CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH -TỐN A/ PHƯƠNG PHÁP XÉT KHOẢNG : + Nắm biết phương pháp giải phương trình chứa biến dấu giá trị tuyệt đối + biết cách xét dấu nhị thức bậc ax + b để ứng dụng vào việc giải phương trình chứa biến dấu giá trị tuyệt đối I.KIẾN THỨC BỔ SUNG * Dấu nhị thức bậc ax + b −b x a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a II.CÁC DẠNG BÀI TẬP * DẠNG : f(x) = a (1) • • a < , ta có Pt (1) : vơ nghiệm a = , ta có Pt (1) ⇔ f(x) = • a > , ta có Pt (1) ⇔   f(x) = a f(x) = -a Ví dụ 1: Giải phương trình sau : a) x − = , b) x − = giải: a) x − = ⇔ 2x – = ⇔ x = ½ 1  Vậy : S =   2  x−2=3  x=5 ⇔ b) x − = ⇔  Vậy : S = { −1;5}  x − = −3  x = −1 * DẠNG 2:  f(x) = g ( x ) f(x) = g(x) ⇔  f(x) = - g ( x) Ví dụ 2: Giải phương trình sau : x − = x −  2x −1 = x −  x = −1 ⇔ ⇔ Vậy : S = { −1;1} 2 x − = − x +  x =1 * DẠNG 3: f(x) = g(x) ⇔   f(x) ≥   f(x) = g(x)   f(x) <   f(x) = -g(x)  Ví dụ 3: Giải phương trình sau : x − = x + , ta có Pt : 3x – = 2x + ⇔ x = ( nhận) + Với x < , ta có Pt : 3x – = –2x – ⇔ x = - 4/5 ( nhận)   Vậy : S = − ;8   + Với x ≥ * DẠNG 4: a f(x) + b g(x) = h( x) + Dùng bảng xét dấu giá trị biến nghiệm đa thức , để khử dấu giá trị tuyệt đối , giải Pt Ví dụ 4.1: Giải phương trình sau : x − − x − = + Bảng xét dấu : • • • x 1/2 2x – – + + X-1 – – + Với x < ½ , ta có Pt : – 2x – 3( – x ) = ⇔ x = ( loại ) Với ½ ≤ x < , ta có Pt : 2x – – 3(1 – x ) = ⇔ x = ( loại ) Với x ≥ , ta có Pt : 2x – – 3(x – ) = ⇔ x = ( nhận ) Vậy : S = { 1} Ví dụ 4.2: Giải phương trình sau : x + x − + x − x − = ; ĐK : x ≥ ⇔ x −1 + x −1 +1 + x −1− x −1 + = ⇔ x −1 +1+ x −1 −1 = (2) ; ( x −1 +1 > ) * Nếu x > Pt (2) ⇔ x − +1 + x − - = x − = ⇔ x = (loại) * Nếu ≤ x ≤ Pt (2) ⇔ x − +1 + - x − = ⇔ 0.x = , Pt vô số nghiệm Vậy Pt cho có nghiệm ≤ x ≤ + Cách khác : Sau biến đổi đến Pt (2) ta viết : x −1 −1 = − x −1 Chú ý bất đẳng thức A ≥ A với điều kiện xảy ” =” A ≥ Vì - x − ≥ ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với ĐK ban đầu ta có ≤ x ≤ Ví dụ 4.2: c) Giai : ⇔ x2 + x + − x2 − x + + x2 = ( x + 3) −2 ( x − 1) + x2 = ⇔ x + − x − + x = (2) + Nếu x < −3 , (2)⇒ − ( x + 3) − − ( x − 1)  − x = ⇔ 0.x − = : vô nghiệm   + Nếu : −3 ≤ x < , (2)⇒ ( x + 3) − − ( x − 1)  − x = ⇔ x + = ⇔ x = −   + Nếu : ≤ x < , (2)⇒ ( x + 3) − − ( x − 1)  + x = ⇔ x + = ⇔ x = − , (loại)   + Nếu ; x ≥ , (2)⇒ ( x + 3) − ( x − 1) + x = ⇔ 0.x − = : vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = − III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải phương trình sau : a) x − x + = ; b) x2 − x + = x − c) x − x + + x + x + = B/ PHƯƠNG PHÁP TỔNG CÁC SỐ KHÔNG ÂM + Sử dụng tính chất tổng số khơng âm để vận dụng vào việc giải phương trình + Nhận dạng biến đổi phương trình dạng I.CÁC DẠNG BÀI TẬP : * DẠNG : ⇔ A2 + B2 = A =  B = Ví dụ 5: Giải phương trình sau : 2x2 + 2x + = x + (*) Giải : ĐK : 4x + ≥ ⇔ x ≥ - ¼ (*) ⇔ 4x2 + 4x + = x + ⇔ 4x2 + 4x + – x + +1 = 4x =   x=0  ⇔ 4x2 + ( x + - )2 = ⇔  ⇔ 4 x + =  4x +1 −1 = o  ( ⇔ x = ( nhận) Vậy : S = Ví dụ 5’: Tìm giá trị x, y, z biết : { 0} ) x − + y −3 + z −5 = + ĐK : x ≥ ; y ≥ ; z ≥ (1) ⇔ x − + y − + z − − x − y − z + = ( x + y + z − 7) (1) ⇔ ( x − −1) + ( y − −1) + ( z − −1) =  x − −1 = x =    ⇔  y − −1 = ⇔  y =  z =   z − −1 =  * DẠNG : A = A + B = ⇔ B = Ví dụ : Giải phương trình sau : x − + x − 3x + = (**)  x =1 x −1 =  x −1 =   ⇔   x = ⇔ x = Vậy : S = { 1} (**) ⇔    x − 3x + = ( x − 1)( x − 2) =  x =  * DẠNG : A = A + B = ⇔ B = Ví dụ : Giải phương trình sau : x2 − x + + x − =  x −1 =  x −1 = ⇔ ⇔ ⇔ x =1 Vậy : S = { 1} x − 2x +1 = ( x − 1) = II.