LỜI MỞ ĐẦU Chúng tôi thành thật cám ơn Trường Đại Học Sư Phạm, Đại Học Huế đã tạo điều kiện để bài giảng này được ra đời. Trong quá trình viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được càng nhiều càng tốt những ý kiến đóng góp của bạn đọc, sinh viên cũng như các đồng nghiệp. Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác giả i Mục lục 1 Lý thuyết đường 1 1.1 Đườngthamsố 1 1.1.1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R 3 7 1.2.1 Độcong 7 1.2.2 Trường mục tiêu Frénet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Độ xoắn. Công thức Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.4 Công thức tính độ cong và độ xoắn . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Định lý cơ bản cho đường tham số trong R 3 15 1.3 Đường tham số trong R 2 (Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Đường tròn mật tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 Đường túc b ế và đường thân khai . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Một số tính chất toàn cục của các đường cong phẳng . . . . . . . . 23 1.4.1 Bài toán đẳng chu và bất đẳng thức đẳng chu . . . . . . . . 24 ii Hình học vi phân 1.4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii Chương 1 Lý thuyết đường 1.1 Đường tham số Phép tính vi tích phân là công cụ chủ yếu để nghiên cứu hình học vi phân. Do đó một cách tự nhiên và hợp lý nhất là để sử dụng công cụ này là đồng nhất chúng hoặc một bộ phận của chúng với các đối tượng của giải tích, các hàm khả vi. 1.1.1 Định nghĩa đường tham số Định nghĩa 1. Cho ánh xạ c : I −→ R n với I ⊂ R là một khoảng (mở, đóng, nửa mở nửa đóng, nửa đường thẳng thực hoặc cả toàn bộ đường thẳng thực . ). Gọi C = c(I) ⊂ R n , ảnh của toàn bộ tập I. Khi đó (C, c) được gọi là một đường tham số (parametrized curve) với tham số hóa c và tham số t. C được gọi là vết của đường tham số. Nếu c là hàm liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ . . . thì tương ứng ta nói C là đường tham số liên tục, khả vi lớp C k , khả vi lớp C ∞ Giả sử c(t)=(x 1 (t),x 2 (t), ,x n (t)), thì c khả vi lớp C k (k =0, 1, 2, ) có nghĩa là các hàm thành phần x i : I −→ R 1 Hình học vi phân khả vi lớp C k (k =0, 1, 2, ). Nếu c là khả vi thì vector c  (t):=(x  1 (t),x  2 (t), ,x  n (t)) ∈ R n , gọi là vector tiếp xúc hay vector vận tốc của C tại c(t ) (hay của c tại t). Chú ý. 1. Trong suốt giáo trình này, nếu không nói gì thêm, thuật ngữ khả vi được hiểu là khả vi tại mọi điểm và khả vi đến lớp cần thiết. Từ đây trở đi chúng ta chỉ xét các đường tham số khả vi. Vì thế, khi không cần nhấn mạnh chúng ta sẽ bỏ đi từ khả vi. 2. Để đơn giản, thay vì dùng ký hiệu đầy đủ (C, c) để chỉ đường tham số ta có thể nói C là đường tham số nếu tham số hóa đã biết. Thật ra tham số hóa của đường tham số cho phép ta xác định được vết của nó nên khi nói về đường tham số chỉ cần cho tham số hóa của nó là đủ. Đây là lý do đa số các tài liệu đều đồng nhất đường tham số với tham số hóa của nó. Chúng ta cũng sẽ làm như vậy trong suốt giáo trình này. Nhiều tài liệu sử dụng thuật ngữ cung tham số thay vì đường tham số. 3. Khái niệm đường cong trong chương này sẽ đượ c hiểu là vết của một đường tham số nào đó. Về sau khái niệm này còn được hiểu theo một nghĩa rộng hơn (xem Nhận xét ??, Chương II). 