CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ §2.2. HÀM SỐ LIÊN TỤC Mở đầu. Khi * xx thì 3 x có tiến về 3 * x hay không? Nếu có thì tại sao? Vấn đề này mở đầu cho khái niệm hàm số liên tục. 1. HÀM SỐ LIÊN TỤC Đònh nghóa. Xét hàm số :fD với D là một tập con không rỗng của . Hàm số f được gọi là liên tục tại x thuộc D có nghóa là 0, 0, , nếu thì ( ) ( )t D t x f t f x (1) Trường hợp f liên tục tại mọi x thuộc D thì ta nói f liên tục trên D, hoặc nói vắn tắt là f liên tục. Hàm số f được gọi là liên tục đều trên D có nghóa là 0, 0, , , nếu thì ( ) ( )t x D t x f t f x (2) Ta cần phân biệt rõ là trong đònh nghóa (1),  tồn tại trên cơ sở x và  được cho trước; còn trong đònh nghóa (2),  chỉ phụ thuộc vào mỗi  , lúc đó x, t tự do. Ta có đặc trưng cho tính liên tục bằng giới hạn tại các điểm tụ như sau: Mệnh đề 2.2.1. Cho :fD và x là điểm tụ của D, đồng thời x thuộc D. Khi đó, f liên tục tại x nếu và chỉ nếu lim ( ) ( ). tx f t f x Mệnh đề trên được suy trực tiếp từ đònh nghóa của tính liên tục và của giới hạn hàm số. Ngoài ra, khi x thuộc D nhưng x không là điểm tụ của D thì mặc nhiên f sẽ liên tục tại x (sinh viên tự kiểm chứng điều này). Ngoài ra, ta cũng có đặc trưng tính liên tục của hàm số thông qua dãy hội tụ như sau Mệnh đề 2.2.2. Hàm số :fD liên tục tại x thuộc D nếu và chỉ nếu ứng với mọi dãy () n xD hội tụ về x, ta có dãy () n fx hội tụ về f(x). Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 Chứng minh. Nếu f liên tục tại x, nghóa là ta có (1), thì với dãy bất kỳ () n xD hội tụ về x, tồn tại số p sao cho , n n p x x Do đó , ( ) ( ) n n p f x f x nghóa là ( ) ( ). n f x f x Ngược lại, nếu f không liên tục tại x, nghóa là không có (1), thì ta chứng minh có một dãy () n xD hội tụ về x, nhưng () n fx lại không tiến về f(x) khi n . Thật vậy, phủ đònh (1) là 0, 0, , và ( ) ( )x D x x f x f x Suy ra, với mỗi * n , xét 1/n thì 1 , và ( ) ( ) n n n x D x x f x f x n Vậy ta có dãy () n xD hội tụ về x, nhưng () n fx lại không tiến về f(x) khi n . Kết thúc chứng minh ■ Nhận xét. Theo mệnh đề 2.2.2 ở trên, khi chứng minh f không liên tục tại điểm x * thuộc miền xác đònh, ta chỉ cần chỉ ra một dãy (x n ) chứa trong miền xác đònh hội tụ về x * , nhưng dãy (f(x n )) không hội tụ về f(x * ). Với các tính chất của dãy hội tụ kết hợp với mệnh đề 2.2.2, ta có tính liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp như sau: Mệnh đề 2.2.3. Xét các hàm số , : .f g D Nếu f và g liên tục tại xD (hoặc liên tục trên D) thì các hàm , .f g f g cũng liên tục tại x (hoặc liên tục trên D). Ngoài ra, khi ( ) 0gx thì hàm f/g cũng liên tục tại x, suy ra hàm số f/g liên tục trên tập hợp { / ( ) 0}.x D g x Mệnh đề 2.2.4. Xét các hàm số 12 . fg DD Nếu f liên tục tại 1 xD và g liên tục tại 2 ()y f x D thì hàm hợp ()g f g f liên tục tại x. Suy ra nếu f liên tục trên D 1 và g liên tục trên 12 ()f D D liên tục trên D 1 . Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 3 2. TÍNH CHẤT HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN Đònh lý 2.2.5 [Đònh lý Weierstrass về hàm số liên tục]. Giả sử f là hàm số xác đònh và liên tục trên đoạn [a, b], với ,.ab Khi đó, (i) f là hàm số bò chặn trên đoạn [a, b], nghóa là, tập hợp f([a, b]) là một tập con bò chặn của . (ii) f đạt giá trò nhỏ nhất và lớn nhất trên [a, b], nghóa là, tồn tại * * , [ , ]x x a b sao cho * * [ , ], ( ) ( ) ( ).x a b f x f x f x Viết cách khác là * * [ , ] [ , ] ( ) min ( ) và ( ) max ( ). x a b x a b f x f x f x f x Chứng minh. (i) Giả sử phản chứng tập hợp f([a, b]) không bò chặn, nghóa là, 0, [ , ], ( ) . MM M x a b f x M Khi đó, với mỗi * ,n xét M = n ở trên, ta nhận được một dãy ( ) [ , ] n x a b thỏa tính chất * , ( ) . n n f x n Từ đònh lý Bolzano- Weierstrass, (x n ) có dãy con [ , ] k n x x a b khi k . Mặt khác f liên tục tại x nên ( ) ( ) k n f x f x khi k , suy ra ( ) ( ) k n f x f x khi k . Điều này mâu thuẫn với sự kiện , ( ) k nk k f x n k . (ii) Do tính bò chặn của f, ta đặt sup ( ). a x b M f x Từ đặc trưng của sup, ta có điều sau đây * 1 , [ , ], ( ) . nn n x a b M f x M n Nghóa là ta có dãy ( ) [ , ] n x a b thỏa () n f x M khi .n Mặt khác, cũng từ đònh lý Bolzano-Weierstrass, (x n ) có dãy con * [ , ] k n x x a b khi .k Do f liên tục nên ta suy ra Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 4 * ( ) ( ) k n f x f x , nghóa là * ( ) .f x M Chứng minh tương tự, f cũng đạt giá trò nhỏ nhất trên [a, b] ■ Đònh lý 2.2.6 [Đònh lý giá trò trung gian của hàm số liên tục]. (i) Nếu f liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ( , )c a b sao cho f(c) = 0. (ii) Nếu f liên tục trên [a, b] thì ([ , ]) [ , ]f a b m M với m và M giá trò nhỏ nhất và lớn nhất của f trên [a, b]. Chứng minh. (i) Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử ( ) 0 ( )f a f b (trường hợp ngược lại thì thay f bởi f ). Xét hai dãy (a n ) và (b n ) chứa trong [a, b] được đònh nghóa bằng quy nạp như sau: 11 ; ,a a b b 1 nếu 0 2 nếu 0 22 nn n n n n n n ab af a a b a b f và 1 nếu 0 2 . nếu 0 22 nn n n n n n n ab bf b a b a b f Khi đó (a n ) là dãy tăng, (b n ) là dãy giảm và ta có 1 , ( ) 0 ( ) và . 2 n n n n n ba n f a f b b a Suy ra, hai dãy (a n ) và (b n ) có cùng giới hạn [ , ]c a b và từ tính liên tục của f, ta suy ra lim ( ) ( ) 0 và lim ( ) ( ) 0, nn nn f a f c f b f c do đó ( ) 0,fc và dó nhiên ,.c a b (ii) Theo đònh lý 2.2.5, f đạt giá trò nhỏ nhất m và lớn nhất M, với ** ** ( ) và ( ) ; , [ , ].f x m f x M x x a b Hiển nhiên ([ , ]) [ , ].f a b m M Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 5 Tiếp theo, ứng với y bất kỳ thuộc (m, M), hàm số F đònh bởi [ , ], ( ) ( )x a b F x f x y sẽ thỏa * * ( ). ( ) 0.F x F x Theo chứng