Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân Mục lục Mục lục 1 Lời cảm ơn 3 Lời mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Nhóm 6 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số . . . . . . 10 1.2.3 Biến đổi vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.5 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.6 Hàmbấtbiến 23 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Địnhnghĩa 24 1.3.2 Toán tử sinh vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.3 ĐạisốLie 32 1.3.4 Đại số Lie giải đ-ợc . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 www.VNMATH.com Mục lục 2 2 ứng dụng tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 37 2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi phâncấpI 37 2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số vào giải ph-ơng trình vi phân cấp I . . . . . . . . . . 40 2.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao . 43 2.2.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số độc lập, một tham số phụ thuộc . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Ví dụ ứng dụng Đại số Lie vào giải ph-ơng trình vi phânbậccao 49 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 2 www.VNMATH.com Lời cảm ơn 3 Lời cảm ơn Trong suốt thời gian làm khóa luận, tôi đã nhận đ-ợc sự h-ớng dẫn rất tận tình, chu đáo của TS Đặng Anh Tuấn. Mặc dù ở xa nh-ng Thầy vẫn th-ờng xuyên h-ớng dẫn, động viên tôi cố gắng hoàn thiện đ-ợc khoá luận này. Tôi xin đ-ợc bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Đặng Đình Châu, Thầy đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh khóa luận mà còn về ph-ơng pháp học tập và nghiên cứu, tôi rất trân trọng những góp ý của Thầy, đó cũng là động lực để tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi cũng xin cảm ơn ThS Ninh Văn Thu đã giải đáp thắc mắc, đóng góp những ý kiến giúp tôi hoàn thành khoá luận này; đồng thời tôi xin đ-ợc gửi lời cảm ơn tới các Thầy, Cô trong Bộ môn Giải tích; các Thầy, Cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học - tr-ờng ĐH Khoa Học Tự Nhiên - ĐHQGHN đã giảng dạy, dìu dắt tôi trong suốt 4 năm qua. Khóa luận cũng đ-ợc hoàn thành với sự động viên tinh thần của gia đình và bạn bè. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất về tất cả sự giúp đỡ quý báu đó! Hà Nội, ngày 21 tháng 5 năm 2009 Sinh viên: Nguyễn Thị Hồng Xuân 3 www.VNMATH.com Lời mở đầu 4 Lời mở đầu Trong toán học, một nhóm Lie, đ-ợc đặt tên theo nhà toán học ng-ời Na Uy là Sophus Lie, là một nhóm cũng là một đa tạp trơn (differentiable manifold), với tính chất là các toán tử nhóm t-ơng thích với cấu trúc trơn. Nhóm Lie đại diện cho lý thuyết phát triển của các đối xứng liên tục của các cấu trúc toán học. Điều này đã làm nhóm Lie là công cụ cho gần nh- tất cả các ngành toán hiện đại, và vật lý lý thuyết hiện đại, đặc biệt là trong vật lý hạt. Bởi vì các nhóm Lie là các đa tạp, chúng có thể đ-ợc nghiên cứu sử dụng giải tích vi phân (differential calculus), t-ơng phản với tr-ờng hợp các nhóm tôpô tổng quát hơn. Một trong những ý t-ởng chính trong lý thuyết về nhóm Lie, đề ra bởi Sophus Lie là thay thế cấu trúc toàn cục, nhóm, với phiên bản mang tính địa ph-ơng của nó hay còn gọi là phiên bản đã đ-ợc làm tuyến tính hoá, mà Lie gọi là một nhóm cực nhỏ mà bây giờ đ-ợc biết đến nh- là đại số Lie. Nhóm Lie đã cung cấp một ph-ơng tiện tự nhiên để phân tích các đối xứng liên tục của các ph-ơng trình