Đang tải... (xem toàn văn)
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOABỘ MÔN GIẢI TÍCH 1
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH LỰC VÀ ÁP SUẤT THỦY TĨNH,MOMENT VÀ TỌA ĐỘ TRUNG TÂM
Giáo viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm Nhóm thực hiện: GT1-L03-24
Thành viên nhóm:
Trang 3-BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM
Nội dung câu hỏi:
Câu 1: Đọc và trình bày lại ứng dụng của tích phân để tính lực và áp suất thủy tinh
(Hydrotastic force and pressure) moment và tọa độ trung tâm, trong phần 8.3 của Jane
Stewart, Caculus early transcendentals, 6th Eddition.
Yêu cầu: Hiểu được bản chất các khái niệm, và cách hình thành các công thức từ
mô hình tích phân , vận dụng trong các ví dụ cụ thể( trình bày mỗi phần ít nhất 2 ví dụ, không sử dụng lại ví dụ có trong sách.)
Câu 2: Nêu tối thiểu 3 ứng dụng thực tế của phần 1.
Câu 3: Dùng 1 phần mềm hoặc 1 ứng dụng, lập tổng Riemann của một hàm số f
trên [a,b], mô tả bằng đồ thị.
Trang 4BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄMNhận xét cn xét cn xét c a giáo viênủa giáo viên
Trang 5BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄMkhắp thế giới và là giáo trình Toán bán chạy nhất của Nhà xuất bản Cengage Learning (Mỹ) Khác với những cuốn giáo trình Toán học “khô khan” với nội dung kiến thức “hàn lâm”, thiên về lý thuyết Toán học thuần túy, “Calculus” của James Stewart là sự kết nối giữa lý thuyết với những ứng dụng cơ bản của Toán học trong các lĩnh vực Khoa học Tự nhiên, Khoa học Xã hội cũng như các vấn đề thực tiễn của cuộc sống, tạo sự hấp dẫn cho người học.
Trang 6P F/A=pgd=
- Đơn vị đo áp suất theo hệ đo lường SI là newton trên mét vuông mà được gọi là pascal (viết tắt 1N/m2 = 1 Pa) Vì đây là đơn vị nhỏ, nên ta hay dùng kilopascal (kPa) Chẳng hạn, vì dung lượng nước là p = 1000 kg/m3, nên áp suất tại đáy của hồ bơi sâu 2 m là
P = pgd= 1000 kg/m3 x 9.8 m/s2 x 2 m= 19,600 Pa = 19.6 kPa
- Nguyên lý quan trọng của áp suất chất lỏng được kiểm chứng qua thực nghiệm là tại điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng, áp suất như nhau ở mọi hướng (Một người thợ lặn cảm thấy chịu cùng một áp suất tác động lên mũi và cả hai tai.) Do đó áp suất theo một hướng bất kỳ tại độ sâu d trong lòng chất lỏng có mật độ khối p được tính bởi công thức
P = Sd
- Công thức này giúp chúng ta xác định được lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng nằm dọc, bức tường hoặc con đập trong lòng một chất lỏng Công thức này không dễ tính bởi vì áp suất không cố định mà tăng khi độ sâu tăng.
Trang 7BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM
1.2 Mômen Tĩnh và Tâm Khối Lượng
- Ở đây mục tiêu chính của chúng ta là tìm điểm P mà tại đó một tấm mỏng có hình dạng bất kỳ nằm cân bằng ngang như trong Hình 5 Điểm này được gọi làtâm khối lượng (hoặc trọng tâm) của tấm mỏng.
- Đầu tiên ta xem xét tình huống đơn giản hơn được minh họa trong Hình 6, trong đó hai khối mi và mẹ được gắn vào hai bên của một thanh có khối lượng không đáng kể và cách điểm tựa các khoảng d1 và d2 Thanh đòn bẩy sẽ cân bằngnếu
m1d1 = m2d2
- Đây là một kết quả thực nghiệm được khám phá bởi Archimedes và được gọi là Định Luật Đòn Bẩy (Hãy tưởng tượng một người nhẹ hơn cân bằng với một người nặng hơn trên một ván bập bênh bằng cách ngồi cách xa trung tâm hơn.)
Trang 8-Tổng quát, nếu ta có hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2, , mn được đặt tại các điểm X1, X2, , X trên trục x, ta có thể chứng minh tương tự rằng tâm khối lượng của hệ được đặt tại:
Trang 9BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄMthì mômen của nó sẽ giống hệt với mômen của hệ thống.