4. Các ví dụ dưới đây sẽ cho thấy một tập con C ⊂ R n có thể có nhiều tham số hóa khác nhau. Với hai tham số khác nhau sẽ cho các tính chất khác nhau. Ví dụ 1. Chúng ta có thể xem đồ thị của hàm số y = f(x) với miền xác định I ⊂ R như là vết của đường tham số c : I −→ R 2 ; c(t)=(t, f(t)). Ví dụ 2. Đường tham số (với tham số hóa) c(t)=p + tv ∈ R n , là đường thẳng đi qua điểm p với vector vận tốc v. Ví dụ 3. Đường tròn tâm O, bán kính r có một tham số hóa dạng c(t)=(r cos t, r sin t), 2 Hình học vi phân c(t)=(t, f (t) a b f (a) f (b) I c(I) Hình 1.1: c(t)=(t, f (t)). c I c(I) Hình 1.2: c(t)=(x(t),y(t)). Ví dụ 4. Đường parabol có một tham số hóa dạng c(t)=(t, t 2 ), Ví dụ 5. Cho đường tham số C với tham số hóa c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0. Đường tham số C gọi là đường xoắn ốc. Đường nằm trên mặt trụ x 2 + y 2 = a 2 với độ dốc 2πb. Tham số t chính là góc giữa trục x với đường thẳng nối O với hình chiếu của c(t) lên mặt phẳng Oxy. Ví dụ 6. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t 3 ,t 2 ); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C ∞ . Chú ý rằng c  (0) = (0, 0), tức là tại t =0vector vận tốc bằng 0. Ví dụ 7. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t 3 − 4t, t 2 − 4); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số khả vi lớp C ∞ . Chú ý rằng c(2) = c(−2) = (0, 0), tức là ánh xạ c không đơn ánh. 3 Hình học vi phân Ví dụ 8. Ánh xạ c : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t, |t|); t ∈ R, là tham số hóa của một đường tham số liên tục không khả vi vì hàm y(t)=|t| không khả vi tại t. Ví dụ 9. Hai ánh xạ c, r : R −→ R 2 , xác định bởi c(t) = (cos t, sin t), r(t) = (cos 2t, sin 2t); là hai tham số hóa khác nhau của đường tròn x 2 + y 2 =1. Chúng xác định hai đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau vì có độ dài khác nhau. Ví dụ 10. Hai ánh xạ c, r : R −→ R 2 , xác định bởi c(t)=(t, t), r(t)=(t 3 ,t 3 ); là hai tham số hóa của cùng một đường thẳng x = y. Chúng xác định hai đường tham số với các vector tiếp xúc tại từng điểm là khác nhau. Hai đường cong này mô tả hai chuyển động cùng quỹ đạo nhưng cách chuyển động hoàn toàn khác nhau. Đường cong thứ nhất mô tả chuyển động đều trên đường thẳng. Đường cong tham số thứ hai mô tả chuyển động chậm dần (với t<0), vận tốc tức thời bằng không tại t =0, và sau đó (với t>0) chuyển động nhanh dần . 1.1.2 Đường tham số chính quy. Độ dài cung Định nghĩa 2. Cho đường tham số c : I −→ R n . Nếu c  (t) =0thì t (hay c(t)) gọi là điểm chính quy còn những điểm mà c  (t)=0gọi là điểm kỳ dị. Với mỗi t ∈ I mà c  (t) =0, chúng ta gọi đường thẳng đi qua c(t) với vector chỉ phương c  (t) là tiếp tuyến của c tại t. Đường tham số c : I −→ R n gọi là đường tham số chính quy nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là c  (t) =0với mọi t ∈ I. 4 Hình học vi phân Định nghĩa 3. Độ dài cung của một đường tham số chính quy c : I −→ R n , từ điểm t 0 đến t, với t 0 ,t ∈ I, đượ c định nghĩa là số s(t)=  t t 0 |c  (t)|dt. Do c  (t) =0nên độ dài cung là một hàm khả vi của t và ds dt = |c  (t)|. Định nghĩa 4. Đường tham số chính qui c : I −→ R n , (n =2, 3) với |c(t)| =1, ∀t gọi là đường tham số với tham số là độ dài cung, hay với vector vận tốc đơn vị hay đường tham số với tham số hóa tự nhiên. Tham số độ dài cung thường được ký hiệu là s. Nếu ta có |c  (t)| =1, thì  t t 0 dt = t − t 0 . Do đó độ dài cung của c là số đo từ một tham số nào đó. Trong trường hợp t 0 =0, thì s(t)=t. Điều này giải thích thuật ngữ tham số độ dài cung. Định nghĩa 5. Hai đường tham số c : I −→ R n ,r : J −→ R n gọi là tương đương nếu tồn tại vi phôi ϕ : I −→ J sao cho c = r ◦ ϕ. Nhận xét. 1. Dễ nhận thấy nếu đường tham số c là chính qui và r là đường tham số tương đương với nó thì r cũng chính qui. Nếu ϕ  < 0, thì c  và r  ngược chiều nhau. Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương ngược hướng. 