1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM PHÚC LONG VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên- Năm 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỤC LỤC Mở đầu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương I. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Khả vi Gateaux và khả vi Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.3 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương II. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI. 2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi . . . 3 1 2.1.1 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Tập Affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.3 Các định lý tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.6 Định lý cơ bản về dưới vi phân của tổng các hàm lồi . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Bài toán không có ràng bu ộc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, ai cũng mong muốn công việc hàng ngày của mình được h oàn thành một cách tốt nhất. Ai cũng tự đặt ra hai câu hỏi chính: Làm thế nào để công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì được cái gì? Như vậy, chẳng qua mọi người cũng phải giải các bài toán tối ưu của mình theo một nghĩa nào đó . Một vấn đề quan trọng nhất đặt ra cho mỗi bài toán tối ưu là: Với điều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có n ghiệm điều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, điều kiện càng đơn giản thì việc tìm nghiệm càng dễ. Biết được điều gì xảy ra nếu có lời giải, thì việc tìm ra lời giải càng dễ dàng hơn. Ta biết trong bài toán tối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập chấp nhận được ( hay tập ràng buộc) và Hàm mục tiêu xác định trên tập đó. Vậy thì khi xét đến điều kiện để tồn tại nghiệm tối ưu, ta phải quan tâm tới các điều kiện, tính chất của hai đối tượng ấy. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tìm ra phương pháp giải nghiệm, người ta thường phân loại các bài toán theo cấu trúc của tập chấp nhận được và tính chất hàm mục tiêu củ a bài toán. Trong luận văn này, tác giả đề cập tới hai loại bài toán chính sau: 1. Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức. Cụ thể: Cho X, Y là các không gian Banach, hàm f xác định trên X, ánh xạ F : X −→Y. Bài toán:  f(x) −→inf F(x) = 0. được gọi là bài toán tối ưu trơn vớ i ràng buộc đẳng thức nếu hàm f và ánh xạ F thỏa mãn tính trơn. 2. Bài toán tối ưu lồi. Cụ thể: Cho X là k hông gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, A ⊂ X là một tập lồi đóng không rỗng. f,g i : X −→ R = R∪{± ∞} và h j : X −→R là những hàm affine. Bài toán quy hoạch lồi tổng quát cho dưới dạng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 sau:        min f(x) x ∈ A g i (x) ≤ 0 (i = 1,2, ,m) h j (x) = 0 ( j = 1,2, , p). Trong giải tích cổ điển, ta đã biết định lý Weierstrass nổi tiếng: “ Một hàm số liên tục trên tập compact luôn đạt cực đại và cực tiểu”. Những mở rộng hay biến dạng khác nhau củ a định lý này chỉ ra nhiều điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu. Khi hàm số khả vi, một đ iểm là nghiệm tối ưu của bài toán không có r àn g buộc, thì đạo h àm của nó tại điểm này phải bằng không. Đó là điều kiện cần tối ưu. Khẳng định này vẫn còn đúng cho hàm lồi với đạo hàm được thay bằng dưới vi phân. Với ý tưởng như vậy, khi nghiên cứu một bài toán tối ưu có ràng buộc, người ta tìm cách đưa nó về một bài toán không có ràng buộc hoặc chỉ có những ràng buộc tương đối đơn giản. Có thể thấy điều đó trong các công trình nghiên cứu của Lagrange về tính biến phân từ cuối thế kỷ XVIII. Đó là: • Xây dựng hàm Lagrange cho bài toán tối ưu. • Tìm các điều kiện để hàm Lagrange đạt cực trị. Chính việc áp dụng rộng rãi nguyên lý nhân tử Lagrange trong các bài toán tối ưu đã khiến tác giả chọn đề tài nghiên cứu này. Luận văn trình bày hệ thống và chi tiết một số điều kiện tối ưu cho các bài toán tối ưu trơn, và bài toán tối ưu lồi được trình bày từ các tài liệu chuyên đề chính [1 −4], và có tham khảo thêm các tài liệu [5 −7]. Các điều kiện này được thể hiện thông qua các nhân tử Lagrange. Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, hai chương và phần tài liệu tham khảo. Chương I: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài toán tối ưu trơn. Đầu tiên chúng ta nhắc lại một số kiến thức về khả vi Gateaux, kh ả v i Frechet, định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn, sau đó trình bày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tại của vi phân cấp hai và nhân tử Lagran ge. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương II: Dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài toán tối ưu lồi. Tác giả trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi, định lý Moreau-Rockafellar, và định lý cổ điển Kuhn-Tucker về điều kiện cần và đủ của bài toán tối ưu lồi thông qua sự tồn tại của nhân tử Lagrange tương ứng với dưới vi phân tại điểm đó. Nhân d ịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, người đã trực tiếp giúp đỡ và chỉ b ảo tận tình tác giả tron g suốt quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả cũng bày tỏ tình cảm của mình trước s ự giúp đỡ, động viên của gia đình, bạn bè, và tập thể học viên cao học Toán K16-ĐHSPTN. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn được h oàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 8, năm 2010. Phạm Phúc Long Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ củ a bài toán tối ưu trơn thông qua sự tồn tại của các nhân tử Lagrange. Những kết quả này được tham khảo từ những tài liệu chuyên đề chính [1−4]. 1.1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong mục này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm về khả vi Gateaux, khả vi Frechet, định lý Hahn-Banach, định lý Ljusternik và định lý hàm ẩn. 1.1.1. Khả vi Gateaux và khả vi Frechet. Định Nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian tôpô tuyến tính, U là lân cận của x ∈X, ánh xạ F : U −→Y. Ánh xạ F được gọi là khả vi Gateaux tại x nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F  (x) : X −→Y thỏa mãn: lim t→0 F(x+th) −F(x) −tF  (x)h t = 0. ∀h ∈ X. Định Nghĩa 1.2. Cho X, Y là các không gian Banach, U là lân cận của x ∈ X, ánh xạ F : U −→Y. Ánh xạ F được gọi là khả vi Frech et tại x nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F  (x) : X −→Y thỏa mãn: lim h→0 F(x+ h) −F(x) −F  (x)h ||h|| = 0. Định Nghĩa 1.3. Cho U là tập con mở trong không gian X, ánh xạ F : X −→Y với X,Y là các không gian Banach. Nếu với mọi điểm của tập U, tồn tại đạo hàm F  (x) và ánh xạ x −→ F  (x) là liên tục trong không gian L(X,Y) trên U thì F gọi là khả vi liên tục trên U , hoặc ánh xạ thuộc lớp C 1 trên U . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Định Nghĩa 1.4. Ta nói r ằn g, ánh xạ F : X −→Y là chính quy tại điểm x nếu nó khả v i Frechet tại điểm đó, và ImF  (x) = Y. Định Nghĩa 1.5. Cho hàm số f(x) xác định trên không gian tôpô tuyến tính X. Điểm x ∈ X thỏa mãn f  (x) = 0 được gọi là điểm dừng. Định Nghĩa 1.6. Cho Ω là miền mở, giới nội trong R n . Hàm số f : Ω −→ R với x ∈ Ω, x = (x 1 , ,x n ). Giả sử f có các đạo hàm riêng ∂ f ∂ x i (x), (i = 1, ,n), thì vectơ  ∂ f ∂ x 1 (x), , ∂ f ∂ x n (x)  gọi là Gradient của f tại x. Kí hiệu: ∇f(x) =  ∂ f ∂ x 1 (x), , ∂ f ∂ x n (x)  . Ma trận J =  ∂ f ∂ x 1 (x), , ∂ f ∂ x n (x)  gọi là Jacobian của f tại x. Nếu ∂ f ∂ x i (x) có các đạo hàm riêng thứ j với ( j = 1, ,n), đạo hàm riêng này được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo các biến i, j của f tại x, và được kí hiệu là ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j (x), i, j = 1, ,n. Ma