The Project Gutenberg EBook of Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen, by Karl Bobek This eBook is for the use of anyone anywhere at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen Author: Karl Bobek Release Date: June 10, 2010 [EBook #32766] Language: German Character set encoding: ISO-8859-1 *** START OF THIS PROJECT GUTENBERG EBOOK ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN *** Produced by Ralf Stephan, Joshua Hutchinson and the Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net (This file was produced from images from the Cornell University Library: Historical Mathematics Monographs collection.) EINLEITUNG IN DIE THEORIE DER ELLIPTISCHEN FUNKTIONEN VON KARL BOBEK, PRIVATDOZENT F ¨ UR MATHEMATIK IM ALLGEMEINEN. LEIPZIG, DRUCK UND VERLAG VON B. G. TEUBNER 1884. Neuer Verlag von B. G. Teubner in Leipzig. 1884. Bardey, Dr. Ernst, zur Formation quadratischer Gleichungen. [VIII u. 390 S.] gr. 8. geh. n. M. 7.60. arithmetische Aufgaben nebst Lehrbuch der Arithmetik, vor- zugsweise f ¨ ur h ¨ ohere B ¨ urgerschulen, Realschulen, Progymnasien und Prorealgymnasien. Dritte Auflage. [X u. 268 S.] gr. 8. geh. n. M. 2.– Czuber, Emanuel, geometrische Wahrscheinlichkeiten und Mittelwerte. Mit 115 in den Text gedruckten Figuren. [VII u. 244 S.] gr. 8. geh. n. M. 6.80. Euclidis opera omnia. Ediderunt I. L. Heiberg et H. Menge, Euclidis ele- menta. Edidit et latine interpretatus est I. L. Heiberg, Dr. phil. Vol. II. libros V–IX. continens. [XXII u. 437 S.] 8. geh. M. 4.50. Heiberg, Dr. J. L., philologische Studien zu griechischen Mathematikern. Besonderer Abdruck aus dem dreizehnten Supplementbande der Jahr- b ¨ ucher f ¨ ur classische Philologie. [37 S.] gr. 8. geh. M. 1.– Helm, Dr. Georg, Oberlehrer an der Annenrealschule zu Dresden, die Ele- mente der Mechanik und mathematischen Physik. Ein Lehr- und Ue- bungsbuch f ¨ ur h ¨ ohere Schulen. Mit Figuren im Text. [IV u. 222 S.] gr. 8. geh. n. M. 3.60. Helmert, Dr. F. R., Professor an der technischen Hochschule zu Aachen, die mathematischen und physikalischen Theorien der h ¨ ohern Geod ¨ asie. Zweiter Teil: Die physikalischen Theorien mit Untersuchungen ¨ uber die mathematische Erdgestalt auf Grund der Beobachtungen. Mit in den Text gedruckten Figuren und 2 lithographierten Tafeln. [XVI u. 610 S.] gr. 8. geh. n. M. 20.– Jahrbuch des K ¨ onigl. S ¨ achs. meteorologischen Institutes 1883. Zweite Lie- ferung. Enthaltend: Abtheilung I. Bogen 18 bis 1 /238. Abtheilung II. Bogen 6 bis 8. gr. 4. geh. n. M. 10.–(In Kommission.) MEINEN HOCHVEREHRTEN LEHRER UND FREUNDE DEM HERRN PROFESSOR KARL K ¨ UPPER ALS ZEICHEN DER DANKBARKEIT GEWIDMET. Vorwort. Das vorliegende Buch verfolgt den Zweck, in kurzer und ¨ ubersichtlicher Weise die wichtigsten Lehrs ¨ atze aus der Theorie der elliptischen Funktio- nen darzulegen, und so dem Anf ¨ anger einen ersten Ueberblick ¨ uber diesen Theil der Funktionentheorie zu geben. Wenn in einer kurzen Einleitung die sp ¨ ater anzuwendenden S ¨ atze aus der Theorie der Funktionen einer komple- xen Variablen zusammengestellt wurden, so geschah diess haupts ¨ achlich, um einen bequemen Hinweis auf dieselben zu erm ¨ oglichen, ohne erst den Stu- direnden zu veranlassen, in den einschl ¨ agigen B ¨ uchern des Langen zu su- chen. Zur gr ¨ undlichen Einf ¨ uhrung in diese Theorie sei auf die  Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen ver ¨ anderlichen Gr ¨ osse  von Dr. H. Dur ` ege, sowie auf den I. Theil der  Theorie der elliptischen Funktio- nen  von L. K ¨ onigsberger hingewiesen. Von dem oben erw ¨ ahnten Standpunkte aus erscheint es auch gerechtfer- tigt, wenn in der Theorie der Integrale nicht auf allgemeine Riemann’sche Fl ¨ achen eingegangen wurde, sondern nur f ¨ ur die speziell auftretende