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giải phương trình sau : a) x + y − + z − = ( x + y + z ) ; b) x + y + = x + y − ; c) x + y + z + = x − + y − + z − ; d ) 3x + x + + x + x + = C PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP VÀ BẤT ĐẲNG THỨC : + Sử dụng tính chất đối lập hai vế phương trình + Ngồi bất đẳng thức số không âm trước , cần nắm thêm sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc BĐT Cô Si; BĐT Svacxơ; BĐT giá trị tuyệt đối vào việc giải phương trình I/KIẾN THỨC CƠ BẢN 1_ Sử dụng tính chất tính chất đối nghịch giá trị hai vế Pt : * DẠNG : A  ≥m  B  ≤m  =B A  A  =m B  = m ⇔  Ví dụ : Giải phương trình sau : a) x + x + + x +10 x +14 = − x − x ⇔ 3( x +1) + + 5( x +1) + = − ( x +1) Mà (VT) = 3( x +1) + + 5( x +1) + ≥ + = , dấu”=” xảy (x + 1)2 = ⇔ x = -1 Và (VP) = – (x + 1)2 ≤ , dấu “=” xảy (x + 1)2 = ⇔ x = -1 Do : x + x + + x +10 x +14 = − x − x = (x + 1)2 = ⇔ x = -1 Vậy : S = b) { −1} x − + − x = x − 16 x + 66 ; ĐK : ≤ x ≤ (VT) : A = x − + − x ⇔ A2 = + ( x − 7)(9 − x) ≤ + x − + − x = 4 (Áp dụng BĐT Cô Si ( x − 7)(9 − x) ≤ + x − + − x = ) Do A ≤ (VP) : B = x − 16 x + 66 = (x – )2 + ≥ Theo đề A = B nên A = B = Do x – = – x ; x = (nhận) II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Ví dụ 18 : Giải phương trình sau : a) 3x + x + 12 + x − 10 x + = − x − x b) x − x + 11 + x − x + 13 + x − x + = + x − x + 15 c) = x − x + 18 x − x + 11 2_ Sử dụng bất đẳng thức CƠ-SI cho hai số khơng âm * DẠNG : Với hai số a ,b khơng âm ta có : a + b ≥ a.b Dấu “=” xảy a = b Ví dụ 9.1 : Giải phương trình sau : x2 +3 x − 2 ĐK : Vì 5x3 + 3x2 + 3x – = (x2 + x + 1) (5x – 2) Mà x2 + x + = (x + ½)2 + ¾ > nên x +3 x +3 x −2 có nghĩa 5x – ≥ ⇔ x ≥ 2/5 x +3 x +3 x −2 = ⇒ x +3 x +3 x −2 = ( x + x +1)(5 x −2) ≤ 2 x2 + x + + 5x − x = + 3x − 2 ( theo BĐT Cô-Si cho hai số không âm) Dấu “ = ” xảy x2 + x + = 5x – ⇔ x2 – 4x + = ⇔ (x – 1)(x – 3) = ⇔ x = ; x = Vậy : S = { 1;3} Ví dụ 9.2 : Giải phương trình sau : x − + − x = x − 12 x + 14 Áp dụng BĐT Cơ-Si cho hai số khơng âm ta có :b x − + − x = (2 x − 3).1 + (5 − x).1 ≤ 2x − +1 − 2x +1 + =2 2 2 x − = ⇔x=2 Dấu “ = ” xảy  5 − x = Mặt khác 3x2 – 12x +14 = 3(x2 – 4x + 4) + = 3(x – 2)2 + ≥ Dấu “ = ” xảy x – = ⇔ x = Vậy Pt có nghiệm x = 3_ Sử dụng bất đẳng thức SVAC XƠ * DẠNG 10 : ax + by ≤ (a + b )(x + y ) Dấu “=” xảy a b = x y Ví dụ 10 : Giải phương trình sau : x − + 10 − x = x − 12 x + 40 Ta có (VT) = ; ĐK : ≤ x ≤ 10 x − + 10 − x ≤ (12 + 12 )( x − + 10 − x) = x − 10 − x ⇔x=6 = 1 Mà (VP) = x − 12 x + 40 = ( x − 6) + ≥ , dấu ‘=” xảy x = Vậy phương trình có nghiệm x = Nên : x − + 10 − x ≤ , dấu ‘=” xảy 4_ Sử dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : • DẠNG 11 : A + B ≥ A+B Dấu “=” xảy A B dấu hay A.B ≥ • DẠNG 11’ : A ≥A Dấu “=” xảy A ≥ Ví dụ 11 : Giải phương trình sau : x2 − 4x + + x2 − 6x + = Giải : ⇔ ( x − 2) + ( x − 3) = ⇔ x − + x − = ⇔ x − + 3− x ≥ x − + 3− x =1 Dấu “ =” xảy : (x – 2) (3 – x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy Pt cho có nghiệm : ≤ x ≤ Ví dụ 11’ : Giải phương trình sau : x − x + + x − x + = (1) ⇔ x − + x −3 =1 Áp dụng BĐT A ≥ A dấu “=” xảy A ≥ , ta có : x −2 + x −3 = x − + − x ≥ x − +3 − x =1 (2) x − ≥ Do (1) nên phải xảy dấu “=” Pt (2) tức  3 − x ≥ ⇔ ≤ x ≤ nghiệm Pt CHỨNG TỎ PHƯƠNG TRÌNH VƠ NGHIỆM KHI CĨ VẾ LN NHỎ HƠN VẾ KIA 1) x − − x + = ; ĐK : x ≥ ⇔ x − = + x + Ta thấy vế phải lớn vế trái , Pt x + = x − x − ; ĐK : x ≥ Ta thấy vế trái lớn x , vế phải không lớn x , Pt vô nghiệm 2) x − − x + + ( x − 1)( x − x + 5) = − x ĐK : x ≥ , nên vế trái ≥ ; vế phải ≤ , suy