năng lượng của một điểm hình học cho dạy học toán phổ thông

Gọi H là trực tâm của tam giác ABCGọi A3là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AA2Vì AA1 BC và DA3 AA2nên tứ giác A3A1DA cùng thuộc một đường trònTheo lũy thừa điểm, ta có: A2C1.. BSDo đó

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT ĐIỂM

CHƯƠNG I: NĂNG LƯỢNG CỦA MỘT ĐIỂMI Lý thuyết trọng tâm:

Định lý 1.1 Cho  là một đường tròn và P là một điểm Cho một đường thẳngqua P cắt I tại các điểm A và B và để một đường thẳng khác qua P cắt I tại cácđiểm C và D Khi đó:

PA.PB = PC.PDChứng minh:

Trường hợp 1: Điểm P nằm bên ngoài (O)

Xét hai tam giác PCB và PAD có:�chung

= ���( cùng chắn cung AC)=> ∆PCB ~∆PAD ( g.g)=>��

��=����=> PA.PB = PC.PD

Trường hợp 2: Điểm P nằm bên trong (O)

Xét hai tam giác PCB và PAD có:���

= ���( cùng chắn cung BD)���

= ���( cùng chắn cung AC)=> ∆PCB ~∆PAD ( g.g)=>����=����

=> PA.PB = PC.PD

Trường hợp 3: Điểm P nằm bên ngoài (O) và AC tiếp xúc với (O) tại P

Xét hai tam giác PCA và PBC có:�chung

= ���( cùng chắn cung AC)=> ∆PCA ~∆PBC ( g.g)=>��

��=����=> PA.PB = PC2

Định lý 1.2 Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt Cho đường thẳng AB và CD cắtnhau tại P Giả sử rằng P nằm trên cả hai đoạn thẳng AB và CD hoặc P không nằmtrên đoạn thẳng nào Khi đó A, B, C, D đồng tuyến khi và chỉ khi PA.PB = PC.PD

Chứng minh:

Ta có: PA.PB = PC.PD=>����=����

PX.PY = �� − �22

Ta nói rằng những điểm nằm trên đường tròn có lữu thừa bằng 0II Các dạng bài tập:

Bài 1: (IMO 2011 Shortlist) Cho A1A2A3A4là một tứ giác không nội tiếp Gọi O1

và r1là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácA2A3A4.Xác định O2, O3, O4và r2, r , r34theo cách tương tự Chứng minh rằng:

� �1 12− �1+� 1

2�2− �2+� 1

3�3− �3+� 14�4− �4= 0

Gọi M là giao điểm của hai đường chéo A1A3và A2A4

Trên mỗi đường chéo, chọn một hướng và gọi x, y, z và w lần lượt là khoảngcách có dấu từ M đến các điểm A1, A2, A3, A4

Gọi w là đường tròn ngoại tiếp tam giác A2A3A4và gọi B1là giao điểm thứ haiw1và A1A3( do đó B1= A3khi và cỉ khi A1A3tiếp xúc với w)

Vì biểu thức : O1�1− �1là lũy thừa của điểm A1đối với w1, nên ta có:�1�1− �1= �1�1 �1�3

Mặt khác, từ đẳng thứcMB MA = MA MA1 3 2 4, ta thu được:MB1=ywz

Do đó, theo sau:

�1�1− �1= (��� − �)(� − �) =� − �� (�� − ��)Làm tương tự cho ba biểu thức còn lại, ta được:

����2− ��2=�� − �� (1 � − � −� � − � +� � − � −� � − � ) = 0�

Bài 2: (Euler’s Theorem) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn O, nội tiếpđường tròn I, bán kính đường tròn ngoại tiếp R và bán kính nội tiếp r Chứng minhrằng:�� = �(� − 2�)2

Gọi D là giao điểm của AI với (O)Ta có:

IA ID = R − OI22Vì vậy, muốn chứng minhIA ID = 2Rr

Đầu tiên, lưu ý rằngIA =sinrA ( vẽ đường vuông góc từ I đến AB và áp dụngđịnh luật sin cho vế phải tam giác mà ta thu được) Tiếp theo, lưu ý rằng:

���= ���+ ��� = ���+ ��� = ���+ ��� = ���

Do đó:ID = BD = 2RsinA2, trong đó đẳng thức cuối cùng xuất phát từ định luậtsin ( mở rộng) trong tam giác ABC, do đó ta có:

IA ID = rsin A2 2Rsin

A2 = 2Rr

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC và D là chân đường cao kẻ từ A Cho H là mộtđiểm trên đoạn AD Chứng minh H là trực tâm của tam giác khi và chỉ khiDB DC = AD HD

Gọi A’ là giao điểm của AD với (O)A’ là điểm đối xứng với H qua BC

Vậy, nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì ta có:DB DC = AD DA' = AD HDNgược lại, ta có:DB DC' = AD HD và DB DC = AD HA'Do đó,HD = HA'

Vậy: H phải là trực tâm của tam giác ABC

Bài 4: ( USA TSTST 2012) Trong tam giác cân ABC, gọi chân các đường cao từA đến BC, B đến CA, C đến AB là A1, B1, C A12là giao điểm của BC và B1C1.Định nghĩa B2và C2tương tự Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA, AB Chứng minh rằng: Các đường vuông góc từ D đến AA2, E đến BB2và Fđến CC2đồng quy

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC

Gọi A3là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AA2

Vì AA1 BC và DA3 AA2nên tứ giác A3A1DA cùng thuộc một đường trònTheo lũy thừa điểm, ta có: A2C1 A2B1= A2A3 A A2

Tương tự, theo lũy thừa điểm: A2A1.A2D = A2C1 A2B1

Kết hợp với phương trình: A2C1 A2B1= A2A3 A A2

=> Tứ giác A3C1B1A cùng thuộc một đường tròn ( theo định lý 1.2)

Những H nằm trên đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, vì HC1 AB và HB1AC=>HA A= 180° − HB3 1A= 90°

=> 3 điểm H, H A3thẳng hàng

Tương tự đối với B3và C3, lập luận tương tự cho các điểm E, H, B3và F, H, C3

cũng thẳng hàng

=> Các đường thẳng trong bài đồng quy tại điểm H

Bài 5: ( IMO Shortlist 1998) Gọi I là tâm nội tiếp của tam giác ABC K, L và M làcác điểm tiếp tuyến của đừng tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB, BC,CA tương ứng Đường thẳng l đi qua B và song song với KL Các đường MK vàML cắt l tại các điểm R và S tương ứng Chứng minh rằng���là cấp tính

Lưu ý đầu tiên:

���= ��� = ���= ��� Và

���= ��� = ���= ��� =>∆BKS~∆BRL

=>BS BR = BL2

Gọi X là trung điểm của KL

Ta có: X nằm trên đường cao từ I đến RS vàBX = BLcosB2 vàBI =cosBLB=>BX BI = BR BS

Do đó, theo câu 3, X là trực tâm của tam giác RISNhưng vì X là hình chiếu của I lên đường thẳng KLNên X nằm bên trong tam giác RIS

Một cách khác để chứng minh X là trực tâm của tam giác RIS là chứng minhtam giác RXS tự phân cực đối với đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 6: ( USAMO 1998) Cho C1và C2là các đường tròn đồng tâm, với C2nằm bêntrong C1 Từ một điểm A trên C1kẻ đường tiếp tuyến AB cắt C2(B∈ C2) Gọi C làgiao điểm thứ hai của AB với C1 D là trung điểm của AB Đường thẳng đi qua Acắt C2tại E và F sao cho các đường trung trực của DE và CF cắt nhau tại điểm Mtrên AB Tìm và chứng minh tỉ số��

��

Gọi O là tâm chung của các đường tròn đồng tâm C1, C2

Điểm tiếp tuyến B là trung điểm của dây cung AC

Vì AC  OB là bán kính của đường tròn C và O là tâm của đường tròn C21

Ta có hệ thức của điểm A với đường tròn C2làAE AF = AB2Nhưng vì B là trung điểm của AC và D là trung điểm của AB nên ta có:

AD AC =AB2 2AB = AB2Do đó, theo định lý 1.2 Tứ giác CDEF là tứ giác nội tiếp

Giao điểm M của đường trung trực với các đường chéo CE, DF là tâm đườngtròn ngoại tiếp của nó

Nếu tâm đường tròn này nằm bên cạnh CD thì nó là trung điểm của cạnh nàyDo đó:DM = MC =DC2

VìDC =32AB, nên ta có:DM = MC =34ABVàAM = AD + DM =AB2 +34AB =54ABVì vậy��

Bài 7: ( IMO 2009) Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp O Các điểmP và Q lần lượt là các điểm trên các cạnh CA và AB Gọi K, L và M lần lượt làtrung điểm của BP, CQ và PQ Gọi I là đường tròn đi qua ba điểm K, L và M Giảsử đường thẳng PQ tiếp xúc với đường tròn I Chứng minh: OP = OQ

