(loi) Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Chuyên đề 2: Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình Và hệ bất phơng trình đại số MT S K NNG GII H PHNG TRèNH Trong cỏc thi i hc nhng nm gn õy , ta gp rt nhiu bi toỏn v h phng trỡnh . Nhm giỳp cỏc bn ụn thi tt , bi vit ny tụi xin gii thiu mt s dng bi v k nng gii chỳng I.H S DNG PHNG PHP BIN I TNG NG. c im chung ca dng h ny l s dng cỏc k nng bin i ng nht c bit l k nng phõn tớch nhm a mt PT trong h v dng n gin ( cú th rỳt theo y hoc ngc li ) ri th vo PT cũn li trong h . *Loi th nht , trong h cú mt phng trỡnh bc nht vi n x hoc y khi ú ta tỡm cỏch rỳt y theo x hoc ngc li Vớ d 1 . Gii h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x y 1 x y 1 3x 4x 1 1 xy x 1 x 2 + + + = + + + = Gii. D thy x = 0 khụng tha món PT(2) nờn t (2) ta cú : 2 x 1 y 1 x + = thay vo (1) ta c ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x x 3x 4x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1 x x + = + = ữ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 x 1 x 1 2x 2x x 1 x 1 3x 1 x 1 2x 2x 4x 0 x 0 x 2 = + = + = = = T ú , ta c cỏc nghim ca h l : (1;-1) , (-2; 5 2 ) *Loi th hai , Mt phng trỡnh trong h cú th a v dng tớch ca cỏc phng trỡnh bc nht hai n Vớ d 2 . Gii h phng trỡnh ( ) ( ) 2 2 xy x y x 2y 1 x 2y y x 1 2x 2y 2 + + = = Gii . iu kin : x1 ; y0 PT (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x xy 2y x y 0 x y x 2y x y 0 + = + + = ( t iu kin ta cú x+y>0) x 2y 1 0 x 2y 1 = = + thay vo PT (2) ta c : ( ) ( ) ( ) y 2x 2y 2y 2 y 1 2y 2 0 do y 0 y 2 x 5+ = + + = = = *loi th ba , a mt phng trỡnh trong h v dng phng trỡnh bc hai ca mt n , n cũn li l tham s Vớ d 3. Gii h phng trỡnh ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 y = 5x 4 4 x 1 y 5x 4xy 16x 8y 16 0 2 + + + = Gii . Bin i PT (2) v dng ( ) 2 2 y 4x 8 y 5x 16x 16 0 + + + = Coi PT (2) l phng trỡnh n y tham s x ta cú 2 ' 9x = t ú ta c nghim ( ) ( ) y 5x 4 3 y 4 x 4 = + = Thay (3) vo (1) ta c : ( ) ( ) ( ) 2 4 x y 0 5x 4 5x 4 4 x 5 x 0 y 4 = = + = + = = 1 Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc Thay (4) vào (1) ta được : ( ) ( ) ( ) 2 x 4 y 0 4 x 5x 4 4 x x 0 y 4 = ⇒ =  − = + − ⇔  = ⇒ =  Vậy nghiệm của hệ là : (0;4) , (4;0) , ( 4 5 − ;0) II.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Điểm quan trọng nhất trong hệ dạng này là phát hiện ẩn phụ ( ) ( ) a f x, y ;b g x, y= = có ngay trong từng phương trình hoặc xuất hiện sau một phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một biểu thức khác 0. Ví dụ 4. Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 1 y y x 4y 1 x 1 y x 2 y 2  + + + =   + + − =   Giải . Dễ thấy y=0 không thỏa mãn PT(1) nên HPT ( ) 2 2 x 1 y x 4 y x 1 y x 2 1 y  + + + =   ⇔    +  + − =  ÷     Đặt 2 a b 2 x 1 a ,b y x 2 ab 1 y + =  + = = + − ⇒  =  giải hệ ta được a=b=1 từ đó ta có hệ 2 x 1 y x y 3  + =  + =  Hệ này bạn đọc có thể giải dễ dàng. Ví dụ 5. Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 3 4xy 4 x y 7 x y 1 2x 3 x y  + + + =  +    + =  +  Giải . Điều kiện : x +y ≠0 HPT ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 x y x y 7 x y 1 x y x y 3 x y  + + − + =  +  ⇔   + + + − =  +  Đặt ( ) 1 a x y a 2 ;b x y x y = + + ≥ = − + ta được hệ ( ) ( ) 2 2 3a b 13 1 a b 3 2  + =   + =   Giải hệ ta được a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) từ đó ta có hệ 1 x y 2 x y 1 x 1 x y x y 1 y 0 x y 1  + + = + = =    + ⇔ ⇔    − = =    − =  III.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Hệ loại này ta gặp nhiều ở hai dạng f(x)=0 (1)và f(x)=f(y) (2) với f là hàm đơn điệu trên tập D và x,y thuộc D .Nhiều khi ta cần phải đánh giá ẩn x,y để x,y thuộc tập mà hàm f đơn điệu * Loại thứ nhất , một phương trình trong hệ có dạng f(x)=f(y) , phương trình còn lại giúp ta giới hạn x,y thuộc tập D để trên để trên đó hàm f đơn điệu Ví dụ 6 . Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 3 8 4 x 5x y 5y 1 x y 1 2  − = −   + =   Giải . 2 Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc Từ PT (2) ta có 8 4 x 1;y 1 x 1; y 1≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ Xét hàm số ( ) [ ] 3 f t t 5t; t 1;1= − ∈ − có ( ) [ ] 2 f ' t 3t 5 0; t 1;1= − < ∀ ∈ − do đó f(t) nghịch biến trên khoảng (-1;1) hay PT (1) x y⇔ = thay vào PT (2) ta được PT : 8 4 x x 1 0+ − = Đặt a=x 4 ≥0 và giải phương trình ta được 4 1 5 1 5 a y x 2 2 − + − + = ⇒ = = ± *loại thứ hai , là dạng hệ đối xứng loại hai mà khi giải thường dẫn đến cả hai trường hợp (1) và (2) Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 2 y 1 2 x 1 x x 2x 2 3 1 y y 2y 2 3 1 − −  + − + = +   + − + = +   Giải . Đặt a x 1;b y 1= − = − ta được hệ ( ) ( ) 2 b 2 a a a 1 3 1 b b 1 3 2  + + =   + + =   Trừ vế với vế 2 PT ta được : 2 a 2 b a a 1 3 b b 1 3+ + + = + + + (3) Xét hàm số ( ) ( ) 2 2 t t 2 t 1 t f t t t 1 3 ;f ' t 3 ln3 t 1 + + = + + + = + + Vì ( ) 2 2 2 t 1 t t t 1 t 0 f ' t 0, t+ > ≥ − ⇒ + + > ⇒ > ∀ do đó hàm số f(t) đồng biến trên R Nên PT (3) a b⇔ = thay vào PT (1) ta được 2 a a a 1 3+ + = (4) Theo nhận xét trên thì 2 a a 1 0+ + > nên PT (4) ( ) 2 ln a a 1 a ln 3 0⇔ + + − = ( lấy ln hai vế ) Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 2 2 1 g a ln a a 1 a ln 3; g' a ln3 1 ln3 0, a R a 1 = + + − = − < − < ∀ ∈ + hay hàm g(a) nghịch biến trên R và do PT (4) có nghiệm a=0 nên PT (4) có nghiệm duy nhất a=0 Từ đó ta được nghiệm của hệ ban đầu là : x=y=1 IV.