hai vế , x = 3) II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Ví dụ 11 : Giải phương trình sau : ; ĐK : x ≥ , đưa dạng a) x + 4− x + x +9−6 x =1 b) x − + − x =1 Nghiệm : ≤ x ≤ ; ĐK : x ≥ -2 , x + − x + + x + 11 − x + = Đặt : c) x + = y ≥ đưa dạng y − + − y =1 Nghiệm : ≤ x ≤ x + − x − + x + − x − =1 Đặt : ; ĐK : x ≥ , x − = y ≥ đưa dạng y − + − y =1 Nghiệm : ≤ x ≤ 11 D PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ : + Biết thay biểu thức chứa ẩn số phương trình ẩn số phụ để phương trình trung gian mà ta biết cách giải + Biết tìm nghiệm số phụ từ suy nghiệm phương trình I/ NỘI DUNG : * DẠNG 12 : PT TRÙNG PHƯƠNG : ax4 + bx2 + c = ( a ≠ ) + Đặt : x2 = y ≥ , ta có Pt : ay2 + by + c = Ví dụ 12 : Giải phương trình sau : x4 – x2 – 12 = (1) Đặt : x2 = y ≥  y = −3(loai ) (1) ⇔ y2 – y – 12 = ⇔ (y – 4)(y + 3) = ⇔   y = 4( nhan) + Với y = ⇔ x2 = ⇔ x = ± Vậy : S = { −2; 2} * DẠNG 13 : PT dạng : (x + a)(x + b)(x + c) (x + d) = m Với a + b = c + d + Đặt y = (x + a)(x + b) Ví dụ 13 : Giải phương trình sau : (12x –1)(6x – 1)(4x – 1)(3x – 1) = 330 Giải : ⇔ (12x –1)(12x – 2)(12x – 3)(12x – 4) = 330.2.3.4 (*) Đặt : y = 12x – (*) ⇔ (y + 2)(y +1)y (y -1) = 7920 ⇔ (y2 + y - 2)(y2 + y) – 7920 = (**) Đặt t = y2 + y -1 (**) ⇔ (t – 1)(t + 1) = 7920 t2 = 7921 ⇔ t = ± 89  x =1  y =9  12 x − = ⇔ ⇔ + Với t = 89 ta có y + y – 90 =   x = −7  y = −10 12 x − = −10  12 + Với t = - 89 ta có y + y + 88 = Pt vô nghiệm  −7  Vậy : S =  ;1  12  * DẠNG 14 : PT dạng : (x + a)4 + (x + b)4 = k a+b + Đặt : y = x + Ví dụ 14 : Giải phương trình sau : ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16 (1) Giải : Đặt : y = x - (1) ⇔ ( y + 1)4 + (y – 1)4 = 16 khai triển rút gọn ta có : y4 + 6y2 – = (2) Giai Pt (2) ta : x = ; x = * DẠNG 15 : Pt có hệ số đối xứng dạng : ax4 + bx3 ± cx2 + bx + a = (a ≠0) + Vì x = khơng phải nghiệm , nên ta chia vế Pt cho x2 , Ta Pt sau : a (x2 + + Đặt : y = ( x ± 1 ± )+c=0 ) + b ( x x x ) , giải Pt ẩn y suy nghiệm x x Ví dụ 15 : Giải phương trình sau : x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + = Giải : + Vì x = khơng phải nghiệm , nên ta chia vế Pt cho x2 , 1 Ta Pt sau : (x2 + ) + 3( x + ) + = (*) x x 1 + Đặt : y = x + nên x2 + = y2 – x x (*) ⇔ y + 3y + = ⇔ (y + 1)(y + 2) = ⇔ y = - y = -2 + Với y = -1 ta có Pt : x + = -1 ⇔ x2 + x + = Pt vô nghiệm x + Với y = -2 ta có Pt : x + = -2 ⇔ x2 -2 x + = Pt có nghiệm x = -1 x DẠNG 16 : Pt đẳng cấp bậc hai u , v ( u, v phụ thuộc x ) Có dạng : au2 + buv + cv2 = ( a ≠ ) + xét v = ⇒ u = u u + Xét v ≠ 0, chia hai vế cho v ta có Pt : a  ÷ + b  ÷+ c = v v u Đặt y = ta có Pt bậc hai ẩn y : ay2 + by + c = v Ví dụ 16 : Giải phương trình sau : (x2 – 3x – )4 – 13x2 (x2 – 3x – 1)2 + 36x4 = (*) Đặt : u = (x2 – 3x – 1)2 ; v = x2 (*) ⇔ u2 – 13uv + 36v2 = ( x − x − 1) = ⇔ x ∈∅ + Xét v = ⇒ u = , ta có  x2 =  u u + xét v ≠ , chia hai cho v ta có Pt :  ÷ − 13  ÷+ 36 = v v u Đặt y =  ÷ta có PTBh : y2 – 13y + 36 = v E-PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC ( HAY PT VÔ TỈ ) DẠNG : f(x) = a + a < , Pt vô nghiệm + a = , f(x) = + a > 0) _ Giải Pt - ĐK : f(x) ≥ _ Bình phương hai vế _ Giải Pt , đối chiếu ĐK tìm nghiệm DẠNG 2: f(x) = g ( x)  g(x) ≥  ⇔ f(x) = [ g ( x) ]  Ví dụ1 Giải phương trình: x + = x − (1) x ≥ x ≥ x ≥  ⇔ ⇔ Giải: (1) ⇔   x + = x −  x − 3x = x =  Vậy: phương trình cho có nghiệm x = DẠNG 3: f (x) = a (với a ≥ 0) ⇔ f(x) = a Ví dụ Giải phương trình: x − 4x + + x = (1) Giải: (1) ⇔ (x − 2) = − x Với điều kiện x ≤ Ta có: (1) ⇔ |x – 2| = – x – Nếu x < 2: (1) ⇒ – x = – x (vô nghiệm) – Nếu ≤ x ≤ 8: (1) ⇒ x – = – x ⇔ x = ; HD: Đáp số: x = f(x) = g(x) DẠNG 4:  f ( x) ≥ 0(hayg ( x) ≥ 0) ⇔ f ( x) = g ( x)  Ví dụ : Giải phương trình sau : a) x − = x − ; x≥7/2  2x − ≥  ⇔ ⇔  2  x − = (2 x − 7)  x − 29 x + 52 = Giải Pt : 4x – 29x + 52 = x = (nh) ; x = 13/4 (loại) b) x − = 3x − x ≥5/3 x ≥5/3  3x − ≥  x ≥5/3   ⇔  ⇔  ⇔ ⇔  x − = 3x −  x − 3x + = ( x − 2)( x − 1) =  x = 2(nh); x = 1(l ) DẠNG 4.1: f(x) + g(x) = h( x) Ví dụ 1: Giải phương trình: x + = − x − (2) Giải Với điều kiện x ≥ Ta có: (2) ⇔ x+3+ x−2 =5 ⇔ 2x + + (x + 3)(x − 2) = 25 ( bình phương vế ) ⇔ (x + 3)(x − 2) = 12 − x 2 ≤ x ≤ 12 2 ≤ x ≤ 12 ⇔ ⇔x=6 ⇔ 2 25x = 150  x + x − = 144 + x − 24x Vậy: phương trình cho có nghiệm x = DẠNG 4.2: f(x) + g(x) = h( x) Ví dụ Giải phương trình: x + − x − = 12 − x (3) Giải: Với điều kiện ≤ x ≤ 12 Ta có: (3) ⇔ x + = 12 − x + x − ⇔ x + = + (12 − x)(x − 7) ( bình phương vế ) ⇔ 19x − x − 84 = x − ⇔ 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16 ⇔ 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 10 Tóm lại: + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ –2 m2 + – Nếu m ≤ –2 < m ≤ 2: phương trình có nghiệm x = 2m – Nếu –2 < m ≤ m > 2: phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải biện luận phương trình với m tham số: x − = x − m (Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 1999 – 2000) x ≥ m x ≥ m ⇔ Ta có: x − = x − m ⇔  2 2  x − = x + m − 2mx 2mx − (m + 3) = – Nếu m = 0: phương trình vơ nghiệm m2 + m2 + – Nếu m ≠ 0: x = Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m ⇔ ≥m 2m 2m + Nếu m > 0: m2 + ≥ 2m2 ⇔ m2 ≤ ⇔ ≤ m ≤ + Nếu m < 0: m2 + ≤ 2m2 ⇔ m2 ≥ ⇔ m ≤ − Tóm lại: m2 + – Nếu ≤ m ≤ m ≤ − Phương trình có nghiệm: x = 2m – Nếu − < m ≤ m > : phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải biện luận theo tham số m phương trình: x − x = m − m Giải Điều kiện: x ≥ – Nếu m < 0: phương trình vơ nghiệm – Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x − 1) = ⇒ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = – Nếu m > 0: phương trình cho tương đương với ( x − m)( x + m − 1) =  x − m =0 ⇔  x = 1− m  + Nếu < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 = (1 − m) + Nếu m > 1: phương trình có nghiệm: x = m IV Phương trình chứa thức bậc ba : I/ II/ A + B = C _ nâng lũy thừa hai vế A ± B =k u = A  Đặt  suy hệ đối xứng theo u v v=3 B  17 1) 2x +1 + x = (1) Giải : Cách :áp dụng đẳng thức (a + b) = a3 + b3 + 3ab(a + b) Lập phương hai vế , áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) 2x + + x + 3 x (2 x + 1).( x + + x ) = (2) Thay x + + x = vào Pt (2) ⇒ có x(2 x + 1) = − x ⇔ x (2x + 1) = -x3 ⇔ x(2x + + x2 ) = ⇔ x(x + 1)2 = ⇔ x = ; x = -1 Thử lại : x = thỏa mãn ; x = -1 không thỏa mãn Vậy S = { 0} Cách 2: Đặt ẩn phụ 2x +1 + x = Đặt : x + = a ; x = b , tìm a , b Thì 2x + = a3 ; x = b3 nên a3 – b3 = 2x + – 2x = Cần tìm a , biết a + b = a3 – b3 = ⇔ a3 – 2(1 – a)3 = ⇔ a3 –1- 2(1 – a)3 = ⇔ (a – )[ a2 + a + 1) + (a – 1)2 ] = Dễ thấy ( a2 + a + 1) + (a + 1)2 > nên a = , suy b = Vậy S = { 0} 2) x +1 + − x = + Cách :lập phương vế , biến đổi đưa Pt tích +Cách : Đặt x + = a ; − x = b Ta có : a + b = a3 + b3 = ⇒ 3a2 – 6a = KQ : -1 ; 3) x + − − x = +Cách : Đặt x+3 = a ; 6− x = b Ta có : a – b = a3 + b3 = ⇒ (b – 1)(2b2 + 5b + 8) = b = Nghiệm x = + Cách : Đổi dấu x + + x − = , giải tương tự 4) x +1 + x + + x + = Cách 1: Đặt 3 x + = y ⇒ y3 = x + , vào chuyển vế ta có : y − + y + = − y , lập phương vế có y3 = y y − * Với y = , có nghiệm x = -2 * Với y ≠ , có y2= y − lập phương vế , vô ngh Cách : x = -2 nghiệm Pt Với x < -2 ; x > -2 Pt vô nghiệm Xem bảng sau : X X< -2 X > -2 Ví dụ Giải (1) 97 − x + x = Giải: Đặt 97 − x = u, x +1 < -1 > -1 x+2 0 x+3 1 Vế trái 0 phương trình: x = v (u, v ≥ 0) 18 u + v = u = u =  x = 81 ⇔ ∨  ⇔ ⇒ (1) ⇔  4 v = v =  x = 16  u + v = 97 Ví dụ Giải phương trình: x + 2x − = 12(x − 1) Giải Đặt x = u, 2x − = v (1) ⇔ u + v = 4(u + v3 ) ⇔ u + v3 + 3uv(u + v) = 4(u + v ) u = −v ⇔ 3.