trận H =  ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j (x)  ,i, j = 1, ,n. được gọi là Hessian của f tại x. Ví Dụ 1.1. Tính khả vi của một số hàm và ánh xạ. 1) Trong R 2 hàm f(x 1 ,x 2 ) được cho bởi công thức.  1 nếu x 1 = x 2 2 0 Trong các trường hợp còn lại. là khả vi Gateaux tại gốc tọa độ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 2) Ánh xạ affine. Một ánh xạ A : X −→Y với X,Y là các không gian tuyến tính được gọi là affine nếu: A(x) = λ x+a. trong đó a ∈Y và λ : X −→Y là ánh xạ tuyến tính. Nếu X,Y là các không gian Banach, λ là ánh xạ tuyến tính liên tục, thì ánh xạ A là khả vi Frechet tại mọi điểm và A  (x) = λ . Đạo hàm cấp hai của A là: A  (x) = 0. (điều này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa). Nói riêng, đạo hàm Frechet của hàm affine a(x) = x ∗ ,x. là a  (x) = x ∗ tại ∀x. 3) Hàm Bậc Hai. Cho X là khôn g gian Banach, B(x 1 ,x 2 ) là hàm son g tuyến tính liên tục trên X ×X, và Q(x) = B(x,x) là một dạng toàn phương. Về bản chất: Q(x+ h) = B(x+h,x+ h) = B(x,x) + B(x,h) +B(h,x) +B(h,h) = Q(x) + B(x,h)+ B(h,x) +o(||h||), (khi h −→ 0). Do đó hàm Q(x) là khả vi Frechet và: Q  (x)h = B(x,h) + B(h,x). Nói riêng, nếu X là không gian Hilbert thì mọi dạng bậc hai có thể biểu diễn dưới dạng Q(x) = 1 2  λ x,x, với λ ∈ L(X,Y), λ ∗ = λ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Và Q  (x) = λ x. Trong không gian hilbert, tổng của một dạng bậc hai với một hàm affine K(x) = 1 2  λ x,x+ x,a+ α . gọi là hàm bậc hai. Khi đó K  (x) = λ x+a. và K  (x) = λ . các đạo hàm còn lại bằng không. Đặc biệt, nếu hàm e(x) = 1 2 ||x|| 2 = 1 2 x,x. thì e  (x) = x. e  (x) = I. e  (x) = ···= 0. 4) Chuẩn trong không gian Hilbert. Hàm số f(x) = ||x|| là khả vi Frechet tại mọi điểm khác không và f  (x) = x ||x|| . Tiếp theo chúng ta nhắc lại định lý Hahn-Banach, toán tử liên hợp, và một bổ đề quan trọng đó là, bổ đề về linh hóa tử (annihilator). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1.1.2. Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử. Định Lý 1.1. (Hahn-Banach). Cho X là không gian tôpô tuyến tính, A ⊂ X là tập lồi mở, L ⊂X là một không gian con rời A. Khi đó, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục x ∗ trên X thỏa mãn • x ∗ ,x> 0 với ∀x ∈ A. • x ∗ ,x= 0 với ∀x ∈ L. Chúng ta chú ý rằng, tập L ⊥ = { x ∗ ∈ X ∗ | x ∗ ,x = 0, ∀x ∈L} được gọ i là linh hóa tử của L. Hệ Quả 1.1. Cho L là một không gian con đóng của một không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương, thì linh hóa tử của L chứa ít nhất một phần tử khác không. Định Nghĩa 1.7. (Toán tử liên hợp) Cho X,Y là các không gian tuyến tính lồi địa phương, λ : X −→Y là toán tử tuyến tính liên tục. Khi đó, toán tử liên hợp λ ∗ : Y ∗ −→ X ∗ được xác định bởi  λ ∗ y ∗ ,x= y ∗ , λ x với ∀y ∗ ∈Y ∗ , x ∈X. Bổ Đề 1.1. (Bổ đề về linh hóa tử) Cho X,Y là các không gian Banach, λ : X −→Y là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn Im λ = Y. Khi đó (Ker λ ) ⊥ = I m λ ∗ . Định Lý 1.2. Cho ánh xạ F : X −→R n và F(x) =  f 1 (x), , f n (x)  là khả vi Frechet tại x 0 . Ánh xạ F là chính quy tại x 0 nếu và chỉ nếu các vectơ f  1 (x 0 ), , f  n (x 0 ) là độc lập tuyến tính. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... của hệ quả (1.3) cũng được suy ra trực tiếp từ định lý (1.10) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ của bài toán tối ưu lồi, thông qua việc sử dụng các nhân tử Lagrange và khái niệm về dưới vi phân Các kết quả của chương này là của A D... tìm được là cực tiểu địa phương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 28 1.2.3 Trường hợp tổng quát Trở lại bài toán (P1 ), những kết quả sau là tổng quát từ những trường hợp cụ thể, và được thể hiện thông qua định lý (1.10) và hai hệ quả quan trọng sau Định Lý 1.10 (Nguyên Lý Nhân Tử Lagrange) Cho hàm f và ánh xạ F khả vi Frechet