TRẦN CÔNG NGHỊ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI VÀ CƠ HỌC KẾT CẤU (TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI) THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009 ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH 3 Trang này để trống 4 Chương 1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Tóm tắt Phương trình cân bằng: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0 0 Z yxz Y zxy X zyx yz zx z yzyxy xz xy x τ τ σ ττσ τ τ σ (1.1) trong đó X, Y, Z – lực khối. Phương trình biến dạng: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += = = = x w z u y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ∂ ∂ γ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε ∂ ∂ ε (1.2) Điều kiện tương hợp (liên tục): ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ zx zx zy yz yx xy xzx z yz z y xyy x γε ε γ ε ε γε ε 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 và ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂∂ ∂ zyxzyx zyxyzx zyxxzy xy xz yz z xy xz yzy xy xz yz x γ γ γ ε γ γ γε γ γ γ ε 2 2 2 2 2 2 (1.3) Công thức chuyển của tensor ứng suất. Nếu ký hiệu ma trận các cosin góc giữa hai hệ trục là [c], tensor ứng suất điểm trong hệ tọa độ Oxyz là [σ], tensor ứng suất trong hệ tọa độ mới [σ ∗ ] tính theo công thức: [] [][ ][] T cc σσ = * (1.4) 5 với [] [ ] ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = zyzxz yzyxy xzxyx zzzyzx yzyyyx xzxyxx ccc ccc ccc c σττ τστ ττσ σ ; *** *** *** Ứng suất chính xác định từ phương trình: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ =−++ =+−+ =++− 0)( 0)( 0)( mlk mlk mlk zyzxz zyyxy zxyxx σσττ τσστ ττσσ (1.5) hoặc dưới dạng ma trận: }0{= ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − m l k zzyzx yzyyx xzxyx σσττ τσστ ττσσ (1.6) trong đó tổng bình phương các cosin bằng đơn vị k 2 + l 2 + m 2 = 1. Lời giải hệ phương trình: σ 3 - σ 2 J 1 + σJ 2 – J 3 = 0. (1.7) trong đó J 1 = σ x + σ y + σ z J 2 = σ y σ z + σ z σ x + σ x σ y - τ yx 2 - τ zx 2 - τ xy 2 (1.8) J 3 = σ x σ y σ z + 2τ xy τ yz τ xz - τ xy 2 σ z - τ yz 2 σ x - τ zx 2 σ y (1.9) Các đại lượng J 1 , J 2 , J 3 được gọi bất biến thứ nhất, bất biến thứ hai, và bất biến thứ ba của tenso ứng suất. Trường hợp ứng suất phẳng, trong hệ tọa độ xOy ứng suất chính tính theo công thức: 22 4 1 2,1 )( 2 xyyx yx τσσ σ σ σ +−± + = (1.10) Hướng trục ứng suất chính tính từ công thức: yx xy n tg σσ τ θ − = 2 2 (1.11) Ứng suất cắt lớn nhất: 2 21 minmax, σσ τ − ±= (1.12) xy yx s tg τ σ σ θ − = 22 (1.13) Vòng tròn Mohr xây dựng từ phương trình: 6 2 2 2 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − yxyx σσ τ σσ σ (1.14) Định luật Hooke áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν. () [] () [] () [] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ +−= +−= +−= yxzz zxyy zyxx E E E σσνσε σσνσε σσνσε 1 1 1 và ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = zxzx yzyz xyxy G G G τγ τγ τγ 1 1 1 (1.15) trong đó )1(2 ν + = E G (1.16) Nếu ký hiệu: zyx e ε ε ε ++= có thể viết: ()( ) ()( ) ()( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + + −+ = + + −+ = + + −+ = zz yy xx E e E E e E E e E ε ννν ν σ ε ννν ν σ ε ννν ν σ 1211 1211 1211 (1.17) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ += += += zz yy xx Ge Ge Ge ελσ ελσ ελσ 2 2 2 (1.18) trong đó ()( ) νν ν λ 211 −+ = E mang tên gọi hằng số Lamé. Hàm ứng suất Airy Φ(x,y) : ∇ 4 