(u + v).(u − 2uv + v ) = ⇔ 3.(u + v).(u − v) = ⇔  ⇒ kết u = v 8) ( x + 1) + ( x − 1) + x −1 = + Đặt : 9) x − + x +1 = PHƯƠNG TRÌNH KHÁC ( x +1 = a x + 24 + 12 − x = 7) 1) 2+ ) ( x + 2− ) x =4 2) 20 − − x = x − ĐK : – 2x ≥ ⇔ x ≤ / Pt trở thành 20 − − x = − x x ≥ −17 /  17 + x ≥  ⇔ − x = 17 + x ⇔  3 − x = (17 + x)  x + 35 x + 143 = Giải Pt đươc : x = - 13/2 (nhận ) ; x = -11 ( loại) c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm sớ (tìm nghiệm, chứng minh nghiệm đó là nhất) x+7 Ví dụ Giải phương trình: + = 2x + 2x − x +1 Giải: điều kiện x ≥ Dễ thấy x = nghiệm phương trình – Nếu ≤ x < : VT = + + < + Mà: VP > + x +1 – Nếu x > 2: VP = 2x2 + 2x − > 2.22 + = + VT < + ⇔ 19 x > ⇒ x +1 > +1 6 1+ < 1+ =3 x +1 +1 Vậy: phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình: 3x − 7x + − x − = 3x − 5x + − x − 3x − Giải: Thử với x = Ta có: 3.4 − 7.2 + − 22 − = 3.2 − 5.2 + − 22 − 3.2 − ⇔ 1− = − (1) ⇔ (3x − 5x − 1) − 2(x − 2) + (x − 2) − 3(x − 2) = 3x − 5x − − x − Nếu x > 2: VT < VP Nếu x < 2: VT > VP Vậy: x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình: + =6 3− x 2−x Giải: ĐK: x < Bằng cách thử, ta thấy x = nghiệm phương trình Ta cần chứng minh 8 nghiệm Thật vậy: Với x < : < 6 3− x 2−x Ví dụ Giải phương trình: 3x(2 + 9x + 3) + (4x + 2)(1 + + x + x ) = (1) ( ) ( ) ⇔ 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + = Giải: (1) ( ) ( ⇔ 3x + (3x) + = −(2x + 1) + (2x + 1) + ) 1 biểu thức hai vế Vậy x = − 5   nghiệm phương trình Hơn nghiệm (1) nằm khoảng  − ; ÷ Ta chứng minh   nghiệm 1 Với − < x < − : 3x < –2x – < Nếu 3x = –(2x + 1) ⇔ x = − ⇒ (3x)2 > (2x + 1)2 ⇒ + (3x) + > + (2x + 1) + ( ) ( ) 2 Suy ra: 3x + (3x) + + (2x + 1) + (2x + 1) + > ⇒ (1) khơng có nghiệm khoảng Chứng minh tương tự, ta đến kết luận (1) khơng có nghiệm − 1 b a Áp dụng bất đẳng thức ⇒ x 4x − > Nên: x 4x − + ≥ Dấu “=” xảy ⇔ x = 4x − ⇔ x − 4x + = x 4x − ⇔ x − 4x + − = ⇔ (x − 2) = ⇔ x − = ± ⇔ x = ± Với điều kiện x > BÀI TẬP Phương trình chứa A A  Đặt t = A ( t ≥ ) suy phương trình bậc hai theo t Phương trình chứa nhiều thức  Đặt điều kiện để thức có nghĩa  Nâng lũy thừa nhiều lần để khử dần  Giải phương trình so với điều kiện suy nghiệm Dùng ẩn số phụ  Đặt t thức, suy phương trình bậc 2, bậc 3,…theo t  Hoặc đặt u v thức, suy hệ phương trình theo u v I.2 Các ví dụ minh họa Ví dụ Giải phương trình: 3x − x + = x − Đs: x = Ví dụ Giải phương trình: x − x − = − x Đs: x = −2 Ví dụ Giải phương trình: x + + x + + x + = Đs: x = −2 Ví dụ Giải phương trình: x + x + = 1− Ví dụ Giải phương trình: x + + x + = x + 2 x + x + − 16 Đs: x = Ví dụ Giải phương trình: − x = − x − Đs: x = 1, x = 2, x = 10 Đs: x = 0, x = −1, x = Ví dụ Giải phương trình: Đs: x = I.3 Bài tập Bài Giải phương trình: Đs: x = Bài Giải phương trình: Đs: x = Bài Giải phương trình: x − + x − = 2( x − 3) + 2( x − 1) x + x−5 = x + = − 2x + x2 3x − − 3x − = − x Đs: x = Bài Giải phương trình: 16 − x + + x = Đs: x = 0, x = 21 x+3 Bài Giải phương trình: x + x −1 + x − x −1 = Đs: x = 1, x = Bài Giải phương trình: Đs: x = 1, x = x − 3x + + x − x + = Bài Giải phương trình: − x2 + − Đs: x = Bài Giải phương trình: x + 2x − + x − 2x − = 1  = −x +  x x  ≤ x ≤ Bài Giải phương trình: x + x + 11 = 31 Đs: x = ±5 Bài 10 Giải