HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 1/141 CHUYÊN ĐỀ 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài toán tính thể tích khối đa diện, đặc biệt là thể tích khối chóp và thể tích khối lăng trụ là một nội dung cơ bản trong chương trình toán lớp 12. Những năm gần đây trong đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi, các bài toán về tính thể tích khối đa diện xuất hiện thường xuyên. Mặc dù đó là một bài toán cơ bản nhưng nó đã gây khó khăn cho không ít học sinh. Vì vậy, mà nhiều thí sinh có ý định bỏ câu hỏi này. Nhằm giúp các em học sinh nắm được kiến thức cơ bản, các phương pháp tính thể tích khối đa diện và có kỹ năng giải toán, năm học 2011 – 2012 chúng tôi đã thực hiện chuyên đề “Phương pháp tính thể tích khối đa diện”. Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi và qua nghiên cứu đề thi học sinh giỏi lớp 12 của các tỉnh những năm học gần đây, chúng tôi thấy các câu hỏi về hình học không gian ngoài yêu cầu tính thể tích còn có các yêu cầu khác liên quan đến thể tích như tỷ số thể tích, thể tích lớn nhất hay thể tích nhỏ nhất. Vì vậy, chúng tôi thực hiện chuyên đề “Một số vấn đề về thể tích khối đa diện” với hy vọng rằng giúp các em học sinh phần nào tháo gỡ được khó khăn khi tiếp cận với bài toán thể tích khối đa diện trong các kỳ thi đang đến gần. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ A. Kiến thức cơ bản của hình học phẳng. 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH và trung tuyến AM . Khi đó: a) 2 2 2 BC AB AC   (định lý Pitagor) b) 2 2 . ; . AB BH BC AC CH CB   c) 2 2 2 1 1 1 AH AB AC   d) 1 2 AM BC  e) sin ;cos ; tan AC AB AC B B B BC BC AB    (tỷ số lượng giác). 2. Hệ thức luợng trong tam giác bất kỳ. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh ; ; BC a CA b AB c    . Kí hiệu , , p R r lần lượt là nửa chu vi tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC ; , , a b c h h h và , , a b c m m m lần lượt là độ dài đường cao và trung tuyến xuất phát từ các đỉnh , , A B C của tam giác ABC . a) Định lý hàm số cosin: 2 2 2 2 cos a b c bc A    . b) Định lý hàm số sin: 2 sin sin sin a b c R A B C    . c) Công thức tính diện tích: 1 1 1 1 1 1 . . . sin sin sin 2 2 2 2 2 2 a b c S a h b h c h ab C bc A ca C       Ngoài ra, chúng ta cũng cần nắm vững các công thức tính diện tích dưới đây:     . 4 abc S p r p p a p b p c R       . d) Công thức đường trung tuyến: HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 2/141 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 4 2 4 2 4 a b c b c a c a b a b c m m m          .  Chú ý: Ngoài ra chúng ta cũng cần nắm vững các tính chất của các hình có dạng đặc biệt như tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình nửa lục giác đều, Bên cạnh đó, cũng cần phải nắm được công thức tính diện tích của hình thang, hình bình hành, hình thoi, B. Kiến thức hình học không gian lớp 11. I. Quan hệ song song 1. Đường thẳng và mặt phẳng song song. 1.1. Định nghĩa: Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 1.2. Các định lý: a) Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng   P và song song với đường thẳng a nằm trên mặt phẳng   P thì đường thẳng d song song với mặt phẳng   P . b) Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng   P thì mọi mặt phẳng   Q chứa a và cắt   P theo giao tuyến b thì b song song với đường thẳng a . c) Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng   P và   Q cắt nhau theo giao tuyến d và hai mặt phẳng đó cùng song song với đường thẳng a thì giao tuyến d song song với đường thẳng a . d) Định lý 4: Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng qua đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.  Chú ý: Định lý này thường được vận dụng trong trường hợp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. 2. Hai mặt phẳng song song. 2.1. Định nghĩa: Hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. 