Chuyên ñ h c sinh gi i PH N 2: H PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP TH 2 y ( x − y ) = 3x Ví d 1: Gi i HPT :  2   x( x + y ) = 10 y  (1) (2) Gi i : + N u x=0 y=0 +N u y=0 x=0 +N u xy ≠ chia t ng v c a PT(1) cho PT(2) ta có :  x2 = y2 y( x − y ) 3x = ⇔ 20 y ( x − y ) = x ( x + y ) ⇔ 3x − 17 x y + 20 y = ⇔  2 x = y 10 y x x +y   2 -N u x = y h ñã cho tr thành : ( ) 2 y.3x = 3x 2 y = x 2 y = x  x = 2; y =   ⇔ ⇔ ⇔     x = −2; y = −1  xy =  x.5 y = 10 y 2 y = -N u x = y h ñã cho tr thành :  15 135  2 x= ;y= y y = x  3   4 y = x 2 135  4 y = x ⇔ ⇔ ⇔  4   15 135 4 xy = 15  x y = 10 y 16 y = 135 x = − ;y=−    135  KL : V y h ñã cho có nghi m…  x4 + y = Ví d : Gi i HPT :  2  x y + 5x =  (1) (2) (Ch n ðT ð ng Nai) Gi i : Tr v v i v c a (1) cho (2) ta có : x = y x − x y + 5( y − x) = ⇔ ( x − y ) x ( x + y ) − = ⇔   x ( x + y) = ( ) -N u x=y th vào (1) ta có :  x = −2 x + x − = ⇔ ( x − x + 3) ( x + )( x − 1) = ⇔  x = V i x=-2 y=-2 V i x=1 y=1 -N u x ( x + y ) = ⇒ y = − x th vào (1) ta có : x2 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 14 Chuyên ñ h c sinh gi i   x +  − x  = ⇔ x − x − x + 25 = x  T (1) ta có : x = − x y ≤ ⇒ x ≤ ( *) 6 Do : x + x ≤   +   < 25 ⇒ x − x3 − x + 25 > nên (*) vô nghi m    5 5 KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1)  x − x − y −1 = Ví d : Gi i HPT :   (1) y + x + 2y x − y x =  (HSG t nh Qu ng Bình) (2) Gi i : ðK : x ≥ 0; x − y − ≥ Ta có : (1) ⇔ x = x − y −1 +1 ⇔ x = x − y −1 + + x − y −1   y ≥ y ≥ y ≥ ⇔ y = x − y −1 ⇔  ⇔ ⇔ y + = x  y = 4( x − y − 1) ( y + ) = x   PT (2) ⇔ y + x + y x − y x = ( ⇔ y+ x ) = xy ⇔ y + x = y x Ta có     y + = x y + = x y + = x  x = ; y = −1 ⇔ ⇔ ⇔    y + y + = y ( y + 2) y − y − = y + x = y x     x = 4; y = 2 x y + xy = x + y (1) (Ch n ðT Nha Trang) Ví d : Gi i HPT :   7 y + = x + x  (2) Gi i : N u x + x − = không tho mãn PT(1) nên (1) ⇔ y = PT(2) ⇔ y = x2 x + 3x − x2 + x − Do ta có PT : Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 15 Chuyên ñ h c sinh gi i 4x2 x2 + 9x − = ⇔ 28 x = x + x − x + x − x2 + 3x −   x = −2  ⇔ ( x + )( x − 1) x + x − 27 = ⇔  x =    x = −9 ± 33   16 -V i x = −2 ⇒ y = − 1 -V i x = ⇒ y = − −9 ± 33 x2 + x − -V i x = ⇒ x + x − 27 = ⇒ y = =3 ( ( )( ) ) Ví d :Gi i h phương trình :     3x 1 + =   y − 24 x       −21 y 1 − y − 24 x  =    Gi i : ði u ki n x > 0, y > H ñã cho tương ñương 1   1+ = 1 = 21x + −21 y (1)  y − 24 x 21x   ⇔  1 1 −  = = − (2)   y − 24 x −21 y 21x −21 y  y − 24 x  1 Nhân theo v (1) (2) ta có = + y − 24 x 21x 21 y ⇔ 21xy = ( x + y )(7 y − 24 x) ⇔ 24 x − 38 xy − y = ⇔ (6 x − y )(4 x + y ) = −4 x ⇔y= ( x > 0, y > 0) 1 2+ 11 + Thay vào (1) ta có = ⇔ x= ⇔x= + 84 21x 12 x 21 Suy y = −11 − 147 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 16 Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP 2: ð T N PH  y + xy = −6 x Ví d : Gi i HPT :  3  2 1 + x y = 19 x  ðây h pt thư ng g p kì thi HSG, TSðH Gi i : +y=0 khơng tho n mãn h + y ≠ Ta có h tương ñương v i 2 1 1 x x  + x = −6    + x = −6   y y  y  y ⇔  3 x x 1  1 x 1  y + x = 19  y   x + y  − y  x + y  = 19  y            x + t = −6 x 2t ð t = t h tr thành :   3 y ( x + t ) − 3xt ( x + t ) = 19 x t  S = x + t ð t ( S ≥ P) h tr thành :  P = xt  S = −6 P   3  S − 3SP = 19 P  P = Thay (1) vào (2) ta có : −6 P + 