ⇔ (tan x + 1)(tan x − 5) = ⇔    tan x = = tan α  x = α + kπ Bài Gi i phương trình: sin x + 2sin x − 3cos x − 3 15 = (1) Gi i cos x =  N u cosx = nghi m c a (1) t (1) ⇒  ⇒ Vơ lý 7 sin x = 3 15  Chia v c a (1) cho cos2x ≠ ta nh n đư c phương trình: tan x + tan x − − 3 15(1 + tan x) = ⇔ (7 − 3 15) tan x + tan x − (3 + 3 15) = (2) Ta có ∆ ' = 25 + 12 15 − 152 ð t t = 15 ⇒ t = 15 ⇒ t = 25 , ta s ch ng minh ∆ ' < Th t v y, ta có: 5 12  12  ∆ ' = t − 9t + 12t = t (t − 3)  t −  Do (2, 4)3 < 15 < 33 ⇔ 2, = < t = 15 < 3 5  nên suy ra: ∆ ' < ⇒ (2) vô nghi m ⇒ (1) vô nghi m  π Bài Tìm m đ : m cos x − 4sin x cos x + m − = có nghi m x ∈  0;   4 Gi i:  π V i x ∈  0;  cosx ≠ nên chia v phương trình cho cos2x ≠ ta có phương trình  4 m – 4tanx + (m – 2)(1 + tan2x) = ð t t = tanx x ∈ (0;1) Khi đó: (m – 2)t2 – 4t + 2m – = ⇔ m(t + 2) = 2t + 4t + ⇔ g (t ) = 2(t + 2t + 1) −4(t − t − 2) 4(2 − t )(t + 1) = > 0, ∀t ∈ (0;1) = m Ta có g '(t ) = t2 + (t + 2) (t + 2)2 ⇒ g(t) tăng / (0; 1) ⇒ g(t) = m có nghi m t ∈ (0;1) ⇔ m ∈ ( g (0); g (1) ) ≡ (1; 2) Bài Cho phương trình: sin2x + (2m – 2)sinxcosx – (m + 1)cos2x = m (1) a Gi i phương trình m = -2 b Tìm m đ phương trình có nghi m Gi i N u cosx = nghi m c a phương trình (1) t (1) suy m =  cos x = m = m = sin x =  ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  π  sin = m sin x = cos x = sin x = m  x = + kπ  N u m ≠ cosx = khơng nghi m c a (1), chia v c a (1) cho cos2x ≠ ta có phương trình: tan2x + (2m – 2)tanx – (m + 1) = m(1 + tan2x) ⇔ f (tan x) = ( m − 1) tan x − 2( m − 1) tan x + 2m + = Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương a N u m = - (1) ⇔ −3(tan x − 1) = ⇔ x = Chun đ –Phương trình lư ng giác π + kπ m = m =   b (1) có nghi m ⇔  m ≠ ⇔  m ≠ ⇔ −2 ≤ m ≤      ∆ '0  −m − m + ≥ Bài Cho phương trình: cos2x – sinxcosx – 2sin2x – m = (1) a Gi i phương trình (1) m = b Gi i bi n lu n theo m Gi i: a V i m = ta có (1) ⇔ cos x − sin x cos x − 2sin x − = ⇔ (cos x + 3sin x) sin x = ⇔ sin x = ∨ cot x = −3 = cot α ⇔ x ∈ {kπ ; α + kπ } + cos x − sin x − (1 − cos x) − m = ⇔ 3cos x − sin x = 2m + 2 2m + 2m + ⇔ cos x − sin x = ⇔ cos(2 x + α ) = 10 10 10 10 b (1) ⇔ +N u  2m + −1 − 10   −1 + 10  >1⇔ m < ∪m >  (2) vơ nghi m     2 10      −1 − 10 −1 + 10  2m + 2m + ; = cos β ≤1⇔ m∈  đ t 2 10 10   ±β − α + kπ Khi (1) ⇔ (2) ⇔ cos(2 x + α ) = cos β ⇔ x = +N u Bài Gi i bi n lu n: msin2x + 4sinxcosx + 2cos2x = (1) Gi i:  cos x = π  • m = 0, (1) ⇔ cos(2sin x + cos x) = ⇔  ⇔ x ∈  + kπ ; α + k π  2   cot x = −2 = cot α • m ≠ (1) ⇔ m tan x + tan x + = v i ∆ ' = − 2m + N u m > (1) vô nghi m −π + kπ + N u m = tanx = -1 ⇔ x = + N u ≠ m < tan x = −2 ± − 2m = tan β ⇔ x = β + kπ m III PHƯƠNG TRÌNH ð NG C P B C V I SINX, COSX Phương pháp chung a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x = v i a + b + c + d > (1) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x + ( m sin x + n cos x) = Bư c 1: Xét cosx = có nghi m c a phương trình hay không Bư c 2: Xét cosx ≠ không nghi m c a