Φ(x,y) = 0. ;;; 2 2 2 2 2 yx yx xyyx ∂∂ Φ∂ −= ∂ Φ∂ = ∂ Φ∂ = τσσ Ví dụ 1: Thành lập hàm ứng suất cho dầm dài L, hình 1.1, mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh đứng 2c, chiều rộng b, chịu tác động tải phân bố đều q = const. Điều kiện biên như sau: a) Tại x = 0: σ x = 0; τ xy = 0. b) Tại x = L: q Hình 1.1 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = ∫ ∫ ∫ − − − 2 2 1 0 qLybdy bdy qLbdy c c x c c x c c xy σ σ τ c) Tại y = c: 0; =−= xyy b q τσ d) Tại y = -c: σ y = 0; τ xy = 0. Những nhận xét ban đầu: - Điều kiện đầu tiên của a) trong trường hợp cụ thể không thể thỏa mãn. - Từ tính chất đối xứng của mặt cắt ngang và b q y −= σ tại y = c và σ y = 0 tại y = -c, có thể rút ra σ y sẽ là hàm lẻ của y. - Hàm σ x cũng là hàm lẻ của y. Hàm Airy nên viết dưới dạng: Φ = Axy +Bx 2 + Cx 2 y + Dy 3 +Exy 3 +Fx 2 y 3 +Gy 5 Có thể thấy rằng: ∇ 4 Φ(x,y) = 24Fy + 120Gy = 0. Từ phương trình cuối suy ra F = -5G. Ứng suất tính theo công thức sau: 32 2 2 203066 GyyGxExyDy x x +−+= ∂ Φ∂ = σ 3 2 2 1022 GyCyB y y ++= ∂ Φ∂ = σ )3032( 22 2 GxyEyCxA yx xy −++−= ∂∂ Φ∂ −= τ Từ công thức tính τ xy có thể viết: Thỏa mãn điều kiện τ xy = 0 tại x = 0: A + 3Ey 2 = 0, từ đó A = E = 0. Thoả mãn τ xy = 0 tại y = ±c có thể thấy: 0 = -(2Cx - 30Gc 2 x), hay là C = 15Gc 2 . Giải phương trình xác định σ y , thỏa mãn điều kiện biên cho phép xác định B, G: 8 333 20210302 GcBGcGcB b q +=−+=− 333 202103020 GcBGcGcB −=+−= Từ đó có thể nhận được: 3 40 ; 4 bc q G b q B −=−= Biết rằng momen quán tính mặt cắt ngang tính bằng 3 3 2 bcI = , biểu thức của B và G sẽ có dạng: I q G I qc B 60 ; 6 3 −=−= Hằng C tính theo G sẽ là: C = 15Gc 2 = - (qc 2 )/(4I) Từ phương trình xác định σ x có thể viết: 3232 32 6203066 y I q yx I q DyGyyGxExyDy x −+=+−+= σ Thay biểu thức cuối vào điều kiện biên tại x = L có thể thấy: 232 2 1 32 6 qLybdyy I q yx I q Dy c c = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ∫ + − Từ đó có thể viết: D = I qc 30 2 Trường ứng suất có dạng sau: () () () ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ −= −+−= −+= 22 323 322 2 32 6 3 25 10 ycx I q yycc I q y I q ycx I q xy y x τ σ σ Ví dụ 2: Phương trình chuyển vị dầm trình bày tại hình 1.2 có dạng: () () [] ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ −−−−= −−= xLyxLx EJ P yx yxLx EJ Py yxu 222 22 33 6 ),( 36 6 ),( υ υ v 9 Y X Hình 1.2 Xác định chuyển vị điểm tại trục y = 0 và xác định trường ứng suất. Chuyển vị theo phương thẳng đứng tại y = 0: () () xL EJ Px xLx EJ P x −−=−−= 3 6 3 6 )0,( 2 32 v Góc xoay dầm tính theo công thức ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ = y u x xy v 2 1 θ , mang dạng sau: ()()() 222222 336 6 336 6 336 62 1 yxLx EJ P yxLx EJ P yxLx EJ P xy υυυθ −−−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−−−= Tại y = 0 góc xoay sẽ là: () 2 36 6 )0,( xLx EJ P x xy −−= θ Biến dạng trong dầm tính theo: () () yxL EJ P y yxL EJ P x u yx −−= ∂ ∂ =−= ∂ ∂ = υ εε v ; ()() 0336 6 336 6 2222 =−−+−−− = ∂ ∂ + ∂ ∂ = yxLx E J P yxLx E J P y u x xy υυ γ v Trường ứng suất tính theo cách sau: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+−− − = −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−− − = 0 0)()( 1 )()()( 1 2 2 2 xy y x yxL EJ P yxL EJ PE yxL J P yxL EJ P yxL EJ PE τ υυ υ σ υ υ σ 10 Ví dụ 3: Sử dụng phương trình cân bằng trong “lý thuyết đàn hồi” thành lập hàm ứng suất σ y , τ xy dầm, tiết diện dầm hình chữ nhật 2c x