Vì đường thẳng PQ là tiếp tuyến của (I) nên ta có:���= ��� 

Vì MK là đường trung bình của tam giác PQB, nên ta có:MK// AB nên���= ��� 

=>���= ��� 

Tương tự ta có:���= ���=>∆MKL~∆APQ=>��

�� ����Không phụ thuộc vào vị trí của P

Chứng minh dựa trên thực tế là���không đổiDựng đường tròn ngoại tiếp tam giác PEDG là giao điểm của đường tròn này với ABTa có:���= ���( vì cùng chắn cung ED)

Vì các góc này không đổi khi khi P thay đổi trên cung AB

=> Đối với mọi vị trí của P thì���vẫn cố định=> Điểm G vẫn cố định trên đường thẳng AB=> BG là hằng số

Mặt khác, theo lũy thừa điểm, ta có:AF FB = PF FD EF FG = PF FDvà=>(AE + EF) FB = EF (FB + BG)

VàAE FB = EF BG

=>��.���� = �� = Hằng số

Bài 9: (Butterfly Theorem) Gọi M là trung điểm dây PQ của một đường tròn Quađó vẽ hai dây AB và CD khác AD cắt PQ tại X và BC cắt PQ tại Y Khi đó, Mcũng là trung điểm của XY

A và C là hai điểm bất kỳ trên đường tròn Khi đó, bổ đề Haruki co chúng tabiết rằng:

�� ���� =�� ����DoMP = MQ, nên ta có:

���� =����Thêm 1 vào cả hai vế ta được:

�� + ��

�� =�� + ����Áp dụng lạiMP = MQ, chúng ta thu được XM = YMVậy: M là trung điểm của XY

III Một số bài tập vận dụng:

Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Cho đường thẳng qua B vuông góc với AC cắtđường tròn đường kính AC tại các điểm P và Q, đường thẳng qua C vuông góc vớiAB cắt đường tròn đường kính AB tại các điểm R và S Chứng minh rằng P,Q,R,Sđồng quy

Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có tâm ngoại tiếp O và trực tâm H Chứng minhrằng:

�� = � (1 − 8������������)22

Bài 3: Cho tam giác ABC và gọi D, E, F là chân đường cao, có D trên BC, Etrên CA, F trên AB Cho đường thẳng song song qua D đến EF cắt AB tại X vàAC tại Y Gọi T là giao điểm của EF với BC và M là trung điểm củ BC Chứngminh rằng: các điểm T, M, X, Y đồng quy

Bài 4: (Kazakhstan MO 2008) Giả sử B1là trung điểm của cùng AC chứa B củađường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và gọi I là tâm của đường tròn B Giả sửb

đường phân giác ngoài của���cắt AC tại B2 Chứng minh rằngB2I vuông gócvới B1IB, trong đó I là tâm nội tiếp của tam giác ABC

Bài 5: (IMO 2000) Hai đường tròn T1 và T2 cắt nhau tại M và N Gọi l là tiếptuyến chung củ T1 và T2 sao cho M gần hơn N Đường thẳng l cắt T1 tại A và T2tại B Đường thẳng qua M song song với l và cắt đường tròn T1 tại C, cắt T2 tại D.Đường thẳng CA và DB cắt nhau tại E; đường thẳng AN và CD cắt nhau tại P;đường thẳng BN và CD cắt nhau tại Q Chứng minh rằng: EP = EQ

Bài 6: Gọi C là điểm nằm trên hình bán nguyệt I đường kính AB và D là trungđiểm của cung AC Gọi E là hình chiếu của D lên BC và F là giao điểm của đườngthẳng AE với hình bán nguyệt Chứng minh rằng: đường thẳng VF chi đôi đoạnthẳng DE

Bài 7: Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn I có AB = BC Các tiếp tuyến tạiA và B cắt nhau tại D DC cắt (i) tại E Chứng minh rằng: Đường thẳng AE chiađôi đoạn BD

Bài 8: (EGMO 2012) Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp O Các điểmD, E, F lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho DE vuông góc với CO vàDF vuông góc với BO ( chúng ta muốn nói rằng điểm D nằm trên đường thẳng BCvà D nằm giữa B và C trên đường thẳng đó) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếptam giác AFE Chứng minh rằng: Hai đường thẳng DK và BC vuông góc với nhauBài 9: (IMO Shortlist 2013) Cho tam giác ABC có�> � Cho P và Q là haiđiểm khác nhau trên đường thẳng AC sao cho���= ���= ���và A nằm giữaP và C Giả sử tồn tại một điểm D trong đoạn BQ sao cho PD = PB Cho tia ADcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R≠ A Chứng minh rằng: QB = QR