phương trình Chia v c a (1) cho cos3x ≠ s d ng công sin x = + tan x; = tan x(1 + tan x) th c cos x cos x ta nh n ñư c phương trình b c n tanx Bư c 3: Gi i bi n lu n phương trình b c n tanx Các t p m u minh h a Bài Gi i phương trình: 4sin x + 3cos3 x − 3sin x − sin x cos x = (1) Gi i N u cosx = nghi m c a (1) t (1) suy cos x = sin x = ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  3 4sin x − 3sin x = 4sin x − 3sin x = Chia v c a (1) cho cos3x ≠ ta có (1) ⇔ tan x + − tan x(1 + tan x) − tan x = ⇔ tan x − tan x − tan x(1 + tan x) − tan x = ⇔ (tan x − 1)(tan x − 3) = ⇔ tan x = ∨ tan x = ± ⇔ x = π + kπ ∨ x = ± π + kπ ( k ∈ Z ) Bài Gi i phương trình: sinx.sin2x + sin3x = 6cos3x (1) Gi i (1) ⇔ sin(2sin x cos x) + 3sin x − 4sin x = cos3 x ⇔ 4sin x − 3sin x − 2sin x cos x + cos3 x = (2) N u cosx = nghi m c a (2) t suy cos x = sin x = ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  3 4sin x − 3sin x = 4sin x − 3sin x = Chia v c a (2) cho cos3x ≠ ta có (2) ⇔ tan x − tan x) − tan x + = π   ⇔ (tan x − 2)(tan x − 3) = ⇔ tan x = = tan α ∨ tan x = ± ⇔ x ∈ α + kπ ; ± + kπ  (k ∈ Z )   Bài Gi i phương trình: + 3sin2x = 2tanx Gi i: ði u ki n: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ (1) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ –Phương trình lư ng giác 1 + tan x = tan x cos x cos x ⇔ (1 + tan x) + tan x = tan x(1 + tan x ) ⇔ tan x − tan x − tan x − = + 3sin x = tan x ⇔ + 6sin x cos x = tan x ⇔ π   tan x = −1  x = − + kπ ( k ∈ Z )  ⇔ (tan x + 1)(2 tan x − tan x − 1) = ⇔ ⇔   tan x = ± 17 = tan α 1,2  x = α1,2 + kπ    Bài Gi i phương trình: π  sin  x +  = 2sin x (1) 4  Gi i π  π    (1) ⇔ 2 sin  x +  = 4sin x ⇔  sin  x +   = 4sin x ⇔ (sin x + cos x)3 = 4sin x 4     N u cosx = nghi m c a (1) t (1) suy cos x = sin x = ∨ sin x = −1 ⇔ ⇒ Vô lý  sin x = 4sin x sin x − 4sin x = Chia v c a (1) cho cos3x ≠ ta có (1) ⇔ (tan x + 1)3 = tan x(1 + tan x) ⇔ tan x + tan x + tan x + = tan x + tan x ⇔ tan x − tan x + tan x − = ⇔ (tan x − 1)(3 tan x + 1) = ⇔ tan x = ⇔ x = π + kπ π  Bài Gi i phương trình: 8cos3  x +  = cos x 3  Gi i: π π π   8cos  x +  = cos x ⇔  cos x.cos − sin x.sin  = cos x 3 3   ( ⇔ cos x − sin x ) = cos3 x − 3cos x ⇔ ( ) 3 sin x − cos x − 3cos x + cos3 x = (1) N u cosx = nghi m c a (1) t (1) suy cos x = ⇒ = cos x + sin x = ⇒ = ⇒ Vô lý  sin x = Chia v c a (1) cho cos3x ≠ ta có (1) ( ) 3.tan x − − (1 + tan x ) + = ⇔ 3 tan x − 3( tan x) + 3 tan x − − 3(1 + tan x ) + = ⇔ 3 tan x − 12 tan x + 3 tan x = ⇔ tan x( tan x − tan x + 3) = ⇔ tan x = ∨ tan x = π π   ∨ tan x = ⇔ x ∈ kπ ; + kπ ; + kπ  (k ∈ Z ) 3   π  Bài Gi i phương trình: sin  x −  = sin x (1) 4  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s  log x (3 x + y ) = log a x + log a y + log a = + log a log x − log x y =  ; ; 6;  log y (3 y + x) =  x + y = 5a   x y = 16  1 log x + log y = log x + y − = log13 )   (  log x − log y = ; ; 2 ;  log( x + y ) = log( x − y ) + 3log  x − y + =  x2 − y =    log x + log y = + log  xy = a 2    