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Với phương pháp này, cần lưu ý phát hiện các biểu thức không âm và nắm vững cách vận dụng các bất đẳng thức cơ bản Ví dụ 8 . Giải hệ phương trình 2 3 2 2 2 3 2xy x x y x 2x 9 2xy y y x y 2y 9  + = +  − +    + = +  − +  Giải. Cộng vế với vế hai PT ta được 2 2 3 2 2 3 2xy 2xy x y x 2x 9 y 2y 9 + = + − + − + (1) Ta có : ( ) 2 3 2 3 3 32 2 2 xy 2 xy 2xy x 2x 9 x 1 8 2 xy 2 x 2x 9 x 2x 9 − + = − + ≥ ⇒ ≤ ≤ = − + − + Tương tự 3 2 2xy xy x 2x 9 ≤ − + mà theo bất đẳng thức Côsi 2 2 x y 2 xy+ ≥ nên VT(1)≤VP(1) Dấu bằng xảy ra khi x y 1 x y 0 = =   = =  thử lại ta được nghiệm của hệ là : (0;0) , (1;1) Ví dụ 9 . Giải hệ phương trình 3 3 y x 3x 4 x 2y 6y 2  = − + +   = − −   3 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Gii. HPT ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 y 2 x 3x 2 y 2 x 1 x 2 1 x 2 2 y 3y 2 x 2 2 y 1 y 2 2 = = + = = + Nu x>2 t (1) suy ra y-2<0 diu ny mõu thun vi PT(2) cú (x-2) v (y-2) cựng du Tng t vi x<2 ta cng suy ra iu vụ lớ . Vy nghim ca h l x=y=2 Hy vng mt s vớ d trờn s giỳp bn phn no k nng gii h . kt thỳc bi vit mi cỏc bn cựng gii cỏc h phng trỡnh sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 3 2 2 4 2 3 2 x 2 3y 8 xy 3x 2y 16 1) 2) x y 2x 4y 33 x y 2 6 2 x 2x y 1 x y 1 x 3y 9 3) 4) y 4 2x 3 y 48y 48x 155 0 y 4x 1 ln y 2x + = = + = = + = + + = + + = + + + + = 0 3 2 2 2 2 2 x 2 2 2 2 3 2 y 2 x y 2 x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5 5) 6) x xy y y 0 x y x y 44 y e 2007 x y 2x y 0 y 1 7) 8) x 2x 3x 6y 12x 13 0 e 2007 x 1 + = + + + + = + + + + = + + + = = + = + + + = = Đ1. Hệ phơng trình phơng trình đại số Một số dạng hệ phơng trình thờng gặp 1) Hệ phơng trình bậc nhất: Cách tính định thức 2) Hệ phơng trình đối xứng loại 1: Hệ không thay đổi khi ta thay x bởi y và ngợc lại 3) Hệ phơng trình đối xứng loại 2: Nếu đổi vai trò của x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại 4) Hệ phơng trình đẳng cấp bậc 2: Xét 2 trờng hợp, sau đó đặt x = ty 5) Một số hệ phơng trình khác Các ví dụ Ví dụ 1. Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phơng trình =+++ =++ 8 )1)(1( 22 yxyx myxxy a) Giải hệ khi m = 12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 2) Cho hệ phơng trình 2 2 2 1 1 2 a x y x y a + = + = + Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt 3) Cho hệ phơng trình 2 2 2 2 1 3 2 x xy y x xy y m + = + = Tìm m để hệ có nghiệm 4) Cho hệ phơng trình =+ =+ 222 6 ayx ayx a) Giải hệ khi a = 2 b) Tìm GTNN của F = xy + 2(x + y) biết (x, y) là nghiệm của hệ 4 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học 5) Cho hệ phơng trình +=+ +=+ ymx xmy 2 2 )1( )1( Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 6) Giải hệ phơng trình: =+ =+ 22 22 xy yx 7) Giải hệ phơng trình: =+++++++ =+++ myxxyyx yx 1111 311 a) Giải hệ khi m = 6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Ví dụ 2. Giải hệ phơng trình: + = + = 2 2 2 2 2 3 2 3 y x x x y y (KB 2003) HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 TH2 chú ý: x>0, y> 0 suy ra vô nghiệm Ví dụ 3. Giải hệ phơng trình: =+ =+ 358 152 33 22 