Luận văn: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU docx

47 337 0
Luận văn: TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU docx

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THỦY THÁI NGUYÊN - 2009 none Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn1 Mục lục Mở đầu Chương Bất đẳng thức biến phân đơn điệu toán đặt không chỉnh 1.1 Một số kiến thøc bỉ trỵ 10 14 Bài toán đặt không chỉnh 17 17 18 20 20 24 1.1.1 Không gian Banach 1.1.2 Phiếm hàm lồi nửa liên tục 1.1.3 Toán tử đơn điệu 1.2 1.2.1 Khái niệm toán đặt không chỉnh 1.2.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh 1.3 Bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Phát biểu toán ví dụ 1.3.2 Sự tồn nghiệm tính chất cđa tËp nghiƯm Ch­¬ng NghiƯm hiƯu chØnh cđa bÊt đẳng thức biến phân đơn điệu 2.1 27 Nghiệm hiệu chØnh 27 27 2.1.1 Bài toán hiệu chỉnh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn2 28 2.1.3 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh 31 XÊp xØ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh 34 34 37 Kết tính toán thử nghiệm 40 2.1.2 Sù héi tơ cđa nghiƯm hiệu chỉnh 2.2 2.2.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều 2.2.2 Tốc độ hội tụ 2.3 Kết luận 43 Tài liệu tham kh¶o 44 Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn3 Mở đầu Cho hợp X X, không gian Banach phản xạ thực, hai có chuẩn kí hiệu tử đơn điệu đơn trị tìm x0 K K X , không gian liên A : X X tập lồi đóng toán X Với f X , h·y cho A(x0 ) − f, x − x0 x K, x X x , x kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục (0.1) x X Bài toán gọi toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality) Nếu KX toán (0.1) có dạng phương trình toán tử A(x) = f (0.2) Bất đẳng thức biến phân đơn điệu lớp toán nảy sinh từ nhiều vấn đề toán học ứng dụng phương trình vi phân, toán vật lý toán, tối ưu hoá Ngoài nhiều vấn đề thực tế toán cân mạng giao thông đô thị, mô hình cân kinh tế mô tả dạng bất đẳng thức biến phân đơn điệu Rất tiếc bất đẳng thức biến phân đơn điệu, nói chung, lại toán đặt không chỉnh Do tính không ổn định toán đặt không chỉnh nên việc giải số gặp khó khăn Lý sai số nhỏ kiện toán dẫn đến sai số lời giải Vì nảy sinh vấn đề tìm phương pháp giải ổn định cho toán đặt không chỉnh, cho sai số kiện đầu vào nhỏ nghiệm xấp xỉ tìm gần với nghiệm toán ban ®Çu Số hóa Trung tâm Học liệu – i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn4 Năm 1963, A N Tikhonov đưa phương pháp hiệu chỉnh tiếng kể từ lý thuyết toán đặt không chỉnh phát triển sôi động có mặt hầu hết toán thực tế Mục đích đề tài luận văn nhằm nghiên cứu phương pháp giải ổn định bất đẳng thức biến phân đơn điệu sở xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân Nghiên cứu hội tụ đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ thực dựa trªn viƯc chän tham sè hiƯu chØnh tiªn nghiƯm Néi dung luận văn trình bày hai chương Chương trình bày số kiến thức toán tử đơn điệu, toán đặt không chỉnh bất đẳng thức biến phân Trong chương trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Kết chương đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh phần cuối chương kết số có tính chất minh hoạ cho phương pháp nghiên cứu, chương trình thực nghiệm viết ngôn ngữ MATLAB Kết hội tụ tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều bất đẳng thức biến phân (0.1) đăng tải Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, số năm 2009 Em mong muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thuỷ, cô đà tận tình hướng dẫn, bảo em suốt thời gian Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn5 em thùc hiÖn khãa luËn vµ trùc tiÕp h­íng dÉn em hoµn thµnh khãa ln Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới c¸c gi¸o s­ , tiÕn sÜ ë ViƯn To¸n häc , ViƯn C«ng nghƯ th«ng tin thc ViƯn Khoa häc Công nghệ Việt nam, thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học nói chung Khoa Toán-Tin nói riêng đà hết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiÒu kiÕn thøc khoa häc suèt thêi gian em học tập Trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới người thân, người bạn đà động viên cổ vũ rÊt nhiỊu st thêi gian võa qua Do ®iỊu kiện, thời gian trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý báu quý thầy cô toàn thể bạn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2009 Lương Thị Thu Thuỷ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn6 Một số ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực X không gian Banach thực X không gian liên hợp Rn không gian Euclide tập rỗng X n chiều x := y x định nghĩa y x với ∃x tån t¹i inf F (x) x∈X x x infimum cđa tËp {F (x) : x ∈ X} I ¸nh xạ đơn vị AT ma trận chuyển vị ma trận ab a tương đương với b A toán tử liên hợp toán tử D(A) miền xác định toán tử R(A) miền giá trị toán tử xk → x xk x d·y A A A A {xk } héi tơ m¹nh tíi x d·y {xk } héi tơ u tíi x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn7 Ch­¬ng Bất đẳng thức biến phân đơn điệu toán đặt không chỉnh 1.1 Một số kiến thức bổ trợ Trong mục trình bày số kiến thức giải tích hàm giải tích hàm phi tuyến có liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài Các kiến thức tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] [8] 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ VÝ dơ 1.1.1 Kh«ng gian Lp [a, b], ≤ p < x(t) xác định p-khả tích đoạn [a, b] với phần tử hàm b cho |x(t)|p dt < ∞, lµ mét a kh«ng gian Banach víi chn 1/p b p |x(t)| dt x = a Cho X không gian Banach thực, Không gian liên hợp kí hiệu X∗ X ∗∗ , tøc lµ X ∗∗ X∗ lµ không gian liên hợp gọi không gian liên hợp thứ hai = L( X , R) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn8 X X α, h+δ → ta suy α ≤ mU x1 − x L¹i thay x bÊt hai vÕ cho s ≤ U s (x − x∗ ), x − x1 , x S0 đẳng thức tx1 + (1 − t)x, < t < 1, chia c¶ (1 − t) råi cho t → ta nhận U s (x1 x ), x x1 ≥ 0, ∀x ∈ S0 , nghÜa lµ U s (x1 − x∗ ), x − x∗ ≥ U s (x1 − x∗ ), x1 − x∗ = x1 x s Từ suy x1 x x x tập lồi đóng X , x S0 Vì tập nghiệm S0 không gian Banach lồi chặt nên từ (2.8) suy d·y nghiƯm cđa (2.1) x1 = x0 Cũng {x } hội tụ mạnh đến x0 2.1.3 Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh Trước đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh, ta nhắc lại định nghĩa sau Định nghĩa 2.1.1 (xem [9]) Toán tử đơn trị ngược đơn điệu m¹nh nÕu tån t¹i mét h»ng sè A : X → X∗ mA > tho¶ m·n A(x) − A(y), x − y ≥ mA A(x) − A(y) , Nếu gọi x, y D(A) A toán tử ngược đơn điệu mạnh A liên tục Lipschitz vµ A(x) − A(y) ≤ x−y mA ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn31 (2.9) Nhận xét: Một toán tử ngược đơn điệu mạnh không thiết đơn điệu mạnh Ví dụ 2.1.1 (xem [9]) Cho lồi đóng H H Toán tử PM không gian Hilbert, chiếu H lên M M tập toán tử không giÃn, đơn điệu thỏa mÃn điều kiện PM (x) − PM (y), x − y ≥ PM (x) − PM (y) cã nghÜa PM m¹nh trõ NÕu A toán tử ngược đơn điệu mạnh, x, y H, PM không đơn điệu M H toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp, xác định không âm không gian Hilbert H A toán tử ngược đơn điệu mạnh Ta có kết sau: Bổ đề 2.1.1 (xem [9]) Nếu A:H H toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp không gian Hilbert H điều kiện sau tương đương: i) ii) ∃mA > : Ax, x ≥ mA Ax , Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ H; ∀x H; iii) Tất giá trị riêng A không âm Để đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh ta sử dụng bất đẳng thøc Young (xem [1] vµ tµi liƯu dÉn): a, b, c ≥ 0, k > t, ak ≤ bat + c = ak = O(bk/(kt) + c) Định lý sau cho ta kết tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh sở tham số hiệu chỉnh ®­ỵc chän tháa m·n α = α(h, δ) ∼ (h + δ)η , < η < 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn32 Định lý 2.1.2 (i) A (xem [11]) Giả sử: X toán tử ngược đơn điệu mạnh từ Fréchet lân cận S0 vào X khả vi với tính chất A(x) A(x0 ) − A (x0 )(x − x0 ) ≤ τ A(x) − A(x0 ) ˜ ∀x ∈ X, (2.10) ë A (x) đạo hàm Fréchet A x, số dương; (ii) tồn phần tử (iii) tham số zX = α(h, δ) cho A (x0 )∗ z = U s (x0 x ); chọn cho α = α(h, δ) ∼ (h + δ)η , < η < Khi ®ã, xτ − x0 = O((h + δ)µ ), α η 1−η , s − 2s − µ = Chøng minh Tõ (2.1)-(2.4) ta suy A(xτ ) − A(x0 ), xτ − x0 α α + α U s (xτ − x∗ ) − U s (x0 − x∗ ), xτ − x0 α α ≤ Ah (xτ ) − A(xτ ), x0 − xτ α α α + f − fδ , x0 − xτ α s ∗ + α U (x0 − x ), x0 − xτ α (2.11) ≤ hg( xτ ) + δ x0 − xτ α α + α U s (x0 − x∗ ), x0 − xτ α KÕt hỵp tÝnh chÊt ng­ỵc đơn điệu mạnh toán tử A, U s , từ (2.11) ta nhận hg( x ) + δ + α x0 − x∗ A(xτ ) − A(x0 ) mA tính đơn điệu ¸nh x¹ s−1 x0 − xτ α (2.12) 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn33 Mặt khác, từ (1.2), (2.10), tính đơn điệu toán tử A điều kiện (ii) suy mU xτ α − x0 s hg( xτ ) + δ α ≤ x0 − xτ α α + z, A (x0 )(x0 − xτ ) α (2.13) hg( xτ ) + δ α ≤ x0 − xτ α α + z (1 + τ ) A(xτ ) − A(x0 ) ˜ α Do tham sè hiÖu chØnh dÃy chọn thỏa mÃn (h + δ)η , < η < vµ {xτ } bị chặn nên kết hợp (2.12), (2.13) ta mU xτ − x0 α ®ã C1 , C2 s ≤ C1 (h + δ)1−η x0 − xτ + C2 (h + δ)η/2 x0 − xτ α α 1/2 , số dương áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức cuối ta có ®¸nh gi¸ 1−η η , s − 2s − µ xτ α(h,δ) − x0 = O (h + δ) , µ = 2.2 XÊp xØ hữu hạn chiều nghiệm hiệu chỉnh Các kết mục lấy từ báo [12] 2.2.1 Xấp xỉ hữu hạn chiều Chúng xấp xỉ hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4) bëi n An (xτ ) + αU n (xτ − xn ) − fδ , xn − xτ ≥ 0, h ,n ,n ,n Xn xn ∈ Xn , (2.14) ∗ ∗ n ∗ An = Pn Ah Pn , U n = Pn U Pn , xn = Pn x∗ , fδ = Pn fδ , Pn : X −→ ∗ h lµ phÐp chiÕu tuyến tính từ X lên không gian Xn X giả 34 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn34 thiết bị chặn X , Pn toán tử liên hợp Pn , Xn Xn+1 , ∀n Pn x −→ x, ∀x ∈ X Còng giống (2.4) bất đẳng thức biến phân (2.14) có nhÊt nghiƯm kÝ hiƯu lµ xτ ,n α ˜ dÃy nghiệm Đặt với , > {x ,n } hội tụ đến x0 n cố định Trước hết ta r»ng h, δ → vµ n → ∞ γn (x) = (I − Pn )x , x ∈ X; n = max{n (x0 ), n (x )} Định lý 2.2.1 d·y nghiÖm NÕu xτ ,n α ˜ h/˜ , δ/˜ α α vµ γn (x)/˜ → α cđa (2.14) héi tơ ®Õn Chøng