phương trình: x − − 3x − − x − = Đs: x = Bài 11 Giải phương trình: ( x + 5)( − x ) = x + x Đs: x = 1, x = −4 Đs: Bài 12 Giải phương trình: 17 + x − 17 − x = Đs: x = Bài 13 Giải phương trình: x − + x − − x − − x − = Đs: x = Bài 14 Giải phương trình: x + x + − x + x = Đs: x = 0, x = Bài 15 Giải phương trình: x + x + + x − = x + Đs: x = ±1 x+3 Bài 16 Giải phương trình: x + − x − = Đs: x = Bài 17 Giải phương trình: x + − x = + x − x − − 14 Bài 18 Giải phương trình: x + + − x + Đs: x = 0, x = Đs: x = 0, x = 2, x = ( x + 1)( − x ) = Bài 19 Giải phương trình: x + x + = ( x + 3) x + Đs: x = ±2 Bài 20 Giải phương trình: + x − = x + x + ( 11 − Bài 21 Giải phương trình: ) Đs: x = 3, x = x − − x + = x − − 2x + 22 Đs: x = Bài 22 Giải phương trình: x+ + 5− x + ( x + 2)( − x ) = 3±3 Bài 23 Giải phương trình: x + = + x Đs: x = Bài 24 Giải phương trình: x − − x + = Đs: x = Bài 25 Giải phương trình: x + + x − = x − 12 + x − 16 Đs: x = Bài 26 Giải phương trình: x + + x + + x + = Đs: x = −1 1 Bài 27 Giải phương trình: + x + − x = 2 17 Đs: x = ± , x = − 2 Bài 28 Giải phương trình: x + − x − = 3x − Đs: x = Bài 29 Giải phương trình: ( x + 1)( − x ) = + x − x Đs: x = Bài 30 Giải phương trình: ( x + 3) 10 − x = x − x − 12 Đs: x = −3 Bài 31 Giải phương trình: 3x − + x − = x − + x − x + Đs: x = Bài 32 Giải phương trình: − x + x + = x Đs: x = Bài 33 Giải phương trình: x − x + + x − = Đs: x = Bài 34 Giải phương trình: x + x − + x + x − = Đs: x = x − x2 = x + 1− x Bài 35 Giải phương trình: + x = 0, x = Đs: Đs: x = x( x − 1) + x( x + ) = x Bài 36 Giải phương trình: Đs: x = 0, x = Bài 37 Giải phương trình: ( − x) + ( + x ) − ( + x )( − x ) = x − x2 −1 + x + x2 −1 = Đs: x = 1, x = −6 Bài 38 Giải phương trình: Đs: x = 23 Bài 39 Giải phương trình: x − − x − + x − x − = Đs: x = Bài 40 Giải phương trình: x 35 − x x + 35 − x = 30 Đs: x = 2, x = ) ( Bài 41 Giải phương trình: x − x − − ( x − 1) x + x − x = Đs: x = Bài 42 x − + − x − x + x − = Đs: x = 2x 1 Bài 43 Giải phương trình: +3 + = x +1 2x Đs: x = Bài 44 Giải phương trình: 2(1 − x ) x + x − = x − x − Đs: x = −1 ± Bài 45 Giải phương trình: − x − x2 − + x − x2 = 1± Bài 46 Giải phương trình: x + x + − 2 x + x − = Đs: x = 1, x = − Bài 47 Giải phương trình: x + x − − x − x − = Đs: x ≥ Bài 48 Giải phương trình: − x + 89 + x = Đs: x = −8, x = −73 Bài 49 Giải phương trình: x + 17 − x + x 17 − x = Đs: x = 1, x = Đs: x = Bài 50 Giải phương trình: x + x = Đs: x = 4x + ( x > 0) 28 −6+5 14 Bài 51 Giải phương trình: x2 + 7x + =4 x x+2 Đs: x = 1, x = Bài 52 Giải phương trình: x − + x − = Đs: x = Bài 53 Giải phương trình: x + x + = Đs: x = 2, x = − 29 Bài 54 Giải phương trình: x+6 x−9 + x−6 x−9 = x + 23 24 Đs: x = 13, x = 25, x = 73 25 II Định m để phương trình chứa thức có nghiệm, có nghiệm nhất, giải biện luận phương trình II.1 Kiến thức cần nhớ ∗ Định m để phương trình có nghiệm F ( x, m ) = (1)  Đặt ẩn số phụ: t = ϕ ( x ) , tìm điều kiện cho ẩn số phụ t  Chuyển điều kiện x ∈ D thành t ∈ T  Biến đổi phương trình (1) thành phương trình ( 2) với t ∈ T f (t) = m  Để phương trình (1) có nghiệm x ∈ D ⇔ phương trình ( ) có nghiệm t ∈ T ⇔ Đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị y = f ( t ) T  Từ bảng biến thiên ⇒ điều kiện m Cách khác: (nếu tham số m bậc hai)  Phương trình (1) có nghiệm x ∈ D ⇔ phương trình ( ) có nghiệm t ∈ T ⇔ ( ) có hai nghiệm thuộc T ( ) có hai nghiệm thuộc T ∗ Định m để phương trình có nghiệm F ( x, m ) = (1) Điều kiện cần:  Giả sử phương trình có nghiệm x0 Dựa vào tính đối xứng, hàm số chẵn…suy x1 nghiệm phương trình  Do phương trình có