bài tập lớn giữa kỳ vẽ hình phẳng

Chứng minh tam giác CP N là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm1 Chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn.Tam giác ABC vuông tại A nên \BAC = 90o=⇒ A thuộc

Trang 1

PHẦN I:

a) VẼ HÌNH PHẲNG Họ và tên: Tạ Minh Tâm Ngày: 20/07/2022.

ĐỀ BÀI

[Trích Bài IV (3,0 điểm) - Hà Nội 2021 - 2022]

Cho tam giác ABC vuông tại A Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM vớiđường tròn (C; CA) (M là tiếp điểm, M và A nằm khác phía đới với đường thẳngBC).

1) Chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B) Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB saocho MP = AN Chứng minh tam giác CP N là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm

1) Chứng minh bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc một đường tròn.Tam giác ABC vuông tại A nên \BAC = 90o

=⇒ A thuộc đường tròn đường kínhBC.

BM là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên \BM C = 90o

=⇒ M thuộc đường tròn đường kínhBC.

Trang 2

KL: Bốn điểm A, C, M và B cùng thuộc đường tròn đường kínhBC.

2) Chứng minh △CPN là tam giác cân và đường thẳng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳngN P.

• Gọi I là trung điểm của đoạn thẳngN P.

△CP N cân tại C và I là trung điểm của đoạn thẳng NP nênCI⊥ N P.

Tứ giác NACI nội tiếp =⇒ [N IA = \N CA.

Tứ giác NACI nội tiếp =⇒ \M IP = \M CP

Trang 3

Họ và tên: Tạ Minh Tâm Ngày: 20/07/2022.

ĐỀ BÀI

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góckẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB vàBC.

a) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh:BH.BA = BK.BC.

c) Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng

EF Chứng minh rằng ba điểm H, I , K là ba điểm thẳng hàng.

a) Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \BHE = \BKE = 90onên tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh rằng ba điểm H, I, K là ba điểm thẳng hàng.

Gọi J là hình chiếu vuông góc của E trên CF Ta có HF JE là hình chữ nhật nên HJ và EF cắtnhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Lại có [EJ C = \EKC = 90o

Trang 4

=⇒ Tứ giác EJKC nội tiếp, \BF C = \BEC = 90onên tứ giác BF EC nội tiếp.

Trang 5

ĐỀ BÀI

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC ) nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao BE và CF củatam giác ABC cắt nhau tại điểm H

1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn.2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳngEF.

3) Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC Đường thẳng AO cắt đường thẳng BC tại điểm I, đườngthảng EF cắt đường thẳng AH tại điểm P Chứng minh tam giácAP E đồng dạng với tam giác AIBvà đường thẳng KH song song với đường thẳngIP.

=⇒ Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kínhBC.

2) Chứng minh đường thẳng OA vuông góc với đường thẳngEF.

Ta có: BCEF là tứ giác nội tiếp =⇒ [AEF = \ABC.

Kẻ đường kính AQ =⇒ △AQC vuông tại C =⇒ [QAC + [AQC = 90o.

Xét (O) có [AQC = \ABC =1

=⇒ [AEF + \EAO = 90o=⇒ AO ⊥ EF

Trang 6

3) Chứng minh △APE đồng dạng với tam giác △AIB và KH song song vớiIP.

Trang 7

ĐỀ BÀI

Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia

AB(S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trêncung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc một đường tròn đường kínhSO.

2) Khi SO = 2R, hõy tính độ dài đoạn thẳng SC theo R và tính số đo [CSD.

3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K Chứngminh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳngSC.

4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng

AD Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường

3) ADHK là tứ giác nội tiếp.

4) S ∈ AS thì F luôn thuộc một đường tròn cố định.(Hình vẽ chỉ mang tính minh hoạ)

Chứng minh

1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc một đường tròn đường kínhSO.

• SD, SClà tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

=⇒ OD ⊥ SD, OC ⊥ SC.

Trang 8

Suy ra:

D, C thuộc đường tròn đường kínhSO. (5)

• Do H là trung điểm của AB =⇒ OH ⊥ AB

=⇒ \SHO = 90o

Suy ra:

H thuộc đường tròn đường kínhSO. (6)

Từ (5), (6) =⇒ C, D, H, O, S cùng thuộc đường trồn đường kính SO.2) Tính độ dài đoạn thẳng SC theo R và tính số đo [CSD.

3) Chứng minh ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳngSC.

Ta có: S, D, O, H cùng thuộc một đường tròn nên SHOD là tứ giác nội tiếp.

Từ (7) và (8) =⇒ \AHD = \AKD =⇒ ADHK nội tiếp.Gọi M là giao điểm của BK vàSC.

Gọi N là giao điểm của AK vàBC.

Ta có: \KH A = [CBS =⇒ HK ∥ BC mà H là trung điểm AB nên K là trung điểm của AN.