18P = 19 P ⇔ P + P = ⇔  P = −  3 -V i P=0 S=0 (lo i)  x+t = 1   V i P=− ⇒S = ⇒ 6  xt = −    xy + y + x = y Ví d : Gi i HPT :  x (HSG ði n Biên)   y + x = 12  Gi i : ðK : y ≠ x  x + y + y = H ñã cho tương ñương :   ( x + y ) x = 12  y  Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 17 Chuyên ñ h c sinh gi i u = x + y ð t x h ñã cho tr thành :  v = y  x + y = u =  x = ⇒x ⇔ -v i  v =  y = y =1  u + v = u = 3; v = ⇔  uv = 12 u = 4; v = 12  x + y = x = u =   -V i  ⇒x ⇔ v =  y = y =    V y h cho có nghi m (x ;y)=(3 ;1),   12  ;   5  y (27 x3 − 35) + = Ví d 8: Gi i h :  (HSG Phú Th V1 năm 2011-2012)  3 x y + x = y  Gi i : H ñã cho tương ñương v i :  27 x + y = 35    x  3x +  =  y y   u = 3x u + v3 = 35 u = 3; v = ð t  h tr thành  ⇔  u = 2; v = uv(u + v) = v = y  3 x = u =  x = -V i  ⇒ 2 ⇔ v =  y = y =1   3 x = x = u =   -V i  ⇒ 2 ⇔ v =  y = y =    V y h có nghi m ( x; y ) = (1;1) ;  ;    3 2   Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 18 Chuyên ñ h c sinh gi i   x + + x + y −3 = y Ví d : Gi i h   2 x + y + =  y  ðk : x + ≥ 0; x + y ≥ 3; y ≠ y y ð t a = x + ; b = x + y − 3; a, b ≥ a + b =  a = 2; b = ⇔  a = 1; b = a + b = H ñã cho tr thành  2 a = ta có b = -V i   x ≠ 1   =4  x+ =2  x = 3; y =  x + = x + y y ⇔ ⇔ ⇔  x − x + 15 = ⇔  4− x   x = 5; y = −1    y = 4− x x + y − = x + y − =  y = − x   a = ta có -V i  b =  x ≠ 1    x = − 10; y = + 10 =1   x + =1 x + = x + y y ⇔ ⇔  7− x ⇔  x − 8x + = ⇔    x = + 10; y = − 10  x + y − = y = − x y = 4− x      x + y −3 = KL : V y h cho có nghi m ( x; y ) = ( 3;1) ; ( 5; −1) ; ( − )( 10;3 + 10 ; + 10;3 − 10 )   7x + y + 2x + y = Ví d 10 : Gi i h phương trình:   2x + y + x − y =  Gi i : ði u ki n: x + y ≥ 0; x + y ≥ ð t u = x + y , v = x + y , ( u, v ≥ ) , ta có: 2 2 x = u − v ; y = v − 2u 5 u + v =    u − v2 v +   Ta có h : u ⇔ 2 − v − 2u = =5−v u = − v  u =    ⇔ v = ⇔    v + 5v − 14 =  v =   v = −7  V i u = 3; v = ta có: x = 1; y = V y x = 1; y = Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 19 Chuyên ñ h c sinh gi i Thay đ i phương trình th hai ta có đ thi HSGQG năm 2001  7x + y + 2x + y = Ví d 11 : Gi i HPT :  (HSGQG 2001)   2x + y + x − y =  Gi i : ðK : x + y ≥ 0; x + y ≥ Cách : Tương t ví d ta có u = − v  u + v = u = − v   v = −5 + 77      u − v − 7v − 2u = ⇔  v + 5v − 13 = ⇔   v +    5     v = −5 − 77    15 − 77 u = Do u; v ≥ ta l y ñư c   v = −5 + 77   11 − 77 T gi i ñư c x = 10 − 77; y = Cách 2: ð t t = y − x ⇒ y = x + t ta có HPT : −2 ≤ t ≤   7x + y = − t   ⇔ 8 x + t = ( − t )   2x + y = + t   3 x + t = ( + t )  2  t + 9t + = −9 + 77 3t − 8t = ( − t ) − ( + t ) ⇔ ⇔ ⇔t= −2 ≤ t ≤ −2 ≤ t ≤   ( t + ) − t = 10 − 77 x =  ⇒ 11 − 77  y = x +t =  u = x + y u + v = Cách : ð t  ; (u , v ≥ 0) H tr thành :   v = + y − x v = x + y  M t khác : u − v = x ⇔ ( u − v )( u + v ) = x ⇒ u − v = x ⇒ v = ⇒ 5− x 1+ x = 2+ y− x⇒ y = 2 5− x thay vào h ta ñư c : Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 20 Chuyên ñ h c sinh gi i 2x + x ≤ x ≤ 1+ x − x  = ⇔ ⇔  2 10 x + = ( − x )  x − 20 x + 23 =  ⇔ x = 10 − 77 ⇒ y = 11 − 77 Tương t ta có  3x + y + x + y = Ví d 12 : Gi i h phương trình :    x + y + x − y =1  (ð thi HSG Qu ng NINH năm 2011-2012)  ðS : ( x; y ) =  − 21;   − 21      4x + y + 2x + y = Ví d 13: Gi i H phương trình :    2x + y + x + y =  ( ð