minh LÊy α→0 ˜ n x S0 x S0 , xn = Pn x, tõ (1.2) vµ (2.14) suy mU xτ ,n − xn α ˜ s ≤ U n (xτ ,n − xn ), xτ ,n − xn α ˜ ∗ α ˜ + U n (xn − xn ), xn − xτ ,n ∗ α ˜ n ≤ An (xτ ,n ) − fδ , xn − xτ ,n h α ˜ α ˜ α ˜ (2.15) + U n (xn − xn ), xn − xτ ,n ∗ α ˜ Sư dơng tính đơn điệu An h tính chất phÐp chiÕu Pn , tõ (2.15) ta cã mU xτ ,n − xn α ˜ s ≤ Ah (xn ) − fδ , xn − xτ ,n α ˜ α ˜ + U (xn − xn ), xn − xτ ,n ∗ α ˜ = Ah (xn ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x) α ˜ (2.16) + A(x) − f + f − fδ , xn − xτ ,n α ˜ + U (xn − xn ), xn − xτ ,n ∗ α ˜ 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn35 Kết hợp (2.2), (2.3), tính đơn ®iƯu cđa mU xτ ,n − xn α ˜ s ≤ α ˜ A vµ (2.16) ta suy ˜ hg( xn ) + δ + C0 γn (x) xn − xτ ,n α ˜ + Ax − f γn (x) + U (xn − xn ), xn − xτ ,n ∗ α ˜ ˜ δ + hg( xn ) + C0 γn (x) n ≤ x − xτ ,n α ˜ α ˜ (C0 + Ax − f )γn (x) + α ˜ + U (xn − xn ), xn − xτ ,n , ∗ α ˜ (2.17) x ,n C0 C0 số dương Bất đẳng thức chứng tỏ dÃy bị chặn Không làm tính tổng quát, ta gi¶ sư xτ ,n α ˜ x∈X ¯ h, δ → vµ n → +∞ Tõ (2.14) sử dụng tính chất đơn điệu thay An , U n h vµ tÝnh chÊt cđa Pn víi ta nhận Ah (xn ) fδ , xn − xτ ,n + α U (xn − xn ), xn − xτ ,n ≥ 0, ˜ Trong bất đẳng thức cho xn ∈ Xn h, δ → vµ n +, sở (2.2), (2.3), sử dụng tÝnh héi tơ u cđa d·y xτ ,n α ˜ ta cã A(x) − f, x − x ≥ 0, x X Bất đẳng thức tương đương víi A(¯) − f, x − x ≥ 0, ∀x X x (Bổ đề Milty), tức dÃy xτ ,n α ˜ x ∈ S0 ¯ héi tụ mạnh đến Thay xn (2.17) x n = Pn x ta thấy x Mặt khác, tõ (2.17) suy ¯ U (x − x∗ ), x − x ≥ 0, ∀x ∈ S0 ¯ 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn36 Thay x vÕ cho bëi t¯ + (1 − t)x, t ∈ (0, 1) x bất đẳng thức này, chia hai (1 t) sau cho t dần đến ta nhận ®­ỵc U (¯ − x∗ ), x − x ≥ 0, ∀x ∈ S0 , x ¯ nghÜa lµ U (¯ − x∗ ), x − x∗ ≥ U (¯ − x∗ ), x − x∗ = x − x∗ x x ¯ ¯ Suy ra, x − x∗ ≤ x − x∗ ¯ låi chỈt cđa , x S0 Do tính lồi đóng S0 , vµ tÝnh X , suy x = x0 ¯ 2.2.2 Tèc ®é héi tơ Trong mục nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều sở tham sè hiƯu chØnh chän theo quy t¾c sau Quy tắc 2.2.1 Chọn Giả thiết 2.2.1 = (h, , n) ∼ (h + δ + γn )η , < η < ˜ Tån t¹i sè τ > tho¶ m·n ˜ A(y) − A(x) − A (x)(y − x) ≤ τ A(y) − A(x) , ˜ víi y thuộc lân cận x S0 , A (x) (2.18) đạo hàm Fréchet A x Tính chất (2.18) toán tử A Hanke, Neubauer Scherzer [7] đưa phân tích hội tụ phương pháp lặp Landweber cho phương trình toán tử không chỉnh phi tuyến với < 1/2 Bây giờ, giả thiết A (x) bị chặn với x S0 Tốc ®é héi tơ cđa xτ ,n ®Õn x0 h, n cho định lý sau 37 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn37 Gi¶ sử: Định lý 2.2.2 (i) A toán tử ngược đơn điệu mạnh từ lân cận S0 với Giả thiết 2.2.1 (ii) tồn phần tử (iii) tham số X zX cho vào X khả vi Fréchet x = x0 ; A (x0 )∗ z = U (x0 − x∗ ); α = (h, , n) chọn theo Quy tắc 2.2.1 Khi đó, x ,n x0 = O((h + δ + γn )µ1 + γn ), α ˜ µ1 = Chøng minh Thay mU xτ ,n α ˜ − xn xn s bëi 1−η η , , s 2s x n = Pn x 0 µ2 = ν , s s1 (2.17) ta nhận + hg( xn ) + C0 γn n ≤ x0 − xτ ,n α ˜ α ˜ (C0 + Ax0 − f )γn + | U (x0 − x∗ ), xn − xτ ,n | + α ˜ α ˜ + | U (xn − xn ) − U (x0 − x∗ ), xn − xτ ,n | ∗ α ˜ (2.19) Tõ (1.3) suy ν ˜ | U (xn − xn )−U (x0 − x∗ ), xn − xτ ,n | ≤ C(R)2ν γn xn − xτ ,n , ∗ α ˜ α ˜ đây, (2.20) R > x0 x Sử dụng Giả thiết 2.2.1 điều kiện (ii) ta cã | U (x0 − x∗ ), xn − xτ ,n | ≤ | U (x0 − x∗ ), xn − x0 | α ˜ + | z, A (x0 )(x0 − xτ ,n | α ˜ ˜ ≤ Rγn + z (1 + τ ) A(xτ ,n ) − A(x0 ) ˜ α ˜ (2.21) §Ĩ đánh giá giá trị A(x ,n ) A(x0 ) α ˜ , ta thay xn bëi x n = Pn x 0 38 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn38 (2.14) víi α = α, sư dơng tÝnh chÊt cđa phÐp chiếu Pn , ta nhận Ah (x ,n ) − A(xτ ,n ) + A(xτ ,n ) − A(xn ) α ˜ α ˜ α ˜ + A(xn ) − A(x0 ) + A(x0 ) − f + f − fδ , xn − xτ ,n 0 α ˜ + α U (xτ ,n − xn ), xn − xτ ,n ≥ 0, ˜ α ˜ bất đẳng thức tương đương víi A(xτ ,n ) − A(xn ), xτ ,n − xn ≤ Ah (xτ ,n ) − A(xτ ,n ) + A(xn ) − A(x0 ) α ˜ α ˜ α ˜ α ˜ + f − fδ , xn − xτ ,n α ˜ + α U (xτ ,n − xn ), xn − xτ ,n ˜ α ˜ ∗ α ˜ + A(x0 ) − f, xn − x0 + x0 − xτ ,n α ˜ Sư dơng (2.2), (2.3), tÝnh chất ngược đơn điệu mạnh A, từ bất đẳng thøc trªn ta suy mA A(xτ ,n ) − A(xn ) α ˜ ˜ ≤ hg( xτ ,n ) + δ + α xτ ,n − xn + C1 γn × ˜ α α ˜ ˜ ∗ xn − xτ ,n + A(x0 ) − f γn Do tính bị chặn {x ,n } suy α ˜ A(xτ ,n ) − A(xn ) ≤ O( h + δ + α + n ) Hơn nữa, A(x ,n ) − A(x0 ) ≤ A(xτ ,n ) − A(xn ) + A(xn ) − A(x0 ) 0 α ˜ α ˜ nªn A(xτ ,n ) − A(x0 ) ≤ O( h + δ + α + γn ) + C1 n , C1 số dương phụ thuộc vào x0 Kết hợp (2.20), 39 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn39 (2.21) bất đẳng thức cuối cùng, (2.19) có dạng mU xτ ,n α ˜ − xn s ˜ δ + hg( xn ) + C0 γn ν ˜ ≤ + C(R)2ν γn α ˜ (C0 + Ax0 − f )γn ˜ + + Rγn α ˜ xn − xτ ,n α ˜ ˜ + z (˜ + 1) C1 γn + O( h + δ + α + γn ) τ (2.22) Sư dơng Quy tắc 2.1 tính bị chặn mU x ,n − xn α ˜ s {xτ ,n } suy α ˜ ν ≤ C1 (h + δ + γn )1−η + C2 γn xn − xτ ,n α ˜ + C3 (h + δ + γn )1−η + C4 γn + C5 (h + δ + γn )η/2 Ci , i = 1, 2, 3, 4, số dương áp dụng bất đẳng thức Young cho bất đẳng thức ta nhận x ,n xn = O (h + δ + γn )µ1 + γn α ˜ Suy µ xτ ,n − x0 = O (h + δ + γn )µ1 + γn 2.3 Kết tính toán thử nghiệm Xét toán F (x) xH không gian Hilbert thùc tơc d­íi u trªn H H, víi F (2.23) hàm lồi thường nửa liên có d¹ng F (x) = Ax, x , 40 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn40 A toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp xác định không âm x0 H Vì F (x) = Ax, nên x0 nghiệm toán (2.23) nghiệm bất đẳng thức biến phân (2.1) với Từ Bổ đề 2.1.1 ta có A:HH f H toán tử ngược đơn điệu mạnh Hơn A khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet A Điều kiện ii) Định lý 2.1.2 trở thành A(x0 ) z = x0 , (x = ) áp dụng kết giải toán tìm x0 RM thỏa mÃn ∀x ∈ RM , A(x0 ), x − x0 ≥ 0, A = BT B ma trận vuông cấp M với ma trận xác định B = (bij )M , i,j=1 b1j = sin(2009), j = 1, , M, b2j = sin(2009), j = 1, , M, 2009 bij = sin(i)cos(j), i = 3, , M, i+j Ah = Ih + A lµ xấp xỉ A, I Với toán tử A cho trên, j = 1, , M, M > ma trận đơn vị cấp x0 = (0, 0, , 0)T ∈ RM M lµ nghiƯm toán (2.23) có chuẩn nhỏ Bây áp dụng Định lý 2.1.2 với tham số giá ®­ỵc chän bëi α ∼ (h + δ)2/3 , h = δ = τ rα,M = xτ − x0 α,M M2 để nhận đánh Sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho to¸n (2.16) nh­ sau (xem [4]): cho tr­íc z0 ∈ H , dÃy {zm } xác định sơ ®å lỈp zm+1 = zm − βm A(zm ) + αm (zm − x∗ ) , (2.24) 41 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn41 x phần tử không gian Hilbert H , {m } {m } dÃy số dương, với tiêu chuẩn dừng dÃy lặp (m) max |xj 1jM (m1) xj | 105 , m số lần lặp Bảng 2.1 tính toán với m = (1 + m)1/4 vµ βm = (1 + m)−1/2 M α τ rα,M 0.25 0.00043035 0.099213 0.00029142 16 0.039373 