Sổ tự học tự bồi dỡng Ngày 29/8/2011. Các bài Toán cực trị A. Bài tập. Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 22 4 )1( 1 x x + + với 0x . Bài 2. Cho P zyxyxx ++ + = 111 2 1 . Hãy tìm giá trị nguyên dơng của x, y, z để cho P đạt giá trị dơng nhỏ nhất. Bài 3. Cho A 1 )1(2 2 2 + ++ = x xx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và các giá trị tơng ứng của x. Bài 4. Cho hàm số 9612 22 +++= xxxxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x. Bài 5. Cho M 1815143 +++= xxxx . Tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị t- ơng ứng của x. Bài 6. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của m sao cho bất đẳng thức sau đây luôn luôn đúng với mọi số thực x: A = .)3()2)(1( 2 mxxx +++ Bài 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y 1 78 2 2 + ++ = x xx . Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y 18216 23 ++= xxx , với .1 2 1 x Bài 9. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + zyx . Tìm giá trị lớn nhất của xyz. Bài 10. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 13 2 ++= xx . b) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4 24 2 ++ xx x . Bài 11. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện: =+ =++ 4343 632 zyx zyx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2x + 3y 4z. Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 22 yx + khi có 4 22 =+ xyyx . Bài 13. Cho ba số dơng a, b, c có tổng là một hằng số. Tìm a, b, c sao cho: ab + bc + ca lớn nhất Bài 14. Cho biểu thức Q 1997321 1 111 xxxx ++++= trong đó 1 x , 2 x , 3 x ,, 1997 x là các biến số dơng và thoả mãn điều kiện 1 1997321 =++++ xxxx . Tìm giá trị lớn nhất của Q và giá trị tơng ứng các biến của nó. Bài 15. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x.y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức yx yxM + ++= 1 . Bài 16. Cho các số thực không âm 1 a , 2 a , 3 a , 4 a , 5 a có tổng bằng 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A . 54433221 aaaaaaaa +++= Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh Sổ tự học tự bồi dỡng 17. Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x bxax A ))(( ++ = (với x > 0). Bài 18. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 62 2 += xxy với 1 x . Bài 19. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 15 += xxA . Bài 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 442522 22 +++= xxxxy Bài 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: xx y 1 1 2 + = với 0 < x < 1. Bài 22. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 404208 22 ++++= xxxx . Bài 23. Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x + y 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .4 21 22 xy xy yx M ++ + = . Bài 24. Cho ba số dơng x, y, z thoả mãn điều kiện x.y.z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . )( 1 )( 1 )( 1 333 yxzxzyzyx + + + + + = Bài 25. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A .1414 ++= xxxx Bài 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B .200542425 22 ++++= yxxyyx Bài 27. Với giá trị nào của x thì biểu thức C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) có giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. Bài 28. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: abc bacacbcba M 3 ))()(( +++ = . Bài 29. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: x x y 2 4 = . Bài 30. a) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 5,2004232 ++ xyxyx . b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: f(x) = 2 21 2 xx x + . Bài 31. Cho x, y thoả mãn điều kiện 1 22 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: . 