NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH Số tiết A.Đại số 1. Biến đổi Đa thức 2. Phân thức Hữu tỉ 3. BĐT: Phương pháp xét hiệu hai vế. 4. BĐT: Phương pháp sử dụng các BĐT 5. BĐT: Phương pháp làm trội 6. BĐT: Phương pháp BĐT tam giác 7. BĐT: Phương pháp phản chứng 8. BĐT: Một vài phương pháp khác 9. GTNN-GTLN 10. Chứng minh chia hết trong N a. Tính chất chia hết của tổng ,tích b. Đồng dư- Hằng đẳng thức c. Qui nạp 11. Biểu diển thập phân của số tự nhiên B.Hình học C ộ ng 64 4 8 4 4 4 4 4 4 8 4 4 4 4 28 92 * Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngồi hai bất đẳng thức Cơ-si và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski . Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện theo dõi, tơi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây. 1. abba 2 22 ≥+ (a,b>0). (BĐT Cơ-si) 2. ( ) abba 4 2 ≥+ 3. ( ) ( ) 2 22 2 baba +≥+ 4. 0,;2 >≥+ ba a b b a 5. 0,; 411 > + ≥+ ba baba 6. cabcabcba ++≥++ 222 7. ( ) ( )( ) 2222 2 yxbabyax ++≤+ ( Bu nhi a cop xki) 8. ( ) yx ba y b x a + + ≥+ 2 22 9. ( ) zyx cba z c y b x a ++ ++ ≥++ 2 222 Ví dụ 9:Chứng minh cba b ca a bc c ab ++≥++ (Với a,b,c > 0) Giải:2A - 2B = cba b ca a bc c ab 222222 −−−++ =       −++       −++       −+ 222 b a a b c a c c a b b c c b a Áp dụng bất đẳng thức 0,;2 >≥+ ba a b b a .Ta có:2A - 2B ( ) ( ) ( ) 0222222 ≥−+−+−≥ cba .Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0 Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8 21 22 ≥ + + yx xy . Giải: 22222222 2 4 2 1 2 1 2 2 2 221 yxyxyx xy yx xy yx xy ++ ≥         + += + += + + ( ) 8 8 2 = + = yx .Đẳng thức xảy ra khi 2 1 == yx Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức : a b b c c a a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 Giải: c a c b b a c b b a .2.2 2 2 2 2 =≥+ ; a b a c c b a c c b .2 2 2 2 2 2 =≥+ ; b c b a a c b a a c .2 2 2 2 2 2 =≥+ Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a b b c c a a c c b b a a b b c c a a c c b b a ++≥++⇒       ++≥         ++ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c Tiết 21-24 Ví dụ 12:Cho a > 0 và b > 0. Chứng minh rằng cbabaaccb ++ > + + + + + 3111 . Giải: cbacbabacacbbaaccb ++ = ++ + ++ + ++ > + + + + + 3111111 Ví dụ 13: Chứng minh: 4 11 4 1 3 1 2 1 3333 <++++= n A .Với n là số tự nhiên và 2≥n Giải: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 111 233 +− = − = − < kkk kkkkk . Và : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 11 11 1 1 1 1 +− = +− −−+ = + − − kkkkkk nn kkkk Suy ra: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 111 233 +− = − = − < kkk kkkkk = ( ) ( )       + − − kkkk 1 1 1 1 2 1 Suy ra: A < ( ) ( )       + − − ++−+− 1 1 1 1 4.3 1 3.2 1 3.2 1 2.1 1 2 1 nnnn ( ) 4 1 1 1 2 1 2 1 <       + −= nn ==========o0o========== Bài tập áp dụng: 38. Chứng minh:B = 2 12 1 3 1 2 1 1 n n > − ++++ Với n là số tự nhiên và 2 ≥ n 39. Bài 29:Cho C bad d adc c dcb b cba a ++ + ++ + ++ + ++ = (a,b,c,d >0) .Chứng minh rằng : 21 << C 40. Chứng minh 2 3 1 1 1 1 1 1 ≥ + + + + + = xzyzxy P . Trong đó x , y , z là 3 số dương và 3 222 ≤++ zyx HƯỚNG DẪN: 47. Chứng minh:B = 2 12 1 3 1 2 1 1 n n > − ++++ Với n là số tự nhiên nnn B 2 1 2 1 12 1 8 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 −       ++ + +       +++       +++= − nnn 2 1 2 1 2 1 8 1 8 1 4 1 4 1 2 1 1 −       +++       +++       +++< 2 2 1 2 1 2 1 2 1 . 