0.00025093 32 0.015625 0.00022259 64 0.0062008 0.00018165 B¶ng 2.1 B¶ng 2.2 tính toán với m = (1 + m)1/8 βm = (1 + m)−1/2 M α τ rα,M 0.25 0.00019561 0.099213 0.00011663 16 0.039373 0.00009597 32 0.015625 0.000087559 64 0.0062008 0.000073737 B¶ng 2.2 42 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn42 kết luận Đề tài đà nghiên cứu tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh không gian Banach phản xạ thực Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4), thiết lập hội tụ dÃy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều tới nghiệm xác toán ban đầu đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều Cuối đưa ví dụ kết số minh họa cho tốc độ hội tụ phương pháp nghiên cøu Víi nh÷ng øng dơng quan träng thùc tÕ, vấn đề trình bày đề tài đà nhiều nhà toán học quan tâm, sâu nghiên cứu 43 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn43 Tµi liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh Nguyễn Bường, Bài toán không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hµ Néi, 2005 [2] Hoµng Tơy, Hµm thùc vµ giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hµ Néi, 2003 [3] Y Alber and I Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006 [4] A B Bakushinskii and A G Goncharskii, Ill-Posed Problems: Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, Boston, London, 1994 [5] V Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden The Netherlands, 1976 [6] I Ekeland and R Temam, Convex analysis and Variational problems, Amstedam: North Holland, 1976 [7] M Hanke, A Neubauer and O Scherzer, A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems, Numerische Math- ematik, 72, pp 21-37, 1995 44 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn44 [8] D Kinderlehrer and G Stampacchia, An introduction to Variational Inequalities and Their Applications, Academic Press, 1980 [9] F Liu and M Z Nashed, Regularization of nonlinear ill-posed variational inequalities and convergence rates, Set-Valued Analysis, 6, pp 313-344, 1998 [10] I P Ryazantseva, On solving variational inequalities with monotone operators method of regularization, Zh Vychisl Mat i Mat Fiz 23, 479- 483, 1983 [11] Ng T T Thuy, Ng T Mai and D T Huong, Convergence rates in regulaiation for monotone variational inequalities, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 50(2), pp 58-61, 2009 [12] Ng T T Thuy, Ng T Thang and L T T Thuy, Finite-dimensional approximation for ill-posed variational inequalities, T¹p chÝ Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 53(5), pp 51-55, 2009 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn45 ... nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4), thiết lập hội tụ dÃy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều tới nghiệm xác toán ban đầu đánh giá tốc độ hội tụ nghiệm hiệu chỉnh. .. chỉnh Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu Kết chương đánh giá tốc độ hội tụ phương pháp hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh chọn tiên nghiệm Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn. .. KHOA HỌC LƯƠNG THỊ THU THỦY TỐC ĐỘ HỘI TỤ VÀ XẤP XỈ HỮU HẠN CHIỀU CHO NGHIỆM HIỆU CHỈNH CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngày đăng: 28/06/2014, 06:20

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan