ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN DŨNG NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Phát biểu toán 1.2 Sù tån t¹i nghiƯm 1.3 Một số toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Bài toán quy ho¹ch låi 14 14 1.3.2 Bài toán hệ phương trình 16 1.3.3 Bài toán bù 17 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu 20 2.1 Điểm bất ®éng 20 2.2 Ph­¬ng pháp đạo hàm tăng cường 24 2.3 Phương pháp hình chiếu siêu phẳng 27 Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm đánh giá 33 3.1 Hàm đánh giá (Gap function) 33 3.1.1 Hàm đánh giá Auslender 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3.1.2 Hàm đánh giá Fukushima 3.1.3 35 Hàm đánh giá không ràng buéc ( D - Gap function ) 40 3.2 Thuật toán dựa hàm đánh giá 43 3.2.1 Thuật giải toán dựa hàm đánh giá cd (.) 3.2.2 Thuật toán dựa hàm đánh giá Fukushima 43 γc (.) 44 KÕt luËn 47 Tài liệu tham khảo 48 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Bất đẳng thức biến phân ứng dụng réng r·i nhiỊu lÜnh vùc kh¸c nh­ kinh tế, kỹ thuật, vận trù học, vật lý toán Gần đây, toán tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức biến phân (còn gọi ràng buộc cân bằng) đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trò quan trọng lý thuyết toán học ứng dụng thực tế Một hướng nghiên cứu quan trọng bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đà nghiên cứu như: phương pháp địa phương toàn cục dựa việc chuyển toán hệ phương trình, phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn, phương pháp dựa cách tiếp cận điểm bất động Mục đích luận văn nhằm trình bày thuật toán giải bất đẳng thức biến phân dựa phương pháp hình chiếu phương pháp hàm đánh giá Luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức bất đẳng thức biến phân, điều kiện tồn nghiệm số toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Trong chương giới thiệu thuật toán hình chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, mà cụ thể phương pháp đạo hàm tăng cường phương pháp hình chiếu siêu phẳng Chương đưa thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa vào hàm đánh giá Các thuật toán dựa hàm đánh giá Anslender hàm đánh giá hiƯu chØnh Fukushima Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn GS Lê Dũng Mưu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy công tác giảng dạy với hướng dẫn tận tình thời gian tác giả học cao học hoàn thành luận văn Trong trình học tập, tác giả đà nhận quan tâm giúp đỡ giảng dạy nhiệt tình PGS Đỗ Văn Lưu, PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS Tạ Duy Phượng, GS Trần Vũ Thiệu, TS Nguyễn Thị Thu Thủy, nhiều Thầy, Cô công tác Viện Toán Học, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trường đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, Cô Xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Thị Thu Thủy đà động viên, giúp đỡ tác giả nhiều suốt trình học tập Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Thầy, Cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin chân thành cảm ơn BGH trường Cao đẳng sư phạm ĐăkLăk, BCN khoa Tự Nhiên, đà tạo nhiều điều kiện thuận lợi thời gian tác giả học cao học Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn học viên cao học, bạn bè, đồng nghiệp, học trò Đặc biệt cảm ơn học trò Trần Thị Cẩm Nhung Nguyễn Thị Thạch Thảo, đà giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Luận văn không hoàn thành thiếu thông cảm, chia sẻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn động viên kịp thời gia đình Xin gửi tới gia đình lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tác giả Phạm Văn Dũng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân (được viết tắt - VIP) công cụ mạnh, sư dơng nhiỊu lÜnh vùc kh¸c cđa to¸n học ứng dụng Nhiều toán lý thuyết tối ưu, kinh tế vật lý toán dẫn đến toán bất đẳng thức biến phân 1.1 Phát biểu toán Bài toán VIP mặt hình thức định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 ánh xạ ( Xem [7] Định nghĩa 1.1) Cho tập x∗ cđa Rn F : K −→ Rn Bµi toán bất đẳng thức biến phân ký hiệu tìm K V IP (K; F ), toán cho: x∗ ∈ K, F (x∗ ), x − x 0, x K Tập hợp điểm ký hiệu (1.1) x thỏa mÃn (1.1) gäi lµ tËp nghiƯm cđa V IP (K; F ) SOL − V IP (K; F ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Sau đây, giả sử F ánh xạ liên Sự tồn nghiệm Định lý ánh xạ 1.2.1 ( Xem [4] Định lý Brower) Cho F : K K Bổ đề 1.2.2 gian tập lồi đóng K tục 1.2 K liên tục, F ( Xem [4] Bổ đề 2.1) Cho K Rn compact lồi, phải có ®iĨm bÊt ®éng K lµ mét tËp låi ®ãng không Rn Khi với x Rn , cã nhÊt y ∈ K , cho: x − y = inf x − η (1.2) K Điểm y thỏa mÃn (1.2) gọi hình chiếu vuông góc x lên K ta viết: y = P rK x Chó ý r»ng: P rK x = x, ∀x ∈ K Chøng minh: Cho ηk ∈ K lµ mét d·y cùc tiĨu hãa, tøc lµ ηk tháa m·n: lim ηk − x = d = inf η − x k→∞ (1.3) η∈K Tõ quy luật hình bình hành, ta có: x+y =2 x + y , x, y ∈ Rn + x − ηh − x − (ηk + ηh ) + xy áp dụng công thức thì: k ηh = x − ηk Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.4) Do K tập lồi nên: (ηk + ηh ) ∈ K, vµ d2 ≤ x − (ηk + ηh ) , v× vËy: ηk − ηh ≤ x − ηk + x − ηh − 4d2 , vµ tõ (1.3) ta kÕt luËn r»ng: lim ηk − ηh = k→∞ Do ®ã, cã mét giá trị yK cho lim k = y k Ngoµi ra, x − y = lim x − ηk = d k Để thấy y nhất, cần quan sát giá trị mÃn (1.2) đưa vào công thức (1.4) thay vÞ trÝ cđa y, y ∈ K tháa ηk , h Điều cho thấy yy =2 xy +2 x−y − x − (y + y ) 2 ≤ 4d2 − 4d2 = 0, hay: y=y Định lý gian 1.2.3 ( Xem [4] Định lý 2.3) Cho K tập lồi đóng không Rn , y = P rK x hình chiếu x lên K khi: y ∈ K : y, η − y ≥ x, η − y ∀η ∈ K Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (1.5) ã