yx xyyx HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S = 2x + y và P = 2x. y Đs: (1, 3) và (3/2, 2) Ví dụ 4. Giải hệ phơng trình: =+ = )2(1 )1(33 66 33 yx yyxx HD: từ (2) : - 1 x, y 1 hàm số: ( ) tttf 3 3 = trên [-1;1] áp dụng vào phơng trình (1) Ví dụ 5. CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất: += += x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 HD: = = 223 2 axx yx ; xét 23 2)( xxxf = , lập BBT suy ra KQ Ví dụ 6. Giải hệ phơng trình: =+ =+ 22 22 xy yx HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2 Ví dụ 7. =+ =+ )1( )1( 2 2 xayxy yaxxy xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ a = 8 Ví dụ 8. Giải hệ phơng trình: += = )2(5 )1(2010 2 2 yxy xxy HD: Rút ra y yy y x += + = 55 2 ; Cô si 52 5 += y y x ; 20 2 x theo (1) 20 2 x suy ra x, y Ví dụ 9. ++=+ = 2 )1( 3 yxyx yxyx (KB 2002) HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2) 5 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Ví dụ 10. =+ =++ ayx ayx 3 21 Tìm a để hệ có nghiệm HD: Từ (1) đặt 2,1 +=+= yvxu đợc hệ dối xứng với u, -v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu Bài tập áp dụng 1) = = 495 5626 22 22 yxyx yxyx 2) +=+ +=+ )(3 22 22 yxyx yyxx KD 2003 3) =++ =++ 095 18)3)(2( 2 2 yxx yxxx 4) ++=+ = 2 )(7 22 33 yxyx yxyx HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm 5) += = mxyx yxy 26 12 2 2 Tìm m để hệ có nghiệm 6) = = 19 2.)( 33 2 yx yyx Đặt t = x/y Hệ pt có 2 nghiệm 7) =++ =++ 64 9)2)(2( 2 yxx yxxx Đặt X = x(x + 2) và Y = 2x + y 8) 2 2 2 2 2 (1) 4 x y x y x y x y + = + + = HD: Đổi biến theo v, u từ phơng trình (1) 9) =+ =+ 22 333 6 191 xxyy xyx HD: Đặt x = 1/z thay vào đợc hệ y, z ĐS ( - 1/2, 3) (1/3, - 2) 10) += = 12 11 3 xy y y x x (KA 2003) HD: x = y V xy = - 1 CM 02 4 =++ xx vô nghiệm bằng cách tách hàm số kq: 3 nghiệm 11) +=+ +=+ axy ayx 2 2 )1( )1( xác định a để hệ có nghiệm duy nhất HD sử dụng ĐK cần và đủ 12) =+ =+ 3 3 22 xyyx x y y x HD bình phơng 2 vế 6 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học 13) =+ +=+ 78 1 7 xyyxyx xy x y y x HD nhân 2 vế của (1) với xy Đ2. Phơng trình và bất phơng trình phơng trình đại số Một số dạng phơng trình và bất phơng trình thờng gặp 1) Bất phơng trình bậc hai Định lý về dấu của tam thức bậc hai Phơng pháp hàm số 2) Phơng trình, bất phơng trình chứa giá trị tuyệt đối ( ) 2 2 0 ( 0) A B A B A B A B B A B A B B A B B < < > > < < < < > 3) Phơng trình, bất phơng trình chứa căn thức Một số ví dụ Ví dụ 1. Tìm m để mxxxx ++++ )64)(3)(1( 2 nghiệm đúng với mọi x HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức: m - 2 Ví dụ 2. Tìm a để hệ sau có nghiệm =+++ + 2)1(2 2 ayxxy yx HD: 2 2 2 (1) ( 1) ( 2) 1 (2) x y x y a + + = + TH1: a + 1 0 Hệ vô nghiệm TH2: a + 1>0. Vẽ đồ thị (2) là đờng tròn còn (1) là miền gạch chéo: a - 1/2 Ví dụ 3. Giải các phơng trình, bất