Đang tải... (xem toàn văn)
ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1 Ngày thi: 07-01-2019 Thời gian: 90 phút Ca thi : CA 1 Bộ môn Toán Ứng Dụng . . Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Trang 1Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng Dụng.
ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1Ngày thi: 07-01-2019
Thời gian: 90 phútCa thi : CA 1
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = x − arcsin
1 − 1x
.Câu 2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : y = √
2x − x2, y = √
2x, 0 ≤ x ≤ 1 Tính diệntích bề mặt của vật thể tạo ra khi miền D quay xung quanh trục Ox (Kể cả đáy).Câu 3 : Tìm tất cả các số thực α để tích phân sau hội tụ I =
Z 10
1(x + 1)√
x arctan xαdx.Câu 4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1
Câu 6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối Người ta bơm vào bể chứa dung dịchnước muối nồng độ 0.005kg/lít với tốc độ 10 lít/phút, đồng thời dung dịch đượcđưa ra ngoài với tốc độ 12 lít/phút
a/ Hãy xác định thể tích dung dịch trong bể chứa sau t phút.
b/ Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau t phút, hãy xác định nồngđộ muối trong bể sau t phút theo t và y(t).
c/ Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút là nghiệm của phương trình viphân: y0 = 0.05 − 12y
2000 − 2t với điều kiện đầu y(0) = 50.
d/ Tìm y(t), từ đó tính lượng muối còn lại trong thùng sau 10 phút.
Chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS Nguyễn Tiến Dũng
Trang 2Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhKhoa Khoa Học Ứng Dụng
1 − 1
C2 : Cho miền phẳng D giới hạn bởi : L.O.1.1 - Nắm vững cách tínhy =√
Z 10
1(x + 1)√
x arctan xαdx hội tụ
L.O.1.1 - Nắm vững cách tínhC4 : Tính giá trị của tích phân trong câu 3 khi α = 1
2. tích phân suy rộng.
C5 : Tìm nghiệm phương trình vi phân L.O.1.1 - Nắm được cách giải các ptvp cấp 1,2hệ phương trình vi phân.
y00 = 2e−2x− 4 sin 2x + 8 cos 2x − 4yvới điều kiện đầu : y(0) = 5
4, y
0(0) = 92.
C6 : Một bể chứa 2000 lít dung dịch có 50kg muối L.O.1.1 - Hiểu được một số mô hìnhNgười ta bơm vào bể chứa dung dịch nước muối kĩ thuật đưa về bài toán ptvp.
nồng độ 0.005kg / lít với tốc độ 10 lít / phút, đồng thờidung dịch được đưa ra ngoài với tốc độ 12 lít / phút
a Hãy xác định thể tích dung dịch L.O.2.1 - Tự xây dựng
trong bể chứa sau t phút và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng.b Gọi y(t) là số kilogram muối còn lại trong thùng sau
t phút, hãy xác định nồng độ muốitrong bể sau t phút theo t và y(t).
c Chứng minh lượng muối trong bể sau t phút lànghiệm của phương trình vi phân : y0 = 0.05 − 12y
2000 − 2tvới điều kiện đầu y(0) = 50.
d Tìm y(t), từ đó tính lượng muối còn lạitrong thùng sau 10 phút.
Trang 3ĐÁP ÁN CA 1Câu 1 MXĐ : −1 ≤ 1 − 1
x ≤ 1 ⇔ x ≥ 12f0(x) = 1 − 1
2x − 1, f
0(x) = 0 ⇔ x = 1 (0.25đ)TCX : y = x − π/2 (0.25đ)
BBT (0.5đ)
y 12 + π2 & 1 % +∞Đồ thị (0.5đ)
Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểm
Kết luận đúng về cực trị và TCX nhưng sai BBT hoặc không có hay sai TCX: cảbài tối đa 0.75đ
Câu 2 S1 = 2πZ 1
r1 + 1
2xdx = 2π√
3 − 13
= 8.8874(0.25đ+0.25đ)
S2 = 2πZ 1
S3 = 2π − π = π(diện tích hình vành khăn, R1 = 1, R2 =√
2)(0.5đ)S = 2π
√3 + 7
= 18.2132(0.5đ)Câu 3 TH1 : α ≤ 0, 0 ≤ f (x) ∼ √a
x, x → 0
+ : Hội tụ (0.5đ)TH2 : α > 0, 0 ≤ f (x) ∼ 1
, I hội tụ ⇔ 1 + α
2 < 1, α > 0 ⇔ 0 ≤ α ≤ 1 (0.5đ)Câu 4 I = I =
Z 10
(x + 1)px arctan√xdx.Đặt t = arctan√
x ⇒ dx = dt2√
x(1 + x) (0.5đ)I = 2
Z π4
t(0.5đ)= 4√
−2x+ x cos 2x + 2x sin 2x (0.5đ)Thay điều kiện đầu: C1 = 1, C2 = 2 (0.5đ)
Câu 6 a/ V (t) = 2000 + 10t − 12t = 2000 − 2t (0.25đ)b/ Nồng độ muối sau t phút là : y(t)
V (t)(kg/lít) (0.25đ)
c/ Tốc độ thay đổi của lượng muối trong bể là y0(t) = Tốc độ muối vào - tốc độ muốira (0.25đ)
d/ y(t) = 10−2(1000 − t) + C ∗ (1000 − t)6 (0.5đ)C = 4 ∗ 10−17 (0.25đ)
Trang 4Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng Dụng.