Suy ra:AK = KN Ta có:AK

SM= KN

CMmà AK = KN nên SM = CM nên M là trung điểm của SC.

4) Chứng minh rằng, khi S thay đổi trên tia đối của tia AB thì F luôn thuộc một đường tròn cố định.Kẻ đường kính AA′của đường tròn tâm O

Trang 9

ĐỀ BÀI

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A Gọi E là một điểm bất kỳ trên tia CA sao cho A nằm giữahai điểm C và E Gọi M và H lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm A đến các đường thẳng

BC vàBE.

1) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh BC.BM = BH.BE và HM là tia phân giác của gócAHB.

3) Lấy điểm N sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AN Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng

EN và AB Chứng minh ba điểm H, K, M là ba điểm thẳng hàng.

KL 1) AMBH là tứ giác nội tiếp.

2) AC.BM = BH.BE HM là tia phân giác của \AHB.

3) H, K, MB thẳng hàng.(Hình vẽ chỉ mang tính minh hoạ)

Chứng minh

1) Chứng minh tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

Vì M và H lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A và BC và BE Mà hai góc này ở vị trí đối diện =⇒ Tứ giác AMBH là tứ giác nội tiếp.

2) Chứng minh BC.BM = BH.BE và HM là tia phân giác của gócAHB.

• Vì M và H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC và BE nên AM⊥ BE vàAM⊥ BC.

Trang 10

Xét △ABC vuông cân tại A có AM ⊥ BC

=⇒ HM là tia phân giác \AHB.

3) Chứng minh ba điểm H, ,K M là ba điểm thẳng hàng.

Gọi K′là giao điểm của HM và AB =⇒ Ta cần chứng minh K trùng K′ Xét △AHB và △EAB có:

BM là đường trung tuyến (Vì M là trung điểm của AN )BM là đường cao (Vì BM⊥ AN) =⇒ △ABN cân tại B.

Mà \BAN = 45o(Vì △ABC vuông cân tại A)

=⇒ △ABN vuông cân tại B Suy ra:

Trang 12

b) VẼ HÌNH TOẠ ĐỘ Họ và tên: Tạ Minh Tâm Ngày: 20/07/2022.

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm số bậc hai

Cho(P ) : y = x2 a) Vẽ( )P.

b) Tuỳ theo m, hõy xét số giao điểm của đường thẳng y = mx − 1 với( )P

c) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng: y = 2x + 2010 và tiếp xúc với (P ).d) Tìm trên (P ) điểm cách đều hai trục toạ độ.

BÀI LÀM

a) Vẽ( )P

Đồ thị hàm số (P ) : y = x2

Gọi (d) : y = mx − 1 Hoành độ của giao điểm giữa đường thẳng (d) : y = mx − 1 và parabol(P ) : y = x2chính là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm của hai hàm số sau:

Trang 13

TH 1: △ > 0 =⇒Khi đó (16) có hai nghiệm phân biệt x1m <m > 2−2√√22 < x Khi đó (16) vô nghiệm.

Kết luận: (P )∩ d) = ∅.( (Hình vẽ chỉ mang tính minh hoạ)

c) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng:y = 2x + 2010 và tiếp xúc với( )P Giả sử đường thẳng cần tìm là( )d′.

• (d′)∥ y = 2x + 2010

=⇒ (d′) : y = 2x + c vớic∈ R.

• (d′) tiếp xúc với (P) tại M0(x0; y0) = ⇒ x0là nghiệm duy

nhất của phương trình hoành độ giao điểm giữa (d′) và (P ):2x + c = x2

=⇒ 2x2−2x−c = 0 (17) ⇐⇒ △′= 0⇐⇒ 1 + 2c = 0 ⇐⇒ c = −12

Vậy (d′

d) Tìm trên (P ) điểm cách đều hai trục toạ độ.

(Hình vẽ chỉ mang tính minh hoạ)

Giả sử điểm cần tìm làI(xI; yI).

• VìI(xI; yI)∈ P( ).

=⇒ yI= 2x2I =⇒ yI≥ 0. (18)

Trang 14

• I cách đều hai trục toạ độ.

=⇒ d(I,Ox)= d(I,Oy)=⇒ ♣yI♣ = ♣ ♣xI

Trang 15

Nhận xét 1: Với x0≥ 1 và lim lim

x→x− g(x) hoặc lim lim

x = 0, x = x1không phải tiệm cận đứng của ĐTHS y = g( ) không thoả mõn điều kiệnxx0≥ 1.

Vậy ĐTHS g(x) có 3 đường tiệm cận đứng là:x = 2, x = x2, x = x3.