thi HSG Nam ð nh V2 năm 2011-2012) Gi i : ðK : x ≥ − y; x ≥ − y a = x + y ð t  ; ( a ≥ 0; b ≥ ) b = 2x + y   (1) a + b = Ta có h  (2) b + x + y = Ta có : a − b = x = ( a − b )( a + b ) = 2(a − b) ⇒ a − b = x a + b = 2− x ⇒b= (3) a − b = x 2− x + x + y = ⇔ x = −2 y thay vào phương trình hai c a h Thay (3) vào (2) ta có : Ta có  ban đ u ta có −3 y − y + y = ⇔ −3 y = y +  y ≥ −1  y ≥ −1 −5 + 21  ⇔ ⇔ ⇔ y= ⇒ x = − 21 2  −3 y = ( y + 1)  y + 5y +1 =   V y h cho có nghi m ( x; y ) =  − 21;   −5 + 21     Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 21 Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP 3: S D NG TÍNH ðƠN ðI U C A HÀM S xy − x +  y − 4x + Ví d 14: Gi i h  x 3  2 + x = y +  =5 y Gi i: Xét hàm s f (t ) = 2t + t ℝ -Ta có f '(t ) = 2t ln + 3t > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n ℝ ( 2) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y Thay vào (1) ta có x4 − x + 2x −2 x+ =5 ⇔ − x4 + x = 2x 2x −2 x+ −2 x+4 ≥ ⇒ − x + x ≥ ⇔ x − x + ≤ ⇔ ( x − 1) ( x + x + 3) ≤ ⇔ x = V y h cho có nghi m ( x; y ) = (1;1)  y + y = x3 + 3x + x + Ví d 15: Gi i h    − x − y = − y −1  ðK: −1 ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤ (1) ⇔ y + y = ( x + 1) + ( x + 1) Xét hàm s f (t ) = t + t ℝ -Ta có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n ℝ (1) ⇔ f ( y ) = f ( x + 1) ⇔ y = x + thay vào (2) ta đư c phương trình − x2 − x + = − x −1 ⇔ − x2 = + x + − x − ð t n ph gi i ñư c nghi m c a phương trình x = V y h cho có nghi m ( x; y ) = (0;1) Tương t ta có đ thi HSG Qu ng Ninh B ng B năm 2011-2012: ( x + 1)3 − ( x + 1) = y − y Ví d 16: Gi i h phương trình    x2 + − x2 − y − y2 + =  ðáp s : ( x; y ) = ( 0;1) 2 ( x + 1)3 + x + = ( y − 3) y − Ví d 17: Gi i h    4x + + y + =  ( ðT Chuyên Lương Th Vinh, ð ng Nai) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 22 Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i: ðK: x ≥ − ; y ≥ Xét hàm s f (t ) = 2t + t ( 0; +∞ ) -Ta có f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ( 0; +∞ ) nên f (t ) ñ ng bi n ( 0; +∞ ) (1) ⇔ f (2 x + 1) = f ( y − 2) ⇔ x + = y − thay vào (2) ta ñư c phương trình 4y −8 + 2y + = (*) Xét hàm s g ( y ) = 4 y − + y + − ( 2; +∞ ) -Ta có g '( y ) = ( y − 8) + > 0; ∀y ∈ ( 2; +∞ ) nên f (t ) ñ ng bi n ( 2; +∞ ) 2y + Mà g ( ) = nên phương trình (*) có nghi m nh t y=6 T có x = V y h cho có nghi m ( x; y ) =  ;      Ví d 18: Gi i h phương trình: 22 x − y − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y    y − 2( x − 1) + =  ( x, y ∈ ℝ ) (HSG Thanh Hóa 2011-2012) Gi i: 22 x − y − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y (1)   (2)  y − 2( x − 1) + =  + ði u ki n: x + y ≥ 0, x − y ≥ (*) + Khi đó: (1) ⇔ 22 x − y + (2 x − y ) x − y = x + y + ( x + y ) x + y Xét hàm f (t ) = 2t + t t , suy ra: (1) có d ng f (2 x − y ) = f ( x + y ) M t khác f (t ) đ ng bi n, (1) ⇔ 2x − y = x + y hay x = y + Th vào (2), ta ñư c: y + = 2(2 y − 1)3 (3) ð t t = (2 y − 1)3  y = 2t − , phương trình (3) tr thành h :   y = (2t − 1)  Tr v tương ng phương trình c a h , ta đư c: t = y ( 2(2 y − 1)2 + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1)2 + > ∀y, t ) Th vào h : y = (2 y − 1)3 ⇔ y − 12 y + y − = ⇔ ( y − 1)(8 y − y + 1) = ⇔ y = y = ⇒ x = , tho mãn (*) V y h cho có nghi m (duy nh t): ( x; y ) = (2; 1) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 23 Chuyên ñ h c sinh gi i - N u y = x thay vào (2) ta có 3x = ⇔ x = ⇔ x = ± ⇒ y=± 3   ;   3 (1) - Th l i ta có nghi m ( x; y ) = ( 0;1) ;   x3 − y = 35 Bài :Gi i HPT:   2 x + y = x − y  (2) (HSG Yên Bái) Gi i: ( ) ⇔ ( x − 12 x + 8) + ( y + 12 y + 27 ) = 35 Thay vào (1) ta có ( ) ( x − y = x − 12 x + + y + 12 y + 27 ) ⇔ ( x − ) = ( y + 3) ⇔ x − = y + ⇔ x = y + 3  y = −2  y = −3 Th vào (2) : y + 25 y + 30 = ⇔  -V i y=-3 x=2 -V i y=-2 x=3  x + x3 y + y = y x + x y + x (1) Bài 5: Gi i HPT:  3  (2)  x( y − x ) =  Gi i: (1) ⇔ ( x − xy ) + ( x3 y − x y ) − ( x − y ) = ⇔ ( x − y )  x ( x + y ) − 9 =   T ( 2) ⇒ x ≠ y Nên (1) ⇔ x ( x + y ) = (*) x T ( ) ⇔ y − x3 = ⇔ y = x3 + th vào (*) ta có x  7 x  x + x3 +  = ⇔ x3 + x x + x + x( x + 7)2 (**)   x  Tư (*) ta có x>0 Xét hàm s f ( x) = x3 + x x + x + x( x + 7) , x ∈ ( 0; +∞ ) F(x) ðB ( 0; +∞ ) mà f(1)=9 nên (**) có nghi m nh t x=1 V y h có nghi m (x;y)=(1;2) 2 x + y = − x − y (1) Bài 6: Gi i HPT:    x + + 1− y =  Gi i: ðK: x + y ≥ 0; y ≤ (2) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 31 Chuyên ñ h c sinh gi i  2x + y = 2x + y − = ⇔  ⇔ y = 1− 2x  x + y = −3(l )  Thay vào (2) ta có: x + + x = 4(*) (1) ⇔ ( x + y ) + Xét hàm s f ( x ) = x + + x , x ∈ [0; +∞ ) Ta có f(x) HSðB [0; +∞ ) mà f(2)=4 nên (*) có nghi m nh t x=2 V y h có nghi m (x;y)=(2;-3)     3x 1 +  = (1)   x+ y Bài : Gi i HPT :  (HSGQG 1996)  y 1 −  = (2)     x+ y  Gi i : ðK : x, y ≥ Vì x=0 ho c y=0 khơng tho mãn h nên h ñã cho tương ñương  1 +   1 −    2 + 1 = 3x 7y  ⇔ 2  = 1 + x = x − y x+ y 7y  = x+ y 3x (3) (4) Nhân v v i v c a (3) (4) ta có :  1 2  2 = + − −  =  3x  3x  3x y 1+ x  y  7y  ⇔ 21xy = ( x + y )( y − 24 x ) ⇔ 24 x + 38 xy − y = ⇔ ( x − y )( x + y ) = ⇔ y = x, ( x, y > 0) Thay y=6x vào (3) ta có = 11 + 22 + + ⇔x= ⇒y= 21 3x 7x  x− y 12 = (1) x − y + Bài : Gi i h phương trình :  x+ y x+ y  xy = −15 (2)  (HSG An Giang V năm 2011-2012) Gi i : ðK : x ≥ y x− y x2 − y2  ≥ 02 ⇔ ≥0⇔ x+ y x ≠ − y ( x + y)  Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 32 Chuyên ñ h c sinh gi i  x− y x − y2 + ( x + y) = 12 (1) H ñã cho tương ñương v i :  x+ y   xy = −15 (2)  Xét trư ng h p : • N u x + y > Khi (1) ⇔ x − y + x − y = 12 t = t = −4(l ) ð t t = x − y ;(t ≥ 0) phương trình tr thành t + t − 12 = ⇔  V i t = ta có h   + 109  x =  225   x − x − 225 =  x − x2 =  x2 − y =    ⇔ ⇔ ⇔   x = − 109 (l )  15  xy = −15  y = − 15 y = −  x    x  15 y = − x   + 109 109 − x = ;y=− 2 ⇔   x = − + 109 ; y = 109 −  2  K t h p ðK x + y > ta thu ñư c ( x; y ) = ( + 109 109 − ;− ) 2 • N u x + y < gi i tương t ta thu ñư c h phương trình  225  x − 16 x − 225 =  x − x = 16  x − y = 16   ⇔ ⇔  15  xy = −15  y = − 15 y = − x   x  2   x = 25   x = 5; y = −3  ⇔   x = −9(l ) ⇔   x = −5; y = 15  y = − x  K t h p ðK x + y < ta có ( x; y ) = ( −5;3) 2y   x2 + y − + x = Bài : Gi i HPT :    x2 + y − x =  y  Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 33 Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i : ðK : xy ≠ 0; x + y ≠ a = x + y − ð t x ; ab ≠  b = y  3  + = a = 2b +  a = 1; b = −1  + =1  H ñã cho tr thành :  a b ⇔  2b + b ⇔ ⇔  a = 9; b = b − 2b − = a − 2b =  a = 2b +   -  x2 + y2 =  x = 1; y = −1; a = V i ta có  ⇔  x = −1; y = b = −1 x = − y  x + y = 10  x = 3; y = a = V i ta có :  ⇔ b =  x = −3; y = −1 x = 3y  x + x3 y − xy + xy − y = Bài 10 : Gi i h phương trình:  ( x, y ∈ ℝ )   x + y − xy (2 x − 1) =  (HSG l p 10 Vĩnh Phúc 2011-2012) Gi i:   x + x y − xy + xy − y = ( x − y ) + xy ( x − y ) + xy =  Ta có  ⇔ 2  x + y − xy (2 x − 1) =  ( x − y ) + xy =  a = x − y ð t a + ab + b = H tr thành:  b = xy a + b =    a + a − 2a = a (a + a − 2) = ⇔ H (*) ⇔  2 b = − a b = − a   T tìm (a; b) ∈ {(0; 1); (1; 0); (−2; − 3)} (*)  x2 − y = * V i (a; b) = (0; 1) ta có h  ⇔ x = y =  xy =  x2 − y = * V i (a; b) = (1; 0) ta có h  ⇔ ( x; y ) = (0; −1);(1;0);(−1;0)  xy = * V i (a; b) = (−2; −3) ta có h 3    x − y = −2 y = − y = − ⇔ ⇔ ⇔ x = −1; y = x x  xy = −3  x + 2x + = ( x + 1)( x − x + 3) =   K t lu n: H có nghi m ( x; y ) ∈ {(1; 1);(0; − 1);(1; 0);(−1; 0);(−1; 3)} Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 34 Chuyên ñ h c sinh gi i  2x + y = Bài 11: Gi i HPT :    2x + + y + =  (HSG Bà R a- Vũng Tàu) Gi i : ðK : x, y ≥ C ng v v i v c a PT h ta có : ( x + x + ) + ( y + y + ) = 10 -Tr v v i v c a PT h ta có : ( ) ( 2x + − 2x + ⇔ ) 2y + − 2y = 5 + =2 2x + + 2x 2y + + 2y a = x + + x -ð t  ; ( a, b > )  b = y + + y  a + b = 10 b = 10 − a b = 10 − a a =   Ta có HPT :  5 ⇔ 5 ⇔ ⇔ + =2 + =2 b = 50 = 20a − 2a   a b  a 10 − a 2x + + 2x = ⇔ 2x + = − 2x Xét PT : 25   5 − x ≥ 0 ≤ x ≤ ⇔ x=2 ⇔ ⇔ 2 x + = 25 − 10 x + x  2x =   Tương t ta có y=2 V y h cho có nghi m (x ;y)=(2 ;2)  2x + y = Tương t gi i h    2x + + y + =   2x x + x =  + Bài 12: gi i HPT :  3x y x + y  2(2 x + y ) = x + − y (1) (2) ðK : x ≥ −3; y > 0, x ≠  kx > y = kx ⇔  2 y = k x 2x x + kx PT (1) tr thành : + 2 = 2 ⇔ ( k − ) k + k + = ⇔ k = x 3k x 2x + k x -V i k=2 ⇒ y = x; x > 0; y > ð t ( PT(2) tr thành : x + x = x + ⇔ x + x − = ) x+3 −1 Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 35 Chuyên ñ h c sinh gi i ð t t= 2 x + x − = t  x+3 − ta có HPT : 2t + x − = x  x > 0; t ≥ −1  (3) (4) x+3 −3 ± 17 − ⇔ x + 3x − = ⇔ x = ; ⇒x= T (3) (4) ta có x=t 13 − 17 −3 + 17 ⇒y= 4  x − x = y − y (1) Bài 13 : Gi i HPT :  2  (2)  x − y =3  x>0⇒ x= ( ) Bài tốn khơng nh m đư c nghi m, khơng ch n đư c hàm đ kh o sát Gi i : a+b  x + y = a x = ð t x − y = b ⇒    y = a −b  3 = c   Khi ñó PT(2) : ( ab ) = c ⇔ ab = c ( ) ⇒ x − y = ( x − y )( x + y ) x + y = ab(a + b ) a + 3b a + c3b = 2 1 PT(1) tr thành : ab(a + b2 ) = ( a + c3b ) ⇔ c ( a + b2 ) = a + c3b 2 2 c a + b = a + c b (3) Ta có h   (4) ab = c  c T ( ) ⇒ b = thay vào (3) ta có : a  c  c4 c  a +  = a + ⇔ ca + c3 = a + ac a  a  Và x − y = ( )  a= ⇔ ( ac − 1) a − c3 = ⇔  c  a=c  ( c ) x= (a + b) = 1  + 9= 2 3   y= (a − b) =   −1 − 9= 2 3   -N u a = ⇒ b = c ta có : Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 36 Chuyên ñ h c sinh gi i  +1 x = (a + b) =  -N u a = c ⇒ b = ta có :    y = a − b = −1 ( )  2   4 x − y = y − 2x Tương t , gi i h :   x2 − y + =   5( x + y ) 6( x + z )  x + y + xy + x + z + xz =   6( z + y ) 4( x + y ) + = (Ch n ðT PTNK, TP HCM) Bài 14: Gi i HPT :  z + y + zy x + y + xy   4( x + z ) 5( y + z ) + =6   x + z + xz y + z + yz ( Gi i : ð t a= ) x+ y y+z z+x ;b = ;c = x + y + xy y + z + yz z + x + zx H ñã cho tr thành :   − 5a a = c=  5a + 6c =      ⇔ b = 6b + 4a = ⇔ 4a + 6b =    − 5a  4c + 5b = 5b +    =6  c = 16     1 1 