b, trong đó b – chiều rộng dầm, 2c – chiều cao dầm, chịu tải trọng phân bố đều cường độ q(x) = const. Ứng suất σ x tính tại mặt cắt bất kỳ của dầm, tại vị trí x, tính theo công thức: y J xM x )( = σ (a) trong đó M = 2 2 1 qx− (b) Hình 1.3 Hình 1.3 Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân, lực khối dầm sẽ không được nhắc tới. Từ phương trình cân bằng đầy đủ: ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0 By yxy Bx xy x f yx f yx στ τ σ có thể viết: (c) xy J q y xy −= ∂ ∂ τ (d) Tiến hành tích phân phương trình đạo hàm riêng này sẽ nhận được: )( 2 '2 xfxy J q xy =−= τ (e) Để ý rằng, trường hợp không có ứng suất cắt tại mép trên và mép dưới của dầm, τ xy = 0 tại y = c và y = -c, hàm f(x) sẽ phải là: x J qc xf 2 )( 2 = (f) Từ đây có thể viết: )( 2 '22 ycx J q xy −−= τ (g) Từ phương trình thứ hai của (c ) vớ F By = 0 có thể viết: )( 2 22 yc J q y y −−= ∂ ∂ σ Sau tích phân có thể nhận được: )()3( 6 22 xFycy J q y +−−= σ (h) Điều kiện biên tại y = c: b q y −= σ . Momen quán tính qua trục trung hòa mang giá trị J = 12 )2( 3 cb . Từ đây xác định F(x) = J qc 3 3 − q 11 Hàm σ y giờ có thể viết: () 323 32 6 yycc J q y −+−= σ Ví dụ 4: Dùng phương trình từ điều kiện tương hợp (liên tục) xác định chuyển vị trong mặt phẳng xOy dầm công xôn nêu tại ví dụ 2. Mặt cắt dầm trong trường hợp này là hình chữ nhật, dày, độ cứng EJ, hệ số Poisson ν. Y X Hình 1.4 Momen uốn dầm tính theo công thức: M = -P(L – x) 0 < x < L (a) Các hàm ứng suất tính theo công thức quen thuộc sau: )( xLy J P y J M x −=−= σ (b) σ y = 0; τ xy = 0. Từ định luật Hooke có thể viết các phương trình biến dạng: () )( 1 xLy EJ P E yxx −=−= νσσε () )( 1 xLy EJ P E xyy −−=−= ν νσσε 0 )1(2 = + = xyxy E τ ν γ (c) Quan hệ biến dạng - chuyển vị cho phép viết: )( xLy EJ P x u x −== ∂ ∂ ε )( xLy EJ P y y −−== ∂ ∂ ν ε v (d) [...]... • Ngun lý cơng bù ảo (Principle of complementary virtual work) Biểu đồ trình bày giá trị bốn dạng cơng đang nêu như giới thiệu tại hình 2.1 Hình 2.1 Từ lý thuyết đàn hồi chúng ta có thể viết biểu thức tính các cơng như sau ε • Cơng biến dạng 1 ∫ σdε = 2 Eε 2 0 • Cơng ảo σδε = Eεδε • Cơng bù σ ∫ εdσ = 0 • Cơng bù ảo εδσ = σ2 2E σ E δσ Minh họa cách dùng bốn cách phát biểu ngun lý bảo tồn cơng, cơng ảo... tắt Trong trạng thái cân bằng, cơng do ngoại lực gây ra phải bằng cơng biến dạng dạng (strain energy), dạng thế năng tích tụ Những ngun lý năng lượng dựa trên định luật bảo tồn năng lượng, dùng hữu hiệu trong cơ học kết cấu có thể chia làm bốn nhóm: • Ngun lý năng lượng tồn phần (Principle of total potential energy) • Ngun lý cơng ảo (Principle of wirtual work) • Ngun lý cơng bù tồn phần (Principle of... P P và v = -0,3529 k k (g) Từ đó có thể xác định các đại lượng giãn dài lò xo cùng các lực trong các lò xo s1 = 0,3328 (P/k); s2 = 0,3529 (P/k); s3 = 0,1664 (P/k) (h) F1 = 0,3328P; F2 = 0,5294P; F3 = 0,3328P (i) Giải các bài tốn dạng đang nêu theo ngun lý cơng bù Giải thích: cơng bù bạn đọc đã quen tại phần lý thuyết đàn hồi Trong hình 2.8 tiếp theo đây diện tích phần trên đường σ - ε biểu diễn cơng... ⎠ (e) Ví dụ 4: Giải bài tốn tại ví dụ 1 trên cơ sở định lý Castigliano Lời giải: Cơng bù hệ thống tính theo cơng thức tổng cơng bù các thành phần tham gia kết 2 1 Fi 2 Li cấu, ghi thành: ∑ i =1 2 AE Như đã tính từ phần trên F1 = FBC = 0,732P; F2 = FBD = 0,518P Cơng bù hệ thống được tính bằng: 31 2 U =∑ i =1 1 Fi 2 Li 0,535 P 2 LBC 0,268 P 2 LBD = + AE AE 2 AE Chuyển vị điểm B theo hướng tác động lực... của tensor biến dạng và tensor ứng suất a) sử dụng phương trình chuyển giải bài tốn b) sử dụng vòng tròn Mohr xử lý bài tốn 19 Đánh giá độ bền kết cấu chịu tác động ứng suất trong khơng gian 3D sau đây: σx = 90MPa, σy = 70MPa, σz = -30MPa Biết rằng ứng suất giới hạn σcr = 120MPa Hướng dẫn: Tiêu chuẩn bền Tresca: max( ⏐σ1 - σ2⏐, ⏐σ2 - σ3⏐, ⏐σ3 - σ1⏐) = σY Tiêu chuẩn bền von Mises (lý thuyết Maxell-Huber-Hencky-von... hiệu AE/l = k, cơng thức cuối mang dạng: Δ= Pl P = AE k k Δ = P hay là Ngun lý cơng ảo 1 P 2l có thể tính tiếp: Từ cơng thức U = 2 AE 1 P2 1 P 1P 1 ×l = ×P = P = ΔP 2 AE 2 AE / l 2k 2 với P = kΔ: U = kΔ2 Từ đó có thể viết: δ( ½k.Δ2 ) = δ( kΔ) = k.Δ.δΔ; Từ cơng thức V = Δ.P có thể viết: δ(ΔP) = P.δΔ Cân bằng cơng ảo trong và ngồi: k.Δ.δΔ = P.δΔ có thể viết: k Δ = P Ngun lý cơng bù tồn phần Cơng bù nội... tính theo cơng thức: tg 2θ = − 2τ xy σ x −σ y Trường hợp này tg2θ = -1 và do vậy 2θ = -45°; θ = -22 ½ ° Ví dụ 9: Biết trước giá trị biến dạng điểm trong mặt phẳng 2D sau đây: εx = 0,002; εy = -0,001; γxy = 0,003 Xác định hướng chính và biến dạng chính Lời giải: 16 Góc xoay hướng chính tính theo cơng thức: tg 2θ = 2γ xy εx −εy Từ đó: 2θ = 63,4° = 2(0,003) =2 (0,002) − (0,001) và 243,4° θ = 31,7° và (31,7... như đã trình bày tại Cơ học kết cấu U = ∫ u 0 dV Hàm u0 trường hợp chung có dạng: V 1 (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xyγ xy + τ yzγ yz + τ xzγ xz ), hay là u0 = ½ {σ}{ε}T 2 27 σ P σ Công biến dạng Công ngoại lực ∆ ∆ Hình 2.6 Thế năng trong dầm dài l, độ cứng A.E, với A – diện tích mặt cắt ngang, E – mơ đun đàn hồi vật liệu, chịu kéo, nén bằng lực F tính bằng cơng biến dạng Cơng biến dạng dầm chịu... chịu kéo, nén dưới tác động lực dọc trục N có dạng: L L 1 N2 1 M2 dx , còn cơng biến dạng dầm chịu uốn: U = ∫ dx 2 AE 2 EI 0 0 U =∫ Áp dụng cơng thức đầu vào giải bài tốn cụ thể của chúng ta Chuyển vị điểm B theo hướng thẳng đứng ký hiệu δB Cơng ngoại lực áp đặt cho hệ thống là: W = 1 P δB = 1000 δB 2 Các lực căng cáp FBC và FBD tính từ hệ cân bằng lực: FBC cos 30 o + FBD cos 45 o = 2000⎫ ⎬ FBC sin... H, đặt tại B gây Cơng bù trong trường hợp này mang dạng: 2 U =∑ i =1 1 Fi 2 Li (0,732 P + 0,732 H ) 2 LBC (0,518 P − 0,879 H ) 2 LBD = + AE AE 2 AE Chuyển vị điểm B theo hướng tác động của H: 0,732(0,732 P + 0,732 H ) LBC 0,879(0,518 P − 0,879 H ) LBD ∂ − = −0,26 x10 −3 U= ∂H AE AE 32 Bài tập 1 Chứng minh biểu thức tính năng lượng đơn vị vật liệu đàn hồi trong bài tốn ứng suất phẳng: Cơng biến dạng u . NGHỊ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI VÀ CƠ HỌC KẾT CẤU (TÀI LIỆU HỌC TẬP DÀNH CHO SINH VIÊN KHOA ĐÓNG TÀU VÀ CÔNG TRÌNH NỔI) . THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 6 – 2009 ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH 3 Trang này để trống 4 Chương 1 LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI Tóm tắt Phương trình cân bằng: ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 0 0 Z yxz Y zxy X zyx yz zx z yzyxy xz xy x τ τ σ ττσ τ τ σ . áp dụng cho vật liệu đẳng hướng với mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson ν. () [] () [] () [] ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ +−= +−= +−= yxzz zxyy zyxx E E E σσνσε σσνσε σσνσε 1 1 1 và ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ = = = zxzx yzyz xyxy G G G τγ τγ τγ 1 1 1