Trang 16

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm số trùng phương

Cho hàm số bặc bốn y = f( x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân

biệt của phương trìnhf ( (f x)) = 0là

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Phương trình f(x) = a có 2 nghiệm thực phân biệt.Phương trình f(x) = b có 4 nghiệm thực phân biệt.Phương trình f(x) = c có 4 nghiệm thực phân biệt.Phương trình f(x) = d vô nghiệm trên R

Vậy phương trình f( (f x)) = 0 có 10 nghiệm thực phân biệt.

Trang 17

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x − m2− 2

(x− m)2 > 0,∀x = m Do đó hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞, m) và(m; +∞) Bảng biến thiên của hàm số:

Trang 18

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm mũ hoặc hàm logarit

Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm y = ax, y = bx.y = logcx Hõy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

A a < c < b.B c < a < b.C a < b = c.D b < c < a.

BÀI LÀM

Dựa vào đồ thị các hàm số y = ax, y= bx, y= logcx, ta có:

Hàm số y = axnghịch biến trên R nên ta có:

a < b Do đó loại hai phương án B D.,

Nếu b = c thì ta có ĐTHS y = bx, y = logcx đối xứng nhau qua đường thẳngy = x.

Tuy nhiên nhìn hình dáng hai ĐTHS y = bx, y = logcxkhông có tính chất đối xứng nhau qua đường

thẳng y = x Do đó phương án đúng làA..

Trang 19

PHẦN 2: SCILABa) GIỚI HẠN DÕY SỐ Họ và tên: Tạ Minh Tâm Ngày: 20/07/2022.

Trang 20

Nhập i 1 2 3 4 5 u 1.414214 1.8477591 1.961571 1.990369 1.997591

Trang 21

ĐỀ BÀI

Bài toán: Dõy số hội tụ

Chứng minh giới hạn dõy số là số Euler: lim

Trang 22

Trang 23

plot(n,u,’b*-’) //Kết luận: Dõy (un) không hội tụ

theo tiêu chuẩn Cauchy.

Trang 24

plot(n,u,’b*-’) //Kết luận: Dõy (un) không hội tụ

theo tiêu chuẩn Cauchy.

Trang 25

b) VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ (PHẦN I) Họ và tên: Tạ Minh Tâm Ngày: 20/07/2022.

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm số bậc hai

Cho(P ) : y = x2 a) Vẽ( )P.

c) Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng: y = 2x + 2010 và tiếp xúc với (P ).d) Tìm trên (P ) điểm cách đều hai trục toạ độ.

Trang 26

Trang 27

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm số trùng phương

Cho hàm số bặc bốn y = f(x) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân

biệt của phương trìnhf ( (f x)) = 0là

Trang 28

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm bậc nhất trên bậc nhất

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = x − m2− 2

Trang 29

ĐỀ BÀI

Bài toán: Đồ thị hàm mũ hoặc hàm logarit

Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm y = ax, y = bx.y = logcx Hõy chọn mệnh đề đúng trong các

Trang 30

TIỂU LUẬN PHẦN MỀM TOÒN HỌC

Mõ sinh viên: 715101275

Trang 31

Giấy cói Rhind (từ khoảng năm 1550 trước Công nguyên) có chứa các khai triển phân số Ai Cập theo nhiều dạng khác nhau cho số nguyên tố và hợp số Tuy nhiên, các công trình nghiên cứu cụ thể về số nguyên tố được lưu lại sớm nhất đến từ toán học Hy Lạp cổ đại Bộ Cơ sở của Euclid (khoảng300TCN) có phần chứng minh sự tồn tại vô số số nguyên tố và định lý cơ bản của số học, đồng thời nêu cách tạo ra một số hoàn thiện từ số nguyên tố Mersenne Một phát minh khác từ Hy Lạp là sàng Eratosthenes vẫn còn được dùng để lập danh sách các số nguyên tố.

Khoảng năm 1000, nhà toán học Hồi giáo Ibn al-Haytham (Alhazen) tìm ra định lý Wilson, xác định số

nguyên tố là các số n chia hết (n − 1)! + 1 Ũng cũng phỏng đoán rằng tất cả số hoàn thiện chẵn đều có

thể được tạo ra từ số Mersenne theo cách xây dựng của Euclid, nhưng không chứng minh được Một nhà toán học Hồi giáo khác, Ibn al-Banna’ al-Marrakushi tìm ra rằng sàng Eratosthenes có thể được đẩy nhanh khi chỉ kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số lớn nhất được kiểm tra Fibonacci sau đó đõ mang những ý tưởng mới này từ toán học Hồi giáo về châu Âu Cuốn Liber Abaci (1202) của ông là cuốn sách đầu tiên mô tả giải thuật chia thử để kiểm tra tính nguyên tố chỉ bằng việc kiểm tra các ước số lớn đến căn bậc hai của số cần kiểm tra.

