Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z Nội dung: 5.1 Biến đổi Z 5.1.1 Định nghĩa biến đổi Z 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z 5.1.3 Giản đồ cực-không 5.2 Biến đổi Z ngược 5.2.1 Phương pháp phân tích thành chuỗi lũy thừa 5.2.2 Phương pháp phân tích thành phân thức sơ cấp 5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z Bài tập 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z 5.1 Biến đổi Z: phép chuyển tín hiệu sang miền Z để thuận tiên phân tích, xử lý biến đổi Z có vai trò phép biến đổi Laplace mạch tương tự dùng để tính tốn đáp ứng hệ thống LTI, thiết kế lọc,vv 5.1.1 Định nghĩa: Biến đổi Z tín hiệu rời rạc x(n): X (z) = +∞ ∑ x(n) z −n n = −∞ Ký hiệu: Z x(n) ⎯⎯ X ( z ) → hay: (z: biến phức) X ( z ) = Z [ x ( n) ] Vùng hội tụ biến đổi Z (ROC: Region Of Convergence) ROC tập hợp giá trị Z làm cho X(z) có giá trị hữu hạn ROC = {z ∈ | X (z) ≠ ∞} Phải rỏ nói đến biến đổi Z 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): Ví dụ 1: Xác định biến đổi z tín hiệu sau ImZ ROC a x(n) = {1,2,5,7,0,1} b x(n) = anu(n) ReZ c x(n) = -anu(-n-1) -1 d x(n) = anu(n) - bnu(-n-1) a Lời giải: a Từ định nghĩa: ROC: z ≠ 0; z ≠∞ X(z) = z2 + 2z + + 7z-1+ z-3 ; b Ta có: X (z) = +∞ ∑ x(n) z −n n = −∞ Nếu: |az-1||a| thì: X (z) = 5/22/2010 −n 1 − a z −1 ROC: |z| > |a| Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): c Ta có: X (z) = +∞ ∑ x(n) z −n ∑ = n = −∞ Nếu: |a-1z|| z |> 0.5 X(z) = 4z −1 1−0.5z 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z (tt): c Vi phân miền Z: dX ( z ) x(n) ↔ X ( z ) ⇒ nx(n) ↔ − z dz Ví dụ 4: Tìm biến đổi Z tín hiệu sau: Viết lại x(n): x (n) = na n u ( n) x (n) = nx1 (n), x1 (n) = a n u ( n) Áp dụng cặp biến đổi bản: x1 (n) = a u ( n) ↔ X ( z ) = , | z |>| a | −1 − az n Áp dụng tính chất trên: dX1(z) d⎛ ⎞ az−1 ; | z |>| a | X(z) =−z =−z ⎜ = −1 ⎟ −1 dz dz ⎝1−az ⎠ (1−az ) 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z (tt): d Tích chập: ⎧ x1 ( n ) ↔ X ( z ) ⇒ x ( n ) = x1 ( n ) * x ( n ) ↔ x ( z ) = X ( z ) X ( z ) ⎨ ⎩ x2 ( n ) ↔ X ( z ) chuyển đổi phép tích chập miền thời gian sang phép nhân thơng thường miền Z thuận tiện phân tích hệ thống Ví dụ 5: Tính tích chập hai tín hiệu sau: x1 (n) = {1, −2,1}; Ta có: x2 (n) = u ( n) − u (n − 6) X1(z) = 1- 2z-1 + z-2; ROC: z ≠ 0; X2(z) = 1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5; ROC: z ≠ 0; Áp dụng tính chất trên: X(z) = X1(z)X2(z) = (1- 2z-1 + z-2)(1+ z-1 + z-2 + z-3 + z-4 + z-5) = 1- z-1 - z-6 + z-7 Suy ra: 5/22/2010 x(n) = {1,-1,0,0,0,0,-1,1} Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z (tt): e Đảo thời gian: −1 x(n) ↔ X ( z) ⇒ x(−n) ↔ X ( z ) Ví dụ 6: Tìm biến đổi Z tín hiệu sau: n ⎛1⎞ x ( n) = ⎜ ⎟ u ( − n) ⎝3⎠ −n 1⎞ ⎛ y (n) = x (− n) = ⎜ ⎟ u (n) = 3n u (n) Đặt: ⎝3⎠ Áp dụng cặp biến đổi bản: y ( n) ↔ Y ( z ) = , | z |> −1 − 3z Áp dụng tính chất trên: ; | z | Chia đa thức để có dạng lũy thừa: 5/22/2010 13 