ð I H C QU C GIA THÀNH PH H CHÍ MINH TRƯ NG ð I H C KHOA H C T NHIÊN VŨ HỒNG NAM MƠ PH NG PLASMA PHĨNG ðI N KHÍ ARGON TRONG H PHÚN X MAGNETRON DC B NG PHƯƠNG PHÁP PIC/MCC Chuyên ngành: V t Lý Vô Tuy n ði n T Mã s : 60 44 03 LU N VĂN TH C SĨ V T LÝ NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C: PGS TS LÊ VĂN HI U Thành ph H Chí Minh – 2010 L i c m ơn Tơi bi t ơn sâu s c đ n th y Lê Văn Hi u, ngư i ñã t n tình d y hư ng d n tơi t tơi cịn m t sinh viên cho ñ n th c hi n lu n văn Tôi bi t ơn Th y, Cô B mơn V t lý ng d ng truy n ñ t ki n th c quý báu cho nh ng năm h c qua C m ơn b n Nguy n ð c H o giúp tơi có hi u bi t v h phún x magnetron th c th , n a, b n ñã ñ c ch nh s a lu n cho C m ơn b n h c viên cao h c khóa 17 hai l p Quang h c V t lý Vô n ði n t , ñã ñ ng hành su t ba năm h c v a qua Minh s nh nh ng l n h c nhóm ñi chơi xa b n C m ơn ñ n cô Phư ng, ch Trang, em Loan, Hưng An Khơng có nh ng chi c máy tính c a cơ, ch em đ tài khơng th th c hi n đư c i M cl c M ñ u Chương T NG QUAN 1.1 Plasma phóng n sáng DC h phún x magnetron 1.1.1 Khái ni m v plasma 1.1.2 Phóng n sáng DC 1.1.3 H phún x magnetron 1.2 Các bư c xây d ng h phún x magnetron o 1.2.1 T trư ng 1.2.2 Phóng n magnetron 1.2.3 Tương tác h t – bia 1.2.4 V n chuy n h t pha khí 10 1.2.5 Phát tri n màng t i ñ 10 1.3 Các mơ hình mơ ph ng phóng n magnetron 10 1.3.1 Mơ hình gi i tích 11 1.3.2 Mơ hình ch t lưu 11 1.3.3 Mơ hình h t 12 1.3.4 Mơ hình lai 14 Chương XÂY D NG MƠ HÌNH MƠ PH NG PHĨNG ðI N MAGNETRON KHÍ ARGON 15 2.1 T trư ng tĩnh c a h magnetron ph ng trịn đ i x ng tr c 15 2.2 Mô ph ng PIC/MCC áp d ng cho mơ ph ng phóng n magnetron 18 2.2.1 Mô ph ng PIC 18 2.2.1.1 Phân chia n tích c a siêu h t cho nút lư i 19 2.2.1.2 Gi i phương trình Poisson lư i 20 2.2.1.3 K t h p m ch n ngồi 22 2.2.1.4 N i suy trư ng lư i ñ n v trí siêu h t 26 2.2.1.5 Gi i phương trình Newton – Lorentz 26 2.2.1.6 K t h p tương tác plasma – b m t 29 2.2.1.7 ð n ñ nh xác c a PIC 30 2.2.2 Mô ph ng MCC 31 2.2.2.1 Phương pháp không va ch m 32 2.2.2.2 Các lo i va ch m mơ hình 34 2.2.2.3 V n t c sau va ch m 36 v 2.3 Các phương pháp làm tăng t c đ tính tốn 39 2.3.1 Các phương pháp tăng t c cho máy tính đơn x lý 40 2.3.1.1 S thay th chu kỳ 40 2.3.1.2 C i ti n khơng gian pha ban đ u 41 2.3.2 Phương pháp tính toán h t song song 41 2.3.2.1 Mơ t tính tốn h t song song 42 2.3.2.2 Thư vi n l p trình song song MPI 42 2.3.2.3 Ư c lư ng đ l i c a tính tốn h t song song 44 2.4 C u trúc c a chương trình mơ ph ng 45 2.4.1 Mã tu n t 46 2.4.2 Mã tính tốn h t song song 47 Chương K T QU VÀ BÀN LU N 49 3.1 S phân b t trư ng c a h magnetron 49 3.2 ð l i c a tính tốn h t song song 51 3.3 Tr ng thái d ng c a mô hình 54 3.4 B c tranh c a phóng n khí argon h magnetron 59 3.4.1 S phân b ñi n th ñi n trư ng 59 3.4.2 S phân b theo t a ñ c a electron ion 63 3.4.3 S phân b t c ñ va ch m 67 3.4.4 Hàm xác su t lư ng electron 72 3.4.5 S phân b c a ion argon t i b m t cathode 73 K t lu n 78 Danh m c cơng trình c a tác gi 80 Tài li u tham kh o 81 Ph l c A 88 Ph l c B 94 vi Danh m c hình v b ng Hình 1.1 Phân lo i plasma phịng thí nghi m khơng gian d a gi n ñ log n theo log Te Hình 1.2 Các đ i lư ng đ c trưng c a phóng n sáng DC .6 Hình 1.3 Magnetron ph ng (a) trịn (b) ch nh t Các đư ng cong b m t cathode ñư ng s c t .8 Hình 1.4 Các bư c xây d ng h phún x magnetron o máy tính .9 Hình 2.1 Sơ đ c u t o magnetron ph ng trịn đ i x ng tr c Hai nam châm vĩnh c u S N t o t trư ng có đư ng s c cong b m t cathode .15 Hình 2.2 Chu kì tính tốn c a mơ ph ng PIC m t bư c nh y th i gian ∆t 18 Hình 2.3 Phân chia ñi n tích theo th tích h t a ñ tr c a m t siêu h t t i t a ñ (rk, zk) cho nh ng nút lư i g n nh t