log ( x + y ) = ; ; ;  2 2 log 27 ( x + y ) = (log x) + (log y ) = (log a ) log y − log x = log    x + y = + y2 +   y x  log − x + log = log( x + 3) 3 = 81 ; ;  y ;   log( x + y ) − log x = log   log x − log = log  +   x + x − =  2   log x − log = −1  y − log x =  ;  y 12 ;  log y − log log ( x − y ) = − log ( x + y )  x =    2log x − 3log3 y = log x + log y = ; ;  2 x − y =  log ( x + y ) log ( x − y ) =5 2 log ( x + y ) + log ( x − y ) =  ;  22  y = 512 x +1     log (log x) + log  log y  =    ;   xy =  x  26 − y 2 log ( y + 1) + log y = log  −    x− y + x+ y = x− y  y  ;’ ;  103− log( x − y ) = 250 log x  + log y  =     y x   log ( x + y ) − log x = log + log (3 y − x) 101+ log( x + y ) = 60  ;  ; xy + y  log( x − y ) + log( x + y ) = + log log x − y + x − − log x =  2  y−x 31+ log3 ( x + y ) = 15  x y  ( x + y ).3 = 3 = 972 ; ; 27 ;   2    log ( x − y ) − log ( x − y ) = 3log ( x + y ) = x − y log ( x − y ) =  (3 y + 1) log x = ;  y +10 = 27  x  x+y  y  x y 7 log x = −2  y x = 32 3 = 576 ; ; ;  y    4.7 + log x = log ( x − y ) = log ( y − x) =      x x + y + log3 = 56 log x + 3log3 y = log y = x  x = + log y  +3 ; ; x ; y ;  y x + y +1 x x +1 −y = 87  x = 6253     3.2 + 2 x − x =  y = y + 2 5log( x − y ) =   y 20 x = 3300  log x ( xy ) = log y x ; ;  2log x ; x− y   x − log 3 y = 3x − y − 26.3 = 27  y y = y +    log x = y log5 y  log x − y = 15  3 ; ;  y y +1  log y = x log2 x   3 log x = log x + 2  log ( x − y ) = 8 ;  x−2 y − 7.2 x − y =  4 Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s  x.8− y = 2  x + log y =  x log8 y + y log8 x =  ;  ;  ;  1 x log + = log (9 y ) (2 y − y + 12)3 = 81y log x − log y =  x 2  3x   x log + log y = y + log 2  ;   x log 12 + log x = y + log y 3   x− y  ) 51−2 x+ y = + 22 x− y +1 ; (1 +   y + x + + ln( y + x) =  1 log y log x    log x − log y =  + log xy log x + y xy = 20.x + y = 81 ; ;  ;  log x + log 27 y =  x + y2 − y = x − y =    (  y.x log y x = x  ;  log y.log y ( y − x) =  )  x − y + = ;   log x − log y =  log x − log x <  ; x  − 3x + x + > 3 2  log y xy = log x y log ( x + y ) − log (2 x) + = log ( x + y )  ; x ;  x y 2 + = log ( xy + 1) − log (4 y + y − x + 4) = log y −     log ( y − x) − log y = log ( x + 1) − log ( x − 1) > log ; ;  log ( x − x + 5) − a log x − x +5 =  x + y = 25   Tìm a đ h có nghi m: 32 x + y + 3x +3 y = 1  x2 − y = a   log x − log y =  ; ;  y  3 x + y  = 3a − x log x + y log x − y = b  x + y − ay = 3 +     3  XV H ðI U KI N C N VÀ ð 1− a  2 (1)  x + xy − y ≥ Bài 1: Tìm a đ h có nghi m:  1+ a 3 x + 10 xy − y ≤ −2 (2)  Nhân hai v c a (1) v i (-2) r i c ng v i (2) ta có: ( x + y ) ≤ −4 (3) 1+ a ði u ki n c n: (3) có nghi m ⇔ + a < ⇔ a < −1 1− a = −1 + < −1 h sau có nghi m ði u ki n ñ : V i a < -1 1+ a 1+ a 2    −3      x + xy − y = −1  x + xy − y = −1 ⇔ ⇔ ( x; y ) ∈  ;  ,  ; −    2 3 x + 10 xy − y = −2 ( x + y ) =  2   2     T suy h b t phương trình cho có nghi m K t lu n: H b t phương trình có nghi m ⇔ a < −1 2 x + x = y + x + a  