Irra- tionalit ¨ at eine solche konstruirt worden ist, da wohl f ¨ ur den Anf ¨ anger das richtige Verst ¨ andniss doch nur an speziellen Beispielen erlangt werden kann. Als Anhang wurde eine kleine Anwendung der entwickelten Theorien auf die Geometrie algebraischer Kurven gebracht, damit dem Studirenden Ge- legenheit geboten werde auch in dieses in neuester Zeit so ausserordentlich fruchtbare Gebiet der Geometrie Einsicht zu erlangen. In wiefern der angestrebte Zweck erreicht wurde, sei dem geneigten Urt- heile der Fachm ¨ anner ¨ uberlassen. Prag, im Oktober 1884. Inhaltsverzeichnis Einleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Darstellung der komplexen Gr ¨ ossen . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Funktion einer komplexen Variablen . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Abbildung mittels einer Funktion einer komplexen Variablen . . . . 7 4. Beispiele f ¨ ur die Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 5. Ein- und mehrdeutige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 15 6. Integrale komplexer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 17 7. Das geschlossene Integral um einen Punkt herum . . . . . . . . . 18 8. Das Randintegral  f(z) dz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 9. Reihenentwicklung einer Funktion in der Umgebung einer Stetigkeitsstelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10. Das Null- und Unendlichwerden der Funktionen . . . . . . . . . 25 11. Die rationale Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 12. Partialbruchzerlegung der rationalen Funktion. . . . . . . . . . 29 13. Das Randintegral  d log f(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 14. Die Summe der logarithmischen Residua dr ¨ uckt sich durch ein Rand- integral aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 15. Der Logarithmus einer komplexen Gr ¨ osse . . . . . . . . . . . . 39 16. Bedingung, dass  z z 0 R(z) dz eine rationale Funktion sei . . . . . . 42 I. Theil Doppeltperiodische Funktionen I. Doppeltperiodische Funktionen im Allgemeinen. . . . . . . 44 1. Primitive Perioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2. Beschaffenheit der Perioden einer doppeltperiodischen Funktion. . . 45 3. Die doppeltperiodische Funktion nimmt alle ihre Werte in einem Pe- riodenparallelogramme an . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Andeutung des Weges, auf dem man zu doppeltperiodischen Funktio- nen gelangen kann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 II. Theorie der Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . 48 5. Reihenentwicklung der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . 48 6. Die vier Jacobischen Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . 52 v vi 7. Die allgemeine Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8. Verwandlungsformeln f ¨ ur die Thetafunktionen . . . . . . . . . . 55 9. Reihenentwicklung der Thetafunktionen nach Potenzen von q = e ω  ω πi 56 10. Das Verschwinden der Thetafunktionen. . . . . . . . . . . . . 59 11. Aufstellung doppeltperiodischer Funktionen . . . . . . . . . . . 62 III. Fundamentale S ¨ atze ¨ uber doppeltperiodische Funktionen. . 64 12. Jede eindeutige doppeltperiodische Funktion wird innerhalb eines Periodenparallelogramms ebenso oft null als unendlich . . . . . 64 13. Ordnung der doppeltperiodischen Funktion . . . . . . . . . . . 65 14. Die Summe der logarithmischen Residua ist null. Doppeltperiodische Funktionen erster Ordnung existieren nicht. . . . . . . . . . . 66 Zusatz: Die Thetafunktion ist durch ihre Definitionsgleichungen bestimmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 15. Der Liouville’sche Satz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 16. Der Hermite’sche Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 17. Doppeltperiodische Funktionen zweiter Ordnung und ihre Ableitun- gen. Nullwerte der letzteren . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 18. Die doppeltperiodische Funktionen dr ¨ ucken sich rational durch eine doppeltperiodische Funktion zweiter Ordnung und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 19. Das Quadrat der ersten Ableitung einer doppeltperiodischen Funk- tion zweiter Ordnung dr ¨ uckt sich rational durch diese aus. Alle h ¨ ohern Ableitungen dr ¨ ucken sich rational durch die Funktion und ihre Ableitung aus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 20. Zwischen zwei doppeltperiodischen Funktionen mit denselben Peri- oden besteht eine rationale Gleichung. . . . . . . . . . . . . 83 21. Jede doppeltperiodische Funktion l ¨ asst sich durch irgend zwei mit denselben Perioden rational ausdr ¨ ucken . . . . . . . . . . . . 84 IV. Elliptische Funktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 22. Die elliptischen Funktionen su, cu und ∆u . . . . . . . . . . . 88 23. s 2 u, c 2 u, ∆ 2 u sind rational durch einander ausdr ¨ uckbar. . . . . . 91 24. Einf ¨ uhrung der Moduln κ, κ  . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 25. Verwandlungsformeln f ¨ ur die elliptischen Funktionen . . . . . . . 95 26. Die Ableitungen der elliptischen Funktionen werden durch diese aus- gedr ¨ uckt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 V. Das Additionstheorem der elliptischen Funktionen. . . . . 100 27. Die Existenz des Additionstheorems . . . . . . . . . . . . . . 100 28. Aufstellung der Formeln f ¨ ur die Additionstheoreme der elliptischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 vii s(mu) dr ¨ uckt sich rational durch su und s  u aus . . . . . . . . 106 VI. Additionstheoreme der Thetafunktionen. . . . . . . . . . 108 29. Ableitung einiger Formeln f ¨ ur das Additionstheorem der Thetafunk- tionen aus den Additionstheoremen der elliptischen Funktionen. . 108 30. Aufstellung der allgemeinen Additionsformel f ¨ ur die Produkte von vier Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 31. Entwicklung des Additionstheorems der elliptischen Funktionen aus jenem der Thetafunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 32. Bestimmungen von G = ϑ  1 ϑ 3 ϑ 0 ϑ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 VII. Realit ¨ atsbetrachtungen f ¨ ur die Funktionen su, cu, ∆u. . . . 130 33. Allgemeines ¨ uber die reellen Werte von su, cu, du 1) Behandlung des Falles einer reellen und einer rein imagin ¨ aren Periode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 2) Die Periode ω ist reell ω  = ω + ω  1 i, wo ω  1 reell ist. . . . . . 134 VIII. Darstellung der doppeltperiodischen Funktionen etc. . . 137 34. Jede doppeltperiodische Funktion mit den Perioden ω, ω  l ¨ asst sich ausdr ¨ ucken durch Z(u − α) = d log ϑ 1 (u−α) du und die Ableitungen von Z(u − α) nach u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 II. Theil Elliptische Integrale I. Die Riemann’sche Fl ¨ ache der Funktion y . . . . . . . . . 142 35. Das Integral Gu =  ξ 0 dz √ (1−z 2 )(1−κ 2 z 2 ) definirt eine eindeutige Funk- tion ζ von u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 36. Das Verhalten der Funktion y =  A(x − a 1 )(x − a 2 )(x − a 3 )(x − a 4 ) . . . . . . . . . . . 144 37. Die Riemann’sche Fl ¨ ache der Funktion y . . . . . . . . . . . . 147 38. Auf der construirten Riemann’schen Fl ¨ ache existiren blos zwei ge- schlossene Linien, die keinen Theil derselben vollst ¨ andig begrenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 II. Funktionen auf der Riemann’schen Fl ¨ ache . . . . . . . . . 