tại x thỏa mãn F(x) = 0, với... kiện chính quy, suy ra y∗ = 0 Điều này mâu thuẫn với điều kiện của các nhân tử Lagrange là không đồng thời bằng không Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 30 • Phương trình (1.21) được gọi là phương trình Euler -Lagrange của bài toán (P1 ) Từ phương trình này ta thấy, x là điểm dừng của hàm Lagrange Chúng ta có hai trường hợp đặc biệt của bài toán (P1 ) 1) Trường... quyết bằng nhiều phương pháp Hàm Lagrange của bài toán (P2 ) có dạng L(x, y, λ ) = f (x, y) + λ h(x, y)   ∇L =  ∂f ∂x ∂f ∂y + λ ∂h ∂x ∂h + λ ∂y h(x, y) T   = (∇ f + λ ∇h, h) Suy ra ∇L = 0 do hệ phương trình phi tuyến (1.5) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Giá trị λ gọi là nhân tử Lagrange Phương pháp xây dựng hàm Lagrange và thiết lập để các gradient... = 0 gọi là ràng buộc đẳng thức • Ω = {x ∈ X : F(x) = 0} gọi là tập chấp nhận được Hàm Lagrange của bài toán (P1 ) được thiết lập như sau L(x, λ0 , y∗ ) = λ0 f (x) + y∗ , F(x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên với λ0 ∈ R, y∗ ∈ Y ∗ http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 trong đó λ0 và y∗ gọi là các nhân tử Lagrange Để có một cái nhìn trực quan, chúng ta xét bài toán trong trường hợp cụ thể sau... Đại học Thái Nguyên ∇ f (x)y = 0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 21 Định Lý 1.7 (Điều Kiện Cần Cấp Một) Cho x là cực trị địa phương của bài toán (P3 ) Giả sử rằng x là điểm chính quy của các ràng buộc h j (x) = 0, j = 1, , m Khi đó, tồn tại λ ∈ Rm sao cho ∇ f (x) + λ T ∇h(x) = 0 Chứng minh Từ định lý (1.6) ta suy ra rằng, giá trị của bài toán max ∇ f (x)y ∇h(x)y = 0 là bằng không Theo định lý đối ngẫu... Nhận Xét 1.2 Thực ra, không cần các điều kiện của định lý (1.3) mà chỉ dựa vào định nghĩa của vectơ tiếp xúc với tập M tại x0, ta có thể chứng minh được: TM (x0 ) ⊂ Ker F (x0 ) Ý nghĩa thực tế của định lý Ljusternik là chuyển công việc tìm không gian tiếp xúc của một tập (điều mà không dễ dàng tìm được theo định nghĩa) về việc tìm hạch của một toán tử Giả sử ta có hệ gồm m phương trình với n biến số:... (x), φ2 (x), , φm (x), x) = 0, i = 1, , m Định lý hàm ẩn sẽ giúp ta chứng minh cách xác định không gian tiếp xúc của mặt ràng buộc sẽ được trình bày ở phần sau 1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn Trong mục này chúng ta trình bày điều kiện cần cấp một và điều kiện cần đủ cấp hai thông qua sự tồn tại của vi phân cấp hai và nhân tử Lagrange Đây chính là trường hợp ta hay gặp trong thực... đặc biệt của bài toán (P1 ) 1) Trường hợp 1: Cho X,Y là các không gian hữu hạn chiều, khi đó bài toán có dạng (P5 ) f0(x) −→ in f f1(x) = 0, , fn (x) = 0 (1.22) trong đó, các nhân tử Lagrange là các số λ0, , λn sao cho hàm Lagrange có dạng n L(x, λ0 , , λn ) = ∑ λi fi (x) i=0 Hệ Quả 1.2 Cho các hàm số f0 , , fn thuộc lớp C1 tại x thỏa mãn điều kiện (1.22) Khi đó, nếu x là cực tiểu địa phương... λ gọi là nhân tử Lagrange Phương pháp xây dựng hàm Lagrange và thiết lập để các gradient của nó bằng không, gọi là phương pháp nhân tử Lagrange Ví Dụ 1.2 Tìm các giá trị cực trị của hàm f (x, y) = xy với ràng buộc h(x, y) = x2 y2 + − 1 = 0 8 2 Giải Đầu tiên, ta xây dựng hàm Lagrange và tìm gradient của nó x2 y2 L(x, y, λ ) = xy + λ ( + − 1) 8 2   y + λ4x   ∇L(x, y, λ ) =  x + λ y  = 0 2 x2 + y . 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM PHÚC LONG VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG. Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Giá trị λ gọi là nhân tử Lagrange. Phương pháp xây dựng hàm Lagrange và thiết lập để các gradient của nó bằng không, gọi là phương pháp nhân tử Lagrange. Ví. tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 CHƯƠNG I: NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN Chương này dành để trình bày các kết quả về điều kiện cần đủ củ a bài toán