33 14  x + y =  x = − 14  x = − 33  7( x + y ) = xy   14  1  45  T ta có  y + z = 12 yz ⇔  + = 12 ⇔  = ⇔ y = 45 7( z + x) = 45 zx y z  y 14   14  1 45  123   + =  =  z = 124   z 14 z x ( x − y ) = + z  Bài 15: Gi i h phương trình : ( z − y ) = + x (HSG Vĩnh Phúc 2011-2012)   2 ( z + x ) = + y  Gi i : Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 37 Chuyên ñ h c sinh gi i ( x − y − z )( x − y + z ) =  H ñã cho tương ñương v i ( z − y − x )( z − y + x ) =  ( z + x − y )( z + x + y ) =  u + v − z = u + v + z ( u + v − z )( u + v + z ) =   2 x = u  đ t ta có h tr thành ( −u + v + z )( u + v + z ) = ⇔ −u + v + z = u+v+ z − y = v   ( u − v + z )( u + v + z ) = 3  u − v + z = u + v + z  C ng v v i v c a phương trình ta có u+v+ z = u + v + z = ⇔ (u + v + z ) = ⇔  u+v+ z u + v + z = −3 N u u + v + z = ⇒ u = ; v = 1; z = ⇒ ( x; y; z ) =   5 ; −1;  6  12 7 N u u + v + z = −3 ⇒ u = − ; v = −1; z = − ⇒ ( x; y; z ) =  − ;1; −    6 6  12 6 2 y + x − x = − x − y Bài 16 : Gi i h    y = x − + xy + x  ðK: −1 ≤ x ≤ ð t a = − x ⇒ x = − a thay vào phương trình (1) ta có: y + 2(1 − a )a = 3a − y ⇔ y + y = 2a + a(*) Xét hàm s f (t ) = 2t + t ℝ -Ta có f '(t ) = 6t + > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n ℝ (1) ⇔ f ( y) = f (a) ⇔ y = a ⇒ y = − x thay vào phương trình (2) ta có: − x = x2 − + x − x2 ð t x = cos t; t ∈ [ 0; π ] phương trình tr thành: − cos t = cos t − + cos t − cos 2t t = cos2t + sin 2t t π t π   ⇔ sin = sin  2t +  ⇔ sin = sin  2t +  4 4   ⇔ 2sin π 4π π t   t = − + k  2t + = + k 2π ⇔ ⇔ ;k ∈ℤ t = 3π + k 4π  2t + π = π − t + k 2π  10    Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 38 Chun đ h c sinh gi i Vì t ∈ [ 0; π ] ⇒ t = 3π 10 3π 3π 3π ; y = − cos = sin 10 10 20  y − x2 x + = e Bài 17: Gi i h :  y +1  3log ( x + y + 6) = log ( x + y + 2) + 2  V y x = cos x + y + > x + y + > ðK:  (1) ⇔ e x ( x + 1) = e y ( y + 1) Xét hàm s f (t ) = et (t + 1); t ∈ [ : +∞ ) -Ta có f '(t ) = et (t + 2) > 0, ∀t ∈ [ 0; +∞ ) f(t) liên t c [0 : +∞ ) nên f (t ) ñ ng bi n [0 : +∞ ) (1) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y ⇔ y = ± x ( ) ⇔ ( x + y + ) = ( x + y + ) (*) - N u y = x thay vào phương trình (*) ta có: ( 3x + ) = ( 2x + 2) T đk ta có x + > ⇒ x + > x + > Mà ( 3x + ) − ( x + ) = ( x + ) ( 27 x + 46 ) > 2 ⇒ ( 3x + ) > ( x + 4) > ( x + ) 2 Nên phương trình vơ nghi m - N u y = − x thay vào phương trình (*) ta có: ( − x + 6) = ⇔ − x = ⇔ x = ⇒ y = −4 V y h cho có nghi m (x;y)=(4;-4) Ví d : Gi i h phương trình: (1) tgx − tgy = y − x  Bài 18: Gi i h :  (30-4 MOðBSCL 2005) (2) y + − 1= x − y +    y ≥ −1  Gi i: ðk:  (*) x ≥ y +  (1) ⇔ tgx + x = tgy + y ⇔ x = y (do hàm s f (t ) = tgt + t hàm ñ ng bi n) Thay vào (2) ta có: y + − 1= y − y + ⇔ y + = y − y + + Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 39 Chuyên ñ h c sinh gi i ⇔ y + = y − y + + y − y + + ⇔ y + = 4y − y + 8   y ≥ y ≥ 3 ⇔ 3y − = y + ⇔  ⇔ ⇔ y=8 9y2 − 48y + 64 = 16y + 128 9y2 − 64y − 64 =   V y x = y = nghi m nh t c a h cho Bài 19: H phương trình sau có nghi m?  x + = (11 − y ) x + x −    y + = (11 − 3x ) y + y −  T h phương trình ta có x, y ∈ (− ∞;−3) ∪ (1;+∞ ) Xét f(t) = 3t ñ ng bi n R g (t ) = t +1 t + 2t − ⇒ g ' (t ) = − (t + 2t − 3) < ∀t ∈ (− ∞;−3) ∪ (1;+∞ ) g(t) ngh ch bi n t ng kho ng c a t p xác ñ nh  f ( y ) + g ( x) = 11  f ( x) + g ( y ) = 11 H phương trình đưa v  ⇒ f(y)+g(x) = f(x)+g(y)  f ( x) < f ( y ) ⇒ f ( x) + g ( y ) < f ( y ) + g ( x ) N u xy ⇒ f(x)+g(y) > f(y)+g(x) N u x= y có (*) x +1  x = 11 3 + Do h cho tương ñương v i  x + 2x − x = y  x +1 ð t h( x ) = x + − 11 x + 2x − V i x1: h' ( x) = x ln − ( x + x − 3) 12( x + 1) h" ( x) = x (ln 3) + > ∀x > ( x + x − 3) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 40 Chuyên ñ h c sinh gi i lim h( x) = +∞, lim h( x) = +∞ x →1+ x → +∞ h(x) liên t c có đ th đư ng cong lõm (1;+ ∞ ) − < nên h(x) = có hai nghi m x1>1; x2>1 V y h cho có Mà h(2) = ñúng hai nghi m  x y +1 = ( y + 1) x Bài 20: Gi i h phương trình:   x2 − x + =  −4 x + 18 x − 20 + 2x − 9x +  (1) y + (2) (HSG TP H Chí minh V1 năm 2011-2012)   Gi i: ðK: x ∈  2;  ; y ≥ −1  2 1 ñ t t = −4 x + 18 x − 20 = −  x −  ≤ ⇒ t ∈ 0;     2  2   vé trái phương trình (2) tr thành t + Bi u th c Xét f (t ) = t + + Ta có f '(t ) = − t2 + = t +1+ 2 t +4 t +4  1 ; t ∈ 0;  t +4  2 (t 8t + 4) = t + 7t + ( t − ) (t + 4) 2  1 > nên f (t ) ñ ng bi n 0;   2 ⇒ f (t ) ≥ f (0) = ⇒ y + ≥ ⇒ y ≥ ln x ln( y + 1) Ta có (1) ⇔ = x y +1 ln t − ln t Xét hàm g (t ) = ; t > 0; g '(t ) = ; g '(t ) = ⇔ t = e t t Ta có BBT t G’(t) G(t) + e +∞ ln( y + 1) Vì x ∈  2;  ⊂ ( 0; e ) ⇒ ; y ∈ ( : +∞ ) ⊂ ( e; +∞ ) ⇒ ≥ ≤ =  2 x y +1   T ta có x=2;y=3  x3 + x − + ln( x − x + 1) = y   Bài 21 : Gi i h :  y + y − + ln( y − y + 1) = z  z + z − + ln( z − z + 1) = x   ln x ln Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th ln ln 41 Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i:Ta gi s (x,y,z) no c a h Xét hàm s f (t ) = t + 3t − + ln(t − t + 1) 2t − > nên f(t) hàm ñ ng bi n 2 t − t +1 Ta gi s : x=Max{x,y,z} y = f ( x ) ≥ f ( y ) = z ⇒ z = f ( y ) ≥ f ( z ) = x V y ta có x=y=z Vì pt x3 + x − + ln( x − x + 1) = có nghi m nh t x=1 nên h ta có: f '(t ) = 3t + + ñã cho có nghi m x=y=z=1  x − x + log (6 − y ) = x   Bài 22 : Gi i h :  y − y + log3 (6 − z ) = y (HSG QG B ng A năm 2006)   z − z + log (6 − x ) = z   x log3 (6 − y ) =  x − 2x +  f ( y ) = g ( x)  y   Gi i: H ⇔ log3 (6 − z ) = ⇔  f ( z) = g ( y) y − 2y +   f ( x) = g ( z )   z log3 (6 − x ) =  z − 2z +  Trong f (t ) = log3 (6 − t ) ; g (t ) = t v i t ∈ (−∞;6) t − 2t + 6−t Ta có f(t) hàm ngh ch bi n, g '(t ) = > ∀t ∈ ( −∞;6) ⇒ g(t) hàm ñb t − 2t + ( ) Nên ta có n u (x,y,z) nghi m c a h x=y=z thay vào h ta có: x log3 (6 − x) = pt có nghi m nh t x=3 x2 − x + V y nghi m c a h ñã cho x=y=z=3 Bài 23 : Cho a, b, c s th c dương Gi i h phương trình: ax + by = ( x − y )   by + cz = ( y − z )  cz + ax = ( z − x )  Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 42 Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i: Phương trình cho tương ñương v i: ax = ( x − y )( x − z )  by = ( y − x )( y − z )  cz = ( z − x )( z − y ) Trư ng h p 1: N u x, y, z dương Khơng m t tính t ng qt gi s x ≥ y ≥ z Suy by = ( y − z )( y − x ) ≤ (vô lý) Trư ng h p 2: N u x, y, z có s dương, s âm Gi s z < x, y > Khi ta có > cz = ( z − x )( z − y ) > (lo i) Trư ng h p 3: N u x, y, z có s âm s dương Gi s x, y < z > Khi > ax + by = ( x − y ) ≥ (lo i) Trư ng h p 4: N u x, y, z âm Gi s > x ≥ y ≥ z , ta có > ax = ( x − y )( x − z ) ≥ (lo i) V y s x, y, z ph i có s b ng T suy phương trình cho có nghi