Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu tham khảo: 02 CỰC TRỊ HÀM BẬC BA Thầy Đặng Việt Hùng Xét hàm số bậc ba : y = ax + bx + cx + d ⇒ y′ = 3ax + 3bx + c DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Nếu a = y′ = 3bx + c  y ′ = ⇔ x = − → c 3b Trong trường hợp hàm số có cực trị Nếu a ≠ : + Hàm số khơng có cực trị y′ khơng đổi dấu, tức phương trình y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép, tức ∆ ≤ + Hàm số có điểm cực trị y′ đổi dấu hai lần, tức phương trình y′ = có hai nghiêm phân biệt Từ ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị ∆ > Vậy, với hàm bậc ba hàm số có hai cực trị khơng có cực trị Ví dụ 1: Biện luận số cực trị hàm số y = Ta có y′ = x + (1 − m ) x + m x + (1 − m ) x − mx − tùy theo giá trị tham số m Hướng dẫn giải: Hàm số khơng có cực trị y′ khơng đổi dấu miền xác định (hay hàm số đồng biến nghịch biến miền xác định), điều xảy y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép 3− 3+ ≤m≤ Từ ta có điều kiện ∆′ ≤ ⇔ (1 − m ) − m ≤ ⇔ m − 3m + ≤ ⇔ 2 Hàm số có hai cực trị y′ đổi dấu miền xác định, điều xảy y′ = có hai nghiệm phân biệt  3+ m > ⇔ ∆ > ⇔ m − 3m + > ⇔   3− m <  Kết luận : 3− 3+ ≤m≤ - Hàm số khơng có cực trị 2 3+ 3− - Hàm số có hai cực trị m ≥ ; m≤ 2 Ví dụ 2: Biện luận số cực trị hàm số y = mx + ( m − ) x + 2mx + − m tùy theo giá trị tham số m Hướng dẫn giải: ′ = 3mx + ( m − ) x + 2m Ta có y TH1 : m = Khi y ′ = −4 x; y ′ = ⇔ x = , trường hợp hàm số có cực trị TH2 : m ≠ m ≠   −2 + m ≥   m ≥ −2 + m ≠ m ≠   Hàm số khơng có cực trị  ⇔ ⇔  ⇔   −2 − ∆′ ≤ 5m + 4m − ≥    m ≤   m ≤ −2 −    Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Hàm số có hai cực trị y′ = có hai nghiệm phân biệt  −2 − −2 + m ≠ m ≠ 5m + 4m − <  m ≠   Kết luận : −2 + −2 − - Hàm số khơng có cực trị m ≥ ;m≤ 5 - Hàm số có cực trị m =  −2 − −2 + 0, (*) + Tìm điều kiện tham số để cực trị có tính chất K chẳng hạn + Đối chiếu giá trị tìm với điều kiện (*) để kết luận cuối Ta xét số dạng tính chất điển hình Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm x = xo Cách (sử dụng điều kiện cần đủ): + Hàm số đạt cực đại cực tiểu x = xo ⇔ y′ ( xo ) =  m → + Với m tìm được, thay vào hàm số khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu điểm xo hay không Cách (sử dụng y’’) :  y ′ ( xo ) =  + Hàm số đạt cực đại x = xo ⇔   m →  y ′′ ( xo ) <   y ′ ( xo ) =  + Hàm số đạt cực tiểu x = xo ⇔   m →  y ′′ ( xo ) >   y ′ ( xo ) =  Chú ý: Hàm số đạt cực trị x = xo ⇔   y ′′ ( xo ) ≠  Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x − ( m + 2) x − mx + a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = Hướng dẫn giải : Ta có y′ = x − 2(m + 2) x − m ⇒ y′′ = x − ( m + )  m > −1 a) Hàm số có cực trị phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ m + 5m + > ⇔   m < −4 b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = Cách 1: + Hàm số đạt cực đại x = y ′ ( ) = ⇔ m = x = + Với m = ta có y′ = x − x = ⇔  x = Ta có bảng biến thiên: x −∞ y’ + 0 − +∞ + CĐ +∞ y −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số cho đạt cực đại x = Vậy m = giá trị cần tìm Cách 2:  y′ ( ) = m =  Hàm số đạt cực đại x = ⇔  ⇔ ⇔m=0  y′′ ( ) < −2(m + 2) <  Vậy m = hàm số cho đạt cực đại x = c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = Cách 1: + Hàm số đạt cực tiểu x = y ′ ( ) = ⇔ − 4(m + 2) − m = ⇔ 5m = −4 ⇔ m = − x = 4 12  + Với m = −  y′ = x −  −  x + ⇔ y′ = x − x + = ⇔  → x = 5 5    Ta có bảng biến thiên: x −∞ +∞ y’ + − + CĐ +∞ y −∞ CT Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số cho đạt cực tiểu x = Vậy m = − giá trị cần tìm Cách 2:   5m + = m = −  y′ ( 2) = Hàm số đạt cực tiểu x = ⇔  ⇔ ⇔ ⇔m=− −2m > ′′ ( ) >  y m <   Vậy m = − hàm số cho đạt cực tiểu x = BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho hàm số y = − x3 + (2m − 1) x + 2mx − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 c) Tìm m để hàm số đạt cực đại x = Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tính chất 2: Các điểm cực trị có hồnh độ dương, âm, lớn nhỏ α cho trước Hai điểm phân biệt cực trị có hồnh độ dương  −B >0  S = x1 + x2 >  A  Khi ta có x2 > x1 >   → ⇔  P = x1 x2 > C > A  Hai điểm cực trị có hồnh độ âm  −B  A  C > A  Hai điểm cực trị có hồnh độ trái dấu C  − α  +α >0  ( x1 − α )( x2 − α ) >  A  A  Khi ta có x2 > x1 > α ⇔  ⇔  −B ⇔ > 2α  x1 + x2 > 2α    − B > 2α  A  A  Hai điểm cực trị có hồnh độ nhỏ α C  −B   x x − α ( x1 + x2 ) + α >  − α  +α >0  ( x1 − α )( x2 − α ) >  A  A  Khi ta có x1 < x2 < α ⇔  ⇔  −B ⇔ < 2α  x1 + x2 < 2α    − B < 2α  A  A  Hai điểm cực trị có hồnh độ thỏa mãn x1 < α < x2 Khi ta có x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α < ⇔ C  −B  − α +α ⇔ ∆′ > ⇔ (m − 1)2 + 9m > ⇔ m + m + > ⇔  ( *)  −7 − m <  b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  −7 + m > Vậy với  hàm số cho có cực đại, cực tiểu  −7 − m <  b) Gọi x1 ; x2 hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y′ = 2(1 − m)  x + x = Theo định lí Vi-ét ta   x1 x2 = − m  Ta có x +x 1 2(1 − m) −1 ± 13 + = x1 x2 ⇔ = x1 x2 ⇔ = 2m ⇔ 3m + m − = ⇔ m = x1 x2 x1 x2 −1 + 13 giá trị cần tìm c) Gọi x1 ; x2 hoành độ điểm cực đại, cực tiểu Khi x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y′ = 2(1 − m)   x1 + x2 = Theo định lí Vi-ét ta   x1 x2 = − m  Đối chiếu với điều kiện (*) ta m =  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + >  4(1 − m)  +4>0 ( x1 − )( x2 − ) >  −m − Theo ta có x2 > x1 > ⇔  ⇔  2(1 − m) ⇔ >4  x1 + x2 >   1 − m >   m + > m > −8  ⇔ ⇔ ⇔ −8 < m < −5 m < −5 m < −5  −7 − giá trị cần tìm  − m − ∆′  x = x1 = d) Ta có y′ = ⇔ 3x + 2(m − 1) x − = ⇔   x1 < x2 →  − m + ∆′  x = x2 =  Bảng biến thiên x −∞ x1 x2 Đối chiếu với điều kiện (*) ta −8 < m < y’ + − +∞ + CĐ +∞ y −∞ CT Ta thấy hàm số đạt cực đại điểm có hồnh độ x1 = Theo ta có x1 = − m − ∆′  − m − ∆′ −m − ≥ > ⇔ − m − ∆′ > ⇔ ∆′ < − m − ⇔   ∆′ < ( − m − )  m ≤ −5 m ≤ −5  ⇔ ⇔ ⇔ −8 < m ≤ −5  m + 7m + < m + 10m + 25 3m > −24 Đối chiếu với điều kiện (*) ta −8 < m < −7 − giá trị cần tìm // Ví dụ thầy tính nhầm nhé, hê // Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 ≤ Hướng dẫn giải: Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Ta có y′ = 3x2 − 6(m + 1) x + Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1; x2 y′ = có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆′ >  m > −1 + ⇔ (m + 1)2 − > ⇔   m < −1 −  ( *)  x1 + x2 = 2(m + 1) Theo định lý Vi-et ta có   x1 x2 = Khi đó: x1 − x2 ≤ ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≤ ⇔ ( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ 2  −3 ≤ m < −1 − Đối chiếu với điều kiện (*) ta  giá trị cần tìm  −1 + < m ≤  Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + (1 − 2m ) x + (2 − m ) x + m + Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 > Hướng dẫn giải: Ta có y′ = 3x2 + 2(1 − 2m) x + − m Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1; x2 y′ = có hai nghiệm phân biệt x1; x2  m> ′ = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − > ⇔  ⇔∆ ( *)  m < −1  2(1 − 2m)   x1 + x2 = −  Theo định lý Vi-et ta có  2−m x x =   1 2 Khi x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 > ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) >  + 29 m > ⇔ 16m − 12m − > ⇔   − 29 m <   + 29 m > Đối chiếu với điều kiện (*) ta giá trị cần tìm   m < −1  x − ( m − 1) x + 3( m − 2) x + 3 Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = Ví dụ 4: Cho hàm số y = Hướng dẫn giải: Ta có y′ = x − 2(m − 1) x + 3(m − 2) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1; x2 y′ = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆′ = m − 5m + > 0, ∀m  x = − 2m  x1 + x2 = 2(m − 1) 1 − x2 + x2 = 2(m − 1)    Khi ta có  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 = − 2(2 − 2m) = 4m −  x1 + x2 =  x1 + x2 =  x1 x2 = 3(m − 2) ⇒ ( − 2m )( 4m − 3) = 3m −    ⇔ 8m + 16m − = ⇔ m = −4 ± 34 −4 ± 34 V ậy m = giá trị cần tìm 4 Ví dụ 5: Cho hàm số y = x + (1 – 2m ) x + (2 – m ) x + m + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ Hướng dẫn giải: Ta có y′ = 3x + 2(1 − 2m) x + − m = g ( x) Do hệ số a = > nên yêu cầu toán trở thành y′ = có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ∆′ = 4m − m − >  x1 < x2 < ⇔  g (1) = −5m + > ⇔ < m <   S = 2m − < 2  Ví dụ 6: Cho hàm số y = x + mx – x Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn x1 = −4 x2 Hướng dẫn giải:   x1 = −4 x2  m  Ta có y′ = 12 x + 2mx − ⇒ ∆′ = m2 + 36 > Khi  x1 + x2 = −  m = ± →    x1 x2 = −  BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x − (m − 1) x + a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x2 < 10 d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ −1 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x + ( 5m + 1) x − 4m3 − a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ nhỏ Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + m + có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ 2 x + ( m + 1) x + ( m2 + 4m + 3) x + m + Gọi x1, x2 hoành dộ hai điểm cực trị hàm số a) Tìm m để hàm số đạt cực trị điểm có hồnh độ lớn b) Tìm m cho biểu thức P = x1 x2 − ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ Bài 4: Cho hàm số y = Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx + (m + 6) x − Tìm giá trị m để a) hàm số có cực trị b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa mãn 1 x1 + x1 + = x1 x2 c) hàm số đạt cực đại điểm có hồnh độ x = d) hàm số đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x = Tính chất 4: Các cực trị nằm phía, khác phía với trục tọa độ + Các điểm cực trị nằm phía với trục Oy y′ = có hai nghiệm phân biệt dấu + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy y′ = có hai nghiệm trái dấu + Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox đồ thị cắt trục Ox ba điểm phân biệt hàm số có cực trị với yCĐ.yCT < + Các điểm cực trị nằm phía với trục Ox đồ thị cắt trục Ox điểm hàm số có cực trị với yCĐ.yCT > Ví dụ 1: Cho hàm số y = x + x + mx + m – , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục hồnh Hướng dẫn giải: Ta có y′ = 3x + x + m , hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình y′ = có hai nghiệm phân biệt Tức ∆′ = − 3m > ⇔ m < Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng  x = −1 Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) Ox: x3 + 3x + mx + m – = ⇔   g ( x) = x + x + m − = 0, (1) Hàm số có điểm cực trị nằm phía trục Ox (1) có nghiệm phân biệt khác –1  ′ Ta có điều kiện  ∆ = − m > ⇔ m ⇔ ( 2m + 1) − m2 − 3m + >  −13 + 21 m > ⇔ m + 13m − > ⇔   −13 − 21 m <  Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục tung y′ = có hai nghiệm trái dấu m − 3m + < ⇔ < m < ( ) Kết hợp điều kiện ta < m < thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − mx + (2m − 1) x − , với m tham số Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung Hướng dẫn giải: Ta có y ′= x − 2mx + 2m − Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ m2 − 2m + > ⇔ m ≠ Hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm phía trục tung phương trình y′ = có hai nghiệm dấu ⇔ ac > ⇔ 2m − > ⇔ m > Kết hợp điều kiện ta < m ≠ thỏa mãn yêu cầu toán Tính chất 5: Các tốn cực trị y′ = giải nghiệm ‘đẹp’ b 2 Khi phương trình y′ = có ∆ = ( ax + b ) điều kiện để hàm số có cực trị ∆ > ⇔ ( ax + b ) > ⇔ x ≠ − a  x = x1 Khi đó, y′ = ⇒  sử dụng yêu cầu đề để giải tham số  x = x2 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m + m Tìm giá trị m để hàm số có cực trị Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x − 6mx + 3(m − 1) ⇒ y ′ = ⇔ x − 2mx + m − = Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = > 0, ∀m  x = m − ⇒ A ( m − 1;2 − 2m ) Khi y′ = ⇔   x = m + ⇒ B ( m + 1; −2 − 2m )  Do hệ số a = > m + > m − nên A điểm cực đại B điểm cực tiểu hàm số  m = −3 + 2 Theo ta có OA = 2OB ⇔ m + 6m + = ⇔   m = −3 − 2  Vậy m = −3 ± 2 giá trị cần tìm Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng ( 3m − 1) x + (3m − 2) x + m − 1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − Tìm giá trị m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ lớn 3 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 28 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 12 Hướng dẫn giải : ′ = x − ( 3m − 1) x + 3m − ⇒ y ′ = ⇔ x − ( 3m − 1) x + 3m − = Ta có y a) Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt Ta có điều kiện ∆ > ⇔ ( 3m − 1) − ( 3m − ) > ⇔ 9m2 − 18m + > ⇔ m ≠  3m − − ( m − 1) =1 x = b) Với m ≠ ⇒ y ′ = ⇔   3m − + ( m − 1) = 3m − x =  Hoành độ điểm cực đại, cực tiểu lớn 3m − > ⇔ m > Vậy với m > hàm số cho có cực đại, cực tiểu hoành độ cực đại, cực tiểu lớn 3 c) Ta có x1 + x2 > 28 ⇔ + ( 3m − 1) > 28 ⇔ 3m − > ⇔ m > d) Do vai trò bình đẳng x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ± 10 2 Với x1 = 1; x2 = 3m − ⇒ x12 + x2 = 12 ⇔ + ( 3m − 1) = 12 ⇔ 3m − = ± 10  m = → ± 10 Kết hợp với điều kiện tồn cực trị ta m = 22 ± 22 2 Với x1 = 3m − 1; x2 = ⇒ x12 + x2 = 12 ⇔ ( 3m − 1) + = 12 ⇔ 3m − = ±  m = → ± 22 Kết hợp với điều kiện tồn cực trị ta m = Ví dụ 3: Cho hàm số y = x + x + m Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm A, B cho AOB = 1200 Hướng dẫn giải : x = ⇒ y = m Ta có y ′ = 3x + x ⇒ y ′ = ⇔   x = −2 ⇒ y = m + Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) B(−2 ; m + 4) Ta có OA = (0; m), OB = (−2; m + 4) Để AOB = 1200 ⇒ cos AOB = − m(m + 4) −4 < m < ⇔ = − ⇔ m ( + (m + 4) ) = −2m(m + 4) ⇔  2 2 3m + 24m + 44 = m ( + (m + 4) ) −4 < m < −12 +  ⇔ = −4 + −12 ± ⇔ m = 3 m =  Vậy m = −4 + giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = − x + 3mx − 3m − Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua (d): x + 8y − 74 = Hướng dẫn giải : x=0  Ta có y ′ = −3 x + 6mx = −3 x ( x − 2m ) ⇒ y ′ = ⇔   x = 2m Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Khi dó, điểm cực trị hàm số A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 ) Trung điểm I AB có toạ độ I (m; 2m3 − 3m − 1) Đường thẳng d: ( d ) : x + y − 74 = có véc tơ phương u = (8; −1) m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = I ∈ d  A B đối xứng với qua d ⇔ ( d ) ⇔  ⇔ ⇔m=2  AB ⊥ d  AB.u =  Vậy m = giá trị cần tìm 3m Ví dụ 5: Cho hàm số y = x − x + ( m − 1) x + Tìm m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực tiểu điểm x = c) hàm số đạt cực đại x = d) hàm số khơng có cực đại, cực tiểu e) đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + Hướng dẫn giải : 3m a) Ta có y = x3 − x + ( m − 1) x + ⇒ y ′ = 3x − 3mx + ( m − 1) = x − mx + m − Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ( ) Ta có điều kiện ∆ > ⇔ ( m − ) > ⇔ m ≠ 2 Vậy với m ≠ hàm số cho có cực đại, cực tiểu  y′(2) = b) Hàm số đạt cực tiểu điểm x = hệ sau có nghiệm  , (I )  y′′(2) >  − 2m + m − = m = Ta có y′′ = 6x – 3m, ( I ) ⇔  ⇔ ⇒m=3 12 − 3m > m < Giá trị m = thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị cần tìm  y′(0) = c) Hàm số đạt cực đại điểm x = hệ sau có nghiệm  , (I )  y′′(0) > m − = m = Ta có y′′ = 6x – 3m, hệ ( I ) ⇔  ⇔ ⇒ m =1  −3m < m > Giá trị m = thỏa mãn điều kiện (*) nên giá trị cần tìm d) Hàm số khơng có cực đại, cực tiểu y′ khơng đổi dấu ⇔ y′ = vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ ⇔ (m – 2)2 ≤ Bất phương trình có nghiệm m =2 Vậy với m = hàm số cho khơng có cực trị e) Xét phương trình y’ = ta x2 – mx + m – = 3m −  m+m−2  = m −  y1 =  x1 = 2 ∆ = ( m − 2) ⇒  ⇒ 3m − 5m +  x = m − m + =1 y2 =      3m − 8m +  Gọi A(x1, y1) B(x2, y2) điểm cực đại, cực tiểu Khi AB =  − m;    Đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 3m − 8m + 2−m AB / / ud ⇔ = ⇔ 2m − = 3m − 8m + ⇔ 27 m − 74m + 58 =  vno → −1 ( ) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: ( 2m − 1) x Bài 1: Cho hàm số y = x3 − − 2(2m + 1) x + 3 Tìm giá trị m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh âm Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng 4 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 > 17 2 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 12 ( 3m + 1) x Bài 2: Cho hàm số y = x3 − − (2m + m) x − Tìm giá trị m để a) hàm số có cực đại, cực tiểu b) hàm số đạt cực đại điểm x = 2 c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = 40 d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Oy Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3mx + a) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính hai điểm phân biệt A, B cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT khoảng cách từ O đến đường thẳng qua CĐ, CT lớn Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu số ứng dụng điển hình Lấy y chia cho y′ ta y = y′.g ( x) + ax + b, đường thẳng d : y = ax + b đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số Tác dụng lớn việc tìm phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu lấy tung độ chúng Thật vậy, gọi M, N điểm cực đại, cực tiểu M ( x1 ; ax1 + b ) , N ( x2 ; ax2 + b ) , x1 ; x2 hai nghiệm phương trình y′ = ta dùng Vi-et Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x + 3mx + 3(1 − m ) x + m − m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu Khi đó, viết phương trình đường thẳng qua điểm Hướng dẫn giải : 2 Ta có y ′ = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) ⇒ y ′ = ⇔ x − 2mx + m − = Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = > 0, ∀m Vậy hàm số có cực đại, cực tiểu với giá trị m m 1 Chia y cho y′ ta y =  x −  y ′ + x − m + m 3 3  m 1   y1 =  x1 −  y(′x1 ) + x1 − m + m   Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị,    y2 =  x2 − m  y ′ + x2 − m + m    ( x2 ) 3   y = x1 − m + m Do y(′x1 ) = y(′x2 ) = ⇒  ⇔ A, B ∈ ( d ) : y = x − m + m  y2 = x2 − m + m Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số cho y = x − m + m Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4x + Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x − x − m Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ + 3m > ⇔ m > −3, (*) 1 m 1  2m   Chia y cho y′ ta y =  x −  y′ −  + 2 x +  −  3 3 3    Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị, phương trình đường thẳng qua A, B (∆) : y = −  2m m  + 2 x + −   Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng   2m  −  +  = −4   Theo ta có d / / ∆ : y = −4 x + ⇒⇔   ⇔m=3 2 − m ≠   Đối chiếu với (*) ta m = giá trị cần tìm Ví dụ 3: Cho hàm số y = x − x − mx + Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm cách đường thẳng (d): y = x − Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x − x − m Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ + 3m > ⇔ m > −3, ( *) 1 m 1  2m   Chia y cho y′ ta y =  x −  y′ −  + 2 x +  −  3 3 3    Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị, phương trình đường thẳng qua A, B ( AB ) : y = −   2m m  + 2 x + − 3   Các điểm cực trị cách đường thẳng (d) : y = x − nên xảy trường hợp: TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng (d)  2m  ⇔ − +  = ⇔ m = − , (thỏa mãn)   y + y2 x1 + x2 TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng ( d ) ⇔ yI = xI − ⇔ = −1 2 m 2m  2m    2m  ⇔ − +  ( x1 + x2 ) +  −  = ( x1 + x2 ) − ⇔  +  = − ⇔m=0 3      Vậy m = 0; m = − giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho hàm số y = x − x + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu điểm đối xứng qua (d): x − 2y − = Hướng dẫn giải : Ta có y ′ = 3x − x + m Hàm số có cực đại, cực tiểu y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > ⇔ − 3m > ⇔ m < 3, (*) 1 1 2  Chia y cho y′ ta y =  x −  y ′ +  m −  x + m 3 3 3  2  Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị, ( AB ) : y =  m −  x + m ⇒ k AB = m − 3 3  Ta có ( d ) : x − y − = ⇒ kd = 1  A, B đối xứng qua (d) ta phải có ( AB ) ⊥ ( d ) ⇔ k AB kd = −1 ⇔  m −  = −1 ⇔ m = 2  Với m = đồ thị có hai điểm cực trị (0; 0) (2; –4), nên trung điểm chúng I(1; –2) Ta thấy I ∈ (d), hai điểm cực trị đối xứng với qua (d) Vậy m = giá trị cần tìm BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + x + m − Tìm m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng ( d ) : y = x Đ/s: m = Bài 2: Cho hàm số y = x3 − x − mx + Tìm m để hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đường thẳng qua điểm tạo với đường thẳng Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luyện thi Đại học mơn Tốn năm học 2012 – 2013 (d ) : x + 4y − = Thầy Đặng Việt Hùng góc 450 Đ/s: m = − Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 ... = c? ? hai nghiệm ph? ?n bi? ?t ⇔ ∆ > 0, (*) + T? ?m đi? ?u ki? ?n tham số để c? ? ?c trị c? ? t? ?nh ch? ?t K chẳng h? ? ?n + Đối chi? ?u giá trị t? ?m với đi? ?u ki? ?n (*) để k? ?t lu? ?n cuối Ta x? ?t số dạng t? ?nh ch? ?t đi? ?n h? ?nh... Do h? ?? số a = > n? ?n y? ?u c? ? ?u t? ? ?n trở thành y′ = c? ? hai nghiệm ph? ?n bi? ?t x1; x2 thỏa m? ?n H? ? ?c tr? ?c tuy? ?n t? ??i: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 Luy? ? ?n thi Đại h? ? ?c m? ?n T? ? ?n năm h? ? ?c 2012 – 2013 Thầy Đặng... m ≠ H? ?m số c? ? điểm c? ? ?c đại, c? ? ?c ti? ?u n? ??m phía tr? ?c tung phương trình y′ = c? ? hai nghiệm d? ?u ⇔ ac > ⇔ 2m − > ⇔ m > K? ?t h? ??p đi? ?u ki? ?n ta < m ≠ thỏa m? ?n y? ?u c? ? ?u t? ? ?n T? ?nh ch? ?t 5: C? ?c t? ? ?n c? ? ?c trị