§7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ 1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy: Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n ) và cho số thực . Khi đó (i) lim( ) lim lim n n n n x y x y (ii) lim( ) lim và lim( ) lim . lim . n n n n n n x x x y x y (iii) Nếu 0 lim 0 và 0, nn y y n n (n 0 là số tự nhiên nào đó) thì lim lim . lim nn nn xx yy 2) Giới hạn bảo toàn thứ tự các dãy: Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n ) (i) Nếu 0 , nn x y n n (với n 0 nào đó) thì lim lim . nn xy (ii) [tiêu chuẩn “giới hạn kẹp”] Nếu lim lim nn x y a và có thêm dãy số (a n ) thỏa 0 , n n n x a y n n thì lim . n aa 3) Tính chất bò chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số đó bò chặn. Như vậy, dãy số nào không bò chặn thì dãy số đó phân kỳ. 4) Các giới hạn cơ bản: (i) Với r > 0, ta có 1 lim 0, r n n (ii) Với r > 0, ta có lim 1, n n r (iii) lim 1, n n n (iv) Với r > 0 và , ta có lim 0, (1 ) n n n r (v) Với 1x , ta có lim 0. n n x Chứng minh. (i) Với 0 tùy ý, chọn 1/ 1 1. r p Khi đó 11 ,0 rr np np Như vậy giới hạn được chứng minh theo đònh nghóa. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 (ii) Xét trường hợp r > 1 và xét dãy (x n ) đònh bởi 1, . n n x r n Theo khai triển của nhò thức Newton thì (1 ) n nn r x nx (do 0 n x ) nên ,0 . n r nx n Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp thì lim 0, n x suy ra lim 1. n r Trường hợp r = 1 thì hiển nhiên. Khi 0 < r < 1 thì 1 1s r , áp dụng trường hợp trước, ta có 11 lim 1 lim . lim n nn s rr Vậy lim 1. n r (iii) Vì , 1 0 n n n x n nên 2 2 2 ( 1) 2, (1 ) 2 n n n n n nn n n x C x x (khai triển nhò thức Newton). Từ đó ta suy ra 1/ 2 2 2, 0 . ( 1) n nx n Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả (i) ta suy ra 0. n x Vậy lim 1. n n (iv) Để dễ hình dung, ta xét thì 33 (1 ) , 3. n n r C r n (Trường hợp tổng quát, chọn số tự nhiên [ ] 1k thì ta có (1 ) , n k k n r C r n k ). Ta suy ra, với mọi 3n thì 2,7 2,7 2,7 3 3 3 3 3 3 0,3 3! 6 1 0. ( 1)( 2) (1 ) ( 2) n n n n n n n n n r C r r r n n Dùng tiêu chuẩn giới hạn kẹp và kết quả câu (i), ta có đpcm. (v) Khi x = 0 thì hiển nhiên. Nếu 01x , chọn 1 0 x r x thì ta có 1 1 x p và 1 00 (1 ) n n n xx r khi .n Bài tập Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 3 1. Với tập con A của khác rỗng bò chặn trên, hãy chứng minh rằng có dãy số () n xA sao cho sup n xA khi .n Phát biểu kết quả tương tự khi A bò chặn dưới. 2. Cho dãy số (x n ) bò chặn trên và có tính chất 1 ,. nn n x x Chứng minh rằng (x n ) là dãy hội tụ. 3. Cho dãy số (x n ) bò chặn dưới và có tính chất 1 ,. nn n x x Chứng minh rằng (x n ) là dãy hội tụ. 4. Cho dãy số (x n ) hội tụ về 0 và dãy số (y n ) bò chặn. C/m rằng dãy số (x n y n ) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bò chặn là một dãy hội tụ về 0). 5. Cho (x n ) là dãy số dương hội tụ về x > 0. Chứng minh rằng lim 1. n n n x Nếu x = 0 thì kết quả còn đúng không? 