66 yxM += . Bài 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = .200233 22 +++ yxyxyx Bài 33. Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn điều kiện: 1=++ zyx . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = .)1( 2 xyyzz +++ Bài 34. Cho hai số thoả mãn đẳng thức: 4 4 1 8 2 22 =++ x yx . Xác định x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 35. a) Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện: x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = . 4224 yx y yx x + + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = 3 1 3 2 2 + ++ x x . Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh Sổ tự học tự bồi dỡng Bài 36. Tìm giá trị của x, y để biểu thức 463211426 2222 ++++++++ yyxxyyxx . Đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 37. Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó: M 2005= xx . Bài 38. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A 22 22 yxyx yxyx + ++ = . Với x, y > 0. b) Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó: B 2 9 xx = . Với 33 x . Bài 39. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A xx += 5413 . Với .51 x Bài 40. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 34 2 + + = x x y . Bài 41. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P c c b b a a 411 + + = . Với .51 x Bài 42. Gọi 21 , xx là các nghiệm của phơng trình: 0 12 4612 2 22 =++ m mmxx )0( >m . Tìm m để biểu thức A 3 2 3 1 xx += đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. A xx += 5413 . Với .51 x Bài 43. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó: B 2 25 xx = . Với .55 x Bài 44. Cho 04)(4)(3 2233 =++++++ yxyxyx và 0. >yx . Tìm giá trị lớn nhất biểu thức: M yx 11 += Bài 45. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 22 2 5 22 +++= xxxx . b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 6 44 ++ = yx yx Bài 46. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: y 54183 22 ++++= xxxx . Bài 47. Cho hai số dơng x và y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A xy yx 4 51 22 + + = . Bài 48. Cho 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = )2)(2( yx . Bài 49. Cho hai số dơng x , y thỏa mãn điều kiện: 2011 2010 =+ yx . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu: S = yx .2010 12010 + . Bài 50. a) Cho hai bộ số (a 1 ; a 2 ) và (b 1 ; b 2 ) bất kì. Chứng minh rằng: ))(().( 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2211 bbaababa +++ Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh Sổ tự học tự bồi dỡng b) Cho 0, yx và 1 22 =+ yx . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 33 yx += . Bài 51. Cho a, b, c, d là các số nguyên không âm thoả mãn: =+ =+++ 622 36432 222 2222 dba dcba Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2222 dcba +++ . Bài 52. Tìm gí trị lớn nhất của biểu thức: A = y y x x 2 1 + B. Hớng dẩn Giải: Bài 1. Ta có: A = 1 1 2 1 21 2 1 21 2)21( )1( 1 2 242 2 42 242 22 4 + = ++ = ++ ++ = + + x x xx x xx xxx x x . Mặt khác: [ ] [ ] 222222242444 )1( 2 1 )1()1( 2 1 )21()21( 2 1 )22( 2 1 1 xxxxxxxxx +++=++++=+=+ Do đó A 2 1 . Bài 2. Trớc hết ta chứng minh bài Toán phụ sau: Với * , Nba . Chứng minh rằng: ba 11 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi 1 += ab . Chứng minh: Ta có: ba 11 đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì b 1 phải đạt giá trị lớn nhất nhng nhỏ hơn a 1 . Từ đó suy ra b phải nhỏ nhất nhng phải lớn hơn a . Mặt khác: Vì * , Nba nên chỉ có thể 1 += ab (đpcm) Giải: Ta có: P zyxyxxzyxyxx ++ + = ++ + = 111 2 1111 2 1 . áp dụng bài Toán phụ trên ta có: P đạt giá trị dơng