nghiệm x0 = x1  Thay vào phương trình ⇒ m Điều kiện đủ:  Thay giá trị m vừa tìm vào phương trình, giải phương trình ⇒ có nghiệm Vậy phương trình có nghiệm Cách khác:  Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x )  Tìm điều kiện x ∈ D ⇔ t ∈ T  Biến đổi (1) dạng f ( t ) = m ( )  Tính f ' ( t ) , lập bảng biến thiên T ( 2) có nghiệm T ⇔ đường thẳng y = m có điểm chung với y = f ( t ) ⇒ m ∗ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH (1) F ( x, m ) =  Đặt ẩn số phụ t = ϕ ( x )  Biến đổi (1) thành phương trình đại số theo t  Tìm điều kiện ẩn số phụ t  Biện luận phương trình ( ) theo t (phương pháp đại số phương pháp đồ thị) II.2 Ví dụ minh họa Ví dụ Định m để phương trình: x + + − x + ( x + 1)( − x ) = m có nghiệm 9+6 Ví dụ Tìm m để phương trình: Đs: m ≤ Đs: ≤ m ≤ x + mx − = x − m có nghiệm 26 Ví dụ Tìm m để phương trình: − x + 23 − x = m có nghiệm Đs: m = Ví dụ Giải biện luận phương trình: x − x − = m( m > ) Đs: Nếu m > phương trình vơ nghiệm Nếu m = phương trình có nghiệm x =  m2 + 1 Nếu < m < phương trình có nghiệm x =   2m     4 Ví dụ Giải biện luận phương trình: x + x + m + x + x + m = Đs: Nếu m < 19 phương trình có nghiệm Nếu m = 19 phương trình có nghiệm Nếu m > 19 phương trình vơ nghiệm II.3 Bài tập Bài Cho phương trình: x + + − x − ( x + 1)( − x ) = m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đs: a ) x = −1, x = b) 2 − ≤ m ≤ Bài Cho phương trình: x + − x = − x + x + m a) Giải phương trình với m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm Đs: ± 65 a ) x = 0, x = 9, x = b) − ≤ m ≤ 10 Bài Tìm m để phương trình: − x + + x − ( − x )( + x ) = m có nghiệm −9+6 ≤ m ≤ Bài Tìm m để phương trình: − x = mx − x + có nghiệm Đs: m ≤ − ; m ≥ Bài Tìm m để phương trình: − x + + x = m có nghiệm Đs: < m ≤ Bài Tìm m để phương trình: x − + − x − ( x − 1)( − x ) = m có nghiệm Đs: Đs: ≤ m ≤ Bài Tìm m để phương trình: Đs: m = Bài Tìm m để phương trình: Đs: ≤ m < m ≥ Bài Tìm m để phương trình: x + − x = m có nghiệm x − x = m − x có nghiệm x + x + − x − x + = m có nghiệm 27 Đs: − < m < Bài 10 Tìm m để phương trình: 3x − 2x − = x − + mx có nghiệm Đs: m ∈ R Bài 11 Tìm m để phương trình: x + m − x = có nghiệm Đs: Khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện tốn Bài 12 Tìm m để phương trình: x + x − + x + x − = m có nghiệm Đs: m ≥ Bài 13 Tìm m để phương trình: x + x + m + x + x + m = có nghiệm Đs: m = 19 Bài 14 Giải biện luận phương trình: x + + x − = m Đs: Nếu m ≤ 0, m > phương trình vơ nghiệm Nếu ≤ m ≤ phương trình có nghiệm Bài 15 Giải biện luận phương trình: x − m + x + m = m Đs: Nếu m < 0,0 < m < phương trình vơ nghiệm Nếu m = phương trình có nghiệm x = m2 + Nếu m ≥ phương trình có nghiệm x = Bài 16 Giải biện luận phương trình: m − x − x + = x Đs: Nếu ≤ m < m2 − , m ≥ phương trình có nghiệm x = 2m − 3 ≤ m < phương trình vơ nghiệm + x −1 Bài 17 Giải biện luận phương trình: x + m = x −1 m Đs: Nếu m > phương trình có nghiệm x = m −1 Nếu m ≤ phương trình vô nghiệm 1 m( x − 1) + = Bài 18 Giải biện luận phương trình: x +1 x −1 x Đs: Nếu m < phương trình vơ nghiệm m + ± 2m + Nếu m > phương trình có nghiệm: x = m Nếu m < 1, BÀI TẬP III- Dùng ẩn phụ để giải phơng trình vô tỷ (Hệ phơng trình) Chuyển hệ phơng trình vô tỷ hệ phơng trình hữu tỷ Bài 1: Giải phơng tr×nh : x − x + = (1) Giải: ĐK x + x Đặt: y = x + ; y0 Từ phơng trình (1) chuyển thành hệ phơng trình 28 ( 2) ( 3)  x − y =  y − x =  x2 − y2 + x − y = Trõ vế (2) (3) ta đợc: ( x − y )( x + y + 1) = , Xảy trờng hợp a) x y = hay x = y ≥ , thay vào (2) ta có: Giải ta đợc x1 = ( x2 − x − = ) ( ) 1 + 