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.2.1 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa (tt): Lời giải: Chia đa thức để có dạng lũy thừa: X (z) = 1 − z − + z − = 1+ −1 −2 z + z + Khơng cho dạng biểu thức khép kín x(n) Suy giá trị chuỗi x(n): ⎧ ⎫ x ( n ) = ⎨1, , , ⎬ ⎩ ⎭ 5.2.2 Phương pháp khai triển thành phân thức sơ cấp: X (z) = Biểu diễn X(z) thành dạng sau: N ∑a k =0 k X k (z) đó: Xk(z) biểu thức có biến đổi Z ngược xk(n) biết Lúc đó: x(n) = N ∑a k =0 5/22/2010 k xk (n ) 14 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.2.2 Phương pháp khai triển thành phân thức sơ cấp (tt): Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược tín hiệu sau: X (z) = Lời giải: 1 − z −1 + z −2 , R O C :| z | > Đưa dạng tổng phân thức sơ cấp: X (z) = 1 − z − + z − (1 − z − )(1 − z − ) = − − z − 1 − z − = Mặc khác,áp dụng cặp biến đổi Z bản: ⎧ ,| Z |> u (n) ↔ −1 ⎪ ⎪ 1− z , | z |>| a | ⇒ ⎨ a nu (n) ↔ 1 − az −1 ⎪(0.5) n u ( n ) ↔ ,| z |> 0.5 −1 ⎪ − 0.5 z ⎩ Suy ra: 5/22/2010 x(n) = 2u (n) − (0.5) n u (n) 15 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa tổng phân thức sơ cấp: Giả sử X(z) có dạng hữu tỉ: N ( z −1 ) X ( z) = D( z −1 ) Trường hợp 1: (bậc tử số nhỏ mẫu số) xét khả D(z) có nghiệm thực đơn, tức biểu diễn: N ( z −1 ) N ( z −1 ) = X ( z) = −1 D( z ) (1 − p1 z −1 )(1 − p2 z −1 )(1 − p3 z −1 ) A3 A1 A2 = + + + −1 −1 −1 − p1 z − p2 z − p3 z đó, hệ số xác định sau: Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ 5/22/2010 z = pi 16 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Ví dụ 9: Tìm biến đổi Z ngược tín hiệu sau: − z − X (z) = − z − + z − Biểu diễn thành tổng phân thức sơ cấp: A1 A2 − 2.05 z −1 − 2.05 z −1 X ( z) = = = + − 2.05 z −1 + z −2 (1 − 0.8 z −1 )(1 − 1.25 z −1 ) (1 − 0.8 z −1 ) (1 − 1.25 z −1 ) Xác định hệ số: A1 = ⎡ (1 − 0.8 z ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ −1 z = 0.8 ⎡ − 2.05 z −1 ⎤ =⎢ =1 ⎥ − 1.25 z −1 ⎦ z =0.8 ⎣ ⎡ − 2.05 z −1 ⎤ ⎡ ⎤ A2 = ⎣ (1 − 1.25 z ) X ( z ) ⎦ z =1.25 = ⎢ =1 ⎥ − 0.8 z −1 ⎦ z =1.25 ⎣ Các biến đổi Z ngược có: −1 ⎧(0.8)n u(n) + (1.25)n u(n), | z |>1.25 ⎪ x(n) = ⎨(0.8)n u(n) − (1.25)n u(−n −1), 1.25 >| z |> 0.8 ⎪−(0.8)n u(−n −1) − (1.25)n u(−n −1), | z |< 0.8 ⎩ 5/22/2010 17 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa tổng phân thức sơ cấp: D(z) có nghiệm thực bội, tức biểu diễn: N(z−1) N(z−1) X(z) = −1 = D(z ) (1− pz−1)(1− p2z−1) (1− pk z−1)h ⎛ Ak ⎞ Ak A A A hk = + + + + + + −1 −1 ⎜ −1 −1 −1 h ⎟ 1− pz 1− p2z ⎝1− p3z (1− p3z ) (1− p3z ) ⎠ đó, hệ số xác định sau: Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ z = pi ;i ≠ k dh− j ⎡(1− p k z−1)h X (z)⎤ Ajk = ⎦ (h − j)! dzh− j ⎣ 5/22/2010 z= pk ; j =1, , h 18 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa tổng phân thức sơ cấp: Trường hợp 2: (bậc tử số bậc mẫu số) N ( z −1 ) N ( z −1 ) = X ( z) = −1 D( z ) (1 − p1 z −1 )(1 − p2 z −1 )(1 − p3 z −1 ) A3 A1 A2 = A0 + + + + −1 −1 −1 − p1 z − p2 