nhỏ nhất thì zyx ++ 1 phả lớn nhất và + yxx 11 2 1 phải nhỏ nhất nhng lớn hơn zyx ++ 1 . + yxx 11 2 1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi yx + 1 đạt giá trị dơng lớn nhất và x 1 2 1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất nhng lớn hơn yx + 1 . Do vậy có x 1 2 1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi 3=x . Khi đó 6 11 2 1 = x và yx + 1 6 1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi 47 ==+ yyx . Khi đó 42 1 7 1 6 111 2 1 == + yxx và zyx ++ 1 42 1 đạt giá trị dơng nhỏ nhất khi 3643 ==++ zzyx . Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh Sổ tự học tự bồi dỡng Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1806 1 43 1 42 1 = . Bài 3. Ta có: A 1 1 )1( 1 1 )12()1( 1 222 1 )1(2 2 2 2 22 2 2 2 2 + + += + ++++ = + ++ = + ++ = x x x xxx x xx x xx . Mặt khác: A 3 1 )1( 3 1 )12()1(3 1 222 1 )1(2 2 2 2 22 2 2 2 2 + = + ++ = + ++ = + ++ = x x x xxx x xx x xx Từ đó các bạn có đợc kết quả của bài Toán. Bài 4. Ta có: 31)3()1(9612 2222 +=+=+++= xxxxxxxxy 22)3()1(31 ==++= xxxx . Dấu = Xảy ra 310)3)(1( xxx . Bài 5. Ta có: M 22 )41()21(1815143 +=+++= xxxxxx 2)14()21(14214121 =++=+= xxxxxx . Dấu = Xảy ra 1754120)14)(21( xxxx . Bài 6. Ta có: A = [ ] 22222 )2.(1)2()2)(34()3()2)(1( ++=+++=+++ xxxxxxxx 4 1 4 1 2 1 )2( 2 1 2 1 )2( 2 1 2 1 )2( 2 222 += ++ += xxx Giá trị nguyên lớn nhất của m là - 1. Bài 7. Ta có: y 078)1(78 1 78 222 2 2 =+++=+ + ++ = yxxyxxyyx x xx (*) +) Nếu .101 == yy Khi đó phơng trình (*) trở thành: 4 3 068 == xx +) Nếu .101 = yy Khi đó phơng trình (*) là một phơng trình bậc hai có: ' = 25)4(98)7)1(16)'( 222 +=++== yyyyyacb . Để phơng trình (*) có nghiệm thì ' 222 5)4(025)4(0 + yy .91545 yy Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9. Bài 8. Giả sử .1 2 1 21 < xx Khi đó ++= )18216( 1 2 1 3 1 2 2 2 1 xxxyy )18216( 2 2 2 3 2 ++ xxx [ ] 21)(6)()()(21)(6)( 21 2 221 2 12121 2 2 2 1 3 2 3 1 ++++=+= xxxxxxxxxxxxxx Vì: [ ] 6)1212236(21)(6)(2 2 2 2 12121 2 2 2 121 2 221 2 1 ++++++=++++ xxxxxxxxxxxxxx 06)6( 2 2 2 1 2 21 >++++= xxxx (1) Và 0 21 < xx (vì ta giả sử 21 xx < ) (2) Từ (1) và (2) )(0 21 2 2 2 1 xfyyyyy =<< là hàm số đồng biến. 3494 4 1 )1( 2 1 yfyf . Bài 9. Ta có: + + + + + + + + + zyxzyx 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 z z y y x + + + + 111 1 (*) Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh Sổ tự học tự bồi dỡng áp dụng bất đẳng thức Cô - Si cho hai số dơng y y +1 và z z +1 ta có: )1)(1( 2 11 zy yz z z y y ++ + + + (**) Từ (*) và (**) ta có: )1)(1( 2 1 1 zy yz x ++ + (1) Tơng tự ta củng có: )1)(1( 2 1 1 zx xz y ++ + (2) Và )1)(1( 2 1 1 yx xy z ++ + (3) Từ (1), (2) và (3) 8 1 )1)(1)(1( 8 1 1 . 1 1 . 1 1 +++ +++ xyz zyx xyz zyx . Bài 10. a) Ta có: y . 4 5 4 5 2 3 4 9 1 2 3 2 3 213 22 22 +=+ ++=++= xxxxx . b) Ta có: y = 1 4 1 4 2 2 24 2 + + = ++ x x xx x áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dơng 2 x và 2 4 x ta có: + +=+ 51 4 4 4 .2 4 2 2 2 2 2 2 x x x x x x 5 1 5 1 1 4 1 2 2 + + y x x . Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS An Thịnh . ca lớn nhất Bài 14. Cho biểu thức Q 199 7321 1 111 xxxx ++++= trong đó 1 x , 2 x , 3 x ,, 199 7 x là các biến số dơng và thoả mãn điều ki n 1 199 7321 =++++ xxxx . Tìm giá trị lớn nhất. 25)4 (98 )7)1(16)'( 222 +=++== yyyyyacb . Để phơng trình (*) có nghiệm thì ' 222 5)4(025)4(0 + yy .91 545 yy Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số là (-1) và 9. Bài. biến. 3 494 4 1 )1( 2 1 yfyf . Bài 9. Ta có: + + + + + + + + + zyxzyx 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 z z y y x + + + + 111 1 (*) Giáo viên Nguyễn Anh Tú - Trờng THCS