Bài 2: Tìm a đ h phương trình có nghi m nh t:  2 x + y =  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 11 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s ði u ki n c n: N u (x, y) m t nghi m (-x, y) cúng nghi m c a h nên đ h có nghi m nh t x = Th x = vào h suy a = ∨ a = ði u ki n ñ : V i a = d th y h có nghi m (0; -1); (1; 0) (lo i)  x + x = y + x (1)  T (2) suy ra: x ≤ 1; y ≤ , đó: V i a = h  2 (2) x + y =  x + x ≥ 20 + x = + x ≥ y + x , t h có nghi m nh t (x; y) = (0; 1) Bài t p: Tìm a đ h có nghi m nh t:  xyz + z = a  ax + a − = y − s inx   ; ;  xyz + = b 2   x + y + z =  t an x + y =  Tìm a đ h có nghi m ∀b : y − 2a   x − y + a = log x−a ;   x2 + y =  ( x + 1) a + (b + 1) y = (a − 1) x + y =   ;  bx ;   a + bxy + x y = e + ( a + 1)by = a    2bx + ( a + 1)by = a   ( a − 1) x + y =  XVI GI I H B NG PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ x + x + y + =  Bài Gi i h phương trình:   y + y + x +1 =  T ñi u ki n: x ≥ 0; y ≥ ⇒ y + ≥ 2; x + ≥ h ⇔ x = y =  x2 y − x + y =  Bài 2: Gi i h phương trình:  2 x − x + + y =  2x 2x   ≤ ⇒ −1 ≤ y ≤ ⇒ −1 ≤ y  y = −1 y = y = ⇔ ⇔ ⇔ 1+ x 1+ x x =  2( x − 1) + + y = 0 = 2( x − 1) + + y ≥ 2( x − 1) ≥     x = x − 4 y −  x + y + z = Bài t p:  ; ; 4 y = y − 4 x −  x + y + z = xyz    2z x = z2 +1  2x  y = ; x +1  2y  z = y2 +1   2x2  x2 + = y   y3 ; =z  y + y2 +1   4z4 =x   z + z4 + z2 +1  xy = x + y  ;  4 ( x + 1) + (1 − y ) =   yz = x − z −    zx = y − x − ;    xy = z − y −  2 x = y + (1 + x )2 1 +  =    y4    ; 2 y = z + 1;  2 z = x + (1 + y )2 1 +  =      x    2 x + y =  ;  2 y + =3  x4  x + y + z =  x3 y =  ;  xyz =  x y + y z + z x = 3 x + y =  Hocmai.vn – Ngơi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương ⇒ 8α = α + kπ ⇔ α = kπ kπ kπ kπ  ⇒ ( x; y; z ) =  tan ; tan ; tan 7 7   (1 + x)(1 + x )(1 + x ) = + y ;  (1 + y )(1 + y )(1 + y ) = + x   2x y = x + 2− x   2y ; z = y + 2− y   2z x = z + 2− z  Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s   ; k = 0; ±1; ±2; ±     x + = + y +  x + y + xy = ; ;    y + = + x + 2 x + = y + x   x y = x + 1− x   y ; z = y + 1− y   z x = z + 1− z   x2  3x + =  y =  y 2x −1    y2   3 y + = 5;  z = z y −1     z2 3 z + x =  x =   2z −1  XVII GI I H B NG PHƯƠNG PHÁP HÌNH H C  x +1 + y + = a  Bài Tìm a đ h phương trình  có nghi m  x + y = 3a  N u a < h vơ nghi m u , v ≥ u = x + ≥   Xét a ≥ : ð t:  H ⇔ u + v = a v = y + ≥  2  u + v = 3( a + 1) (C): u + v = 3( a + 1) h ñư ng trịn tâm O(0; 0) bán kính R = 3(a + 1) (d): u + v = a h ñư ng th ng // v i t o v i Ou góc 1350 Xét đư ng th ng (d1): u + v = 3(a + 1) ñi qua A(R;0); B(0; R) ∈ (C ) ñư ng th ng (d2): u + v = 6(a + 1) ti p xúc v i (C) t i M Nhìn vào đ th ⇒ đ h có nghi m (d) c t (C) t i m có t a ñ dương ⇔ (d) n m gi a (d1) (d2) ⇔ 3(a + 1) ≤ a ≤ 6(a + 1)  a − 3a − ≥ + 21  ⇔ ⇔ ≤ a ≤ + 15  a − 6a − ≤   x2 + x + a ≤  Bài Gi i h b t phương trình:   x − x − 6a ≤  a Tìm a đ h có nghi m b Tìm a đ h có nghi m nh t a ≤ f ( x) = − x − x  x2 + x + a ≤   ⇔  x2 − x a ≥ g ( x) =  x − x − 6a ≤    (P1): y = f ( x) parabol quay b lõm xu ng dư i có ñ nh (-1; 1) (P2): y = g(x) parabol quay b lõm lên c t Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 13 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chun đ –PT, BPT HPT ñ i s −8 a H cho có nghi m ⇔ ðư ng th ng y = a ñi qua mi n g ch chéo t o b i (P1) (P2) ⇔ ≤ a ≤1 b H cho có nghi m nh t ⇔ ðư ng th ng y = a c t mi n g ch chéo t i m t ñi m nh t ⇔ a = ho c a = (P1) t i x = 0; x = XVIII GI I H B NG PHƯƠNG PHÁP LƯ NG GIÁC   x − y + y − x2 = Bài Giaie h phương trình:  (1 − x)(1 + y ) =  ði u ki n: −1 ≤ x; y ≤ ð t x = cosα ; y = cosβ ; α ; β ∈ [ 0; π ] h π π   sin(α + β ) = x = α + β = α = ⇔ ⇔ ⇔ 2 ⇔ (1 − cosα )(1 + cosβ ) = y =1 sin α − cosα − sin α cosα − = β =   2 x + x y = y  Bài Gi i h phương trình: 2 y + y z = z (1) 2 z + z x = x  D th y x = y = z = m t nghi m c a h (1) x = ±1; y = ±1; z = ±1 không nghi m c a (1) Khi  2x  y = − x2  2y π   π π ð t x = tan α , α ∈  − ;  ; α ≠ ± Suy bi n ñ i (1) ⇔  z =  2  1− y  2z x =  1− z2 ⇒ 8α = α + kπ ⇔ α = kπ kπ kπ kπ  ⇒ ( x; y; z ) =  tan ; tan ; tan 7 7   y = tan 2α   z = tan 4α  x = tan 8α = tan α    ; k = 0; ±1; ±2; ±  XIX GI I H B T PHƯƠNG TRÌNH  x − ( m + 2) x + 2m <  Bài Tìm m đ h b t phương trình có nghi m  (1)  x + ( m + 7) x + m <   x1 = {2; m} , x2 = max {2; m} ( x − 2)( x − m) <  G i  , đó: (1) ⇔  ( x + 7)( x + m) <  x3 = {−7; −m} , x4 = max {−7; −m}  (1) có nghi m ⇔ m ≠ 2; m ≠ ( x1 ; x2 ) ∩ ( x3 ; x4 ) ≠ ∅ ⇒ m < Ngư c l i v i m < d th y h ln có nghi m x = V y ycbt ⇔ m <  x2 + 5x + < (1)  Bài Gi i h b t phương trình:   x + x − x − 10 > (2)  (1) ⇔ −4 < x < −1 ð t f ( x) = x + x − x − 10 Ta có: f '( x) = 3( x + x − 3) Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 14 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s f '( x) = ⇔ x = −3; x = L p b ng bi n thiên v i ý f ( −4) = 10; f ( −3) = 17 ; f ( −1) = ⇒ f ( x) > 0, ∀x ∈ ( −4; −1) V y nghi m c a h (1), (2) ∀x ∈ (-4;1)  x2 − x + a −1 ≤  Bài t p: Tìm a đ h có nghi m  ;  x + x + 2a − ≤  x2 + x − <    a x + > + (3a − 2) x    x + (2 − 3a ) x − 6a <  x2 − x + − a ≤    x − 3x − ≤ ;  ;   2 2    x − (2a + 5) x + a + 5a + ≥  x − (2a + 1) x + a + a ≤  x − x x ≥ a + 15a  XX M T S H PHƯƠNG TRÌNH TRONG THI TUY N SINH ð I H C & CAO ð NG   x + y + x y + xy + xy = −  (1) Bài (TSðH 2008 – kh i A) Gi i h phương trình:   x + y + xy (1 + x) = −   Gi i:  u − u − uv = u + uv + v = − u = x + y u =   ⇔ ð t:  h (1) ⇔  ⇒ v = u − v = xy u + v = − u + v = −     x2 + y =  y = − x2 u =  25     Xét   5⇔ ⇔  ⇔ ( x; y ) =  ; −   16   v = −  xy = − x =  4   1   v = u − x = u = − x + y = − v = u −     ⇔ ⇔ ⇔ Xét  5⇔ (2u + 1) = u + v = − v = −  xy = − y = −     2    xy + x + y = x − y  Bài (TSðH 2008 – kh i D) Gi i h PT:   x y − y x −1 = 2x − y  Gi i: (1) ( x + y )( x − y − 1) =  ði u ki n: x ≥ 1; y ≥ H phương trình ⇔   x y − y x − = x − y (2)  T ñi u ki n suy x + y > nên (1) ⇔ x − y − = ⇔ x = y + (3) Thay (3) vào (2) ta ñư c ( y + 1) y = 2( y + 1) ⇔ y = (do y + > 0) ⇒ x = V y nghi m c a h ( x; y ) = (5; 2)  y2 + 3 y = x2  Bài (TSðH 2003 – Kh i B) Gi i h phương trình  3 x = x +  y2  Gi i: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 15 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s 3 yx = y + 3 yx = y + 3 yx = y +    H ⇔ 3 xy = x + ⇔ 3 xy ( x − y ) = y − x ⇔ ( x − y )(3 xy + x + y ) =  x, y >  x, y >  x, y >    x = y x = y ⇔ ⇔ ⇔ x = y =1 2 3 x − x − = ( x − 1)(3 x + x + 2) =  x − x = y − y Bài 4: (TSðH 2003 – Kh i A) Gi i h phương trình  (1) 2 y = x3 +  Gi i: ði u ki n: x ≠ 0; y ≠  1     =0 x = y ( x − y )  +  = x − y = − 1 + x y ⇔ (1) ⇔  ⇔ ∨  xy  xy   x − x + = 2 y = x3 +   2 y = x +  2 y = x + x = y = x = y x = y  ⇔ ⇔ • Ta có  −1 ± x − 2x +1 = ( x − y )( x + x − 1) = x = y =     y = − x =0 1+  xy  y = − • Xét h  ⇔ ⇔ x −2 2 y = x +  x + = x + x + =    x  Xét hàm s : f ( x) = x4 + x + ⇒ f '( x) = x + = ⇔ x = −   L p BBT ta có: Mìn( x) = f  −  > nên h vô nghi m 4   −1 + −1 +   −1 − −1 −  ; ; K t lu n: V y h có nghi m (1;1),  ,      2   2    x + y =1  Bài (TSðH 2004 – kh i D) Tìm m đ h  có nghi m  x x + y y = − 3m  Gi i: ð t u = x ≥ 0; v = y ≥ S d ng u + v = (u + v)3 − 3uv(u + v) u + v = u + v =  3  YCBT ⇔ u + v = − 3m có nghi m ⇔ uv = m có nghi m u ≥ 0; v ≥ u ≥ 0; v ≥   ∆ = − 4m ≥  ⇔ u − u + m = có nghi m u , v ≥ ⇔  P = u.v = ≥ ⇔ ≤ m ≤ S = u + v = m ≥  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | 16 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s  x + y − xy =  Bài (TSðH 2006 – Kh i A) Gi i h PT   x +1 + y +1 =  Gi i: ði u ki n: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ ð t t = xy (t ≥ 0) t = xy  x + y = + xy  x + y − xy =   ⇔ Ta có:   x +1 + y +1 =  x +1 + y +1   ( )  x + y = + t ⇔ = 16   x + y + + xy + x + y + = 16 Thay xy = t , x + y = + t vào phương trình th hai ta nh n ñư c: + t + + t + + t + = 16 ⇔ t + t + = 11 − t 0 ≤ t ≤ 11 0 ≤ t ≤ 11 ⇔ ⇔ ⇔t =3 4(t + t + 4) = (11 − t ) 3t + 26t − 105 = V i t = ta có x + y = 6, xy = Suy ra, nghi m c a h ( x; y ) = (3;3)  x −1 + − y = (1)  Bài (TSðH 2005 – Kh i B) Gi i h phương trình  3log (9 x ) − log y = (2)  Gi i: x ≥ ði u ki n:  ;(2) ⇔ 3(1 + log x) − 3log y = ⇔ log x = log y ⇔ x = y 0 < y ≤ Thay y = x vào (1) ta có: x − + − x = ⇔ x − + − x + ( x − 1)(2 − x) = ⇔ ( x − 1)(2 − x) = ⇔ x = 1; x = V y h có hai nghi m ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = (2; 2)  23 x = y − y  Bài (TSðH 2002 – Kh i D) Gi i h phương trình:  x + x +1 =y  x  +2 Gi i: 2  3x   y =1 y = 2 = y − y y − 5y + 4y = y − 5y + = H ⇔ x ⇔ x ⇔ x ⇔ ∨ 2 = y 2 = y > 2 = y x = x =    Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 17 - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ - PT, BPT HPT ñ i s BÀI GI NG 02 H PHƯƠNG TRÌNH ð I S ( BÀI T P T LUY N)  2 x + y = x  Bài 1: Gi i h phương trình  2 y + =  x y  1  x − y = y − x Bài 2: Gi i h phương trình:  2 y = x3 +   x(3 x + y )( x + 1) = 12 Bài 3: Gi i h phương trình:  x + y + 4x − =  x2 + y + x + y = Bài 4: Gi i