            !"#$ %&'() * + ,-./() * + 0 &1234567 &'- 82 .9 &': # ;<9 = (= >-./() * + ?9"# + "@ + ABCDE= .* +  D?9 <.* +  FD G* + 3?9"'<H 5FD?1"@ + ABC DI  Gaspard Monge JH 5"#$  ! " #$% !"  & CKLA=831 *" 4M*3NALA= '%!"() *+  (,$ *-./0 1-23$%4*5"+-,6! "(0 *Ta có các định nghĩa sau: 78!"(3$!"9 7:+3$;9 7:-23$9<=;4 *-3!"9( 7:5"+-3$94*-  O Hình 1.1 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm P П  > 9-?3$*%@"*A;9+9<=;4B3$ *%@ "-2?20 9'C3$*5"*A;9+'2DC20E9F=9GEH00G 9<=;4*5"F%F%B3$*5*IA=0 EH00G  O Hình 1.2a,b Tính chất phép chiếu xuyên tâm P >O >  Q ORQO 4%S2 ALA= P O O >O QO TO U’ T’ a) b)  > U T Q  V П  J FKLA='' 4M*3NALA= '%!"() *5"F F%F%!"(,$  *-./%0 K-L*5"MMF0-23$% 4*5",6!"(0 W%X<YZ[ 78!"(3$!" 9 7:5"F3$9 7:-23$9F%F% 4*-3!"9( N%9F 7:5"3$94 *-  O Hình 1.3 Xây dựng phép chiếu xuyên tâm  П   O A A’ Hình 1.4a,b Tính chất phép chiếu song song s B’ B C D C’=D’ 4%S2 ALA= 9*5"-?F%F% ,69F9F%F% 4B3$*5"-2?2 9'CF%F%,69F 9F%F%4B3$ * '2DC2 98 *%@-?82 -2?2 7PQFR*4**ST 98MMKUT 9VWMM(T 4 4 П M M’ M s N’ N Q P’ Q’ П M’ P K’ I’ I K      = UK 8 KXUX X8X KXMMUXX8X    = VWWXVX MMVWWXVX 8? -8 ?X8X 8X-X =  Y \KLA=.#X UZ9,B5[*! \4Z9F%F% 9,B,6!" 90 UZ9,BB*]=*4^ .4Z9F%F%)%$ B^.FT 7'_B 9F= . 71#F`-?@%,6a BbT -2?2D-?0%Fb -2?2c-? +*;=3$de4Z 9,B$3$ 9"B  O Hình 1.5a,b. Phép chiếu vuông góc  V   O  V > >O φ 4 4  f C >?1 ]  H C^J" C^M*3N_ `" 4! H"a ABb= P%3.=!" ,Ba  ,$  a  0 8!"a  B,g^"*0 8!"a  B,g^h0 1<3$%*4a  ,$  a  E<Da  ia  G '9,B*-3!" a  ,$  a  j*[9-  ,$-  'R*g!"a  )A=!" a  A*5"<N%kA= *[_00%*9a   l,6a  0Pj*[*I4* -%\!"9E00G Hình 2.1a,b. Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 4 4 A A 1 A 2 A x <  (  < - < (  (  -  (  [...]... I1 a1 K1 l1 12 a) l1 cắt cả hai đường a1 b1 - Dựa vào các điểm 1( 11, 12); 2( 21, 22) 22 l1 a1 b1 l2 b2 K2 l2 11 b1 l2 a2 l 1 b2 a2 l’2 12 I2 I2 b) l1 đi qua I1 - Dùng đường thẳng l’(l 1, l’2) K∈ l’→l qua IK c) l1 song song với một trong hai đường a1 b1 - VD: l1//b 1 - Dựa vào điểm 1( 11, 12) l2 đi qua 12 , l2 //b2 Hình 3 .11 Bài toán cơ bản 1 33 Ví dụ 1: Mặt phẳng α( mα, nα) Biết l1, tìm l2 (Hình 3 .12 ) M1... Vết đứng: ký hiệu M, M≡ l ∩ 1 ⇒ M1∈l1 , M2∈x - Vết bằng: ký hiệu N, N≡ l ∩ П2 ⇒ N1∈x , N2∈l2 M1 1 M1 l1 l1 l N1 x x l2 N2 N1 M2 M2 l2 Π2 N2 Hình 2 .12 Vết của đường thẳng 25 2. 