2.2. Các định lý: a) Định lí 1: Nếu mặt phẳng   P chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng   Q thì mặt phẳng   P song song với mặt phẳng   Q . b) Định lí 2: Nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. c) Định lí 3: Nếu hai mặt phẳng   P và   Q song song với nhau thì mặt phẳng   R đã cắt   P thì phải cắt   Q và các giao tuyến của chúng phải song song với nhau. II. Quan hệ vuông góc 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng là một trong các quan hệ quan trọng nhất của hình học không gian. Sử dụng quan hệ vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng để chứng minh quan hệ vuông góc, để xác định và tính khoảng cách, để xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. 1.1. Định nghĩa: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó. HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 3/141 1.2. Định lí: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trên mặt phẳng   P thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng   P .  Chú ý: Đây là dấu hiệu nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Nó cũng là điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Định lý này được vận dụng nhiều trong các bài toán của hình học không gian: chứng minh quan hệ vuông góc, chứng minh hệ thức hình học, xác định khoảng cách và góc. 2. Hai mặt phẳng vuông góc. 2.1. Định lí 1: Nếu hai mặt phẳng   P và   Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong   P và vuông góc với giao tuyến của   P và   Q thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng   Q .  Chú ý: Định lý này ngoài việc vận dụng để chứng minh quan hệ vuông góc, nó còn được sử dụng trong bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng và cách xác định đường cao trong khối chóp, khối lăng trụ có mặt bên vuông góc với mặt đáy. 2.2. Định lí 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.  Chú ý: Định lý này thường được sử dụng trong các bài toán về khối chóp có dữ kiện hai mặt bên hoặc có hai mặt nào đó (gắn liền với khối chóp) cùng vuông góc với mặt đáy. Khi đó chiều cao của khối chóp chính là đoạn giao tuyến của hai mặt nói trên của hình chóp. 3. Góc. Yếu tố góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng thường gắn liền với bài toán tính thể tích khối đa diện trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Yếu tố này đã gây không ít khó khăn cho các thí sinh. Các thí sinh có ý định bỏ bài toán về tính thể tích khối đa diện cũng vì lý do này.Vì vậy, việc đưa ra một quy trình mang tính chất tựa thuật toán là một việc làm cần thiết. 3.1. Định nghĩa: a) Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng ' a và ' b cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b . b) Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng   P . Khi đó góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng   P là góc giữa đường thẳng a và đường thẳng ' a , trong đó ' a là hình chiếu của đường thẳng a trên mặt phẳng   P . c) Góc giữa hai mặt phẳng   P và mặt phẳng   Q là góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với mặt phẳng   P và mặt phẳng   Q . 3.2. Các bước xác định góc giữa đường thẳng với mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng. a) Các bước xác định góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng   P . Bước 1: Xác định hình chiếu vuông góc '  của đường thẳng  trên mặt phẳng   P . Dấu hiệu nhận biết là trên đường thẳng  chứa điểm M sao cho   MH P  , với   H P  . Khi đó đường thẳng đi qua điểm H và giao điểm của đường thẳng  với mặt phẳng   P chính là đường thẳng '  , HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 4/141 Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng  và '  . Đó cũng chính là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng   P . b) Các bước xác định góc giữa hai mặt phẳng   P và   Q .  Cách 1: (Theo định nghĩa) Bước 1: Xác định đường thẳng   a P  , đường thẳng   b Q  . Bước 2: Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng a và b . Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai mặt phẳng   P và   Q .  Cách 2: (Theo cách xác định góc) Bước 1: Xác định giao tuyến  của hai mặt phẳng   P và   Q . Bước 2: Lấy một mặt phẳng   R vuông góc với đường thẳng  . (Phải tạo ra hai đường thẳng cắt nhau cùng vuông góc với đường thẳng  . Khi đó, mặt phẳng chứa hai đường thẳng vừa tạo ra chính là mặt phẳng   R ). Bước 3: Xác định giao tuyến a , b của mặt phẳng   R với hai mặt phẳng   P và   Q . Xác định và tính góc giữa hai đường thẳng a và b . Đó cũng chính là góc giữa hai mặt phẳng   P và   Q .  