154 39. Die rationalen Funktionen von x und y sind eindeutige Funktionen des Ortes auf der Fl ¨ ache. Das Integral w =  x x 0 dx y ist unendlich vieldeutig in bestimmter Art . . . . . . . . . . . . . . . . 154 40. N ¨ ahere Bestimmung der Elementarperioden . . . . . . . . . . . 158 viii 41. Andere Zerschneidungen der Riemann’schen Fl ¨ ache geben Perioden, welche durch die fr ¨ uher gefundenen ausdr ¨ uckbar sind . . . . . . 160 42. w(x) =  x x 0 dx y wird auf der Riemann’schen Fl ¨ ache nicht unendlich . 161 43. w(x) bildet die zerschnittene Riemann’sche Fl ¨ ache auf eine paralle- logrammartige Figur ab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 44. x und y sind eindeutige doppeltperiodische Funktionen von w . . . 167 Jede eindeutige Funktion des Ortes auf der Riemann’schen Fl ¨ ache der Funktion y ist eine rationale Funktion von x und y . . . . . 167 III. Das elliptische Normalintegral . . . . . . . . . . . . . . 169 45. Das Normalintegral u =  z 0 dz √ (1−z 2 )(1−κ 2 z 2 ) bestimmt z als doppelt- periodische Funktion, welche f ¨ ur u und 2K − u dieselben Werthe annimmt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 46. Wert von u, f ¨ ur den z = ∞ wird. . . . . . . . . . . . . . . . 172 47. z dr ¨ uckt sich durch Thetaquotienten von u aus . . . . . . . . . 173 Verwandlung des krummlinigen Parallelogrammes in ein geradliniges. . 174 48. Abbildung der Riemann’schen Fl ¨ ache durch das Integral u =  z 0 dz √ (1−z 2 )(1−κ 2 z 2 ) 1) wenn κ reell und kleiner als 1 ist . . . . . . . . . . . . . 175 2) wenn κ rein imagin ¨ ar ist . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 49. Transformation des Integrals w =  x x 0 dx √ R(x) auf die Normalform— R(x) vom 4. Grade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 50. Werte von κ bei gegebenem a 1 , a 2 , a 3 , a 4 . . . . . . . . . . . . 183 51. R(x) ist vom dritten Grade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 52. Das Legendre’sche Normalintegral und das ganze elliptische Integral 185 IV. Integrale II. und III. Gattung . . . . . . . . . . . . . . 188 53. Das Normalintegral II. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . 188 54. Elliptische Integrale III. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . 191 55. Reduktion des allgemeinen elliptischen Integrals auf die drei Normal- integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 V. Berechnung des Normalintegrals . . . . . . . . . . . . . 200 56. Reihenentwicklung f ¨ ur u =  z 0 dz √ (1−z 2 )(1−κ 2 z 2 ) . . . . . . . . . 200 57. Berechnung von q durch κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 58. Berechnung des Normalintegrals II. Gattung durch das Normalinte- gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 59. Berechnung des Normalintegrals III. Gattung durch das Normalinte- gral I. Gattung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 [...]... gehen Diese zwei B¨schel von Geraden sind die einzigen einander entsprechenden Geraden in u der Verwandtschaft der beiden Ebenen Die Beziehung, in der die Ebenen stehen, nennt man die M¨bius’sche o Kreisverwandtschaft In w = α+βz haben wir eine Funktion von z kennen gelernt, welche die γ+δz z-Ebene ausnahmslos so auf die w-Ebene abbildet, dass Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen stattfindet Dass eine derartige... , zz die Strecken ϕ und ψ, die Winkel w ww res z zz sind Aus der vorstehenden Gleichung folgt aber, dass ww ww = zz zz , ϕ = ψ, Fig 5 ist, d h die unendlich kleinen Dreiecke w ww und z z sind einander ahnlich ¨ Die Abbildung der z-Ebene auf die wEbene ist also derartig, dass einzelne Punkte ausgenommen (in denen dw dz null oder unendlich ist), Aehnlichkeit in den kleinsten Theilen stattfindet Diese... allgemeinen Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen begr¨ndet u 3 Wenn man w = f (z) = u + iv setzt