6. Với số thực x tùy ý, chứng minh rằng có một dãy (q n ) gồm các số hữu tỉ và một dãy (r n ) gồm các số vô tỉ sao cho n qx và n rx khi n . 7. Cho hai dãy số (e n ) và (E n ) đònh bởi 1 1; n n e n 1 1 1 n n E n . Chứng minh rằng a) 1 ,. nn n e e Hdẫn: 1 1 2 11 1 ( 1) n n n e n en n , dùng bất đẳng thức Bernouli. b) 1 ,. nn n E E Hdẫn: 2 1 1 1. 1 ( 2) n n n E n E n n n c) Chứng minh tồn tại các giới hạn sau lim lim . nn eE §8. DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY CON Việc kiểm chứng sự hội tụ của dãy số bằng đònh nghóa đòi hỏi ta phải biết giới hạn của nó. Nhưng đối với dãy đơn điệu thì không cần như vậy. Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 4 1. Đònh nghóa: Dãy số (x n ) được gọi là đơn điệu tăng (nói vắn tắt là dãy tăng) nghóa là 1 ,. nn n x x Nếu chiều bất đẳng thức ngược lại thì ta nói dãy số là đơn điệu giảm. Dãy tăng hoặc giảm được gọi chung là dãy đơn điệu. 2. Đònh lý 7.1. Nếu (x n ) là dãy số tăng và bò chặn trên thì nó hội tụ về sup n n x với sup sup . nn n x x n Nếu (x n ) là dãy số giảm và bò chặn dưới thì nó hội tụ về inf n n x với inf inf . nn n x x n Chứng minh. sinh viên làm bài tập ở bài học trước. 3. Đònh lý 7.2. Dãy (e n ) đònh bởi 1 1 n n e n là dãy số tăng, bò chặn trên. Do đó, dãy này có giới hạn được ký hiệu là lim . n ee Số e được gọi là số Néper. Chứng minh. sinh viên làm bài tập ở bài học trước. 4. Đònh nghóa dãy con: Cho (n k ) là dãy tăng ngặt các số tự nhiên, nghóa là 1 , và . k k k k n n n Ứng với mỗi dãy số (x n ), ta đặt , k kn y x k , thì dãy số mới (y k ) được gọi là dãy con của dãy (x n ), và thay vì viết (y k ), ta viết () k nk x . Ta xét các ví dụ đặc biệt sau đây: Xét ,, k n k k thì dãy con () k n x cũng chính là dãy () n x . Như vậy mọi dãy đều là dãy con của chính nó. Xét ,, k n k p k với p là số tự nhiên cố đònh, thì dãy con () k n x là tònh tiến của dãy (x n ). Ví dụ dãy 2 () kk x là tònh tiến của dãy (x n ) sang phải hai đơn vò. 5. Mệnh đề 7.3. * Dãy số (x n ) hội tụ nếu và chỉ nếu mọi dãy con của nó đều là dãy hội tụ và có cùng một giới hạn. * Với một dãy số là đơn điệu, nếu nó có một dãy con hội tụ thì nó cũng hội tụ; nếu nó có một dãy con phân kỳ thì nó cũng phân kỳ. Sinh viên tự chứng minh mệnh đề trên. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 5 6. Đònh lý Bolzano-Weierstrass. Mọi dãy số thực bò chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ. Chứng minh. Trước hết ta chứng minh “dãy số thực (x n ) bất kỳ luôn có ít nhất một dãy con đơn điệu”. Thật vậy, xét tập hợp ,. mn A n m n x x Các chỉ số n thuộc A được gọi là “đỉnh” (đỉnh cao). Có hai trường hợp xảy ra: (i) Nếu A có vô hạn đỉnh, ta đặt 1 minnA và 11 min \ , , , . kk n A n n k thì (n k ) là dãy tăng ngặt các số tự nhiên và 1 ,, kk nn x x k nghóa là () k n x là dãy con đơn điệu giảm. (ii) Nếu A có hữu hạn phần tử, hoặc là tập rỗng, khi đó ta đặt 1 1 max ,nA thì n 1 không thuộc A, do đó có n 2 > n 1 sao cho 21 . nn xx Tương tự, n 2 cũng không thuộc tập A, ta có n 3 > n 2 sao cho 32 nn xx v.v Nghóa là ta có thể đònh nghóa được dãy con () k n x đơn điệu giảm. Tiếp theo, ta giả sử thêm dãy (x n ) bò chặn. Từ bổ đề đã chứng minh trên, ta có dãy con đơn điệu bò chặn, do đó dãy con này hội tụ, ta kết thúc chứng minh đònh lý. 7. Đònh lý (về tính đầy đủ của ). Mọi dãy số trong hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy. Chứng minh. Trong bài tập trước, ta đã chứng minh nếu dãy số (x n ) là hội tụ thì nó là dãy Cauchy. Ta xét vấn đề ngược lại, giả sử (x n ) là dãy Cauchy, khi đó dãy này bò chặn (bài tập trong bài dãy số hội tụ). Theo đònh lý B-W thì có dãy con () k n x hội tụ về x. Ta chứng minh (x n ) cũng hội tụ về x. Thật vậy, cho trước số 0, do tính chất dãy Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 6 Cauchy, tồn tại số tự nhiên p sao cho ,, 2 nm m n p x x Vì dãy (n k ) là dãy số tự nhiên tăng ngặt nên k np khi k đủ lớn, và lúc đó ,. 2 k k k n n n n n n p x x x x x x x x Do tính chất bảo toàn thứ tự của giới hạn, ta cho k thì ta được ,, 2 n n p x x từ đây suy ra dãy (x n ) hội tụ về x. 8. Nhận xét. - Nếu một dãy số không bò chặn thì nó phân kỳ. - Nếu một dãy số có hai dãy con hội tụ về hai giới hạn khác nhau thì nó phân kỳ. - Nếu một dãy số không phải là dãy Cauchy thì nó phân kỳ. Bài tập 1. Chứng minh rằng nếu () k n x là dãy con của dãy (x n ) thì ,. k k n k 2. Chứng minh rằng dãy số (x n ) không bò chặn khi và chỉ khi có dãy con () k n x sao cho ,. k n k x k 3. Cho dãy số (x n ) đònh bởi * 11 6 2, , 12 n n n x x n x x . 1) Chứng minh * , 0. n nx 2) Chứng minh * , 3. n nx (Gợi ý: 30 n x ). 3) Khảo sát tính đơn điệu của dãy (x n ) và tìm giới hạn (nếu có) của dãy này. 4. Cho dãy số (x n ) được đònh nghóa như sau: 1 0xa và 1 ,. nn n x a x Chứng minh dãy (x n ) đơn điệu và bò chặn. Tính lim . n x 5. Hỏi như bài trên nhưng với dãy số như sau: 1 0xa và 1 ,. nn n x a x Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 7 6. Cho dãy số (x n ) được đònh nghóa như sau: 1 2,5x và 2 1 1 , ( 6). 5 nn n x x Chứng minh dãy (x n ) đơn điệu và bò chặn. Tính lim . n x 7. Cho dãy số (x n ) được đònh nghóa như sau: 1 1x và 1 1 ,. 2 [ ] n n n x nx x Chứng minh dãy (x n ) đơn điệu và bò chặn. Tính lim . n x 8. Cho dãy số (x n ) được đònh nghóa như sau: 1 10x và 1 1 ,. 2 n n n x nx x Chứng minh dãy (x n ) đơn điệu và bò chặn. Tính lim . n x 9. Cho dãy số (x n ). Giả sử hai dãy con 2 () k x và 21 () k x hội tụ về cùng một giới hạn x. Hỏi rằng dãy số (x n ) có hội tụ không? . hội tụ về 0 và dãy số (y n ) bò chặn. C/m rằng dãy số (x n y n ) hội tụ về 0 (tích của một dãy hội tụ về 0 với một dãy bò chặn là một dãy hội tụ về 0). 5. Cho (x n ) là dãy số dương hội tụ. thêm dãy số (a n ) thỏa 0 , n n n x a y n n thì lim . n aa 3) Tính chất bò chặn của dãy hội tụ: dãy số nào hội tụ thì dãy số đó bò chặn. Như vậy, dãy số nào không bò chặn thì dãy số đó. §7. CÁC TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ HỘI TỤ 1) Giới hạn bảo toàn các phép tính của dãy: Cho hai dãy số hội tụ (x n ) và (y n ) và cho số thực . Khi đó (i) lim( )