ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192

ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192 Môn học: Giải tích 1 Ngày: 06/07/2020. Thời gian: 100 phút. (Đề gồm 8 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.)

Trường Đại học Bách Khoa TP HCMKhoa Khoa Học Ứng Dụng

ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192Môn học: Giải tích 1

Ngày: 06/07/2020.Thời gian: 100 phút.

(Đề gồm 8 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4 Sinh viên không được sử dụng tài liệu.)

Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham sốsau đây

x = 2t − 1t + 2 ,y = 2t

t + 3.

Câu 2 (1.0 điểm) Một bệnh nhân được tiêm một loại thuốc và sau t giờ nồng độ thuốc cònlại trong máu của bệnh nhân được cho bởi công thức

C(t) = 3t(t2+ 36)32

Câu 4 (1.0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D giới hạn bởi các đường sauD : y = ex, y = 1, x + y = e2+ 2.

Câu 5 (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân

ln x2+ 3x2+ 1

dx.

Câu 6 (1.0 điểm) Một chiếc xe máy ở thời điểm t đang ở vị trí A (như hình vẽ) cách B mộtkhoảng AB = x m Một người cảnh sát đang đứng ở vị trí C (như hình vẽ) cách B một khoảngBC = 30 m Góc tạo bởi vectơ CB và vectơ CA nối vị trí của người cảnh sát và xe máy là α Biếtrằng tại thời điểm này xe máy đang chạy theo hướng của vectơ BA vuông góc với BC Để tìmvận tốc của xe máy, người cảnh sát đo sự thay đổi của góc α Tìm vận tốc của xe máy tại thờiđiểm góc α đang thay đổi với vận tốc 0.5 rad/s và α = π

6 Hãy đổi vận tốc này sang đơn vị km/h.

Câu 7 (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Mộtthùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy nàycung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4lít nước không chứa Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗiphút.

a Viết phương trình vi phân biểu diễn sự thay đổi của khối lượng Flo trong thùng.b Giải phương trình để tìm lượng Flo (mg) ở trong thùng theo thời gian t (phút).

c Hỏi bao lâu sau thì thùng đầy và khi thùng đầy thì nồng độ Flo trong thùng bằng bao nhiêumg/lít?

Câu 8 (1.5 điểm) Giải hệ phương trình vi phân sau đây bằng phương pháp khử(

x0(t) = x − 4y + t + 2,y0(t) = 2x − 5y + 2t2.

Giảng viên phụ trách ra đề

Phan Thị Khánh Vân

Chủ nhiệm bộ môn

Nguyễn Tiến Dũng

ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ DỰ THÍNH GIẢI TÍCH 1Câu 1: (1.0 điểm) Ta có

x → ∞ ⇔ t → −2; y → ∞ ⇔ t → −3.• Xét khi t → −2:

t→−3x = lim

2t − 1t + 2 = 7.

Vậy đường cong có 1 tiệm cận đứng x = 7 (0.5 điểm).

Câu 2 (1.0 điểm) Nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t = 5 giờ tớit = 10 giờ kể từ khi tiêm thuốc:

= 0 ⇔ r =√50.Lập bảng biến thiên ta có v(r) đạt max tại r = √

50 = 7.0711(km) (0.5 điểm)b Bán kính của thành phố: R =r − ln(1/3)

0.01 ≈ 10.4815 (km) (0.5 điểm).Số dân của thành phố sống ngoài vùng bán kính 5 km:

D = 6π

Z 10.48155

ue−0.01u2du ≈ 419.843 (ngàn người) (0.5 điểm)Câu 4 (1.0 điểm) Diện tích của miền phẳng D

Câu 5 (1.0 điểm) Ta có khi x → ∞:ln x2+ 3

x2+ 1

= ln

1 + 2x2+ 1

x2+ 1 ∼ 2

x2 (0.5 điểm)Mà

dx hội tụ (T/c so sánh lim) (0.5 điểm)Câu 6 (1.0 điểm) Ta có:

x = 30 tan ϕ (0.25 điểm)Vậy tốc độ của xe máy tại thời điểm đó

x0(t0) = 30(1 + tan2ϕ).ϕ0(t0) = 30(1 + 1

3)0.5 = 20 (m/s) = 72 (km/h) (0.75 điểm)Câu 7 (1.5 điểm) Nước do một nhà máy nước cung cấp có nồng độ Flo là 1 mg/lít Mộtthùng đựng nước cho một gia đình có thể tích 1000 lít đang chứa 700 lít nước do nhà máy nàycung cấp Người ta bơm đồng thời vào thùng mỗi phút 5 lít nước do nhà máy nước cung cấp và 4lít nước không chứa Flo Nước sau khi được khuấy đều sẽ thoát ra ngoài với tốc độ 7 lít nước mỗiphút.

Gọi y(t) là lượng Flo có trong thùng tại thời điểm t phút.a y0 = yvào0 − y0

ra = 5 − 700+2t7y (0.5 điểm).b y0+ 700+2t7y = 5-PTVP tuyến tính cấp 1.y = e−7R 700+2tdt

5R e7Rdt

700+2tdt + Ci (0.25)y = (700 + 2t)−72

9(700 + 2t)9 + C= 10t+35009 + C.(700 + 2t)−7 (0.25)Tại t = 0, y(0) = 700, vậy C = 3500

(0.25)c Thùng đầy nước: 1000 = 700 + 2t ⇒ t = 150 (phút) Nồng độ Flo trong thùng tại t = 150: y = 644.84(0.25)

Câu 8 (1.5 điểm) Dùng phương pháp khử ta thu đượcx” + 4x0+ 3x = −8t2 + 5t + 11

hoặc y” + 4y0+ 3y = −2t2+ 6t + 4 (0.5)

C1: Nghiệm thuần nhất x0 = C1e−3t+ C2e−t (0.25)Nghiệm riêng: xr= At2+ Bt + C (0.25)

Thu được xr = −83t2+799 t − 16927x = C1e−3t+ C2e−t −8

3t2+799t − 16927 (0.25)Thay vào thu được y (0.25)

C2: Nghiệm thuần nhất y0 = C1e−3t+ C2e−t (0.25)Nghiệm riêng: yr = At2+ Bt + C (0.25)

Thu được yr= −2

3t2+ 349t − 88

y = C1e−3t+ C2e−t− 2

3t2+ 349t − 8827 (0.25)Thay vào thu được x (0.25)