A, B, C D Ví d n tích đư c phân chia cho m C b ng n tích qk nhân v i ph n th tích ñư c t o t ph n di n tích đư c bơi m quay xung quanh tr c z, chia cho th tích c a vịng v n khăn ABCD .19 Hình 2.4 ð nh lý Gauss h p bao quanh nút lư i (0, 0), (0, j) (0, Nr1) b m t cathode 23 Hình 2.5 Sơ đ c a phương pháp nh y cóc hi n V trí c a m t h t ñư c ñ y t th i ñi m t ñ n th i ñi m t + ∆t , v n t c ch bi t th i ñi m t + ∆t 27 Hình 2.6 Gi n đ gi i phương trình chuy n đ ng c a phương pháp Boris 27 Hình 2.7 Chu kỳ tính toán c a PIC/MCC m t bư c nh y th i gian ∆t 32 Hình 2.8 Ti t di n va ch m electron – nguyên t argon .35 Hình 2.9 Ti t di n va ch m ion argon – nguyên t argon 35 Hình 2.10 Sơ ñ truy n d li u t x lý có rank = đ n x lý nhóm (a) trao đ i thơng tin m – ñi m (b) trao ñ i thông tin t p h p 43 Hình 2.11 Sơ đ c u trúc vòng l p v t lý c a chương trình 45 Hình 3.1 S phân b thành ph n t trư ng theo hư ng bán kính, Br, c a magnetron 49 ii Hình 3.2 S phân b thành ph n t trư ng theo hư ng tr c z, Bz, c a magnetron 50 Hình 3.3 T trư ng Br t i hai v trí z = mm z = 12 mm ðư ng li n nét k t qu tính tốn c a đ tài này, đư ng đ t nét k t qu c a ph n m m FEMM 50 Hình 3.4 T trư ng Bz t i hai v trí r = 13.5 mm r = 25 mm ðư ng li n nét k t qu tính tốn c a ñ tài này, ñư ng ñ t nét k t qu c a ph n m m FEMM 51 Hình 3.5 S ph thu c c a th i gian ch y theo s x lý Nproc trư ng h p s siêu h t ban ñ u thay ñ i t 500,000 ñ n 2,000,000 h t 52 Hình 3.6 S ph thu c c a đ l i Gain theo s x lý Nproc trư ng h p s siêu h t ban ñ u thay ñ i t 500,000 ñ n 2,000,000 h t 53 Hình 3.7 S bi n thiên c a lư ng trung bình (KE) m t ñ h t su t th i gian mô ph ng Kho ng th i gian gi d ng c a mơ hình t − µ s 54 Hình 3.8 S thay ñ i c a t ng s siêu h t ion (ñư ng li n nét) electron (ñư ng ñ t nét) theo th i gian ba trư ng h p I, II III 57 Hình 3.9 S thay đ i lư ng trung bình c a t ng s siêu h t ion (ñư ng li n nét) electron (ñư ng ñ t nét) theo th i gian ba trư ng h p I, II III 58 Hình 3.10 S thay đ i th phóng n t i cathode theo th i gian ba trư ng h p I, II III .58 Hình 3.11 S phân b th (a) tồn vùng mơ ph ng (b) t i ba v trí r = 8.05 mm, 13.56 mm 19.25 mm .60 Hình 3.12 Các thành ph n c a n trư ng E (a) Ez theo hư ng tr c z (b) Er theo hư ng bán kính r 62 Hình 3.13 Khơng gian pha (r, z) c a (a) electron (b) ion 63 Hình 3.14 Khơng gian pha (z, uz) c a (a) electron (b) ion 64 Hình 3.15 S phân b m t ñ c a (a) electron (b) ion 65 Hình 3.16 S phân b m t ñ c a ion (ñư ng li n nét) c a electron (ñư ng ñ t nét) t i v trí r = 13.65 mm d c theo tr c z 66 Hình 3.17 M t đ n tích khơng gian .67 iii Hình 3.18 S phân b t c đ va ch m ñàn h i c a electron v i nguyên t argon 68 Hình 3.19 S phân b t c ñ va ch m kích thích c a electron v i nguyên t argon 68 Hình 3.20 S phân b t c đ va ch m ion hóa c a electron v i nguyên t argon 69 Hình 3.21 S phân b t c ñ va ch m kích thích (ñư ng li n nét) va ch m ion hóa (đư ng đ t nét) c a electron v i nguyên t argon t i v trí r = 13.65 mm d c theo tr c z .70 Hình 3.22 S phân b t c ñ va ch m ñàn h i c a ion argon v i nguyên t argon 71 Hình 3.23 S phân b t c đ va ch m chuy n n tích c a ion argon v i nguyên t argon 71 Hình 3.24 Hàm xác su t lư ng electron (EEPF) vùng 10 mm ≤ r ≤ 17 mm 15 mm ≤ z ≤ 20 mm M t d ng x p x c a EEPF phân b hai Maxwell v i hai nhi t ñ k BTc = 1.25 eV k BTh = 4.5 eV .72 Hình 3.25 S phân b ion argon theo lư ng t a ñ t i b m t cathode (a) tồn mi n, (b) t i ba v trí r = 12 mm , 14 mm 16 mm IDFC b chia thành hai vùng, vùng m t có 210eV < energy < 275eV , vùng hai có energy ≈ 200eV 74 Hình 3.26 S phân b ion argon theo lư ng góc t i b m t cathode (a) toàn mi n, (b) t i b n góc t i theta = 900, 88.50, 82.50 78.50 .75 