Chú ý: - Trong hai cách trên thì cách 2 có tính thông dụng hơn. Khi xác định góc giữa hai đường thẳng cần phải chú ý rằng góc đó không vượt quá 0 90 rồi mới chỉ ra đó là góc nào trên hình vẽ. Có những trường hợp không chỉ rõ là góc nào trên hình vẽ nhưng phải chú ý đến điều kiện góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 0 90 . - Đối với khối chóp 1 2 . n S A A A chúng ta có cách làm cụ thể hơn như sau (theo hình vẽ trên):  Cách xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy: + Xác định hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng   1 2 n A A A . Khi đó 1 2 , , , n HA HA HA lần lượt là hình chiếu vuông góc của 1 2 , , , n SA SA SA trên mặt phẳng 1 2 . n S A A A . + Các góc    1 2 , , , n SA H SA H SA H nhọn nên góc giữa đường thẳng 1 2 , , , n SA SA SA với mặt phẳng 1 2 . n S A A A lần lượt là    1 2 , , , n SA H SA H SA H . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 5/141  Cách xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy: + Xác định hình chiếu vuông góc H của đỉnh S trên mặt phẳng   1 2 n A A A . + Từ H kẻ 1 2 , , , n HK HK HK lần lượt vuông góc với 1 2 2 3 1 , , , n A A A A A A , trong đó 1 2 , , , n K K K lần lượt nằm trên các đường thẳng 1 2 2 3 1 , , , n A A A A A A . + Các góc    1 2 , , , n SK H SK H SK H nhọn nên góc giữa các mặt bên       1 2 2 3 1 , , , n SA A SA A SA A với mặt phẳng   1 2 n A A A lần lượt là    1 2 , , , n SK H SK H SK H . - Thông thường điểm H có vị trí đặc biệt đối với đa giác 1 2 n A A A như trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp hoặc nằm trên một đường thẳng nào đó, Việc lưu ý đến điều này sẽ giúp chúng ta thuận lợi hơn trong tính toán. VẤN ĐỀ 1. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN  PHƯƠNG PHÁP 1: TÍNH TRỰC TIẾP DỰA VÀO CÔNG THỨC THỂ TÍCH. A. Nội dung phương pháp. Để tính thể tích khối chóp hoặc khối lăng trụ dựa vào công thức tính thể tích, chúng ta có thể tiến hành theo các bước sau đây: Bước 1: Xác định đáy và chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ. Bước 2: Tính diện tích đáy và độ dài chiều cao. Bước 3: Thay dữ kiện vào công thức thể tích để tính thể tích. Thể tích khối chóp: 1 . 3 V B h  , trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối chóp. Thể tích khối lăng trụ: . V B h  , trong đó B là diện tích đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ. Để hiểu rõ cách xác định chiều cao của khối chóp hoặc khối lăng trụ, chúng tôi xin nhắc lại định nghĩa chiều cao của các khối này. - Chiều cao của hình chóp bằng khoảng cách từ đỉnh của hình chóp tới mặt phẳng chứa đáy của hình chóp đó. - Chiều cao của hình lăng trụ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đáy của hình lăng trụ hay bằng khoảng cách từ một đỉnh của hình lăng trụ đến mặt đáy của hình lăng trụ không chứa đỉnh đó. Dưới đây là những dấu hiệu giúp chúng ta xác định nhanh được chiều cao của hình chóp và hình lăng trụ. Khối đa diện Cách xác định chiều cao Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Chiều cao chính là cạnh bên đó. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc cùng tạo với mặt đáy những góc bằng nhau (trong đó có cả hình chóp đều). Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy của hình chóp. Hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Chiều cao chính là giao tuyến của hai mặt bên đó. HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 6/141 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Chiều cao của hình chóp chính là đường cao kẻ từ đỉnh của hình chóp của mặt bên đó. Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với mặt đáy những góc bằng nhau. Chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy của hình chóp. Hình lăng trụ đứng. Chiều cao chính là cạnh bên của hình lăng trụ.  Chú ý: Đối với khối lăng trụ nói chung, đôi khi có gắn với các yếu tố của khối chóp như có một đỉnh cách đều các đỉnh của mặt đáy đối diện; cho biết trước hình chiếu vuông góc của một đỉnh nào đó trên mặt đối diện; Vì vậy, chúng ta cần nắm vững cách xác định chiều cao trong một số trường hợp đặc biệt nói trên để vận dụng cho cả khối lăng trụ. B. Các ví dụ minh họa. 1. Các ví dụ về hình chóp. 1.