vi phân (lý thuyết Picard-Vessiot), trong một cách thức nh- các nhóm hoán vị (permutation group) đ-ợc sử dụng trong lý thuyết Galois để phân tích các đối xứng rời rạc của các ph-ơng trình đại số. Trong bài khoá luận này, tác giả xin trình bày một số nghiên cứu cơ bản về nhóm Lie một tham số, nhóm Lie 2 tham số và các ứng dụng của chúng trong việc giải ph-ơng trình vi phân. Các bài toán và ví dụ đ-ợc trình bày trong khóa luận đ-ợc trích dẫn từ cuốn Symmetry anh Integration 4 www.VNMATH.com Lời mở đầu 5 Methods for Differential Equations của George W.Bluman and Stephen C. Anco. Đây là tài liệu chính đ-ợc sử dụng trong khoá luận này. Tác giả xin đ-ợc trình bày chi tiết các chứng minh và các ví dụ cụ thể để đ-a ra những nguyên lý nền tảng nh-: cấu tạo và tính chất cơ bản của nhóm Lie, cách áp dụng lý thuyết nhóm Lie trong giải PTVP. Cấu trúc của khóa luận gồm 2 ch-ơng: Ch-ơng1: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm, nhóm các phép biến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số. Trong phần này, trình bày Định nghĩa nhóm Lie hai tham số, Đại số Lie, tính giải đ-ợc. Ví dụ minh họa. Ch-ơng2: ứng dụng của tính đối xứng vào việc giải ph-ơng trình vi phân 1.1 ứng dụng nhóm Lie các phép biến đổi một tham số để giải ph-ơng trình vi phân cấp 1. 1.2 ứng dụng Đại số Lie để giải ph-ơng trình vi phân cấp cao. Mặc dù đã rất cố gắng nh-ng do thời gian và trình độ còn hạn chế nên khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đ-ợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý Thầy, Cô và các bạn. 5 www.VNMATH.com Ch-ơng 1 Kiến thức chuẩn bị Chúng ta bắt đầu với việc định nghĩa nhóm, xét đến nhóm các phép biến đổi và đặc biệt là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số. Trong tr-ờng hợp này các phép biến đổi đều thực hiện trên R 2 . 1.1 Nhóm Định nghĩa 1.1.1. Cho tập hợp G cùng với phép toán : G ì G G. (G, ) đ-ợc gọi là một nhóm nếu thoả mãn các tiên đề 1) Tính đóng: Nếu a, b G thì (a, b) G. 2) Tính kết hợp: Với mọi phần tử a, b, c G bất kỳ thì (a, (b, c)) = ((a, b),c). 3) Phần tử đơn vị: Tồn tại duy nhất phần tử đơn vị e G sao cho với mọi phần tử a G: (a, e)=(e, a)=a. 4) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a bất kỳ thuộc G, tồn tại duy nhất phần tử nghịch đảo a 1 G sao cho (a, a 1 )=(a 1 ,a)=e. 6 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 7 Định nghĩa 1.1.2. Nhóm (G, ) đ-ợc gọi là nhóm Abel nếu (a, b)=(b, a), với mọi phần tử a, b G. Định nghĩa 1.1.3. Cho (G, ) là một nhóm với phần tử đơn vị e, A G, khi đó tập A cùng với phép toán đ-ợc gọi là nhóm con của nhóm (G, .) nếu thoả mãn các điều kiện 1) Với mọi phần tử a, b A thì (a, b) A. 2) Phần tử đơn vị e A. 3) Với phần tử a bất kỳ thuộc A, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 A sao cho (a, a 1 )=(a 1 ,a)=e. Ví dụ 1.1.4. Cho G = Z - là tập các số nguyên với phép toán cộng (a, b)=a + b. i) ánh xạ : Z ìZ Z vì tổng a + b là các số nguyên khi a, b là các số nguyên. ii) Lấy phần tử a, b, c Z ta có a +(b + c)=(a + b)+c. iii) Phần tử đơn vị e =0 Z thoả mãn a +0=0+a = a, a Z. iv) Với mọi a Z, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 = a thỏa mãn a +(a)=(a)+a =0. Vậy (Z, +) là một nhóm. Vì a + b = b + a với mọi a, b Z nên (Z, +) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.5. Cho G = R + là tập các số thực d-ơng với phép toán nhân (a, b)=a.b i) ánh xạ : R + ì R + R + vì tích a.b là số thực d-ơng khi a, b là các số thực d-ơng. 7 www.VNMATH.com 1.1. Nhóm 8 ii) Với các phần tử a, b, c R + bất kỳ, ta có ((a, b),c)=(a.b).c = a.