Hình 3.27 K t qu tính tốn thơng lư ng ion argon đ n b m t bia 77 Hình A M t ph n t h u h n hình ch nh t 91 B ng B H s nhân c a bư c nh y th i gian gi .97 iv M ñ u Hơn n a th k qua, v t li u linh ki n màng m ng ñã ñư c ch t o nh m ng d ng th c ti n ngày đóng vai trò trung tâm nhi u lĩnh v c khoa h c, k thu t ñ i s ng Phương pháp phún x magnetron xu t hi n t r t s m thơng d ng đ l ng ñ ng lo i màng m ng kim lo i, bán d n ho c ñi n mơi ðây v t li u đư c s d ng nhi u thi t b vi ñi n t , quang – ñi n ð hi u ñi u n ñư c trình ph c t p x y trình t o màng bu ng phóng n magnetron, c n ph i có nh ng nghiên c u c v lý thuy t th c nghi m ñ i v i trình v t ch t x y mơi trư ng phóng n magnetron M t mơ hình gi i tích đơn gi n khó có th mơ t th a đáng mơi trư ng phóng n h magnetron ñi n trư ng t trư ng đa chi u khơng ñ ng nh t Các th c nghi m ch cho th y m t s ñ c trưng c a phóng n khơng cung c p m t b c tranh toàn di n v trình v t ch t h magnetron M t ví d phương pháp đo đ c b ng ñ u dò ñi n Langmuir Phương pháp cung c p thơng tin v đ c trưng ñi n ñ ng c a plasma m t ñ nhi t ñ c a electron th tích plasma Tuy nhiên, đ u dị có th gây nh hư ng tr l i môi trư ng plasma Hơn n a, đ u dị khơng th đo đ c vùng sát b m t cathode, mà t i h u h t q trình quan tr ng phún x x y Thêm vào đó, th c nghi m thư ng r t ph c t p t n Ngư c l i, mơ hình s đư c xây d ng máy tính, khơng nh ng khơng nh hư ng mà cung c p cho ta m t b c tranh tồn di n v q trình x y bu ng phóng n magnetron Ngày nay, v i s ti n b vư t b c c a ngành khoa h c máy tính phương pháp mơ ph ng q trình v t ch t plasma b ng máy tính, vi c xây d ng thành công m t công c thí nghi m o máy tính cho h phún x magnetron ngày hi n th c Trong lu n văn này, th c hi n hai module mô ph ng t trư ng mơ ph ng plasma phóng n khí argon h phún x magnetron ph ng tròn DC Module t trư ng ñư c th c hi n b ng phương pháp ph n t h u h n đư c vi t b ng ngơn ng l p trình MATLAB Module phóng n magnetron đư c th c hi n b ng phương pháp mô ph ng particle-in-cell/Monte Carlo collisions (PIC/MCC) ñư c vi t b ng ngơn ng l p trình FORTRAN dư i d ng mã tu n t mã tính tốn h t song song Mã tính tốn h t song song ñư c th c hi n b i thư vi n l p trình song song MPI (message passing interface) M t h th ng cluster ñư c thi t l p ñ ñánh giá ñ l i song song c a mơ hình Sau xác đ nh tr ng thái d ng c a mơ hình, chúng tơi thu đư c m t b c tranh tồn n c a phóng n magnetron khí argon, g m có: s phân b n th ñi n trư ng, hàm xác su t lư ng c a electron vùng th tích plasma, s phân b c a ion argon t i b m t cathode Chương T NG QUAN 1.1 Plasma phóng n sáng DC h phún x magnetron 1.1.1 Khái ni m v plasma T “plasma” ñư c gi i thi u l n ñ u tiên b i Langmuir vào năm 1928 Ngoài ba tr ng thái r n, l ng khí, plasma tr ng thái th tư c a v t ch t, chi m 99% lư ng v t ch t vũ tr , môi trư ng d n ñi n g m h t mang ñi n h t trung hịa Nhìn chung có hai q trình b n x y mơi trư ng plasma q trình khơng t p h p trình t p h p [1] Quá trình khơng t p h p liên quan t i tương tác g n gi a h t v i (g i va ch m c p - binary collision) tương tác gi a h t v i thành bình Quá trình t p h p liên quan t i tương tác xa gi a h t mang ñi n v i nhau, gi a h t mang ñi n v i trư ng chúng sinh (g i trư ng t h p) v i ñi n trư ng t trư ng ngồi Khi h t mang n chuy n đ ng, gây s tích t c c b n tích âm ho c dương, mà làm thay ñ i ñi n trư ng bao quanh Thêm vào đó, chuy n đ ng thành dịng, h t mang n sinh t trư ng Các trư ng nh hư ng lên s chuy n đ ng c a tồn b h t mang ñi n h M t ñ i lư ng ñ c trưng cho q trình t p h p bán kính Debye λDe ,i [1, 21] 12 λDe ,i ε k T    =  B e ,i  ,  qe,i ne ,i    (1.1) ñây, ε h ng s n mơi chân không, k B h ng s Boltzmann, ni