2. Nếu ϕ  > 0, thì c  và r  cùng chiều. Trong trường hợp này ta nói c và r là tương đương cùng hướng. 3. Cho đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R n . Khi đó ta có thể định nghĩa độ dài của đường tham số c là số L(c)=  b a |c  (t)|dt. 5 Hình học vi phân Khi đó nếu hai đường tham số chính qui c :[a, b] −→ R n và r :[c, d] −→ R n là tương đương thì L(c)=L(r). Thật vậy, L(c)=  b a |c  (t)|dt =  b a |(r ◦ϕ)  (t)|dt  b a |(r  (ϕ(t))|.|ϕ  (t)|dt =  d c |(r  (τ )|dτ Ví dụ 11. Cho c : I −→ R n là đường tham số chính qui với tham số là độ dài cung với I =(a, b). Ta xác định đường tham số r :(−b, −a) −→ R n ,r(−s)=c(s). Khi đó dễ thấy vết của c và r là trùng nhau, |r  (−s)| = |c  (s)|, nhưng r  (−s)=−c  (s). Hai đường cong tham số này là ngược hướng nhau. Chúng ta có định lý sau: Định lý 1.1.1. Mọi đường tham số chính quy đều tồn tại đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương (cùng hướng) với nó. Chứng minh. Giả sử c : I −→ R n là đường tham số với tham số không nhất thiết là độ dài cung. Xét hàm s = s(t)=  t t 0 |c  (t)|dt, t, t 0 ∈ I. Do ds dt = |c  (t)| > 0, hàm s = s(t) có hàm ngược khả vi t = t(s) ∈ s(I)=J. Để đơn giản về mặt ký hiệu ta dùng t để chỉ hàm ngược của s tức là t = s − 1. Đặt β = c◦t : J −→ R n , thì dễ thấy β(J )=c(I) và |β  (s)| = |c  (t). dt ds | = |c  (t).  ds dt  −1 | =1. Như vậy β là đường tham số với tham số là độ dài cung tương đương với c. Ví dụ 12. Cho đường tham số c(t)=(a cos t, a sin t, bt); t ∈ R,a>0,b=0. Hãy tính độ dài của đường xác định trên đoạn [0, 1] (độ dài của đường từ điểm 0 đến 1) và xác định tham số hóa với tham số độ dài cung tương đương với c. 6 Hình học vi phân Ta có L(c| [0,1] )=  1 0 |c  (t)|dt =  1 0  a 2 + b 2 dt =  a 2 + b 2 . Đặt s(t)=  t 0 |c  (t)|dt =  a 2 + b 2 t. Suy ra t(s)= s √ a 2 + b 2 . Như vậy ta có tham số hóa với tham số là độ dài cung r(s)=  a cos s √ a 2 + b 2 ,asin s √ a 2 + b 2 ,b s √ a 2 + b 2  . 1.2 Các tính chất địa phương của đường tham số trong R 3 Trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số trong R 3 . 1.2.1 Độ cong. Định nghĩa 6. Cho đường tham số với tham số là độ dài cung c : I −→ R 3 . Số không âm |c  (s)| gọi là độ cong của c tại s và được ký hiệu là k(s). Khi đó ta có hàm không âm k : I −→ R, gọi là hàm độ cong của đường tham số c. Ý nghĩa hình học của độ cong. Gọi θ là góc giữa c  (s) và c  (s + s) (tính bằng radian) thì k(s) = lim s→0     θ s     . Thật vậy, ta có |2 sin θ 2 | = |c  (s + s) − c  (s)| = |s(c  (s)+)|, 7 [...]... t = kπ t ∈ (2kπ, π + 2kπ) 18 Hình học vi phân Hình vẽ 1. 3 .1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng Định lý 1. 3 .1 Với hàm khả vi k : I −→ R2 có đường tham số c : I −→ R2 với tham số độ dài cung nhận k làm hàm độ cong đại số Hai đường tham số như thế sai khác nhau một phép dời thuận Phép chứng minh hoàn toàn tương tự như ở trường hợp đường tham số trong không gian R3 Những đường tham số như vậy có thể... hướng được chọn của đường cong Chúng ta không chứng minh định lý này ở đây Tham khảo chứng minh của định lý này ở [?] 30 Hình học vi phân 31 Hình học vi phân Một đường tham số chính qui phẳng (không nhất thiết đơn) c : [a, b] −→ R2 gọi là lồi nếu với mọi t ∈ [a, b] toàn bộ vết của đường tham số sẽ nằm về một phía của một nửa mặt phẳng xác định bởi tiếp tuyến tại t Một đỉnh của một đường tham số chính... minh Bổ đề 1. 