Năm 1640, Pierre de Fermat phát biểu định lý nhỏ Fermat (về sau được Leibniz và Euler chứng minh) Fermat cũng đõ nghiên cứu và kiểm tra tính nguyên tố của số Fermat 22n

+ 1, và Marin Mersenne nghiên cứu số nguyên tố Mersenne, số nguyên tố có dạng 2p

− 1 với p cũng là số nguyên tố Trong thư gửi Euler

năm 1742, Christian Goldbach đõ phát biểu giả thuyết Goldbach cho rằng mọi số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố Euler chứng minh được giả thuyết của Alhazen (về sau gọi là định lý Euclid–Euler) rằng mọi số hoàn thiện chẵn có thể được tạo ra từ số nguyên tố Mersenne Đầu thế kỷ 19, Legendre và

Gauss đưa ra phỏng đoán rằng khi x tiến về vô hạn thì số lượng số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng x tiệmcận về x/logxvới log x là logarit tự nhiên của x Một thành tựu quan trọng khác trong thế kỷ19là định lý Dirichlet về cấp số cộng cho rằng một cấp số cộng nhất định chứa vô số số nguyên tố Nhiều nhà toán học đõ nghiên cứu các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố với các số lớn hơn so với các số mà giải thuật chia thử có thể áp dụng được Các thuật toán giới hạn về một dạng số cụ thể bao gồm kiểm tra Pépin cho số Fermat (1877), định lý Proth (khoảng 1878), kiểm tra Lucas–Lehmer (1856) và dạng tổng quát của nó, kiểm tra Lucas.

Bài tiểu luận này của tôi được dựa trên nhiều nguồn tham khảo, xong vẫn có những nét riêng dựa trên một vài công cụ "Phần mềm toán học", môn học mà tôi được học tập trên giảng đường, với những điều mới lạ này hi vọng tôi sẽ giúp việc tìm hiểu số nguyên tố trở nên sinh động và dễ hiểu hơn Từ đó gợi nhắc đến cho ta những ứng dụng thực tế của những con số này trong thực tế, mà đơn giản nhất là "Đa giác vẽ được và phân chia đa giác" trong lĩnh vực Toán học.

Đây là tài liệu được soạn thảo bằng công cụ LATEX, với các hình ảnh trích nguồn từ các website uy in, bên cạnh với những công cụ hữu ích như Geogebra, Scilab hỗ trợ Tôi rất vui lòng được đón nhận bất cứ ý kiến đóng góp, điều này sẽ giúp tôi sửa đổi tiểu luận trở nên thân thiện tới bạn đọc hơn nữa Cảm ơn.

Trang 32

Kiểm tra số nguyên tố

Thực hiện đoạn code sau: clear; clc;

function d = ktnt(n)

if modulo(n, 2) == 0&&n <> 2thendisp("n không là số nguyên tố ")

Trang 33

2 Tóm tắt lý thuyết về số nguyên tố

Định nghĩa 1 Một số tự nhiên (1, 2, 3, 4, 5, 6, ) được gọi là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không thể được

biểu diễn thành tích của hai số tự nhiên nhỏ hơn khác 1 Các số lớn hơn 1 không phải là số nguyên tố được gọilà hợp số.

Nói cách khác, n là số nguyên tố nếu n vật không thể chia

đều thành nhiều nhóm nhỏ gồm nhiều hơn một vật, hoặc n dấu chấm không thể được sắp xếp thành một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng nhiều hơn một dấu chấm.

Định nghĩa 2 Ước số của một số tự nhiên n là các số tự nhiên có thể chia hết được n Mọi số tự nhiên đều có

ít nhất hai ước số là 1 và chính nó Nếu nó còn có thêm một ước số khác thì nó không thể là số nguyên tố.

Các cách diễn đạt khác của định nghĩa cho số nguyên tố: • Những số chỉ có đúng hai ước số dương là 1 và chính nó.

• n là số nguyên tố nếu nó lớn hơn 1 và không có số nào trong các số:

2 3 4 5, , , , , n−1 có thể chia hết được nó.

Tính chất 1 Sự phân tích duy nhất: Bất kỳ số nguyên nào lớn hơn 1 đều có thể được viết thành tích của một

hoặc nhiều số nguyên tố.

Viết một số thành tích của các số nguyên tố được gọi là phân tích nguyên tố của số đó.

Ví dụ 1

34866 = 2.3.3.13.149 = 2.32.13.149

Các thừa số trong tích được gọi là thừa số nguyên tố Một thừa số nguyên tố có thể xuất hiện nhiều lần, khi đó có thể dùng lũy thừa để gộp nhiều thừa số giống nhau đó lại thành một Trong ví dụ trên, số 3 xuất hiện 2 lần và 32là bình phương hay lũy thừa bậc 2 của 3

Tính chất 2 (Định lý Euclid) Sự tồn tại vô số số nguyên tố

Có vô số số nguyên tố Nói cách khác, dõy các số nguyên tố