ne tương ng m t ñ h t mang ñi n dương (ion) âm (electron), Te Ti tương ng nhi t ñ electron ion, q n tích Bán kính Debye c a h t cho bi t h t tác d ng [32] http://sites.google.com/site/kalypsosimulation/Home [33] http://software.intel.com/en-us/articles/non-commercial-software-evelopment/ [34] http://www.femm.info/wiki/HomePage [35] http://www.fzd.de/db/Cms?pOid=21578&pNid=0&pLang=de [36] http://www.infolytica.com/en/products/trial/magnet.aspx [37] http://www.mcs.anl.gov/mpi/mpi-report-1.1/mpi-report.html [38] http://www.mcs.anl.gov/research/projects/mpi/mpich1/download.html [39] http://www.mpi-forum.org/docs/mpi-11-html/mpi-report.html [40] http://www.srim.org/ [41] http://www.txcorp.com/downloads/index.php [42] Ido S and Nakamura K (1996), “Computational simulations on electron orbits in the magnetron sputtering plasmas”, Vacuum., 47(6-8), pp 1035-1038 [43] Jin J (2002), The Finite Element Method in Electromagnetics, Second edition, Wiley-IEEE Press [44] Kawamura E, Birdsall C K and Vahedi V (2000), “Physical and numerical methods of speeding up particle codes and paralleling as applied to rf discharges”, Plasma Sources Sci Technol., 9(3), pp 413-428 [45] Kolev I (2007), Particle-in-cell-Monte-Carlo collisions simulations for a direct current planar magnetron discharge Ph.D thesis, University of Antwerp, Belgium [46] Kolev I and Bogaerts A (2006), “Detailed numerical investigation of a DC sputter magnetron”, IEEE Trans Plasma Science., 34, pp 886-894 [47] Kolev I and Bogaerts A (2006), “PIC-MCC numerical simulation of a DC planar magnetron”, Plasma Process Polym., 3, pp.127-134 [48] Kolev I and Bogaerts A (2009), “Numerical study of the sputtering in a dc magnetron”, J Vac Sci Technol., A, 27, pp 20-28 84 [49] Kolev I, Bogaerts A and Gijbels R (2005), “Influence of electron recapture by the cathode upon the discharge characteristics in dc planar magnetrons”, Phys Rev E., 72, 056402 [50] Kondo S and Nanbu K (1999), “A self-consistent numerical analysis of a planar dc magnetron discharge by the particle-in-cell/Monte Carlo method”, J Phys D: Appl Phys., 32, pp.1142-1152 [51] Kusumoto Y and Iwata K (2004), “Numerical study of the characteristics of erosion in magnetron sputtering”, Vacuum., 74(3-4), pp 359-365 [52] Kwon U H, Choi S H, Park Y H and Lee W J (2005), “Multi-scale simulation of plasma generation and film deposition in a circular type DC magnetron sputtering system”, Thin Solid Films., 475, pp 17–23 [53] Kwon Y W and Bang H (1996), The Finite Element Method Using MATLAB, Second edition, CRC-Press [54] Lieberman M A and Lichtenberg A J (2005), Principles of Plasma Discharges and Materials Processing, Second edition , John Wiley & Sons Inc [55] Makabe T and Petrovic Z (2006), Plasma Electronics: Applications in Microelectronic Device Fabrication, Taylor & Francis Group [56] Miranda J E, Goeckner M J, Goree J and Sheridan T E (1990), “Monte Carlo simulation of ionization in a magnetron plasma”, J Vac Sci Technol., A8, pp 1627-1631 [57] Nanbu K (2000), “Probability theory of electron-molecule, ion-molecule, molecule-molecule, and Coulomb collisions for particle modeling of materials processing plasmas and gases”, IEEE Trans on Plasma Science., 28(3), pp 971990 [58] Nanbu K and Kondo S (1997), “Analysis of 3-D DC magnetron discharge by the particle-in-cell/Monte Carlo method”, Jpn J Appl Phys., 36(7B), pp 4808– 4814 85 [59] Nanbu K, Segawa S and Kondo S (1996), “Self-consistent particle simulation of three-dimensional dc magnetron discharge”, Vacuum., 47(6-8), pp 1013-1016 [60] Nastasi M, Hirvonen J K, and Mayer J W (1996), Ion-Solid Interactions: Fundamentals and Applications, Cambridge