- Bây giờ, chúng ta xem xét một hệ n chất điểm có khối lượng m1, m2, , m, được đặt tại các điểm (x1, y1), (x2, y2), , (Xn, Yn) trong mặt phẳng xy như trong Hình 8 Dựatrên phép tương tự hóa từ trường hợp một chiều, ta định nghĩa mômen của hệ quanh trục ylà
My= Và mômen quanh trục x là Mx=
Trang 10BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM
Câu 2: Ứng dụng
Ví dụ 1: Một con đập có dạng hình thang được mô tả trong Hình 2 Chiều cao của nó là 20m, chiều rộng là 50m, và 30m tại đáy Tìm lực thủy tĩnh tác dụng lên con đập nếu mực nước dưới đỉnh đập 4m.
- Giải: Ta chọn trục x thẳng đứng có gốc tọa độ tại bề mặt của nước và hướng xuống như trong Hình 3(a) Độ sâu của nước là 16m, vì vậy ta chia khoảng [0 ;16] thành các khoảng con đều nhau với các điểm xuối x và ta chọn xii*∈[xi-1 ;xi] Dải nằm nay thứ i của đập được tính xấp xỉ bằng hình chữ nhật có chiều cao x và chiều△rộng w , trong đó , từ các hình tam giác đồng dạng Hình 3(b) i
Và vì vậy
Nếu A là diện tích của dài thứ i thìi
Nếu x nhỏ , thì áp suất P tác dụng lên dài thứ i gần △ i
định và ta có thể sử dụng phương trình 1 để viết
Trang 11BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM- Lực thủy tĩnh F tác dụng lên dài thứ i là tích của áp suất và diện tích :i
Chia thanh thành các phần tử nhỏ có chiều dài dx,phân tử này cách khối tâm O của thanh một đoạn bằng x
Khoảng cách từ phân tử đó đến trục quay là :△
Khối lượng của phân tử đó là :
dm=λ.dx.( λ là khối lượng trên 1 đơn vị chiều dài)
Moment quán tính của thanh đối với trục quay là : △
Với m= λ.l là khối lượng của thanh
Trang 13BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM
Câu 3 : Tổng Riemann
3.1 Lịch sử về Riemann - nhà toán học của thời đại
- Georg Friedrich Bernhard Riemann là nhà toán học người Đức, người có
đóng góp quan trọng cho nền toán học thế giới, xây dựng nền tản cho Thuyết Tương Đối sau này Những công trình ông xuất bản không nhiều, nhưng mở ra những ngành nghiên cứu mới kết hợp giải tích và hình học, bao gồm lý thuyết của hình học Riemann hình học , đại số và lý thuyết về đa tạp phức Những lý thuyết về mặt Riemann được mở rộng bởi Felix Klein và đặc biệt là Adolf Hurwitz Lãnh vực này trong toán là những nền tảng trong tô pô, và trong thế kỉ 21 vẫn được áp dụng trong các cách thức mới vào toán vật lý.
3.2 Công thức tổng Riemann
- Ta đều biết ứng dụng thường dùng nhất của tích phân là để tính diện tích Trong phần này, ta sẽ cùng đi qua một phương pháp dùng diện tích để tính gần đúng giá trị của tích phân, gọi là tổng Riemann Phương pháp này cực kì hữu hiệu khi ta cần tính tích phânmà không biết chính xác hàm f(x), chỉ biết tập hợp gồm toạ độ các điểm x và f(x) trong một miền xác định.
Tổng riemanm được chia làm 3 loại:
Tổng Riemann trái
Tổng Riemann giữa
Tổng Riemann phải
Trang 14Tổng riemanm trái: Ln=▲x [f(x0)+f(x )+….+f(x )]1n-1
Tổng riemanm phải: Rn=▲x[f(x )+f(x )+…+f(x )]12n
Riemanm trung tâm: N =▲x[f(+f(+f(+….+ f(]n
Ngoài cách giải theo truyền thống có phần khó khăn đối với các dạng toán phức tạp Ngày nay, sự xuất hiện của các công cụ tính toán trực tuyến đã giải quyết cơ số vấnđề lớn của toán học hiện đại, Matlab là một dụng cụ góp phần giải quyết các bài toán chuyển động trong toán học, sau đây chúng ta sẽ giải quyết 1 vài ví dụ bằng công cụ matlab.
3.3 Ước tính giá trị của tổng riemanm của hàm số sau trên đoạn [0,11] với phân hoạch 10 đoạn bằng MATLAB
Trang 15BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM
syms f a b x
disp('Tính tổng Riemann') f=input('Nhập hàm cần tính ') a=input('Nhập đầu khoảng ') b=input('Nhập cuối khoảng ') rsums(f,[a,b])
Trang 16BÀI TẬP LỚN GVHD: TRẦN NGỌC DIỄM-Syms là khai báo biến
- Disp ghi dòng chữ trong ngoặc- Rsums là tính tổng riemann và vẽ đồ thị
3.3.2 Đồ thị tổng riemann