4 .1 cho trường hợp đơn giản như hình vẽ dưới đây Theo hình vẽ, ta có x1 x1 f1 dx − A= x0 f2 dx x0 25 Hình học vi phân Với giả thiết đường cong định hướng dương, sau khi đổi tham số, ta có t1 A=− t3 yx dt − a b yx dt = − t2 yx dt a vì x (t) = 0 dọc theo những đoạn song song với trục y Trong trường hợp tổng quát, chúng ta sẽ chia miền trong của α thành một số hữu hạn miền bằng các đường thẳng... −→ R3 , xác định bởi: 1 γ(s) = c(s) + n(s) k Ta có 1 γ =c + n k 1 = t + (−kt + τ b) k = 0 1 Do đó γ = cons., hay c(s) + n(s) = p (const.), ∀s ∈ I k Nếu gọi Π là mặt phẳng chứa c(I), thì Π nhận b=const làm pháp vector Do 1 1 c(s) − p = − n(s), ta suy ra p ∈ Π và |c(s) − p| = , ∀s ∈ I, tức là c(s) thuộc k k 1 đường tròn tâm p bán kính trong mặt phẳng Π k 12 Hình học vi phân Mệnh đề 1. 2.3 ( Áp dụng của... số thì dễ dàng chứng minh được rằng đường là đường tròn (hoặc một phần của đường tròn) Ví dụ 13 Xác định trường mục tiêu Frénet và độ cong đại số của đường tham số c(t) = (t, sin t) Ta có c (t) = (1, cos t) c (t) = (0, − sin t) Nên 1 (1, cos t); 1 + cos2 t 1 (− cos t, 1) n(t) = √ 1 + cos2 t t(t) = √ Do đó k(t) = Chúng ta nhận thấy c (t).n(t) − sin(t) = 3 |c (t)|2 (1 + cos2 t) 2  k(t) > 0  k(t) =... k(a) Như vậy, độ dài của đường túc bế trên đoạn [a, b] chính là giá trị tuyệt đối của hiệu hai bán kính cong tại a và b của đường thân khai Ví dụ 15 Xét ellipse với tham số hóa β(t) = (a cos t, b sin t) 21 Hình học vi phân Ta có quỹ tích tâm của đường tròn mật tiếp là đường tham số X(t) = a2 − b2 cos3 t, a a2 − b2 3 Y (t) = sin t a hình vẽ Tìm đường thân khai Giả sử α : I −→ R2 là đường tham số chính qui... xy −x y [(x )2 + (y )2] Y =y+ x xy −x y X =x− 20 Hình học vi phân 1. 3.3 Đường túc bế và đường thân khai Định nghĩa 8 Cho hai đường tham số chính qui α, β : I −→ R2 Ta nói α là đường túc bế của β và β là đường thân khai của α nếu với mọi t ∈ I, tiếp tuyến của α tại t là pháp tuyến của β tại t (đường thẳng đi qua β(t) với vector chỉ phương là n) Tìm đường túc bế Giả sử β là tham số hóa với tham số độ... tại s của đường cong Bổ đề 1. 2 .1 Cho đường tham số chính qui với tham số độ dài cung c : I −→ R3 , với k(s) > 0, ∀s ∈ I Khi đó hàm độ xoắn τ = 0 khi và chỉ khi c là một đường cong phẳng, nghĩa là vết của nó nằm trên một mặt phẳng Chứng minh Giả sử τ = 0 Theo công thức Frénet b = 0 Ta suy ra b = a (const.) với |a| = 1 Do b.t = 0, tức là a.c = 0, ta suy ra a.c = λ (const.) Chọn 11 Hình học vi phân s0 ∈... hàm hằng Vì α(s0 ) = α(s0), ta suy ra a = 0, tức là α = α = A ◦ β 2 16 Hình học vi phân 1. 3 Đường tham số trong R2 (Đường tham số phẳng) Nếu chọn hệ tọa thích hợp thì mọi đường tham số phẳng đều có thể xem như là đường tham số trong R2 Chính vì thế trong mục này chúng ta chỉ xét các đường tham số dạng c : I −→ R2 Giả sử c : I −→ R2 là đường tham số chính qui với tham số độ dài cung trong R2 với định... xúc không liên tục tai các điểm này) 28 Hình học vi phân 1. 4.2 Định lý bốn đỉnh Cho c : [0, l] −→ R2 , c(s) = (x(s), y(s)) là đường tham số đóng với tham số là độ dài cung s Chúng ta gọi chỉ đồ tiếp xúc (tangent indicatrix) của c là đường tham số t : [0, l] −→ R2 , t(s) = (x (s), y (s)) Đây là một đường tham số khả vi và vết của nó nằm trên đường tròn bán kính 1 Theo công thức Frénet t (s) = (x (s), . sinh vi n cũng như các đồng nghiệp. Huế, ngày 16 tháng 01 năm 2006 Tác giả i Mục lục 1 Lý thuyết đường 1 1 .1 Đườngthamsố 1 1 .1. 1 Định nghĩa đường tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 .1. 2. . . . . . . 24 ii Hình học vi phân 1. 4.2 Định lý bốn đỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 iii Chương 1 Lý thuyết đường 1. 1 Đường tham số Phép tính vi tích phân là công cụ chủ. đường tham số trong R 3 15 1. 3 Đường tham số trong R 2 (Đường tham số phẳng) . . . . . . . . . . 17 1. 3 .1 Định lý cơ bản cho đường tham số phẳng . . . . . . . . . . 19 1. 3.2 Đường tròn mật tiếp .