University Press [61] Raizer Y R (1991), Gas Discharge Physics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg [62] Seo S H, In J H and Chang H Y (2005), “Time evolution of electron energy distribution function and plasma parameters in pulsed and unbalanced magnetron argon discharge”, J Appl Phys., 98, 043301(1-7) [63] Seo S H, In J H and Chang H Y (2004), “Effects of substrate bias on electron energy distribution in magnetron sputtering system”, Phys Plasmas., 11, pp 4796-4800 [64] Sheridan T E, Goeckner M J and Goree J (1990), “Electron and ion transport in magnetron plasmas”, J Vac Sci Technol., A8, pp 1623-1626 [65] Sheridan T E, Goeckner M J and Goree J (1991), “Observation of twotemperature electrons in a sputtering magnetron plasma”, J Vac Sci Technol., A9, pp 688-690 [66] Shidoji E and Makabe T (2003), “Magnetron plasma structure with strong magnetic field”, Thin Solid Films., 442, p 27–31 [67] Shidoji E, Ness K and Makabe T (2001), ”Influence of gas pressure and magnetic field upon dc magnetron discharge”, Vacuum., 60, pp 299-306 [68] Shon C H, Lee J K, Lee H J, Yang Y and Chung T H (1998), “Velocity distributions in magnetron sputter”, IEEE Trans Plasma Science, 26(6), pp 1635-1644 [69] Shon C H, Park J S, Kang B K and Lee J K (1999), “Kinetic and steady-state properties of magnetron sputter with three-dimensional magnetic field” , Jpn J Appl Phys 38, pp 4440-4449 86 [70] Sigurjonsson P and Gudmundsson J T (2008), “Plasma parameters in a planar dc magnetron sputtering discharge of argon and krypton”, Journal of Physics: Conference Series.,100, 062018 [71] Spolaore M, Antoni V, Bagatin M, Buffa A, Cavazzana R, Desideri D, Martines E, Pomaro N, Serianni G and Tramontin L (1999), “Automatic Langmuir probe measurement in a magnetron sputtering system”, Surf Coat Technol., 116–119, pp 1083–1088 [72] Swarztrauber P N (1974), “ A direct method for the discrete solution of separable elliptic equations”, SIAM Journal on Numerical Analysis., 11, pp 1136-1150 [73] Vahedi V and DiPeso G (1997), “Simultaneous potential and circuit solution for two-dimensional bounded plasma simulation codes”, Journal of Computational Physics., 131, pp.149-163 [74] Vahedi V and Surendra M (1995), “A Monte Carlo collision model for the particle-in-cell method: applications to argon and oxygen discharges”, Comput Phys Commun., 87, pp 179-198 [75] Verboncoeur J P, Alves M V, Vahedi V and Birdsall C K (1993), “Simultaneous potential and circuit solution for 1d bounded plasma particle simulation codes”, Journal of Computational Physics., 104, pp 321-328 [76] Yonemura S and Nanbu K (2003), “Self-consistent particle-in-cell/Monte Carlo simulation of RF magnetron discharges of oxygen/argon mixture: effects of partial pressure ratio”, IEEE Trans Plasma Science., 31(4), pp 479-487 87 Ph l c A Phân tích t trư ng tĩnh đ i x ng tr c b ng phương pháp ph n t h u h n N u ta ñ t ψ ' = rAϕ , phương trình (2.5) đư c vi t l i f (ψ ') = ∂  ∂ψ '  ∂  ∂ψ '  +  + jmϕ = ∂z  µ r ∂z  ∂r  µ r ∂r    (A.1) N u ta g i ψ x p x c a ψ ' f (ψ ) = R ≠ , R ñư c g i giá tr th ng dư B i ψ l ch kh i l i gi i xác ψ ' , nên th ng dư R không đư c b tồn mi n khơng gian c a tốn ð thu đư c l i gi i t t nh t, ph i nh n đư c tích phân c a R tồn mi n S c a tốn nh nh t 2π ∫∫S Rrdrdz → (A.2) N u ta ch n ñư c m t hàm tr ng s (hàm ki m tra) w cho giá tr trung bình tồn mi n c a tốn b ng khơng, ∫∫ S wRrdrdz = (A.3) Hàm tr ng s w ñư c ch n hàm n i suy N Thay hàm n i suy N giá tr th ng dư R vào (A.3), ta thu ñư c ∫∫ S  ∂  ∂ψ  ∂  ∂ψ   Nr   +    drdz + ∫∫S Njmϕ rdrdz =  ∂z  µ r ∂z  ∂r  µ r ∂r   (A.4) S d ng tích phân t ng ph n cho s h ng th nh t  