ĐỀ THI CHK181 - Môn: GIẢI TÍCH 1Ngày thi: 07-01-2019
Thời gian: 90 phútCa thi : CA 2
Hình thức thi tự luận: Đề gồm 6 câu.
Sinh viên không được sử dụng tài liệu.
Câu 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y =
xex1, x > 0x2
x3− 1, x ≤ 0
Câu 2 : Cho miền D giới hạn bởi y ≥ 0, x2+ y2 ≤ 2, x2+ y2 ≥ 2y Tính thể tích vật thểtạo tròn xoay tạo ra khi quay miền D quanh trục Oy
Câu 3 : Tính tích phân I =Z +∞
4 − x2
Câu 4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân I =Z +∞
xα− lnα(1 + x)
(x3+ arctan x2)αdx HỘI TỤ.Câu 5 : Giải hệ phương trình
x0(t) = −2x + 5y + e3ty0(t) = 2x + y + 8e3t .
Câu 6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, 1 người đã cho nhầm cả bao10kg hóa chất Do đó, người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước tinhkhiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịch chảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phútliên tục đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ còn 5 kg.
1/ Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng sau t phút thì tỉ lệ hóa chấttrong thùng sau t phút là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?
2/ Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tại thời điểm t0 là y0(t0) đượctính bằng công thức nào?
3/ Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của phương trình vi phân y0(t) = − y
60 với điềukiện đầu y(0) = 10 Tìm y(t)?
4/ Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?
Chủ nhiệm bộ môn duyệt
TS Nguyễn Tiến Dũng
Trang 5Đại Học Bách Khoa TP.Hồ Chí MinhKhoa Khoa Học Ứng Dụng
xe1x, x > 0x2
4 − x2
dx L.O.1.1 - Nắm vững cách tính tp suy rộngC4 : Tìm tất cả số thực α > 0 để tích phân L.O.1.1 -Nắm vững cách khảo sát sự
I =Z +∞
x0(t) = −2x + 5y + e3t
y0(t) = 2x + y + 8e3t
C6 : Khi pha 300 lít dung dịch trong thùng để sản xuất, L.O.1.1 - Hiểu được một số mô hình1 người đã cho nhầm cả bao 10kg hóa chất Do đó, kĩ thuật đưa về bài toán ptvp.người ta phải pha loãng dung dịch bằng cách cho nước
tinh khiết chảy vào thùng, đồng thời cho dung dịchchảy ra với cùng tốc độ 5 lít / phút liên tục
đến khi lượng hóa chất trong thùng chỉ còn 5 kg.
a Nếu gọi y(t) là số kilogram hóa chất có trong thùng L.O.2.1 - Tự xây dựng
sau t phút thì tỉ lệ hóa chất trong thùng sau t phút và trả lời các câu hỏi thực tế tương ứng.là bao nhiêu? y(0) bằng bao nhiêu?.
b Tốc độ thay đổi của tỉ lệ hóa chất trong thùng tạithời điểm t0 là y0(t0) được tính bằng công thức nào?c Chứng minh hàm y(t) là nghiệm của pt vi phâny0(t) = −y
60 với điều kiện đầu y(0) = 10.Tìm y(t)?.d Sau bao nhiêu phút thì lượng hóa chất
trong thùng đạt yêu cầu là 5kg?.
Trang 6ĐÁP ÁN CA 2Câu 1: MXĐ : (−∞, +∞), gpt y0 = 0 : x = −√
2, x = 1(0.25đ).TC: x = 0, y = 0, y = x + 1(0.25d)
3 % 0| + ∞ & e % +∞Đồ thị (0.5đ)
Chú ý: Không kết luận cực tiểu nhưng BBT đúng vẫn cho trọn điểmKết luận đúng về cực trị và TC nhưng sai BBT: cả bài tối đa 0.75đ
Câu 2: Miền D đối xứng qua trục quay Oy do các pt chẵn với x nên chỉ cần tính nửa bênphải, giao điểm:(0, 0), (1, 1), (√
2, 0) hoặc vẽ hình đúng (0.5d)Vy = 2π
Z 10
x1 −√
1 − x2dx + 2πZ
2 − x2dx(0.5d) = π(0.5d)
Câu 3: I =Z 2
4 − x2dx+Z +∞
x2− 4dx (0.5d)=Z 12
4t2− 1+Z 0
1 − 4t2(0.5đ)I = 1
2ln 2t +√
3 +π
4 ≈ 1, 444 (0.5d)Câu 4: I =
Z 10
f (x)dx +Z +∞
f (x)dx = I1+ I2
Khi x → 0+ : f ∼
x2α = 2α.
xα−1 > 0 nên tp I1 HT ↔ α < 2(0.5d)Khi x → +∞ : f ∼ x
x3α = 1
x2α > 0 nên tp I2 HT ↔> 12Vậy tp đã HT ↔ 1
2 < α < 2(0.5d)Câu 5: Khử 1 hàm: x00+ x0− 12x = 42e3t
y00+ y0− 12y = 42e3t
(0.5d) → x = C1e3t+ C2e−4t+ ate3ty = C1e3t+ C2e−4t+ ate3t
x = C1e3t+ C2e−4t+ 6te3ty = C1e3t− 2
−4t+ 6te3t+ e3t hoặc
x = C1e3t−52C2e
300.5 (0.5d)3/y = 10e−t60 (0.5d)
4/y = 5 ↔ t = 60 ln 2 ≈ 42 (phút) (0.5d)