phơng trình sau 1) 014168 2 ++ xxx 2) xxx 2114 =+ : x = 0 3) 510932)2(2 22 ==+ xxxxx 4) 211 22 =++ xxxx HD: Tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải 5) 023)3( 22 xxxx KD 2002 Ví dụ 4. Tìm m để hệ sau có nghiệm + ++ 012 0910 2 2 mxx xx ĐS: m4 Ví dụ 5. Giải bất phơng trình 2212 >+ xxx HD + / Nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT + / Biến đổi về BPT tích chú ý ĐK Ví dụ 6. Giải bất phơng trình: 7 2 1 2 2 3 3 +<+ x x x x HD Đặt 2, 2 1 += t x xt , AD BĐT cô si suy ra ĐK Ví dụ 7. Giải bất phơng trình: 4 )11( 2 2 > ++ x x x HD: + / Xét 2 trờng hợp chú y DK x> = - 1 + / Trong trờng hợp x 4, tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT Ví dụ 8. Cho phơng trình: mxxxx ++=+ 99 2 . Tìm m để phơng trình có nghiệm 7 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học HD: + / Bình phơng 2 vế chú ý ĐK + / Đặt t = tích 2 căn thức, Tìm ĐK của t + / Sử dụng BBT suy ra KQ Ví dụ 9. Giải bất phơng trình (KA 2004) : 3 7 3 3 )16(2 2 >+ x x x x x Bài tập áp dụng 1) =+ ++ 0 12 22 ayx xyx Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. Tìm nghiệm duy nhất đó. ĐS a = - 1 và a = 3 2) Tìm m để bất phơng trình sau có nghiệm: mxx + 41624 3) 16212244 2 +=++ xxxx 4) 12312 +++ xxx 5) 1212)1(2 22 =+ xxxxx HD: Đặt 12 2 += xxt , coi là phơng trình bậc hai ẩn t 6) 2 2)2()1( xxxxx =++ 7) 2 3 1)2(12 + =++ x xxxx 8) Cho phơng trình: mxxxx =++++ 444 a) Giải phơng trình khi m = 6 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm 9) 1 1 251 2 < x xx 10) 023243 2 =+++ xxx 11) Tìm a để với mọi x: 32)2()( 2 += axxxf ĐS a 4 ; a 0 Chuyên đề 3: Lợng giác Đ1. Phơng trình và hệ phơng trình lợng giác Một số kiến thức cần nhớ Các công thức biến đổi lợng giác Một số dạng phơng trình cơ bản Phơng trình bậc 2, bậc 3 theo một hàm số lợng giác Phơng trình đẳng cấp bậc nhất với sinx, cosx: asinx + bcosx = c Phơng trình đẳng cấp bậc 2 với sinx, cosx: a. sin 2 x + b. sinx. cosx + c. cos 2 x + d = 0 Phơng trình đẳng cấp bậc 3 với sinx, cosx: a. sin 3 x + b. sin 2 x. cosx + c. sinx. cos 2 x + d. cos 3 x = 0 a. sin 3 x + b. sin 2 x. cosx + c. sinx. cos 2 x + d. cos 3 x + m = 0 Phơng trình đối xứng với sinx, cosx a: (sinxcosx) + b. sinx. cosx + c = 0 Phơng trình đối xứng với tgx, cotgx Phơng trình đối xứng với sin 2n x, cos 2n x Các ví dụ Ví dụ 1. 2.cos4 cot tan sin 2 x x x x = + HD: đặt ĐK x = /3 + k. Ví dụ 2. )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 += ++ + xxx 8 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học HD: Sử dụng công thức hạ bậc xx sin 3 cos).2cos(.21 =++ ĐS 3 họ nghiệm Ví dụ 3. 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 =+ x x x x HD: Nhóm, nhân lên và tách 2 thành 2 nhóm Ví dụ 4. 3 3 sin .sin 3 cos .cos3 1 8 tan .tan 6 3 x x x x x x + = + ữ ữ HD: Đặt ĐK rút gọn MS = 1; AD công thức nhân 3; ĐS x = - /6 + k Ví dụ 5. 