h phương trình:   x( x + y + 1) + y ( y + 1) =  x2 + y =  Bài 5: Gi i h phương trình:  2  x − x y + y = 13  3 x − xy = 16  Bài 6: Gi i h phương trình:  2  x − xy − y =  ( x + 1) + y ( y + x ) = y  Bài 7: Gi i h phương trình:  ( x + 1)( y + x − 2) = y   x( x + y + 1) − =  Bài 9: Gi i h phương trình:  ( x + y ) − x + =  2 xy + x + y = −6 Bài 10: Gi i h phương trình:  2  x + y + x + 12 y =  x − xy + y = 3( x − y )  Bài 11: Gi i h phương trình:  2  x + xy + y = 7( x − y )  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chun ñ - PT, BPT HPT ñ i s  x3 − x = y + y  Bài 12: Gi i h phương trình:  2  x − = 3( y + 1)    x+5 + y−2 = Bài 13: Gi i h phương trình:   y+5 + x−2 =   2x + y +1 − x + y =  Bài 14: Gi i h phương trình:  3 x + y =  xy  = x2 + y x + x − 2x +  Bài 15: Gi i h phương trình:  xy y + = y2 + x  y − 2y +  Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s BÀI GI NG 02 H PHƯƠNG TRÌNH ð I S (HƯ NG D N GI I BÀI T P T LUY N)  2 x + y = x  Bài 1: Gi i h phương trình  2 y + =  x y  Gi i:  2 x + y = x  (ñây h ñ i x ng lo i II)  2 y + =  x y  ði u ki n x ≠ 0; y ≠ 1 1 x = y - Tr v theo v ta ñư c: 2( x − y ) =  −  ⇔  x y  xy = −2 - V i x = y , h tương ñương v i x = ⇔ x = ±1 x - V i xy = −2 ⇒ y = − , th vào phương trình đ u ta đư c: x 2x − x = → y = − x 3x = ⇔ = ⇔ x x x = − → y =  { } - V y h có nghi m: ( x; y ) = (1;1), ( −1; −1), ( 2; − 2), ( − 2; 2) 1  x − y = y − x Bài 2: Gi i h phương trình:  2 y = x3 +  Gi i:  1    ( x − y )  +  = x − = y − y x⇔   xy    2 y = x + 2 y = x +    −1 ± −1 ±    ; ⇒ ðS: ( x; y ) = (1;1);     2       x(3 x + y )( x + 1) = 12 Bài 3: Gi i h phương trình:  x + y + 4x − = Gi i: Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s (3 x + y )( x + x) = 12  x(3 x + y )( x + 1) = 12  ⇔  2 (3 x + y ) + ( x + x) = x + y + 4x − =  uv = 12 u = u = ð t: u = x + y; v = x + x suy ra:  ⇔ ∨ u + v = v = v =   3  11   Gi i t ng trư ng h p ta d n t i ñáp s : ( x; y ) = (−2;6),  1;  , (2; −2)  −3;     2    x2 + y + x + y = Bài 4: Gi i h phương trình:   x( x + y + 1) + y ( y + 1) = Gi i: ( x + y )2 + x + y − xy =  x + y = ∨ x + y = −1 ⇔ H ⇔  xy = −2  xy = −2 ⇒ ðS: ( x; y ) = {( )( ) } 2; − , − 2; , (−2;1), (1; −2)  x2 + y =  Bài 5: Gi i h phương trình:  2  x − x y + y = 13  Gi i: - ðây h ñ i x ng lo i I ñ i v i x y - ðs: ( x; y ) = {(2; ±1), (−2; ±1), (1; ±2), (−1; ±2)} 3 x − xy = 16  Bài 6: Gi i h phương trình:  2  x − xy − y =  Gi i: - ðây h ñ ng c p b c - Nh n xét x = không th a mãn h , ta xét x ≠ ñ t y = tx  x (3 − 2t ) = 16  H tr thành:  2  x (1 − 3t − 2t ) =  - Gi i h tìm t , x - ðáp s : ( x; y ) = {(2; −1), (−2;1)} ( x + 1) + y ( y + x ) = y  Bài 7: Gi i h phương trình:  ( x + 1)( y + x − 2) = y  Gi i:  x2 +  x2 +  y + ( y + x) = =1   ⇔ y H ⇔  x + + ( y + x − 2) =  y + x =   y  Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s ⇒ ðS: ( x; y ) = {(1; 2);(−2;5)}  xy + x + = y Bài 8: Gi i h phương trình:  2  x y + xy + = 13 y Gi i:  1 x x  x+ + =7  x +  + =  y y y y   ⇔ H ⇔ 1 x  