m: ( 0; 0; ) ; ( a; 0; ) ; ( 0; b;0 ) ; ( 0; 0; c )  x + 16 + 16 − x − y = Bài 24 : Gi i h phương trình    x + 16 + 16 − x − y =  −16 ≤ x ≤ 16 ði u ki n :  y ≠ C ng t ng v phơng trình ta có ( ) ( x + 16 + 16 − x + ) x + 16 + 16 − x = y + + (*) y2 Áp d ng BðT Bunhiacopski ta có ( x + 16 + 16 − x ) ≤ (1 + ) ( x + 16 + 16 − x ) = 64 2 ⇒ x + 16 + 16 − x ≤ (1) ( D u “=” x y ⇔ x + 16 = 16 − x ⇔ x = ) L i theo BðT Bunhiacopski ta có ( x + 16 + 16 − x ) ≤ (1 + ) ( 2 ) x + 16 + 16 − x ≤ 16 ⇒ x + 16 + 16 − x ≤ ( ) (D u “=” x y ⇔ x=0) T (1) (2) ⇒ v trái c a (*) ≤ 12 ( D u “=” x y ⇔ x=0 ) M t khác ,áp d ng BðT Cô-si v i s dơng ta có Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 43 Chuyên ñ h c sinh gi i y4 + 1 1 = y4 + + ≥ 33 y4 = y y y y y ⇒ V ph i c a (*) ≥ 12 ( D u “=” x y ⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = ±1 ) y2 VT (*) = 12 x = ⇔ VP(*) = 12  y = ±1 V y ta có (*) ⇔  Thay vào h th y tho mãn V y h cho có hai nghi m ( ,1) ( , -1) ( )( )  x − x + y − y + = 18 (1) Bài 25: Gi i h phương trình:   2 (2)  x + y + xy − x − y + 14 =  2 Gi I: Xét (2) ⇔ x + ( y − 7) x + y − y + 14 = ∆ y = −3 y + 10 y − Ta có: 2 ( ) ⇔ y − ( x − 6) y + x − x + 14 = ∆y ≥ ⇔ ≤ y ≤ ∆ x = −3 x + 16 x − 20 Ta có 10 Xét f (t ) = 2t − 3t + 4, t ∈ ℝ ∆x ≥ ⇔ ≤ x ≤ < Trên [1; +∞ ) HSðB nên f ( x) ≥ f (2) = 6; f ( y ) ≥ f (1) = ⇒ VT (1) ≥ 18 = VP(1) x = D u b ng x y ⇔  y =1 f '(t ) = 4t − 3; f '(t ) = ⇔ t = x  121 − 27 x + 2x = Bài 26: Gi i HPT:   x + y + xy − 3x − y + =  (1) (2) Gi i: ( ) ⇔ y + ( x − ) y + x − 3x + = Ta có ∆ y = −3x + x ≥ ⇔ ≤ x ≤ 2 121 4 Ta có x + x + 27 ≤   + + 27 = 3 x Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 44 Chuyên ñ h c sinh gi i D u b ng x y ⇔ x = 4 16 =0⇔ y=  x = V y h ñã cho có nghi m   y =   Khi x = ⇒ y − y + 2009 x + 2010 y = ( x − y )  Bài 27: Gi i h 2010 y + 2011z = ( y − z )   2011z + 2009 x = ( z − x )  Gi i: ax + (a + 1) y = ( x − y )2  ð t 2009=a>0, xét h t ng quát hơn: (a + 1) y + (a + 2) z = ( y − z ) (I)   (a + 2) z + ax = ( z − x )  ( x − y) + ( z − x) − ( y − z ) Ta tính đư c ax = Tương t 2 = ( x − y )( x − z ) ( a + 1) y = ( y − z )( y − x);(a + 2) z = ( z − x)( z − y) Suy ax.(a + 1) y.(a + 2) z = − ( x − y )( y − z )( z − x ) ≤ (*)   T (I) ta có t ng c a t ng c p giá tr ·, (a + 1) y;(a + 2) z đ u khơng âm, ta ñi ch ng minh c giá tr không âm Th t v y gi s ax < ⇒ x < T (1), (3) suy (a + 1) y > 0;(a + 2) z > ⇒ y; z > ⇒ x − y < 0; x − z < d n ñ n mâu thu n ⇒ ax = ( x − y )( x − z ) > Do ñó ax ≥ Tương t ( a + 1) y ≥ 0; ( a + ) z ≥ T (*) suy ax = (a + 1) y = (a + 2) z = ⇔ x = y = z = V y h ñã cho có nghi m (x;y;z)=(0;0;0) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 45 ... Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 25 Chuyên ñ h c sinh gi i PHƯƠNG PHÁP ðÁNH GIÁ B NG B T ð NG TH C (2 x + 3) x − + (2 y + 3) y − = (2 x + 3)(2 y + 3) Ví d 21: Gi i h phương trình:  ... y ) = (2; 1) Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 23 Chuyên ñ h c sinh gi i V i phương pháp s d ng tính đơn u c a hàm sô th y thư ng xu t hi n h phương trình h hốn v vịng quanh H HỐN... c nghi m c a phương trình x = V y h cho có nghi m ( x; y ) = (0;1) Tương t ta có đ thi HSG Qu ng Ninh B ng B năm 201 1-2 0 12: ( x + 1)3 − ( x + 1) = y − y Ví d 16: Gi i h phương trình    x2