3 tan (tan 2.sin ) 6.cos 0x x x x + + = HD: Biến đổi theo sin và cos đợc 0)cos21(sin)cos21(cos.3 22 =++ xxxx ĐS x = /3 + k Ví dụ 6. 3.tan 6sin 2sin( ) 2 tan 2sin 6sin( ) 2 y x y x y x y x + = = + HD: nhân (1) với (2) rút gọn 2 2 tan 4sin 2 y y= đặt 2 tan 2 y t = ữ ; t = 0, 3t = Ví dụ 7. xxxxxx cos13sin. 2 1 sin.4cos2sin.3cos ++= HD: BĐ tích thành tổng rút gọn Ví dụ 8. 2 1 5cos4cos3cos2coscos =++++ xxxxx HD: nhân 2 vế với 2. sin(x/2) chú y xet trờng hợp bằng 0 NX: Trong bài toán chứa tổng cos cos 2 cos sin sin 2 sin T x x nx T x x nx = + + + = + + + thực hiện rút gọn bằng cách trên Ví dụ 9. 2 2 tan .sin 2.sin 3(cos2 sin .cos )x x x x x x = + HD: BĐ sau đó đặt t = tg(x/2) Ví dụ 10. 2 9 sin cos 2 log 4.log . 2 4 x x ữ = HD: 4 )(sinlog 2log .2.log2 2 sin sin sin = x x x x MT S K NNG GII PHNG TRèNH LNG GIC Trong cỏc thi i hc nhng nm gn õy , a s cỏc bi toỏn v gii phng trỡnh lng giỏc u ri vo mt trong hai dng :phng trỡnh a v dng tớch v phng trỡnh cha n mu . Nhm giỳp cỏc bn ụn thi cú kt qu tt , bi vit ny tụi xin gii thiu mt s k nng quan trng ca dng toỏn ú I.PHNG TRèNH A V DNG TCH 1, Phng trỡnh s dng cỏc cụng thc bin i lng giỏc : cụng thc bin tớch thnh tng, tng thnh tớch , cụng thc h bc , Bi 1. Gii phng trỡnh : sinx+sin2x+sin3x+sin4x+sin5x+sin6x=0 (1) Gii ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin 6x sin x sin 5x sin 2x sin 4x sin3x 0 7x 5x x 3x 7x 3x 2sin cos cos cos 0 4sin cos 2cosx+1 0 2 2 2 2 2 2 k2 7x x sin 0 7 2 3x k2 cos 0 x ;k Z 2 3 3 2cosx+1 0 2 x k2 3 + + + + + = + + = = ữ = = = = + = = + 9 Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc *Lưu ý : Khi ghép cặp để ra tổng ( hoặc hiệu ) sin ( hoặc cos ) cần để ý đến góc để sao cho tổng hoặc hiệu các góc bằng nhau Bài 2 . Giải phương trình : 3 3 2 3 2 cos3xcos x sin3x sin x 8 − − = (2) Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 2 cos x cos4x cos2x sin x cos2x cos4x 2 2 8 2 3 2 2 3 2 cos4x cos x sin x cos2x cos x sin x cos4x cos 2x 4 4 2 k 4cos4x 2 1 cos4x 2 3 2 cos4x x k Z 2 16 2 − ⇔ + − − = − − ⇔ + + − = ⇔ + = π π ⇔ + + = − ⇔ = ⇔ = ± + ∈ *Lưu ý : Việc khéo léo sử dụng công thức biến tích thành tổng có thể giúp ta tránh được việc sử dụng công thức nhân 3 Bài 3 . Giải phương trình : 2 2 2cos 2x 3cos4x 4cos x 1 4 π   − + = −  ÷   (3) Giải ( ) ( ) 2 2 3 1 cos 4x 3cos4x 4cos x 1 sin 4x 3cos4x 2 2cos x 1 2 x k 1 3 12 sin 4x cos4x cos2x cos 4x cos2x ,k Z k 2 2 6 x 36 3 π   ⇔ + − + = − ⇔ + = −  ÷   π  = + π  π   ⇔ + = ⇔ − = ⇔ ∈   ÷ π π    = +   2,Phương trình sử dụng một số biến đổi khác Việc đưa phương trình về dạng tích điều quan trọng nhất vẫn là làm sao để phát hiện ra nhân tử chung nhanh nhất , sau đây là một số biến đổi có thể giúp ta làm được điều đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 sin x 1 cos x 1 cos x , cos x 1 sin x 1 sin x cos2x cos x sin x cos x sin x 1 cos2x