3- Mặt phẳng 2.3 .1 Biểu diễn mặt phẳng a) Các cách xác định 1 mặt phẳng Trên đồ thức có 4 cách để xác định một mặt phẳng 3) I1 b1 a1 1) A1 C1 B1 2) A1 a2 l1 b2 I2 C2 A2 l2 A2 4) c1 d1 B2 Hình 3 .1. Đồ thức của mặt phẳng Chú ý:... chiếu bằng K2 (Hình 3 .13 ) Giải: - Gắn điểm K vào một đường thẳng l∈(α) - Khi đó l1 qua K1 Tìm l2 ? 21 K1 11 l1 b1 a1 (bài toán cơ bản 1) - K2 ∈ l2 (Điểm thuộc đường thẳng) b2 a2 12 K2 22 l2 I2 Hình 3 .13 Bài toán cơ bản 2 35 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng α(mα, nα) mα Điểm K thuộc (α) Biết K1, tìm K2 K1 (Hình 3 .14 ) Giải: - Gắn K vào đường thẳng a∈(α) → a1 qua K1 Tìm K2? - K2 ∈ a2 M1 K2 αx x a1 N1 M2 Chú ý: Trong... mãn điều kiện I1 ∈ P1Q1 Xét xem I có thuộc PQ hay không? (Hình 2 .11 )  I 2 ∈ P 2 Q 2 Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh Nếu: I3 ∈ P 3Q3 ⇔ I ∈ PQ I3 ∉ P 3Q3 ⇔ I ∉ PQ z P3 P1 I3 I1 Q1 x O Q3 y P2 I2 Q2 y Hình 2 .10 Cách 1 Xét điểm thuộc đường cạnh 23 P1 Cách 2: Dựa vào tỉ số đơn của 3 điểm thẳng hàng Nếu: I1P1 IP = 2 2 ⇔ I ∈ PQ I1Q1 I 2Q 2 α I1 I1P1 IP ≠ 2 2 ⇔ I ∉ PQ I1Q1 I 2 Q 2 Q I 1 t - Qua P1 kẻ đường thẳng... hiệu m1, m2 và n1,n2 (Hình 3.3a) - Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng α ta kèm theo tên của mặt phẳng đó ký hiệu mα , nα (Hình 3.3b,c) 32 2.3. 2- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc) a) Bài toán cơ bản 1 Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó Biết hình chiếu đứng l1, tìm hình chiếu bằng l2 (Hình 3 .11 ) I1 21 11 I1 l1 21 11 b1 a1 b2 a2 12 ... biệt R1 Cả hai đường thẳng là đường cạnh Vấn đề đặt ra: Cho đường cạnh PQ và đường cạnh RS Ta có: P1Q1//R1S1 P1 I1 P2Q2//R2S2 Xét xem PQ có song song với RS không? (Hình 2 .17 ) Giải: - Cách 1: Dùng hình chiếu cạnh Nếu: P3Q 3 // R 3S3 ⇒ PQ // RS x P2 - Cách 2: Dùng định nghĩa Xét xem PQRS có cùng mặt phẳng hay không? P1S1 Q1R 1 ≡ I1   P2S2 Q 2 R 2 ≡ I 2  ⇔ PQ // RS  I1I 2 ⊥ x  S1 Q1 Q2 R2 I2 S2 Hình. .. kỳ hợp với Q1 P1Q1 một góc α tùy ý (nên lấy α . thống ba mặt phẳng hình chiếu b) - A 1 x A x A 2 a) A 2 Π 2 x A A 1 A x A 3 A 2 A y A z Π 1 Π 3 z y Π 1 Π 3 Π 2 A 3 z y y O A z A y A y O G E-o-o G E- =-= G E-< ;-& lt;    ∩= ∩= ∩=  J 4<YZ.9. thẳng l; - l 1 đi qua A 1 B 1 gọi là hình chiếu đứng của đường thẳng l - l 2 đi qua A 2 B 2 gọi là hình chiếu bằng của đường thẳng l Hình 2.7. Đồ thức của một đường thẳng A 1 B 1 l 1 l 2 B 2 A 2 )B,B(B )A,A(A B. giác I và II A 2 Π 1 Π 2 ( I ) ( IV ) ( III ) ( II ) x A 2 A 1 Π 2 Π 1 Hình 2.6. Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2) (Pg1) (Pg2) B 1 B 2 C 1 =D 2 D 1 =C 2 x A x B x C x D x 