Hàm không khả vi toán xác định giá trị hàm đánh giá nghiệm, không nghiệm Định lý sau cho ta điều kiện để hàm Định lý 3.1.1 ( Xem [7] Định lý 2.1) Cho không rỗng cho O Rn A (.) khả vi K Rn tập mở không rỗng, tập lồi, đóng K O Giả sử: ãf : O ì K ã (x, y) f (x, y) R liên tục O ì K x f (., ) tồn liên tục Xác định hàm O ì K g : O −→ R ∪ {+∞} bëi: g(x) ≡ supf (x, y) x O yK Cho xO vectơ cho tr­íc, vµ tËp: M(x) ≡ {y ∈ K|g(x) = f (x, y)} Giả sử: Tồn N (x) l©n cËn cđa x cho M(x) = ∅ ∀x N (x) Giả sử thêm: M(x) bị chặn xN (x) Khi đó, hai phát biểu sau đúng: (i) g(.) khả vi x ta có: g (x; d) = sup x f (x, y), d yM(x) (ii) Nếu M(x) = {y(x)}, g(.) đạo hàm x g(x) = x f (x, y(x)) 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3.1.2 Hàm đánh giá Fukushima Chú ý cộng thêm hàm lõm mạnh vào hàm mục tiêu ta hàm lõm mạnh, toán cực đại hàm lõm mạnh tập K tồn nghiệm A (.) việc Dựa quan sát này, ta chuẩn hóa hàm đánh giá thêm hàm bậc hai lâm m¹nh sau: y −→ − c x−y 2 vµo hµm tuyÕn tÝnh: y −→ F (x), x − y , ®ã c > Bëi vËy, đưa vào định nghĩa sau đây: Định nghĩa 3.1.2 F ( Xem [7] Định nghĩa 2.1) Cho trước xác định tập mở V IP (K, F ), với O K , c > Hàm đánh gi¸ Fukushima chn hãa cđa V IP (K, F ), gọi c (.), định nghĩa sau: Với x O, đặt: c (x) := sup F (x), x − y − y∈K c x−y 2 Ta cã: < c1 < c2 =⇒ γc1 (.) ≥ γc2 (.) γc (x) ≥ ∀x ∈ K Để đơn giản, ta đặt: c (x, y) := F (x), x − y − c x−y 2 ∀(x, y) ∈ O × Rn 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (3.2) Khi ®ã: γc (x) := sup ϕc (x, y) x O yK K Do đóng, lồi, không rỗng, nên tồn vectơ cho hàm lâm m¹nh yc (x) ∈ K ϕc (x, ) đạt giá trị lớn yc (x) K γc (x) := sup ϕc (x, y) = ϕc (x, yc (x)) yK Ta có định lý sau đây: Định lý 3.1.3 ( Xem [7] Định lý 2.2) Cho không rỗng cho F : O Rn O Rn liên tục K Rn tập đóng, lồi, tập mở không rỗng với O, JF (x) O K Giả sử ma trận Jacobi hàm F c > Khi đó, bốn phát biểu sau đúng: (i) x O: yc (x) = PK (x − F (x)) c (ii) c (.) liên tục K không âm K (iii) [c (x ) = x∗ ∈ K] ⇐⇒ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) (iv) NÕu F ∈ C (O) c C (O), ta có: c (x) = F (x) + [JF (x) − c]T (x − yc (x)) ∀x ∈ O Chøng minh: • Chøng minh (i) Ta cã: ϕc (x, y) ≡ F (x), x − y − = F (x) 2c − c c x−y x − F (x) − y, c ∀(x, y) ∈ O × Rn x − F (x) − y c 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (3.3) F (x) = 2c 2 x − F (x) − y c c − Nhí r»ng: ∀x ∈ O : γc (x) := sup ϕc (x, y) = ϕc (x, yc (x)) y∈K Tøc lµ: γc (x) = F (x) 2c = F (x) 2c 2 c + sup − y∈K x − F (x) − y c c − inf y∈K = ϕc (x, yc (x)) = F (x) 2c x − F (x) − y c 2 c − x − F (x) − yc (x) , c c = x − F (x) yc (x) c hay tương đương c inf y∈K x − F (x) − y c V× vËy: yc (x) = PK x − F (x) c •• Chøng minh (ii) BiĨu thøc: cho thÊy r»ng yc (x) = PK x − F (x) c yc (.) liªn tơc trªn O V× vËy, γc (x) = ϕc (x, yc (x)), c (.) liên tục O, và: c (x) = F (x), x yc (x) Điều chøng minh c x − yc (x) (ii) ã ã ã Chứng minh (iii)a Giả sử: c (x∗ ) = vµ x∗ ∈ K 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn nªn Do: γc (x∗ ) = =⇒ F (x∗ ), x∗ − yc (x∗ ) = c ∗ x − yc (x∗ ) Theo ®iỊu kiƯn tối ưu toán xác định : (3.4) γc (x∗ ), ta cã: sup ϕc (x∗ , y) = ϕc (x∗ , yc (x∗ )), y∈K suy ra: F (x∗ ) + c[yc (x∗ ) − x∗ ], x − yc (x∗ ) ≥ ∀x K Thay x = x , ta được: F (x∗ ) + c[yc (x∗ ) − x∗ ], x∗ − yc (x∗ ) ≥ 0, tøc lµ: F (x∗ ), x∗ − yc (x∗ ) − c x∗ − yc (x∗ ) ≥ 0, cïng víi (3.4), suy ra: c ∗ x − yc (x∗ ) Tõ ®ã cho ≤ x∗ = yc (x∗ ) (i), ta có được: x = PK x − F (x∗ ) c Theo tÝnh chÊt cña PK ta cã PK (x) = x, nªn ˆ y − x, (ˆ − x) ≥ ∀y ∈ K ˆ x ¸p dơng (3.5) víi: x ≡ x∗ − F (x∗ ) vµ x ≡ x∗ , ˆ c ta được: y x , (x x∗ + F (x∗ )) ≥ ∀y ∈ K, c 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn (3.5) tøc lµ: c §iỊu nµy chØ r»ng y − x∗ , F (x∗ ) ≥ ∀y ∈ K >0 ∗ x ∈ SOL − V IP (K, F ) • • ã Chứng minh (iii)b Ngược lại, giả sử x nghiƯm cđa V IP (K; F ) Lóc nµy, râ rµng: γc (x∗ ) = sup F (x∗ ), x∗ − y − y∈K = sup − F (x∗ ), y − x∗ − y∈K Tõ ®ã cho thÊy c ∗ x −y c ∗ x −y ≤0 2 ≤ ≤0 ∗ γc (x ) = Chứng minh (iii) ã ã ãã Chứng minh (iv) Theo định lý 3.1.1, ta điều phải chứng minh Việc giải toán V IP (K, F ) quy toán quy hoạch sau: γc (x) (3.6) y∈K Cùc tiĨu toµn cơc cđa quy hoạch (3.6) với giá trị mục tiêu nghiệm V IP (K, F ) Dĩ nhiên, thông thường, ta quan tâm đến điều kiện cần đủ để nghiệm quy hoạch (3.6) trở thành nghiƯm cđa Víi V IP (K, F ) x ∈ K , ta xác định nón lồi đóng sau: c TK (x) ≡ TK (x) ∩ [−TK (yc (x))] vµ c c TK,F (x) ≡ TK (x) ∩ {−F (x)}∗ , 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ®ã {−F (x)}∗ ≡ {d ∈ Rn |F (x)T d ≤ 0} Ta có định lý: Định lý 3.1.4 ( Xem [7] Định lý 2.3) Cho F : O ⊃ K −→ Rn xạ C (O) với O K Rn tập mở, tập lồi đóng ánh c > Giả sử x điểm dừng (3.6) Ba phát biểu sau tương đương: (i) x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) (ii) c TK,F (x∗ ) ⊂ {F (x∗ )}⊥ (iii) c d ∈ TK,F c JK,F (x∗ )d 3.1.3 ∈ c −[TK,F (x∗ )]∗ =⇒ F (x∗ ), d = (3.7) Hàm đánh giá không ràng buộc ( D - Gap function ) phần ta đà thấy việc giải toán bất đẳng thức biến phân quy việc giải toán tối ưu có ràng buộc Hàm đánh giá sau cho phép quy việc giải toán bất đẳng thức biến phân việc giải toán tối ưu không ràng buộc Định nghĩa 3.1.5 Rn K Rn ( Xem [7] Định nghĩa 2.2) Cho trước ánh xạ tập lồi đóng Với toán VIP(K,F), ký hiệu < c < d F : Rn Hàm đánh giá D cd (.), định nghĩa sau: γcd (.) := γc (x) − γd (x) ∀x Rn Ta có kết hữu ích sau đây: 40 S húa bi Trung tõm Hc liu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn (3.8) Bỉ ®Ị 3.1.6 ( Xem [7] Bỉ ®Ị 2.1) ∀x ∈ Rn , bất đẳng thức sau đúng: dc x yd (x) 2 ≤ γcd (x) (3.9) Chøng minh: Ta cã: (3.8) γcd (x) = sup F (x), x − y − y∈K −sup F (x), x − y − y∈K d x−y (3.2)+T H.2 ≥ F (x), x − yd (x) − − F (x), x − yd (x) + = c x−y 2 c x − yd (x) d x − yd (x) 2 d−c x − yd (x) 2 Ta có kết sau: Định lý 3.1.7 K Rn ( Xem [7] Định lý 2.4) Cho låi ®ãng Víi < c < d, F : Rn Rn hàm đánh giá D hàm liên tục cd (.) liên tục Rn , đó: γcd (.) ≥ trªn Rn (i) (ii) γcd (x∗ ) = ⇐⇒ x∗ ∈ SOL − V IP (K, F ) (iii) NÕu F ∈ C (Rn ) hàm đánh giá D cd (.) lµ C (Rn ), vµ ta cã: γcd (x) = JF (x)T (yd (x) − yc (x)) + c(yc (x) − x) − d(yd (x) − x) (3.10) Chøng minh: ã Dễ dàng chứng minh (i) (iii) điều kiện đủ (ii) ã Để chứng minh (ii), gi¶ sư: γcd (x∗ ) = Theo bỉ ®Ò 3.1.6, ta cã: x∗ = yd (x∗ ) 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Điều cho thấy: x K d (x ) = 0, vì: d (x ) = ϕd (x∗ , yd (x∗ )) = F (x∗ ), x∗ − yd (x∗ ) − V× vËy, theo phần (iii) định lý 3.1.3, x d x − yd (x∗ ) lµ nghiƯm cđa = V IP (K, F ) Víi x∗ Rn , xác định nón lồi đóng sau: cd TK := TK (yd (x)) ∩ [−TK (yc (x))] vµ cd cd TK,F := TK (x) ∩ {−F (x)}∗ Ta có kết quả: Định lý tục Giả sử 3.1.8 ( Xem [7] Định lý 2.5) Cho K Rn x F : Rn Rn ánh xạ liên tập lồi đóng, 0 Bước 1: Đặt Bước 2: NÕu vµ m1 ∈ (0, 1) k = xk điểm dừng Bước 3: Tìm nghiệm xk+ (.), dừng bất đẳng thức biến phân phụ V IP (K; F k ), đó: F k (x) := F (xk ) + JF (xk )(x − xk ) ∀x ∈ Rn NÕu kh«ng tồn nghiệm thế, nếu: dk ≡ xk+ − xk 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn không thỏa mÃn điều kiện: cd (xk )T dk m2 dk p , dk = đặt cd (xk ) Bước 4: Tìm số nguyên âm nhỏ nhÊt ik cho víi γcd (xk + 2−i dk ) cd (xk ) + m1 2i Đặt (3.12) i = ik , vµ γcd (xk )T dk (3.13) tk 2ik Bước 5: Đặt xk+1 := xk + tk dk , vµ k ← k + 1, sau trở lại bước Ta có hệ hội tụ sau Định lý 3.2.1 ( Xem [7] ALGO 1: Định lý 2.6) Cho K Rn tập lồi đóng, F C (Rn ) Đặt < c < d {xk } dÃy vô hạn tạo ALGO Lúc đó: (i) Mỗi điểm tụ {xk } điểm dừng hàm khoảng cách cd (.) (ii) Nếu x điểm tụ {xk } cho (3.11) tháa, th× x∗ ∈ V IP (K; F ) (iii) NÕu {xk } cã mét ®iĨm tụ cô lập, toàn dÃy {xk } tiến đến điểm 3.2.2 Thuật toán dựa hàm đánh giá Fukushima c (.) Dưới đây, ta xét thuật toán dựa hàm đánh giá Fukushima Do hàm c (.) không lồi, nên nói chung ta tìm điểm dừng c (.) K Thuật toán dựa hàm đánh giá Fukushima: ALGO-2 Cho: x0 ∈ K, c > 0, m2 > 0, p > m1 (0, 1) Bước 1: Đặt k = 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn B­íc 2: NÕu xk điểm dừng (3.6), dừng Bước 3: Tìm nghiệm xk+ cho bất đẳng thức biÕn ph©n phơ V IP (K; F k ), ®ã: F k (x) := F (xk ) + JF (xk )(x xk ) x Rn Đặt: dk := xk+ − xk NÕu bÊt đẳng thức biến phân phụ V IP (K; F k ) nghiệm điều kiện: c (xk )T dk m2 dk không thỏa mÃn, ta đặt p (3.14) xk+1 := M(xk ) vµ chun sang b­íc Bước 4: Tìm số nguyên không âm nhỏ γc (xk + 2−i dk ) ≤ γc (xk ) − min{−m1 2−i ik cho víi i = ik , γc (xk )T dk , (1 − m1 )γc (xk )} (3.15) Đặt tk := 2ik xk+1 := xk + tk dk k ←− k + 1, sau trở lại bước Bước 5: Đặt Ta có hệ hội tụ sau Định lý 3.2.2 F ∈ C (O) ( Xem [7] Định lý 2.7) Cho O Rn (i) Mỗi điểm tụ x K Rn tập mở chứa dÃy vô hạn sinh bëi (ii) NÕu ALGO − lµ mét tập lồi đóng, K , c > Giả sử {xk } ALGO {xk } điểm dừng hàm đánh giá c (.) điểm tơ cđa {xk } cho (3.7) tháa m·n, th× x∗ ∈ V IP (K; F ) (iii) NÕu {xk } có điểm giới hạn cô lập, toàn bé d·y {xk } sÏ tiÕn vỊ ®iĨm ®ã 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Trên ta vừa nêu phương pháp dùng hàm đánh giá để quy toán bất đẳng thức biến phân toán tối ưu, sử dụng hai hàm hàm đánh giá Auslender hàm đánh giá hiệu chỉnh Fukushima 46 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Kết luận Bất đẳng thức biến phân vấn đề quan trọng toán học ứng dơng bëi ph¹m vi øng dơng réng r·i cđa nã Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân dựa nguyên lý toán phụ Cụ thể chương 1, phát biểu toán trình bày điều kiện tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Chương chương giành cho việc trình bày thuật toán hình chiếu cho toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, mà cụ thể phương pháp đạo hàm tăng cường phương pháp hình chiếu siêu phẳng, thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa hàm đánh giá Anslender hàm đánh giá hiệu chỉnh Fukushima 47 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), thuyết thuật toán, Giáo trình phương pháp tối ưu, lý Nhà xuất Bách Khoa -Hà Nội [2] Phan Huy Khải - Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuËt, Hµ Néi [4] D Kinderlehrer and G Stampacchia (1980), tional Inequality and Their Applications, [5] G Cohen (1988), equalitites, An Introduction to Varia- Academic Press Auxiliary problem principle extended to variational in- JOTA 59, 325-333 [6] S Facchinei and J Pang (2003), Finite-Dimensional Variational Inequal- ities and Complementarity Problems, [7] V, H Nguyen (2003), Springr - Verlag, New-York Variational Inequalities Elementary and Beyond, FUNDP Namur - Belgium ( Bài giảng trường hè Cần Thơ 2003 ) 48 S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ... phần ta đà thấy việc giải toán bất đẳng thức biến phân quy việc giải toán tối ưu có ràng buộc Hàm đánh giá sau cho phép quy việc giải toán bất đẳng thức biến phân việc giải toán tối ưu không ràng... giá Luận văn gồm chương Chương trình bày số kiến thức bất đẳng thức biến phân, điều kiện tồn nghiệm số toán dẫn đến bất đẳng thức biến phân Trong chương giới thiệu thuật toán hình chiếu cho toán. .. Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Bài toán bất đẳng thức biến phân Bất đẳng thức biến phân (được viết tắt - VIP) công cụ mạnh, sử dụng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng Nhiều toán