z − p3 z đó, hệ số xác định sau: A0 = [ X ( z )]z =0 ; Ai = ⎡(1 − p i z −1 ) X ( z ) ⎤ ⎣ ⎦ z = pi Ví dụ 10: Tìm tất biến đổi Z ngược có X(z): − + z + z −2 X (z) = − + z − 5/22/2010 19 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Biểu diễn thành tổng phân thức sơ cấp: A1 A2 −1 + z + 10 z 10 + z −1 − z −2 X ( z) = = = A0 + + −0.25 + z − 0.25 z −2 − 0.5 z −1 + 0.5 z −1 Xác định hệ số: A0 = [ X ( z ) ] z =0 ⎡10 − z −1 − z −2 ⎤ =⎢ ⎥ =4 0.25 − z −2 ⎦ z =0 ⎣ ⎡ ⎤ A1 = ⎣ (1 − 0.5 z −1 ) X ( z ) ⎦ ⎡ ⎤ A2 = ⎣ (1 + 0.5 z −1 ) X ( z ) ⎦ Suy ra: X ( z) = + z = 0.5 z =−0.5 =4 =2 + − 0.5 z −1 + 0.5 z −1 Các biến đổi Z ngược có: ⎧4δ (n) + 4(0.5)n u(n) + 2(−0.5)n u(n); | z |> 0.5 x(n) = ⎨ 4δ (n) − 4(0.5)n u(−n −1) − 2(−0.5)n u(−n −1); | z |> 0.5 ⎩ 5/22/2010 20 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Phương pháp đưa tổng phân thức sơ cấp: Trường hợp 3: (bậc tử số lớn mẫu số) Chia tử số cho mẫu số để đưa dạng: N ( z −1 ) R( z −1 ) = Q( z −1 ) + X ( z) = D( z −1 ) D( z −1 ) Việc tìm biến đổi Z ngược Q(z) dễ dàng, với đa thức lại dùng trường hợp Ví dụ 11: Tìm tất biến đổi Z ngược có X(z): + z −5 X (z) = − z − Biểu diễn thành tổng phân thức sơ cấp: + z −5 + z −1 −1 −3 X (z) = = −16 z − z + −2 − z − z − Xác định hệ số: (tương tự trường hợp 1)… 5/22/2010 21 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z: Xét hệ thống rời rạc có đáp ứng xung h(n) Biến đổi Z đáp ứng xung gọi hàm truyền (transfer function) hệ thống Hàm truyền hệ thống rời rạc: +∞ ∑ H (z) = H(z) thường sử dụng để mơ tả phân tích hệ thống rời rạc h(n) z −n n = −∞ Quan hệ ngõ vào- ngõ ra: Hệ thống Tín hiệu vào x(n) X(z) 5/22/2010 rời rạc H Tín hiệu y(n)=h(n)*x(n) Y(z)=X(z)H(z) 22 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.3 Phân tích hệ thống dùng biến đổi Z (tt): Tính ổn định nhân quả: Nhân quả: Hệ thống LTI nhân quả: h(n) = 0, n3 Đáp ứng xung hệ thống: n ⎛1⎞ h(n) = ⎜ ⎟ u (n) + 2.3n u (n) ⎝2⎠ Lúc này, hệ thống khơng ổn định ROC khơng chứa vịng tròn đơn vị 5/22/2010 24 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) Bài tập: 5.1 (bài 8.1.3 trang 311) 5.2 (bài 8.2.1 trang 312) 5.3 (bài 8.2.2 trang 312) 5.3 (bài 8.2.3 trang 312) 5.4 (bài 8.2.9 trang 313) 5.5 (bài 8.2.11 trang 313) 5.6 (bài 8.3.6 trang 315) 5.7 (bài 8.3.9 trang 315) 5.8 (bài 8.4.1 trang 315) 5.9 (bài 8.5.2 trang 316) 5.10 (bài 8.5.3 trang 316) 5/22/2010 25 ... az n Áp dụng tính chất trên: dX1 (z) d⎛ ⎞ az−1 ; | z |>| a | X (z) =? ?z =? ?z ⎜ = −1 ⎟ −1 dz dz ⎝1−az ⎠ (1−az ) 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến. .. (tt) 5.1 Biến đổi Z (tt): Một số cặp biến đổi Z thông dụng: 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z: a Tuyến tính: ⎧ x1 ( n ) ↔ X ( z ) ⇒ a1... dụng tính chất trên: ,∞>| z |> 0.5 X (z) = 4z −1 1−0. 5z 5/22/2010 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương BIẾN ĐỔI Z (tt) 5.1.2 Các tính chất biến đổi Z (tt): c Vi phân miền Z: dX ( z ) x(n) ↔ X ( z