(b.c)=(a, (b, c)). iii) Tồn tại phần tử đơn vị e =1thoả mãn a.1=1.a = a, với mọi phần tử a R + . iv) Với mọi phần tử a R + bất kỳ, tồn tại phần tử nghịch đảo a 1 = 1 a thoả mãn a. 1 a = 1 a .a =1. Vậy (R + ,.) là một nhóm. Vì a.b = b.a với mọi a, b R + nên nhóm (R + ,.) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.6. Cho S = { : 1 <<+} với phép toán giữa các tham số đ-ợc cho bởi (, )= + + . i) Ta sẽ chứng minh ánh xạ đi từ S ì S vào S, nghĩa là (, ) S, khi , S. Lấy , S =(1, +). Vì (1, +) nên +1> 0. T-ơng tự +1> 0 Suy ra ( + 1)( +1)> 0. Vậy + + (1, +). ii) Tính kết hợp: Với ,, (1, +) bất kỳ, (, (, )) = +( + + )+( + + ) = + + + + + + =(( + + )+)+( + + ) = ((, ),). iii) Phần tử đơn vị e =0 (1, +) thỏa mãn (, 0) = (0,)=0+ +0. = . iv) Phần tử nghịch đảo: Với phần tử (1, +) bất kỳ tồn tại 1 sao cho: (, 1 )=( 1 ,)= + 1 + 1 =0. 8 www.VNMATH.com 1.2. Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 9 Suy ra 1 = 1+ (1, +). Vậy (S, ) là một nhóm. Vì (, )= + + = + + = (, ) nên (S, ) là nhóm Abel. Ví dụ 1.1.7. Cho G = R 2 với phép toán =(, )=( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ), =( 1 , 2 ) R 2 ; =( 1 , 2 ) R 2 . i) ánh xạ : R 2 ì R 2 R 2 vì ( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ) R 2 vì , R 2 . ii) Với các phần tử ,, bất kỳ, ta có ((, ),)=(( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ),) =( 1 + 1 + 1 ,e 1 (e 1 2 + 2 )+ 2 ) =( 1 +( 1 + 1 ),e ( 1 + 1 ) 2 + e 1 2 + 2 ) = (, (, )). iii) Phần tử đơn vị e =(0, 0) thoả mãn (, e)=( 1 +0,e 0 2 +0)=( 1 , 2 )=. iv) Với mọi phần tử R 2 , ta xác định phần tử nghịch đảo 1 Ta có: (, 1 )=e nên suy ra ( 1 + 1 1 ,e 1 1 2 + 1 2 )=(0, 0). Suy ra 1 =( 1 , 2 e 1 ) R 2 . Vậy (R 2 ,) là một nhóm. Vì (, )=( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 ) =( 1 + 1 ,e 1 2 + 2 )=(, ) nên (R 2 ,) không là nhóm Abel. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 1.2.1 Nhóm các phép biến đổi Định nghĩa 1.2.1. Cho D R 2 ,S R, (S, ) là một nhóm có phần tử đơn vị e S. 9 www.VNMATH.com [...]... với hàm vi phân là (x) nhóm Lie các phép biến đổi một tham số sẽ trở thành dx = (x), d 19 (1.22) www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 20 với điều kiện ban đầu (1.23) x = x khi = 0 Định nghĩa 1.2.9 Toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi một tham số là toán tử X = X(x) = (x) với = 1 (x) + 2(x) x1 x2 (1.24) là toán tử gradient: = , x1 x2 với mọi hàm khả vi F (x)... gọi là biến đổi vi phân của nhóm Lie các (x) = phép biến đổi (1.1) Các thành phần của (x) đ-ợc gọi là vi phân của phép biến đổi (1.1) Một vấn đề đặt ra là nếu chỉ cho biết (x) thì liệu rằng ta có thể biết đ-ợc biến đổi X(x; ) hay không? Chúng ta cùng tìm hiểu về Định lý Lie cơ bản thứ nhất để giải quyết vấn đề này 1.2.4 Định lý Lie cơ bản thứ nhất Tr-ớc tiên ta xét bổ đề Bổ đề 1.2.5 Nhóm Lie các phép... x1 x2 x2 + 2(x) , 1 (x) + 2(x) x1 x2 x1 x2 = ((x1), (x2))(x) Theo định lý Lie thứ nhất từ nhóm Lie các phép biến đổi một tham số ta xác định đ-ợc toán tử sinh vi phân Định lý d-ới đây chỉ ra rằng bằng vi c sử dụng toán tử sinh vi phân (1.23) ta dẫn đến thuật toán tìm nghiệm t-ờng minh của bài toán Cauchy Định lý 1.2.10 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số t-ơng đ-ơng với 1 1 x = e x = x+Xx+ 2 X 2x+ã... f = (bc ad) = (bc ad)X2 x Do vậy đại số Lie L đ-ợc xác định bởi tích