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (hoặc có hai mặt bên kề nhau vuông góc với mặt đáy)  Ví dụ 1. Cho hình chóp . S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , hai mặt bên   SAB và   SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng   SBC tạo với mặt phẳng   ABC một góc  . Tính thể tích khối chóp . S ABC theo a và  . Lời giải Hai mặt phẳng   SAB và   SAC cùng vuông góc với mặt phẳng   ABC và cắt nhau theo giao tuyến SA nên   SA ABC  . Gọi M là trung điểm của cạnh BC . Do tam giác SBC đều nên BC SM  . Do đó,   BC SAM  . Hai mặt phẳng   SBC và   ABC cắt nhau theo giao tuyến BC và   BC SAM  nên góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   ABC bằng góc giữa hai đường thẳng AM và SM .Tam giác SAM vuông tại A nên  0 90 SMA  . Theo giả thiết ta có  SMA   . Tam giác SBC đều cạnh a nên 3 2 a SM  . Tam giác SAM vuông tại A nên ta có: 3 cos .cos 2 a AM SM     ; 3 .sin .sin 2 a SA SM     . Vậy thể tích khối chóp . S ABC là 3 1 1 1 sin 2 . . . 3 3 2 16 ABC a V SA S SA AM BC     . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 7/141  Ví dụ 2. (Đề thi tốt nghiệp THPT 2011) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD CD a   , 3 AB a  . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 0 45 . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a . Lời giải Vì   SA ABCD  nên AC là hình chiếu vuông góc của SC trên mặt phẳng   ABCD . Tam giác SAC vuông tại A nên  0 90 SCA  . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng   ABCD bằng góc  SCA . Do đó  0 SCA 45  . Tam giác ADC vuông cân tại D nên 2 AC a  . Tam giác vuông SAC vuông tại A nên 0 .tan 45 SA AC a   . Diện tích hình thang ABCD là 2 3 . . 2 2 2 ABCD AB DC a a S AD a a      . Vậy thể tích khối chóp . S ABCD là 3 2 1 1 2 . .2 3 3 3 ABCD a V SA S a a   .  Ví dụ 3. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng   ABCD và 2 SA a  . Gọi N là trung điểm của SC , M là điểm thuộc cạnh AD sao cho 2 MD MA  . Tính thể tích khối tứ diện BDMN . Lời giải Gọi O là tâm hình vuông ABCD / / ON SA  . Mà   SA ABCD  nên   ON ABCD  . Tam giác SAC vuông tại A có ON là đường trung bình nên 1 2 2 2 a ON SA  . Lại có BDM BAD BAM S S S   2 1 1 . . 2 2 3 a AB AD AB AM   Tứ diện NBDM có chiều cao ON nên thể tích khối tứ diện NBDM là 2 3 1 1 2 . 2 . . . 3 3 2 3 18 BDM a a a V ON S   . Ví dụ 4. (ĐH KA năm 2011) Cho hình chóp . S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ; 2 AB BC a   . Hai mặt phẳng   SAB và   SAC cùng vuông góc với mặt phẳng   ABC . Gọi M là trung điểm của AB , mặt HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 8/141 phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng   SBC và   ABC bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp . S BCNM theo a . Lời giải Ta có   SAB cắt   SAC theo giao tuyến SA ;   SAB và   SAC cùng vuông góc với   ABC suy ra SA vuông góc   ABC . AB BC SB BC    . Vậy  SBA là góc giữa mặt phẳng   SBC và   ABC nên  0 60 SBA  . Ta có 0 tan 60 2 3 SA AB a   . Mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N nên MN // BC và N là trung điểm của AC . Ta có ; 2 2 BC AB MN a MB a     . Diện tích tứ giác BCNM là   2 3 . 2 2 BCNM BC MN a S MB    . Thể tích khối chóp . S BCNM là 3 . 1 3 . . 3 2 S BCNM BCNM a V S SA  .  Nhận xét: Trước hết ta phải xác định được mặt phẳng qua SM và song song với BC bằng cách từ điểm M kẻ đường thẳng d song song với BC (ta chọn từ điểm M là phù hợp nhất vì điểm M và đường thẳng BC cùng thuộc   ABC ), đường thẳng d cắt AC tại N . Ta thấy hình chóp . S MNCB cũng nhận SA là đường cao. 1.2. Hình chóp đều  Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD . b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD . Lời giải a) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Khi đó   AH BCD  . Ta có 2 . 3 4 BCD a S  . Ta có 2 3 3 3 a BH BN  . Tam giác ABH vuông tại H nên 2 2 6 3 a AH AB BH   . Vậy thể tích khối tứ diện ABCD là 3 1 . 2 . 3 12 BCD a V AH S  . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 9/141 b) Ta có AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD . Gọi M là trung điểm cạnh AB , kẻ IM vuông góc với AB và I nằm trên AH thì ta có IA IB IC ID    . Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận I là tâm, bán kính R IA  . Tam giác AMI đồng dạng với tam giác AHB (g.g). Suy ra . 6 6 AM AI AB AM a AI AH AB AH     .  Nhận xét: - Dấu hiệu nhận biết một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp đó phải là đa giác nội tiếp được đường tròn (tức là có đường tròn ngoại tiếp). Chẳng hạn, đáy là tam giác, hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân, - Muốn xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định trục đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp (là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy của hình chóp đó). Bước 2: Mặt phẳng trung trực của một cạnh bên cắt trục đường tròn nói trên tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Thông thường, chúng ta gặp tình huống có một cạnh bên của hình chóp đồng phẳng với trục đường tròn nói trên. Khi đó ta chỉ cần xác định đường trung trực của cạnh bên đó với điều kiện đường trung trực đó phải nằm trong mặt phẳng chứa cạnh bên và trục đường tròn nói trên. - Đối với tứ diện thì chọn một đỉnh làm đỉnh của hình chóp để cho việc tính thể tích hoặc xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp thuận lợi.  Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có cạnh đáy bằng A . Gọi SH là đường cao của hình chóp. Gọi I là trung điểm của SH , khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng   SBC bằng 5 a . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a Lời giải Từ H kẻ   , HM BC M BC   . Mà   SH ABCD  nên SH BC  . Do đó   BC SHM      SBC SHM   . Từ H kẻ ' HH SM  , ' H SM  . Khi đó   ' HH SBC  . Từ điểm I kẻ // ', IK HH K SM  thì   IK SBC      ; d I SBC IK   . Theo giả thiết, ta có 5 a IK  . Mà IK là đường trung bình của tam giác ' SHH nên 2 ' 2 5 a H H IK  . Tam giác SHM vuông tại H có đường cao ' HH nên 2 2 2 1 1 1 ' H H HS HM   2 2 2 2 2 2 1 1 1 25 4 9 2 3 ' 4 4 a SH HS H H HM a a a         . Vậy thể tích khối chóp đã cho là 3 2 1 1 2 2 . . . 3 3 3 9 ABCD a a V SH S a   . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 10/141  Nhận xét: Trong ví dụ trên, điều mấu chốt là phải xác định được khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng   SBC . Việc xác định khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng   SBC có thể tiến hành trực tiếp hoặc gián tiếp dựa vào một điểm khác. Vì vậy, khi xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng nếu xác định trực tiếp gặp khó khăn thì có thể sử dụng phương án gián tiếp dựa vào một điểm khác như trong ví dụ này. Ví dụ 7. (HSG lớp 12 tỉnh Ninh Bình năm học 2011 – 2012) Cho hình chóp đều . S ABCD có độ dài cạnh đáy là a ( 0 a  ). Biết các mặt bên tạo với mặt đáy góc có số đo bằng 4  . Tính thể tích khối chóp . S ABCD theo a và số đo của góc giữa hai mặt phẳng   SAD và   SCD . Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và BD , suy ra   SO ABCD  . Ta có     ABCD SCD CD   Gọi M là trung điểm của CD , ta có OM CD  . Ta lại có SO CD  nên   CD SOM CD SM    . Suy ra            , , SCD ABCD SM MO SMO   . Theo giả thiết ta có  4 SMO   . Thể tích khối chóp . S ABCD là 1 . . 3 ABCD V SO S . Ta có diện tích hình vuông ABCD là 2 ABCD S a  . Trong tam giác SOM vuông tại O nên ta có 2 a OS OM   . Suy ra khối chóp . S ABCD là 3 1 6 V a  . Hiển nhiên độ dài cạnh bên của hình chóp đều . S ABCD là 3 2 a . Ta có     SCD SAD SD   . Gọi I là hình chiếu vuông góc của O trên SD . Suy ra   SD ACI  . Do đó ; SD AI SD CI   . Khi đó           , , SCD SAD IA IC  . Áp dụng định lí cosin trong tam giác IAC , ta được  1 cos 2 AIC   . Suy ra  0 120 AIC  . Do đó góc giữa hai mặt phẳng   SAD và   SCD bằng 0 60 .  Ví dụ 8. Cho hình chóp tứ giác đều . S ABCD có khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng   SBC bằng 2 a . Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp thì thể tích của khối chóp . S ABCD nhỏ nhất. [...]...  