21 (NhËn) ; x2 = 21 (Loại) y = x < 2 b) x + y + = hay y = − x − ≥ , thay vµo (2) ta cã: x + x = Giải ta đợc: x = − ( 1 + 27 ) VËy ph¬ng trình đà cho có nghiệm: x1 = Bài 2: Giải phơng trình : x x 1000 + 8000 x = 1000 Đặt: ( ) ( 1 + 21 vµ x2 = − + 17 2 ( 1)  x − x = 2000 y  + 8000 x + = y ; KÕt hỵp víi (1) ta ®ỵc hƯ:   y − y = 2000 x  Tõ hÖ (2) suy : ( x − y )( x + y − + 2000) = ) (2) ( 3) 2001( x + y ) = x + y > ⇒ x + y + 1999 > Tõ hÖ (2) cách cộng ta đợc: Vậy từ (3) ta có x = y thay vào (1) ta đợc x x = 2000 x Giải phơng trình ta ®ỵc : x1 = 0; x2 = 2001 x1 = thay vào (Loại) ; Vậy phơng trình có nghiệm x = 2001 Bài 3: Giải phơng trình : GiảI : Đặt x + 35 x = (1) a = x   b = 35 − x  a + b = Từ phơng trình (1) chuyển thành hệ phơng trình: 3 a + b = 35 Biến đổi phơng trình (3) thành: ( 2) ( 3) ( a + b ) − 3ab( a + b ) = 35 Kết hợp với (2) ta đợc ab = a = , b1 = a + b = Giải hệ ta đợc nghiÖm a = , b2 = a − b = Tõ ®ã x1 = 27 x2 = nghiệm phơng trình (1) Bài 4: Giải phơng trình : x + x +1 = (1) ; §K: x ≥ −1 29 a = x −  Gi¶I : Đặt b = x + (b ≥ 0) ( 2) ( 3) a + b = Phơng trinh (1) chuyển thành hệ PT:  a − b = −3 a − a + 6a − = ( ) Tõ (2) ta cã: b = − a ; thay vào (3) ta đợc ( a 1) a + = ⇒ a −1 = ⇒ a = 1⇒ b = a − a + 6a − = ( t m) ( ) ⇔ ( a − 1) a + = ⇒ a −1 = a = b = Bài 5: Giải phơng trình : Giải : ĐK: ( t m) 25 − x − 10 − x = 10 x 10 ; Đặt Từ ta cã: x = + a = ( t m) (1) a = 25 − x   b = 10 − x  ( a, b ) Từ phơng trình (1) ta cã: a − b = Ta cã: a2 − b2 = ( 25 − x ) − ( 10 − x ) 2 = 15 ViÖc giải phơng trình (1) chuyển giải HPT hữu tỷ sau: a b = Giải hệ đợc  a − b = 15  Bµi 6: Giải phơng trình ; 97 x + x = a = ; Tõ ®ã ta tìm đợc x1 = 3; x2 = b =1 (1) Giải: ĐK: x 97 Đặt 97 x = a  x =b  ( a, b ≥ ) a + b = a = 3; b =  4 ViƯc gi¶i PT (1) chun vỊ gi¶i hƯ PT : a + b = 97 Gi¶i hệ ta đợc a = 2; b = Tõ ®ã suy ra: x1 = 81; x2 = 16 Bài tập tơng tự: Giải phơng trình sau: 1) 10 − x − x + = 30 48 − x + 35 − x = 2) 3) 32 − x − − x = 4) x − + = 82 − x 5) x + 20 − x = 6) x + = 23 x − 2) Dùng ẩn phụ để đa phơng trình vô tỷ phơng trình bậc hai: Bài 1: Giải phơng trình: 23 x − 53 x = (§Ị thi vào chuyên toán Lê Quý Đôn - ĐN) Đặt t = x ; Phơng trình đà cho 2t 5t = Phơng trình cã nghiƯm lµ t1 = − ; t2 = Do phơng trình đà cho có nghiÖm x1 = − ; x = 27 Bài 2: (Đề thi vào lớp chuyên KHTN - Nguyễn TrÃi - 2000) Giải phơng trình: x + + 2x + = ( y ≥ 0) x = y Giải: ĐK: x 4,5 ; Đặt: y = x + Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc y + y2 − = ⇔ y2 − = − y y ≤ 9 − y ≥  ⇔ ⇔ 2  y + 18 y − 88 = 2 y − = 81 − 18 y + y  ( *) Giải phơng trình (*) ta đợc: y = 4; y = −13 (Lo¹i) ; Víi y = ta đợc x+8 = x =8 KL: phơng trình có nghiệm x = Bài 3: (Đề thi vào Nguyễn TrÃi-2003) Giải phơng trình ; x − + x + = Gi¶i: ĐK: x ; đặt: x = y; Thay vào phơng trình ban đầu ta đợc : ( y ≥ 0) ⇒ x = y2 +1 2y + y2 + = ⇔  y =   y + = + 4y − 8y 3 y − y =  ⇔ ⇔ ⇔  y = y ≤1 y ≤1  y ≤1  2 VËy phơng trình có nghiệm y + = 2(1 − y ) §K: y ≤ (l ) Víi y = ⇒ x = x =1 31 ... < phương trình có nghiệm x =   2m     4 Ví dụ Giải biện luận phương trình: x + x + m + x + x + m = Đs: Nếu m < 19 phương trình có nghiệm Nếu m = 19 phương trình có nghiệm Nếu m > 19 phương. .. x ≤ -2 Do x = -2 , nghiệm Pt x + − x + 10 = x + + x + ; ĐK : x ≥ - Bình phương hai vế , xuất ĐK : x ≤ -1 Nghiệm x = -1 G GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I .Phương trình. .. + x(x + 9) = 2x − + (x − 4)(x − 1) ⇔ + x(x + 9) = (x − 1)(x − 4) 2 ⇔ 49 + x + 9x + 14 x(x + 9) = x − 5x + ⇔ 45 + 14x + 14 x(x + 9) = Với x ≥ ⇒ vế trái phương trình ln số dương ⇒ phương trình vơ