und die reellen Gr¨ssen u, v als o rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in einer Ebene w deutet, so wird jedem Punkte z = x + iy der z-Ebene im Allgemeinen ein bestimmter Punkt w = f (z) = u + iv in der w-Ebene entsprechen Die z-Ebene wird also durch w = f (z) auf die w-Ebene in bestimmter... nicht in den kleinsten Theilen ¨hnlich auf die Umgebung des Punktes a w = 0 abgebildet wird, sondern dass zwei Richtungen, die von z = 1 ausgehend einen Winkel ϕ mit einander bilden, in der w-Ebene zwei Richtungen von w = 0 ausgehend entsprechen, welche miteinander den Winkel ϕ bilden Wenn z nach einem Umlauf nach z1 2 zur¨ckkehrt, also ϕ = 2π ist, wird u w= 1 iπ 2e =− Fig 8 1 2, so ist w1 nicht in seinen... (z) eine bestimmte Funktion von z, so dass dw von z unabh¨ngig ist und z ein Wert von z, f¨ r den a u 0 dz dw weder null noch unendlich ist, so wird w = f (z ) 0 0 dz einen derartigen Wert besitzen, dass die Umgebung von z0 , die wir so w¨hlen, dass keiner der Punkte, f¨r den a u dw = { 0 wird, in dieselbe hineinf¨llt, in den kleina ∞ dz sten Theilen ¨hnlich auf die Umgebung des Punktes w0 a durch die. .. daf¨r, dass ein System von u ter Ordnung mit 1 n(n−3) Doppelpunkten Punkten auf der Kurve n 2 ein Schnittpunktsystem einer Kurve mter Ordnung ist 262 Einleitung Satze aus der Theorie der Funktionen einer komplexen ¨ veranderlichen Gr¨sse o ¨ 2 Einleitung 1 Wenn die unabh¨ngige Variable x alle reellen Werte von −∞ bis +∞ a durchl¨uft, so kann man ihren Wertvorrat bildlich durch die einfach unendlich... zu diesem Zwecke z = 1 − eiϕ , also w= 1 ϕ 2 ei 2 Entspricht nun dem Punkte ϕ = 0, z1 = 1 − der 1 Punkt w1 = 2 so wird dem Punkte z0 = 1 − eiϕ 1 ϕ der Punkt w0 = 2 ei 2 entsprechen, d h der Winkel w1 0w0 (Fig 8), den die Richtungen 0w1 und 0w0 in der w-Ebene bilden, ist nur halb so gross, als der Winkel, den die Richtungen 1z1 und 1z0 mit einander in der z-Ebene bilden Hieraus folgt bereits, dass die. .. was wieder die graphische Ausf¨hrung der Division lehrt u Setzen wir eiψ1 z −z = 1 iψ = 1 ei(ψ1 −ψ2 ) , Z= 1 z2 − z 2 2e 2 so wissen wir, dass 1 und 2 die Strecken zz1 und zz2 sind, ψ1 und ψ2 aber die Neigungswinkel dieser Strecken gegen die positive x-Achse Es ist also ψ1 − ψ2 der Winkel, welchen die Strecken mit einander bilden Hieraus z1 −z erkennt man, dass im Falle der Quotient z2 −z reell sein soll,... Allgemeine L¨sung der Aufgabe: die Theio ¨ le einer gegebenen Fl¨che so abzubilden, dass die Abbildung dem Abgebildeten in den a kleinsten Theilen ¨hnlich wird Schumachers Astronomische Abhandlungen 3 Heft Soa ` wie gesammelte Werke Bd IV, S 193 Durege: Elemente der Theorie der Funktionen einer komplexen ver¨nderlichen Gr¨sse Leipzig 1864 Holzm¨ ller: Einf¨hrung in die a o u u Theorie der isogonalen Verwandtschaft... zwischen A und A keiner der Punkte b1 , b2 , b3 , bn liegt Wir w¨hlen ferner a die Punkte m1 m1 ; m2 m2 mn mn , so dass mh und mh nahe beieinander liegen und ziehen von mh eine Linie mh bh mh , welche nur den Punkt bh umgiebt und in mh endet, ohne dass diese Linie eine andere derartige schneidet Dann l¨sst sich a der Linienzug Fig 13 m1 b1 m1 m2 b2 m2 m3 b3 m3 mn bn mn m1 auf einen Punkt zusammenziehen, . or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this eBook or online at www.gutenberg.org Title: Einleitung in die Theorie der Elliptischen Funktionen Author: Karl Bobek Release. z  z  sind einander ¨ ahnlich. Die Abbildung der z-Ebene auf die w- Ebene ist also derartig, dass einzelne Punkte ausgenommen (in denen dw dz null oder unendlich ist), Aehnlichkeit in den kleinsten. Wenn in einer kurzen Einleitung die sp ¨ ater anzuwendenden S ¨ atze aus der Theorie der Funktionen einer komple- xen Variablen zusammengestellt wurden, so geschah diess haupts ¨ achlich, um einen