HK Tam giác SHM vuông tại H , có đường cao HK nên Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 19/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 1 1 1 1 1 3 2a 3    2  2  2  HK  2 2 2 3 HK HS HM 2a 4a 4a 2a 3 3 Ví dụ 19 (Thi thử ĐH năm học 2012 – 2013, THPT Gia Viễn B) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hình chiếu vuông góc của S trên Vậy...   - Ba điểm A, B, C nằm trên cùng một đường thẳng và AB  a, AC  b thì ta có AB  AC (nếu b     a A nằm ngoài đoạn BC ) hoặc AB   AC (nếu A nằm trong đoạn BC ) b Bước 3: Giải bài toán về tọa độ, phương trình Một số công thức tính toán liên quan đến véctơ: Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 34/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014    ... SMQ  2  :  Vậy cos  SM , DN   MQ 2 2 5 5 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 13/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Ví dụ 11 (Thi thử ĐH lần 1 năm học 2013 – 2014, THPT Gia Viễn B) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O ; SAB là tam giác cân tại S Mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy Mặt phẳng  SBD  tạo với mặt phẳng  ABCD... biết được công thức tính thể tích là có thể tính được - Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian (trường hợp chéo nhau và vuông góc với nhau) ta có thể thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định mặt phẳng  P  chứa đường thẳng và  P  vuông góc với đường thẳng b Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 18/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM... a) Xác định thi t diện tạo bởi  MNP  với hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' b) Tìm tỷ số thể tích hai phần của khối lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' bị chia bởi thi t diện nói trên Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 31/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014  PHƯƠNG PHÁP 3: Tính thể tích bằng cách bổ sung thêm khối đa diện hoặc lồng vào một khối đa diện... đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 29/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Lời giải Do S ABCD là hình chóp tứ giác đều nên tam giác SCD cân tại S Lại có SP là trung tuyến kẻ từ đỉnh S nên SP  CD Mà MN / / AB / / CD nên SP  MN Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó... hình chiếu vuông góc của đường thẳng AN trên mặt phẳng  ABCD  Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 30/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014  Tam giác HAN vuông tại H nên NAH  900 Do đó góc giữa đường thẳng AN với mặt phẳng    ABCD  bằng góc giữa hai đường thẳng AN và AH và bằng góc NAH Suy ra NAH  300  1  a 3 Xét trong tam giác HAN vuông tại H... 2: (Theo Giải tích) Ta có cos x sin 2 x  cos x  cos3 x Xét hàm số f t   t  t 3 trên khoảng 0;1 Ta có f 't   1 3t 2 và f 't   0  t  3 3 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 11/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Bằng cách lập bảng biến thi n, ta có giá trị lớn nhất của hàm số f t  trên khoảng 0;1 bằng đạt được khi t  2 3 9 3 3 3 ... Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 32/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014  Nhận xét: - Trong trường hợp này, chúng ta đã thi t lập khối tứ diện vuông APQR lồng vào khối tứ diện ABCD Việc tính thể tích khối tứ diện APQR có phần dễ dàng và đơn giản hơn nhiều Đồng thời, khối tứ diện ABCD cũng có mối liên hệ trực tiếp với khối tứ diện APQR - Thông qua việc... N là điểm nằm trên cạnh A ' C ' sao cho NC '  a Tính thể tích khối tứ diện 4 AB ' C ' B và chứng minh rằng PN vuông góc với A ' M Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 27/141 HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 6 (Thi thử ĐH KD năm 2012, trường THPT Hà nội – Amsterdam) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài các cạnh bằng 1 Gọi I , K lần lượt là . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 14/141 Ví dụ 11. (Thi thử ĐH lần 1 năm học 2013 – 2014, THPT Gia. HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 1/141 CHUYÊN ĐỀ 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài toán. BC     . HỘI THẢO CHUYÊN ĐỀ BỘ MÔN TOÁN CẤP THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Thực hiện: Tổ Toán – Tin, Trường THPT Gia Viễn B Trang 7/141  Ví dụ 2. (Đề thi tốt nghiệp THPT 2011) Cho