sin 2x 2cos x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x 1 cos 2x sin 2x 2sin x(sin x cos x) 1 sin 2x sin x cos x sin x cos x 1 tan x cos x 2 sin x ⊕ = − + = − + = − + + + = + ⊕ + = + − + = + − = − + ⊕ + = ⊕ sin x cos x 4 π   + = +  ÷   Bài 4 . Giải phương trình : 2sin x(1 cos2x) sin 2x 1 2cos x+ + = + (4) Giải Cách 1 : ( ) ( ) ( ) 2 4 2sin x2cos x 2sin x cos x 1 2cos x 2cos x 1 2sin x cos x 1 0⇔ + = + ⇔ + − = 1 cos x 2 sin 2x 1  = −  ⇔  =  phần còn lại dành cho bạn đọc Cách 2 : ( ) 4 2sin xcos2x (1 sin 2x) 2(cos x sin x) 0⇔ − − − − = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x 2 cos x sin x 0⇔ − + − − − − = ( ) ( ) 2 cos x sin x 2sin xcos x 2sin x cos x sin x 2 0⇔ − + − + − = 10 [...]... gồm 4 chữ số khác nhau *Bài 3: Cho tập A = { 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8} a/ Có bao nhiêu tập con X của A thoả điều kiện chứa 1 và không chứa 2 b/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi số 123 21 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học *Bài 4: Cho tập A = { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau lấy từ tập A sao cho: a/ Số tạo thành là... 1,2,3,4,5,6,7 Xét tập E gồm 7 chữ số khác nhau viết từ các chữ số đã cho Chứng minh rằng tổng S của tất cả các số của tập E chia hết cho 9 1.2 Các bài toán chọn các đối tợng thực tế: Dạng 1: Tìm số cách chọn các đối tợng thoả điều kiện cho trớc * Ví dụ 1: Có 3 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nh đôi 1 khác nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông a/ Có bao... phân xác định x4 x dx 1 1 + 2 Một số kiến thức cần nhớ Nội dung các bài toán về diện tích hình phẳng: 3 bài toán cơ bản Bài toán về thể tích tròn xoay Các ví dụ Bài 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục ox của hình phẳng giới hạn bởi trục ox và đờng y = 2 sin x(0 x ) 19 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Bài 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: y =... sao cho: a/ A và B ngồi chính giữa các học sinh còn lại b/ A và B không ngồi cạnh nhau *Bài 9 : Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 cuốn sách môn toán, 4 cuốn môn văn, 6 cuốn môn anh văn Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách đó lên một kệ dài , nếu mọi cuốn sách này đợc xếp kề nhau và những cuốn cùng môn học xếp kề nhau * Bài 10: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau,... viên Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự lớp * Bài 3: Gia đình ông A có 11 ngời bạn trong đó có 1 cặp vợ chồng ông muốn mời 5 ngời đến dự tiệc, trong đó có cặp vợ chồng có thể cùng đợc mời hoặc không cùng đợc mời Hỏi ông A có bao nhiêu cách mời * Bài45:Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngời, gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh mền núi ,... nhau b/ Bất cứ hai học sinh nào ngồi