Lie [X1 , X2] và tích Lie [aX1 + bX2, cX1 + dX2 ] trên không gian R2 Trong tr-ờng hợp tổng quát, ta có thể xây dựng giao hoán tử [X1, X2 ] bằng đối số d-ới đây: Đặt G2 = X(x, ) là nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số Nhóm Lie một tham số () bất kỳ là nhóm con của G2 có toán tử sinh vi phân t-ơng ứng trong L2 Ví dụ cho X1 L2 t-ơng... 1i (x) j (x) = xi xi i=1 (1.64) (1.65) Dễ dàng thấy rằng [X , X ] = [X , X] 32 (1.66) www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 33 Định lý 1.3.6 (Định lý Lie cơ bản thứ hai) Hoán tử của 2 toán tử sinh vi phân của nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số cũng là một toán tử sinh vi phân Đặc biệt, [X1 , X2] = aX1 + bX2 , (1.67) trong đó, hệ số a, b là những hằng số thực Chứng minh: Chứng... )) Vậy X((x, y); ) là nhóm Lie các phép biến đổi một tham số Ví dụ 1.2.4 (Nhóm Scalings) Xét nhóm x = x, y = 2 y, 0 < < + 12 www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham số 13 Và phép toán giữa các tham số (, ) = Vì phần tử đơn vị là = 1 nên nhóm các phép biến đổi này đ-ợc tham số hoá lại với số hạng = 1 nên = 1 + Khi đó, x = (1 + )x, y = (1 + )2 y; 1 < < + Nhóm Scaling đ-ợc cho... xét ví dụ cho nhóm phép quay x = x cos + y sin , (1.33) y = x sin + y cos Phép biến đổi vi phân của hệ (1.33) dx (x ) = (1(x, y); 2(x, y)) = d dy , =0 d = (y, x) =0 Toán tử sinh vi phân của hệ (1.33) X = 1 (x, y) + 2(x, y) =y x x y x y Chuỗi Lie t-ơng ứng với hệ (1.34) là (x , y ) = (eX x, eY y) Khi đó, Xx = y x x y y x = y, Xy = y x = x x y x y 22 (1.34) www.VNMATH.com 1.2 Nhóm Lie các phép... trận nghịch đảo của () () = 1 () (1.41) Định lý 1.3.2 (Định lý Lie cơ bản thứ nhất) Nhóm Lie các phép biến đổi 2 tham số tại lân cận của = 0 t-ơng ứng với nghiệm bài toán giá trị ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I X1 X2 1 1 X X = ()(x ) 1 2 2 2 (1.42) với điều kiện ban đầu x = x khi = 0 25 (1.43) www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số Chứng minh: Ta X1 (x, ) 1 ... www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 27 Taylor theo biến thứ hai 1 1 1 1 ( , ) + O(|h1|2), 1 ( , ) + O(|h1|2 ))) X1(X(x, ), (1 1 1 X1 1 1 (X(x, ), 0) 1 ( , ) + O(|h1|2 ) = X1 (X(x, ), 0) + 1 1 2 1 X1 (X(x, ), 0) 1 ( , ) + O(|h1|2) + O(|h1|2) + 2 1 mà X1 (X(x, ), 0) = X1(x, ) nên ta có (1.45) 1.3.2 Toán tử sinh vi phân Định nghĩa 1.3.3 Toán tử sinh vi phân X ứng với tham số của nhóm Lie các... www.VNMATH.com 1.3 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số 31 là ma trận (1.53) Kiểm tra lại hệ (1.42) - (1.43) Giải bài toán giá trị ban đầu của hệ ph-ơng trình vi phân cấp I x 1 y 1 x 2 y 2 = x 2, = 2y , (1.58) = 1, = 0, với x = y, y = y khi 1 = 0, 2 = 0, dẫn đến hệ (1.51) Toán tử sinh vi phân t-ơng ứng với hệ (1.51) + 2y , x y X2 = x X1 = x (1.59) Với mọi hàm F (x, y) khả vi vô hạn, ta có . Luận văn Nhóm Lie phương trình vi phân Mục lục Mục lục 1 Lời cảm ơn 3 Lời mở đầu 4 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Nhóm 6 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi một tham. giải ph-ơng trình vi phân 37 2.1 ứng dụng nhóm Lie một tham số vào giải ph-ơng trình vi phâncấpI 37 2.1.1 Hệ toạ độ chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2 ứng dụng nhóm Lie các. phép biến đổi, nhóm Lie các phép biến đổi một tham số; Biến đổi vi phân, Toán tử sinh vi phân, Định lý cơ bản Lie thứ nhất.Ví dụ. 1.2 Nhóm Lie các phép biến đổi hai tham số. Trong phần này, trình bày