x + + x = 13    x + y  − y = 13 y2 y    ð t: u = x + x ;v = y y  u =  u + v = v = Thay vào h ta ñư c:  ⇔  u = −5 u − v = 13   v = 12   x =   u =   y = TH 1:  ⇒   v =  x =  y =    x + x = −5 u = −5   TH 2:  ⇔ (H vô nghi m) x v = 12  = 12 y  x = x =  K t lu n: V y nghi m c a h phương trình là:  1∨ y = y =1   x( x + y + 1) − =  Bài 9: Gi i h phương trình:  ( x + y ) − x + =  Gi i:   x + y = x + y = ( x + y ) − x = −1    H ⇔ ⇔ 1 ∨ 1 ( x + y ) − = −1  x =  =  x  x2      ⇒ ðS: ( x; y ) = (1;1);  2; −      Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trị Vi t T ng đài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chun ñ –PT, BPT HPT ñ i s 2 xy + x + y = −6 Bài 10: Gi i h phương trình:  2  x + y + x + 12 y = Gi i: ( x + 2)(2 y + 3) = H ⇔ 2  x + y + x + 12 y =  1  3   ⇒ ðS ( x; y ) =  −2;  ;  2; −  ;  −6; −   2  2     x − xy + y = 3( x − y )  Bài 11: Gi i h phương trình:  2  x + xy + y = 7( x − y )  Gi i:  x − xy + y = 3( x − y )  x − xy + y = 3( x − y )   H ⇔ ⇔ y 2 x − xy + y =  x = y ∨ x =  ⇒ ðS: ( x; y ) = {(0;0);(1; 2);(−1; −2)}  x3 − x = y + y  Bài 12: Gi i h phương trình:  2  x − = 3( y + 1)  Gi i:  x3 − x = y + y  H ⇔ 2 x − 3y =  (1) (2)  x3 − 8x = x =  (vô lý) ⇔ *) Xét y = ⇒  x − = x =  *) Chia v (1) cho y3 v (2) cho y2 ta có:  x 3 x y 8t + 3   − = + t − = y y y x t2 −  y   Coi t = ⇒  ⇒ t − = (8t + 2)  y  x  t − = 6   y  − = y y    t = ⇔ 3t −3 = (4t + 1)(t − 3) ⇔ t + t − 12t = ⇔ t (t + t − 12) = ⇔ t = −4  t =  3 2 +) t = ⇒ x = ⇒ y = −2 < (lo i) +) t = ⇒ x = y ⇒ y − y = ⇔ y = ±1 ⇔ ( x; y ) = {(3;1), ( −3; −1)} Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y Tr n Phương Chuyên ñ –PT, BPT HPT ñ i s +) t = -4 ⇒ x = −4 y ⇔ 16 y − y = ⇒ y = ±   6   6   ⇒ ( x; y ) =  −4 ; ,    13 ; − 13    13 13 13         x+5 + y−2 = Bài 13: Gi i h phương trình:   y+5 + x−2 =  Gi i:  x+5 + y−2 =  ⇒ x+5 + y −2 =   y+5 + x−2 =  y+5 + x−2 ⇔ x = y ⇒ ðS: ( x; y ) = (11;11)  2x + y +1 − x + y =  Bài 14: Gi i h phương trình:  3 x + y =  Gi i: u = x + y + ≥ u − v = u = u = −1  ⇒ 2 ⇒ ∨ ð t  u + v = v = v = −2 v = x + y ≥  ðáp s : (x; y)=(2; -1) xy  = x2 + y x + x − 2x +  Bài 15: Gi i h phương trình:  xy y + = y2 + x  y − 2y +  Gi i: ðáp s : ( x; y ) = {(0;0), (1;1)} Giáo viên : Tr n Phương Ngu n Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t T ng ñài tư v n: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... ≡ (1; 2) Bài Cho phương trình: sin2x + (2m – 2)sinxcosx – (m + 1)cos2x = m (1) a Gi i phương trình m = -2 b Tìm m đ phương trình có nghi m Gi i N u cosx = nghi m c a phương trình (1) t (1) suy... 1900 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Tốn - Th y TR n Phương Chun đ – Phương trình lư ng giác Vì cosx = không nghi m c a phương trình nên ta chia v c a phương trình cho cos3 x ≠ ta có:... 58-58-12 - Trang | - Khóa h c LTðH mơn Toán - Th y TR n Phương (1) ⇔ Chuyên ñ ? ?Phương trình lư ng giác π = + sin x ⇔ sin 2 x + sin x − = ⇔ sin x = ⇔ x = + nπ sin x Bài Gi i phương trình: tan x + cot