đối diện nhau cũng khác trờng với nhau Bài tập * Bài 1: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho : a/ Số học sinh nam hoặc nữ là tuỳ ý b/ Phải có 2 nam và 2 nữ c/ Phải có ít nhất 1 nữ 22 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học d/ Số học sinh nam không vợt quá 2 * Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh cần cử ra 1 ban cán sự gồm 1... tích phân sau 1) 2 Tính 3 2) A = 0 4 3 tan x.dx ; B = ( cos x sin x ).dx cos 2 x 6 4 2 3) A = ( x + sin x)dx ; B = sin 2 x cos 2 2 x.dx 1 + cos x 0 0 17 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học 2 4) A = x cos x.dx ; 1 + sin 2 x 0 Bài tập 1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : 2 2 2 7) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) I = cos 2 x.dx 1 + cos x 0 sin 2 x.dx sin 2 x.dx I= ; va J = 4 4 0 1 + sin x 0 cos x + 1 2) (ĐHSP... bông hồng đỏ ( các bông hoa xem nh đôi 1 khác nhau) ngời ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông a/ Có bao nhiêu cách chọn các bông hoa đợc chọn tuỳ ý b/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có đúng 1 bông màu đỏ c/ Có bao nhiêu cách chọn sao cho có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ * Ví dụ 2: Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ, ngời ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp Hỏi có... 2 1 6) A = 0 2 2 dx x dx 4 x3 + 1 ; B= x x 2 + 1.dx 0 7 2 ; B=3 0 dx 2x + 1 18 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học 7) A = 3 dx x 1 x 8 0 8) (*) A = 1 3 3 ( x + 1 2)dx ; (*)B = x + 2x + 1 + x + 1 2 0 x + 1 dx ; x 1 x +1 1 0 9) A = 4 x dx; B = 2 1 0 2 10) A = 1 x 2 + 2 x + 2 dx x 1 dx; B = x 2 1 1 x2 dx x2 1 2 Bài tập 1 1) (HVNH THCM 2000) I = 0 2 2) (ĐH BKHN 1995) I = 2 x 3 dx x + x2 +1 x x... cos 2 ữ 2 2 4 2 14, 2sin x + cot x = 2sin 2x + 1 sin 2 3x 15,sin x + ( cos 3x sin 3 x + sin 3x cos3 x ) = sin x sin 2 3x 3sin 4x 2 12 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Đ2 Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng và một đoạn Phơng pháp bất đẳng thức, nhận xét đánh giá Các ví dụ 4 2 Ví dụ 1 Tìm GTLN, GTNN: y = 3 cos4 . /3 + k. Ví dụ 2. )1(sin 2 1 3 2 cos 3 cos 22 += ++ + xxx 8 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học HD: Sử dụng công thức hạ bậc xx sin 3 cos).2cos(.21 =++ ĐS 3 họ nghiệm Ví dụ 3. 2 sin 2sin 2sin sin 2 2 2 2 =+ x x x x . = −  ÷   + = + + + = 12 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học Đ2. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất, phơng trình có tham số Một số kiến thức cần nhớ Phơng pháp hàm số: Bài toán Max, Min trên 1 khoảng. 3) dxxx x dxxx A .2cos.sinB ; cos1 )sin( 2 2 0 2 4 0 = + + = 17 Tài liệu dùng cho ôn thi đại học 4) ; sin1 .cos. 2 0 2 + = x dxxx A Bài tập 1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính : + = + = 2 0 4 2 0 4 1cos .2sin J