minh (i) thì tồn tại giá trò c nằm giữa * * và xx thỏa ( ) 0,Fc hay là ( ) .f c y Vậy ([ , ]).y f a b Do y là bất kỳ thuộc (m, M) nên ( , ) ([ , ]).m M f a b Vậy ([ , ]) [ , ].f a b m M ■ Đònh lý 2.2.7. Cho : [ , ]f a b là hàm số liên tục. Khi đó f liên tục đều trên [a, b]. Chứng minh. Giả sử phản chứng là f liên tục nhưng không liên tục đều trên [a, b], lúc đó 0, 0, , [ , ], và ( ) ( ) .x x a b x x f x f x Vậy với mỗi * ,n xét 1/n như trên thì ta có hai dãy ( ) và ( ) nn xx chứa trong [a, b] thỏa 1 nn n xx và ( ) ( ) nn f x f x với mọi * .n Theo đònh lý Bolzano-Weierstrass, ( ) và ( ) nn xx lần lượt có các dãy con [ , ] k n x x a b và [ , ]. k n x x a b Từ bất đẳng thức 1 lim lim 0, kk nn kk k x x x x n dùng đònh lý kẹp, ta suy ra xx và do tính liên tục của f, ( ) ( ) k n f x f x và ( ) ( ) ( ). k n f x f x f x Do đó 0 lim ( ) ( ) kk nn k f x f x vô lý. ■ Bài tập 1. Chứng minh 33 lim tx tx , nói cách khác ánh xạ 3 xx liên tục trên . 2. Chứng minh limsin sin , tx tx nói cách khác hàm sin liên tục trên . 3. Chứng minh limcos cos . tx tx Suy ra các hàm số tan, cot liên tục trên miền xác đònh của nó. 4. Hãy khảo sát tính liên tục của các hàm sau tại x * : a) Hàm số :f đònh bởi Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 6 * 1 ( 1)sin nếu 1 ( ) , 1. 1 7 nếu 1 xx f x x x x b) Hàm số :f đònh bởi * 1 cos nếu 1 ( ) , 1. 1  nếu 1 x f x x x ax c) Hàm số :f đònh bởi * 11 sin nếu 1 ( ) ; 1. 11 0 nếu 1 x f x x xx x d) Hàm số f đònh bởi ()f x x , trong đó [x] là phần nguyên của số thực x, với * 2.x e) Hàm số :f đònh bởi 1 nếu () 0 nếu x fx x , với x * tùy ý. 5. Chứng minh hàm số f đònh bởi 2 ()f x x liên tục, nghóa là 22 lim , tx xt nhưng f không liên tục đều trên . Suy ra tích của hai hàm số liên tục đều trên D không hẳn là liên tục đều. 6. Chứng minh hàm số f đònh bởi 1 ()fx x liên tục, nhưng f không liên tục đều trên (0, ). 7. Chứng minh hàm số f đònh bởi 1 ()fx x liên tục đều trên [1, ). 8. Cho :f D D , với ,D là hàm số tăng, nghóa là , , nếu thì ( ) ( ).x y D x y f x f y Cho 1 uD và đặt 1 ( ). nn u f u Chứng minh dãy số (u n ) đơn điệu. Nếu thêm giả thiết D = [a, b] và f liên tục thì chứng minh dãy (u n ) hội tụ về L thỏa L = f(L). . CHƯƠNG 2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 2. 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC Mở đầu. Khi * xx thì 3 x có tiến về 3 * x hay không? Nếu có thì tại sao? Vấn đề này mở đầu cho khái niệm hàm số liên. 2. 2 .2, ta có tính liên tục của các hàm tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp như sau: Mệnh đề 2. 2.3. Xét các hàm số , : .f g D Nếu f và g liên tục tại xD (hoặc liên tục trên D) thì các hàm. số 12 . fg DD Nếu f liên tục tại 1 xD và g liên tục tại 2 ()y f x D thì hàm hợp ()g f g f liên tục tại x. Suy ra nếu f liên tục trên D 1 và g liên tục trên 12 ()f D D liên tục trên