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂ψ ∂ ( Nr ) Nr   drdz − ∫∫S drdz , (A.5)  drdz = ∫∫S  Nr  ∫∫S ∂z  µ r ∂z  ∂z  µ r ∂z  µ r ∂z ∂z    s h ng th hai  ∂  ∂ψ   ∂  ∂ψ  ∂ψ ∂ ( Nr ) Nr     drdz = ∫∫S ∂r  Nr µ r ∂r  drdz − ∫∫S µ r ∂r ∂r drdz (A.6) S    ∂r  µ r ∂r   ∫∫ 88 C ng hai s h ng v i nhau, ñư c ∫∫ S  ∂  N ∂ψ  ∂  N ∂ψ     +    drdz  ∂z  µ ∂z  ∂r  µ ∂r    ∂ψ ∂ ( Nr ) ∂ψ ∂ ( Nr )  − ∫∫S  + drdz µ r ∂r ∂r   µ r ∂z ∂z  (A.7) Chúng ta ñ t Gr = − N ∂ψ N ∂ψ , Gz = , µ ∂z µ ∂r (A.8) áp d ng ñ nh lý Green m t ph ng, hai s h ng đ u c a (A.7)  ∂Gz ∂Gr  −  drdz = ∫ L ( Gz dr + Gr dz ) S ∂r ∂z  ,  ∂ψ dr ∂ψ dz  = ∫L N  − ds µ r ∂r ds µ r ∂z ds   ∫∫   (A.9) v i L ñư ng cong kín n m d c theo biên c a m t S, ds ñơn v ñ dài c a L G i n pháp vector hư ng ngồi c a L, n = ( dr , −dz ) ds = ( nr , nz ) Cơng th c (A.9) đư c vi t l i  ∂Gz ∂Gr − S ∂r ∂z  ∫∫   ∂ψ  ∂ψ   drdz = ∫ L N  µ r ∂r nr + µ r ∂z nz ds    (A.10) S d ng ñi u ki n biên t nhiên (2.9) v i vi c ñ t ψ = rAϕ , bi u th c (A.10) b ng khơng, phương trình (A.4) đư c gi n lư c thành  ∂ψ ∂N ∂ψ ∂N ∂ψ +r +N S ∂r ∂r ∂r µ r  ∂z ∂z  ∫∫   drdz = ∫∫S Njmϕ rdrdz  (A.11) M t đ dịng jmϕ vector t hóa M m có m i quan h jmϕ = ( ∇ × M m )ϕ Thay phương trình (A.12) vào v ph i c a (A.11), ta nh n ñư c 89 (A.12)  ∂M r ∂M z Njmϕ rdrdz = ∫∫S Nr ( ∇ × M m )ϕ drdz = ∫∫S Nr  − S ∂r  ∂z ∫∫   drdz  (A.13) S d ng phương trình ∂M ∂ ( NrM r ) = M r r ∂N + Nr ∂z r , ∂z ∂z (A.14) ∂M ∂ ( NrM z ) = M z r ∂N + M z N + Nr ∂r z ∂r ∂r (A.15) Thay hai phương trình vào (A.13) ∫∫ S ∂ ∂  Njmϕ rdrdz = ∫∫S  ( NrM r ) − ( NrM z ) drdz ∂r  ∂z  ∂N ∂N   + ∫∫S M z Ndrdz − ∫∫S  M r r − M zr drdz ∂z ∂r    (A.16) Áp d ng l i ñ nh lý Green lên hai s h ng ñ u bên v ph i c a phương trình trên, sau ∂ ∂   ∂z ( NrM r ) − ∂r ( NrM z ) drdz = ∫ L Nr ( M r dr + M z dz )   (A.17) dr dz   = ∫ L Nr  M r + M z ds = ∫ L Nr ( M r nr − M z nz )ds = ∫ L Nr ( M × n ) ds ϕ ds ds   ∫∫ S Ta bi t r ng v i v t li u t đ ng hư ng, vector t hóa M cư ng đ t trư ng H có m i quan h M = χH (A.18) v i χ ñ t c m Nên tương t H, M th a ñi u ki n biên t nhiên, có nghĩa M ×n = 0, (A.19) nên phương trình (A.16) đư c gi n lư c hai s h ng ñ u bên v ph i T phương trình (A.13) đư c rút g n thành 90  ∂ψ ∂N ∂ψ ∂N ∂ψ  ∂z ∂z + r ∂r ∂r + N ∂r µr    drdz  ∂N ∂N   drdz = ∫∫S M z Ndrdz − ∫∫S  M r r − M zr ∂z ∂r    ∫∫ S (A.20) ð k t qu c a toán d dàng ñư c s d ng cho phương pháp PIC, th c hi n r i r c hóa mi n khơng gian c a tốn thành ph n t h u h n hình ch nh t đ ng nh t, có đ dài c nh 2a 2b th y hình A Hàm ψ ( e ) c a m t ph n t h u h n ch nh t th e ñư c n i suy qua giá tr c a t i b n nút lư i ( ( ψ 1( e ) (r1 , z1 ), ψ 2e ) ( r2 , z2 ), ψ 3( e ) (r3 , z3 ) ψ 4e ) (r4 , z4 ) , b ng hàm n i suy N ψ ( e ) = ∑ N iψ i( e ) ( ri , zi ) , (A.21) 1 ( a − r )( b − z ) , N = ( a + r )( b − z ) , 4ab 4ab 1 N3 = ( a + r )( b + z ) , N = ( a − r )( b + z ) 4ab 4ab (A.22) i =1 v i N1 = z ψ (r4 , z4 ) ( e) ψ 3( e) (r3 , z3 ) b a -a r ψ 1( e ) (r1 , z1 ) -b ψ 2( e) (r2 , z2 ) Hình A M t ph n t h u h n hình ch nh t 91 Khi đó, phương trình (A.20) đư c vi t cho m t ph n t h u h n th e rc( e )  ∂N i ( e )   ∂N j ψ  ∑  ∑ µ ( e )  i =1 ∂z i   j =1 ∂z  ∫∫ S(e)  ( e )  ∂N i ( e )   ∂N j  ψ i  ∑  + rc  ∑  i =1 ∂r    j =1 ∂r       ∂N +  ∑ N j   ∑ i ψ i( e )   drdz  j =1  i =1 ∂r  = ∫∫S M z (e) (e) (A.23)  ( e )  ∂N j   ∂N j     (e) (e)  ∑ N j  drdz − rc ∫∫S  M r  ∑ ∂z  − M z  ∑ ∂z  drdz ,  j =1    j =1   j =1    (e) v i rc( e ) S ( e ) tương ng t a ñ tâm mi n c a ph n t th e, µ ( e ) M r(,ez) tương ng đ t th m đ t hóa c a ph n t th e Ho c vi t dư i d ng ma tr n, ví d cho s h ng ñ u bên v trái c a phương trình (A.23) rc( e ) ∫∫ S(e)    =  (e)  rc    ∂N i ( e )   ∂N j ψ  ∑  ∑ µ ( e )  i =1 ∂z i   j =1 ∂z    ∂N1  a b  ∂N ∫ ∫ ( e)  ∂N − a −b µ    ∂N  ∂z   ∂z   ∂N1  ∂z   ∂z   ∂z    drdz   ∂N ∂z ∂N ∂z  ψ 1( e )     (e)   ∂N    ψ   drdz  ψ ( e )  ∂z      ψ ( e )      (A.24) Ta làm tương t v y cho s h ng l i Sau c ng s h ng ñư c vi t dư i d ng ma tr n hai v c a (A.23), ta nh n ñư c m t phương trình ma tr n có d ng  k11 k  21  k31   k41 k12 k22 k32 k13 k23 k33 k42 k43 k14  ψ 1( e )   f1( e )   (    k24  ψ 2e )   f 2( e )   = k34  ψ 3( e )   f 3( e )     ( k44  ψ 4e )   f 4( e )      (A.25) đư c g i phương trình ma tr n ñ a phương c a ph n t th e ð thu đư c phương trình ma tr n h th ng c a toàn mi n S, ta s d ng ñi u ki n biên (2.10) – (2.12) l p ráp phương trình ma tr n đ a phương 92 v i [53] Chú ý r ng, v i s t v t li u t phi n h phương trình (A.25) s h ng ngu n f i ( e ) ph thu c vào ψ i( e ) qua ñ t th m µ ( Fe ) c a s t, nên h phương trình ma tr n h th ng phi n Ta th c hi n vi c n tính hóa h phương trình gi i l p chúng cho ñ n k t qu ñư c h i t Sau m i bư c gi i l p h phương trình h th ng, thành ph n c a c m ng t trư ng B ( e ) c a ph n t e đư c tính t phương trình (2.6) Bz( e ) ( ∂Aϕe ) ∂ (e)   ∑ N iψ i  (e) ∂z rc ∂z  i =1  ∂ ∂   ( = ( e ) ( rAϕe ) ) = ( e )  ∑ N iψ i( e )  rc ∂r rc ∂r  i =1  Br = − (e) =− (A.26) cư ng ñ t trư ng H ñư c xác ñ nh H (e) = B(e) µ0 µ r( e ) , (A.27) v i µr( e ) ñ t th m t ñ i c a ph n t th e T ñư ng cong t tr c a s t, ta n i suy c m ng t trư ng B ( Fe ) s t, xác ñ nh l i ñ t th m t đ i s t µ ( Fe ) r ( Fe ) B = µ0 H ( Fe ) (A.28) Sau cùng, t phương trình (A.18), ta có vector t hóa s t M ( Fe ) = χ ( Fe ) H ( Fe ) = ( µr( Fe ) − 1) H ( Fe ) (A.29) Thay vector t hóa vào phương trình (A.23) đ th c hi n bư c gi i l p ti p theo, cho ñ n l i gi i ñư c h i t 93 Ph l c B Phương pháp luân hư ng n (ADI) Phương pháp luân hư ng n (alternating direction implicit – ADI) [3, 29] phương pháp tách ñư c s d ng ñ gi i tốn truy n nhi t khơng d ng hai chi u Phương pháp có l i th bi n tốn ma tr n thưa kích thư c l n thành tốn ma tr n ba đư ng chéo Các phương trình Laplace ho c Poisson có th đư c gi i b ng phương pháp ADI b ng cách thêm vào phương trình m t đ o hàm theo th i gian gi t o Phương trình (2.23) đư c vi t l i ∂VP = ∇ ( ε 0VP ) + ρ ∂t ( (B.1) ) Tốn t Laplace ∇ ε 0V p đư c vi t l i t hai phương trình (2.21) (2.22) ( ) ∇ ε 0V p = az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j + ar ; jVP ;i , j −1 + br ; jVP ;i , j + cr ; jVP ;i , j +1 , (B.2) S d ng lư i có kích thư c đ ng nh t theo hai hư ng z r tương ng ∆z ∆r h s bi u th c az ;i = ( ∆z ) ; bz ;i = −2az ;i ; cz ;i = az ;i ; 2ε ε    ; cr ; j =  +  ; 1 −  ; br ; j = − ( ∆r )  j  ( ∆r ) ( ∆r )  j  4ε ; cr ;0 = −br ;0 = 0; br ;0 = − ∆r ) ( ar ; j = ar ;0 ε0 ε0  (B.3) Thay (B.2) vào (B.1) th c hi n sai phân h u h n lên s h ng ph thu c th i gian, ta nh n ñư c 94 VPk;+,1j − VPk;i , j i ∆t = az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j (B.4) + ar ; jVP ;i , j −1 + br ; jVP ;i , j + cr ; jVP ;i , j +1 + ρi , j ∆t kích thư c bư c nh y th i gian gi , VPk;i , j VPk;+,1j tương ng th t i i th i ñi m t t + ∆t N u bi t trư c giá tr th VPk;i , j t i t t c nút lư i, phương pháp ADI th c hi n hai bư c qt đ gi i phương trình (B.4) là: Bư c 1: quét theo hư ng z v i ch m t n a bư c nh y th i gian ∆t VPk;+,1j − VPk;i , j i ∆t 1 = az ;iVPk;+−1,2j + bz ;iVPk;+,1j + cz ;iVPk;++1,2j i i i + ar ; jV k P ;i , j −1 Gom s h ng + br ; jV k P ;i , j + cr ; jV k P ;i , j +1 (B.5) + ρi , j m t th i ñi m v hai v c a phương trình trên, ta có ( ) 1 0.5∆taz ;iVPk;+−1,2j + 0.5∆tbz ;i − VPk;+,1j + 0.5∆tcz ;iVPk;++1,2j i i i ( ) = −0.5∆t ar ; jVPk;i , j −1 + br ; jVPk;i , j + cr ; jVPk;i , j +1 + ρi , j − VPk;i , j (B.6) Phương trình (B.6) m t h phương trình ba đư ng chéo cho m i c t th j c a nút lư i Do đư c gi i b ng thu t tốn ba đư ng chéo Thomas [29] Bư c 2: quét theo hư ng r v i m t n a bư c nh y th i gian ∆t l i VPk;+,1j − VPk;+,1j i i ∆t 1 = az ;iVPk;+−1,2j + bz ;iVPk;+,1j + cz ;iVPk;++1,2j i i i , (B.7) + ar ; jVPk;+,1j −1 + br ; jVPk;+,1j + cr ; jVPk;+,1j +1 + ρi , j i i i ho c vi t dư i d ng ( ) 0.5∆tar ; jVPk;+,1j −1 + 0.5∆tbr ; j − VPk;+,1j + 0.5∆tcr ; jVPk;+,1j +1 i i i ( ) = −0.5∆t az ;iVP ;i −1, j + bz ;iVP ;i , j + cz ;iVP ;i +1, j + ρi , j − VP ;i , j k +1 k +1 95 k +1 k +1 , (B.8) H m t h phương trình ba đư ng chéo cho m i dòng th i c a nút lư i, đư c gi i b ng thu t tốn ba đư ng chéo Thomas [29] Hai bư c bư c quét m t l n gi i l p c a phương pháp ADI Các bư c l p ti p theo ñư c l p l i cho ñ n l i gi i ti n t i tr ng thái d ng Phương pháp luân hư ng n ñ ng l c (DADI) Phương pháp luân hư ng n ñ ng l c (dynamic alternating direction implicit – DADI) [22, 28] s m r ng c a phương pháp ADI, v i kích thư c bư c nh y th i gian ñư c ñi u ch nh t l n l p ñ n l n l p khác ñ tăng t c ñ h i t c a l i gi i l n l p ñ u tiên, bư c nh y th i gian gi t o ñư c ch n [22] 2 ∆t = 0.1 ( ∆z ) + ( ∆r )  ε   (B.9) Các bư c l p c a DADI ñư c cho sau: Ch s l p k đư c đ t b ng khơng Hai l n gi i l p ADI ñư c th c hi n v i kích thư c bư c nh y th i gian gi ∆t k , ñ thu ñư c l i gi i t VPk thành VPk +1 ð ki m tra tr ng thái d ng c a l i gi i, m t giá tr th ng dư r k ñư c xác ñ nh N z −1 rk = N r −1 i =1 j =0 ∑ ∑ ( ) (ρ ) ∇ ε V k +1 + ρ  P ;i , j i, j   N z −1 N r −1 i =1 j =0 ∑ ∑ 2 , (B.10) i, j v i N z N r tương ng s nút lư i theo hư ng z r ð i v i phương trình Laplace, m u s c a (B.10) ñư c ñ t b ng Giá tr th ng dư ñư c so sánh v i m t giá tr sai s , tol, ñư c n ñ nh trư c b i ngư i dùng N u r k ≤ tol l i gi i h i t , ngư c l i, th c hi n ti p bư c ti p theo c a DADI 96 N u l i gi i chưa h i t , m t bư c l p ADI ñư c th c hi n v i kích thư c bư c nh y th i gian gi ñư c tăng lên g p đơi, 2∆t k , đ thu đư c l i gi i t VPk thành V k +1 P Sau đó, kích thư c bư c nh y th i gian gi ñư c ñi u ch nh sau Hai chu n Ldiff Lerror ñư c xác ñ nh b i Ldiff = VPk;+,1j − V i k +1 P ;i , j , (B.11) Lerror = VPk;+,1j − VPk;i , j i (B.12) B ng B H s nhân c a bư c nh y th i gian gi TP fω < 0.02 8.0 0.02 – 0.05 4.0 0.05 – 0.1 2.0 0.1 – 0.3 0.80 0.3 – 0.4 0.50 0.4 – 0.6 0.25 > 0.6 0.125 M t tham s ki m tra đư c tính tốn t hai chu n TP = Ldiff Lerror (B.13) Tham s TP ñư c s d ng đ tìm h s nhân fω v i ∆t k B ng B cho th y giá th h s nhân cho tham s ki m tra khác Sau đó, kích thư c bư c nh y th i gian m i ñư c ñi u ch nh 97 ∆t k +1 = fω ∆t k , (B.14) mà đư c dùng cho l n l p ti p theo N u TP > 0.6 kích thư c bư c nh y th i gian ñư c gi m ñi l n l i gi i thu ñư c l n l p hi n t i, VPk;i , j , ñư c thay b ng VP0;i , j giá tr th i ñi m b t ñ u l p Ch s l p ñư c tăng lên m t, k = k + l p l i bư c ñ n bư c cho ñ n l i gi ñư c h i t mong mu n Cho vi c g i l i gi i phương trình Poisson ti p theo, kích thư c bư c nh y th i gian gi ñư c gi m ñi 16 l n so v i bư c nh y th i gian c a l n g i trư c 98 ... 1.1 Plasma phóng n sáng DC h phún x magnetron 1.1.1 Khái ni m v plasma 1.1.2 Phóng n sáng DC 1.1.3 H phún x magnetron 1.2 Các bư c xây d ng h phún x magnetron. .. m o máy tính cho h phún x magnetron ngày hi n th c Trong lu n văn này, th c hi n hai module mô ph ng t trư ng mô ph ng plasma phóng n khí argon h phún x magnetron ph ng trịn DC Module t trư ng... H phún x magnetron Trong phương pháp ch t o màng m ng b ng phún x cathode, lư ng v t ch t t bia ñ n ñư c ñ ph thu c vào m t đ dịng ion b n phá lên b m t cathode áp su t khí Các phương pháp phún