2 2 2 1 2 1 2 1 1 nn nnn n >−+=−+++++= 48. cbad d badc c adcb b dcba a C +++ + +++ + +++ + +++ > cbad cd badc bc adcb ab dcba da C +++ + + +++ + + +++ + + +++ + < 49. Áp dụng BĐT 9 ta có ( ) 222 3 9 zyx P +++ ≥ ===========o0o=========== Tiết 25-28 * Với a,b,c là số đo 3 cạnh tam giác ta cần nhớ các tính chất sau: • a,b,c là các số dương • Tổng 2 cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại • Tỉ số giữa 1 cạnh với 2 cạnh còn lại bé hơn 1 Ví dụ 14:Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .Chứng minh rằng : cbabcaacbcba 111111 ++≥ −+ + −+ + −+ Giải: Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; a + c - b > 0; b + c - a > 0 Áp dụng BĐT 0,; 411 > + ≥+ ba baba ta được: bbacbcba 2 2 411 =≥ −+ + −+ ,tươngtự: cbacacb 211 ≥ −+ + −+ ; abaccba 211 ≥ −+ + −+ . Suy ra       ++≥       −+ + −+ + −+ cbabcaacbcba 111 2 111 2 hay cbabcaacbcba 111111 ++≥ −+ + −+ + −+ .(ĐPCM) Ví dụ 15:Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác . Chứng minh rằng : 2 < + + + + + ba c ac b cb a . Giải: Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c ⇒ cba ca cb a cb a ++ + < + ⇒< + 1 tương tự cba a cb a cb a ++ < + ⇒< + 2 1 ; cba b ca b ++ < + 2 ; cba c ba c ++ < + 2 . Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM. BÀI TẬP: 50. Chứng minh rằng : (a + b -c)( a - b + c)(-a + b + c) ≤ abc.Với a,b,c là 3 cạnh tam giác 51. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng ( ) cbacba ++<++ 2 222 52. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng 3 ≥ −+ + −+ + −+ cba c bca b acb a 53. Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . Chứng minh rằng cacbba +++ 1 , 1 , 1 cũng là 3 cạnh của 1 tam giác ==========o0o========== HƯỚNG DẪN : 50. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên (a + b -c) > 0. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Áp dụng bài tập 28 ta có ĐPCM. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.Hay tam giác đã cho là tam giác đều. 51. Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a < b + c ⇒ acaba +< 2 tương tự abbcb +< 2 ; acbcc +< 2 Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM 52. Đặt x = a + b -c; y = a - b + c ; z = b + c - a. Suy ra : 6≥ + + + + + y zx x zy z yx 53. Ta cần chứng minh bacbca + > + + + 111 ; cbcaba + > + + + 111 ; cacbba + > + + + 111 . Dựa vào tính chất tổng 2 cạnh lớn hơn cạnh còn lại ,chứng minh : bacbca + > + + + 111 bằng cách làm trội 2 lần liên tiếp.Tương tự : cbcaba + > + + + 111 ; cacbba + > + + + 111 =========o0o========== Tiết 29-32 Ví dụ 14:Cho 2 22 ≤+ ba . Chứng minh rằng 2 ≤+ ba Giải: Giả sử : 2 >+ ba ( ) 42 22 2 >++=+⇒ abbaba mặt khác: ( ) ( ) 24222 22222222 >+⇒>+⇒+≤++ bababaabba . Điều này trái với giả thiết 2 22 ≤+ ba .Vậy 2 ≤+ ba . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 15: Cho 3 số dương a,b,c nhỏ hơn 2. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các BĐT sau là sai: a(2 - a) > 1; b(2 - b) > 1; c(2 - c) > 1 Giải: Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có: a(2 - a). b(2 - b). c(2 - c) > 1. Nhưng a(2 - a) = 1 - (a 2 - 2a + 1) ≤ 1; tương tự: b(2 - b) ≤ 1: c(2 - c) ≤ 1. Mâu thuẫn với điều giả sử.Vậy có ít nhất một trong ba BĐT trên là sai. Bài tập áp dụng 54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0 55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một trong 3 BĐT sau là sai: 2 1 <+ b a .; 2 1 <+ c b ; 2 1 <+ a c 56. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 57. Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: ;acb >− ;bac >− ;cba >− 58. Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu: zyx zyx 111 ++>++ thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1. 59. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời xảy ra các BĐT sau: a + b < c + d ; (a + b)(c + d) < ab + cd; (a + b)cd < (c + d)ab HƯỚNG DẪN : 54. Giả sử 0 ≤ a *Nếu a = 0 Suy ra abc = 0 vô lí *Nếu a < 0 Suy ra b + c > 0. Do abc > 0 ⇒ bc < 0 ⇒ ab + bc + ca < 0.Chứng minh tương tự với b,c. 55. Giả sử 2 1 <+ b a .; 2 1 <+ c b ; 2 1 <+ a c Thì 6 111 <+++++ a c c b b a .Điều này không đúng. 56. Giả sử: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 Thì : 64(1 - a)(1 - b) (1 - c) > 1 (*) và (1 - a) > 0; (1 - b) > 0: (1 - c) > 0 Nhưng 4a(1 - a) ≤ 1; 4b(1 - b) ≤ 1; 4c(1 - c) ≤ 1 Khi đó: 64abc(1 - a)(1 - b)(1 - c) ≤ 1(**) (*) mâu thuẫn với (**) 57. Giả sử cả 3 BĐT trên đều đúng .Ta có từ • ;acb >− ( ) ( ) ( )( ) 00 2 2 2 2 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ acbacbacbacb • ;bac >− ( ) ( ) ( )( ) 00 2 2 2 2 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ bacbacbacbac • ;cba >− ( ) ( ) ( )( ) 00 2 2 2 2 >−−+−⇔>−−⇔>−⇔ cbacbacbacba Nhân theo vế 3 BĐT này ta suy điều vô lý Tiết 33-36 I. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN : • Khi chứng minh các BĐT có điều kiện dạng: maaa n ≥+++ 21 ,ta thường dùng ẩn phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản hơn để đánh giá trực tiếp. • Các bước như sau: 1. Dự đoán đẳng thức xảy ra khi nào 2. Đặt n m ax n m ax n m ax nn −=−=−= ; ; 2211 Ví dụ 16: Cho a,b,c thoả mãn: a + b ≥ c ≥ 0. Chứng minh: 222 2 1 cba ≥+ Giải: Đặt: 2 c ax −= ; 2 c by −= .Vì a + b ≥ 0. Do đó x + y = a + b - c ≥ 0 .Ta có: ( ) 2222 2222 22 22 2 1 2 1 4 1 4 1 22 ccyxcyx ccyyccxx c y c xba ≥++++= +++++=       ++       +=+ Ví dụ 17: Cho a,b thoả mãn: 2 33 ≤+ ba . Chứng minh: 2 ≤+ ba Giải: Đặt: 1 −= ax ; 1 −= by .Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 233 11 2222 33 33 +++++−+= =+++=+ yxyxyxyx yxba ( ) ( ) 0233 4 3 2 222 2 ≤+++         ++       −+= yxy y xyx ( ) ( ) 20 03;03 4 3 2 222 2 ≤+⇒≤+⇒ ≥+>         ++       − bayx yxy y x BÀI TẬP: Bài 40: Đặt: 1 −= ax ; 1 −= by ; 1 −= cz . Suy ra : x , y , z [ ] 1;1 −∈ ;x + y + z = 0. Ta có: ( ) 3 2 2 222 ++−=++ zzcba Bài 41: ( ) ( ) 42 55 55 1010211 11 xxxxba xbxa ++=−++=+ −=⇒+= Bài 42: Đặt yxcybxa −−=⇒+=⇒+= 111 6 4 3 2 2 2 222 ++       +=+++++ by xcabcabcba Bài 43: Đặt xbdxac −=⇒+= ab xx bacddc 3 4 3 2 2 2 22 ++       +−=++ Bài 44: Cho a,b thoả mãn: 2 ≥+ ba . Chứng minh rằng: Đặt a = x + 1 ⇒ b = 1 - x.Ta có : ( ) ( ) ( ) 12 11 22 33 3344 += −++=−−+ xx xxxxbaba Bài 47: Cho a , b > 0.Thoả mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: 14 32 22 ≥ + + baab . Bài 48: Cho a + b + c + d = 1. Chứng minh rằng: ( )( ) 2 1 22 ≤++++ bdacdbca Bài 49: Cho a + b = 8 và b ≥ 3. Chứng minh rằng: 27a 2 + 10b 2 > 945. II. MỘT CÁCH KHÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN : • Dạng: Cho BA ≥ . Chứng minh DC ≥ • Ta chứng minh ( ) ( ) 0≥−+− ABDC • Từ ( ) ( ) 00 ≥−⇒≤− DCAB Ví dụ 18: Cho a + b ≥ 1. Chứng minh rằng: 2 1 22 ≥+ ba Giải: ( ) 0 2 1 2 1 4 1 4 1 1 2 1 22 22 22 ≥       −+       −=       +−+       +−= −−+       −+ aabbaa baba Nhưng a + b ≥ 1 nên 2 1 22 ≥+ ba .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 0,5 Ví dụ 19: Cho a,b thoả mãn: 2 ≥+ ba . Chứng minh rằng: 4433 baba +≤+ . Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1111 1111 1111 2 2 2 2 2 33 33 3344 ++−+++−= −−+−−= −−−−−+−= +−++−+ bbbaaa bbaa babbaa bababa Do ( ) 01 2 >++ aa và ( ) 01 2 >++ bb Nên ( ) ( ) ( ) 02 3344 ≥+−++−+ bababa Mà 2 ≥+ ba Suy ra: 4433 baba +≤+ .Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Bài tập áp dụng Bài 50: Cho x , y là các số dương thoả mãn 3243 yxyx +≤+ Chứng minh rằng: a) 2233 yxyx +≤+ b) 232 yxyx +≤+ Bài 51:Chứng minh rằng: Nếu 3 ≥++ cba Thì 333444 cbacba ++≥++ Bài 52: Cho yxyx +≤+ 22 . Chứng minh rằng: 2 ≤+ yx Bài 53: Cho yxyx −=+ 33 . Chứng minh rằng: 1 22 <+ yx Bài 54: Cho ab ≥ 1. Chứng minh rằng: baba +≥+ 22 Bài 55: Cho xyx ≤+ 22 . Chứng minh rằng: ( ) 11 −≥+ xy ========o0o======== III. ÁP DỤNG BĐT ( ) n n n n xxx aaa x a x a x a +++ +++ ≥+++ 21 2 21 2 2 2 2 1 2 1` Bài 56: Cho các số dương x,y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng: 8 21 22 ≥ + + yxxy Bài 57: Cho các số dương x,y,z,t thoả mãn x + y + z + t = 1. Chứng minh rằng: 16 1111 ≥+++ tzyx Bài 58: Cho các số dương a,b,c,d. Chứng minh rằng: 4 ≥ + + + + + + + + + + + ad bd dc ac cb db ba ca Bài 59: Cho các số dương x,y,z. Chứng minh rằng: yxzxzyzyxxzzyyx ++ + ++ + ++ ≥ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 Bài 60: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng: 16 3 32 1 32 1 32 1 < ++ + ++ + ++ bacacbcba . ;cba >− 58. Cho ba số dương x,y,z và xyz = 1.Chứng minh nếu: zyx zyx 111 ++>++ thì có một và chỉ một trong ba số x,y,z lớn hơn 1. 59. Cho 4 số dương a,b,c,d. Chứng minh không thể đồng thời. 2 1 <+ a c 56. Chứng minh không có các số dương a,b,c nào thoả mãn cả 3 BĐT sau: 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a) > 1 57. Chứng minh không có các số a,b,c nào thoả mãn cả 3. nhất một trong ba BĐT trên là sai. Bài tập áp dụng 54. Cho a + b + c > 0. abc > 0; ab + bc + ca > 0,Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0 55. Cho 3 số dương a , b,c .Chứng minh một