BÀI TẬP TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TUHOCTOAN EDU VN

Kinh Tế - Quản Lý - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Quản trị kinh doanh Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn Bài 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : Giả sửK là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng . Hàm sốf xác định trênK được gọi là : Đồng biến trênK nếu với mọi 1 2 1 2, ,x x K x x    1 2f x f x Nghịch biến trênK nếu với  1 2 1 2, ,x x K x x    1 2f x f x . 2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm sốf có đạo hàm trên khoảngI Nếu hàm sốf đồng biến trên khoảngI thì  '''' 0f x với mọix I Nếu hàm sốf nghịch biến trên khoảngI thì  '''' 0f x với mọix I 3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sửI là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn ,f là hàm số liên tục trênI và có đạo hàm tại mọi điểm trong củaI ( tức là điểm thuộcI nhưng không phải đầu mút củaI ) .Khi đó : Nếu  '''' 0f x với mọix I thì hàm sốf đồng biến trên khoảngI Nếu  '''' 0f x với mọix I thì hàm sốf nghịch biến trên khoảngI Nếu  '''' 0f x với mọix I thì hàm sốf không đổi trên khoảngI Chú ý : Nếu hàm sốf liên tục trên ;a b và có đạo hàm  '''' 0f x trên khoảng ;a b thì hàm sốf đồng biến trên ;a b Nếu hàm sốf liên tục trên ;a b và có đạo hàm  '''' 0f x trên khoảng ;a b thì hàm sốf nghịch biến trên ;a b . Ta có thể mở rộng định lí trên như sau Giả sử hàm sốf có đạo hàm trên khoảngI . Nếu''''( ) 0f x với x I ( hoặc''''( ) 0f x với x I ) và''''( ) 0f x tại một số hữu hạn điểm củaI thì hàm sốf đồng biến (hoặc nghịch biến) trênI . Chú ý. Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình. Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = ( ) ( ) P x Q x (trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K    , ''''( ) 0 ( ''''( ) 0)x K f x f x . Nếu hàm số f là hàm nhất biến ,    ( ) ax b f x cx d với a,b,c,d là các số thực và ad – bc 0 thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K    , ''''( ) 0( ''''( ) 0).x K f x f x B. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA: Ví dụ 1: Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng? Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  2; và  ; 2 . B. Hàm số đã cho đồng biến trên      ; 1 1;2 . C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;2 . D. Hàm số đã cho đồng biến trên 2;2 . Hướng dẫn giải: Vì    0;2 1;2 , mà hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 nên suy ra C đúng. Chọn C. Ví dụ 2: Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai? A. Hàm số đồng biến trên 1; . B. Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1; . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 . D. Hàm số đồng biến trên      ; 1 1; . Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1; , nghịch biến trên 1;1 nên các khẳng định A, B, C đúng. Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng ;a b thì khẳng định D sai. Ví dụ 3 : Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng .B. Hàm số nghịch biến trên khoảng . C. Hàm số đồng biến trên khoảng .D. Hàm số nghịch biến trên khoảng . Hướng dẫn giải: Chọn B. Dựa vào đồ thị hàm số ta có: và . Khi đó, hàm số đồng biến trên các khoảng hàm số nghịch biến trên các khoảng Ví dụ 4: Khoảng đồng biến của hàm số   3 3 4y x x là A. 0;1 . B. 0;2 . C.  ; 1 và 1; . D. 1;1 Hướng dẫn giải:Chọn D f x y f x f x 1; 2 f x 0; 2 f x 2;1 f x 1;1 y f x     0 2;0 2;f x x           0 ; 2 0;2f x x       y f x( 2;0), (2; + )  y f x( ; 2), (0; 2)  Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn Ta có      2 '''' 3 3; '''' 0 1.y x y x Bảng xét dấu y’ Từ bảng xét dấu của y’ ta có hàm số đồng biến trên 1;1 . Ví dụ 5 : Cho hàm số   3 2 2 6 6 2017y x x x . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. Hàm số đã cho đồng biến trên . B. Hàm số đã cho nghịch biến trên . C. Trên khoảng  ; 2 hàm số đã cho đồng biến.D. Trên khoảng 2; hàm số đã cho đồng biến. Hướng dẫn giải:Chọn B + TXĐ: .D R +          22 6 12 6 6 1 0;y x x x x R (Dấu'''''''' '''''''' chỉ xảy ra tại 1x ) Suy ra hàm số đồng biến trên.R Ví dụ 6: Cho hàm số   3 2 3 4y x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 . D. Hàm số đồngbiến trên khoảng 2;0 . Hướng dẫn giải:Chọn D           2 2 3 6 , 0 0 x y x x y x Lập bảng biến thiên, hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 . Ví dụ 7: Cho hàm số  4 2 8 4y x x . Các khoảng đồng biến của hàm số là A. 2;0 và 2; . B. 2;0 và 0;2 . C.  ; 2 và 0;2 . D.  ; 2 và 2; . Hướng dẫn giải:Chọn A Tập xác định:D . Đạo hàm  3 4 16y x x ;           3 0 0 4 16 0 2 x y x x x . Bảng biến thiên: Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; . Ví dụ 8: Hàm số   4 2 4 1y x x nghịch biến trên mỗi khoảng nào sau đây? A.  2; 2 .B.  3;0 ; 2; .C.    2;0 ; 2; D.( 2; ) . Hướng dẫn giải:Chọn C   3 4 8y x x , vậy        0 0 2 x y x Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng    2;0 ; 2; Ví dụ 9: Cho hàm số    2 1 x y x . Xét các mệnh đề sau. Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn 1) Hàm số đã cho đồng biến trên      ; 1 1; .2) Hàm số đã cho đồng biến trên \ 1 . 3) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định. 4) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và   1; . Số mệnh đề đúng là :A. 3. B. 2. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải:Chọn B Ta có        2 1 0 x 1 1 y x . Suy ra hàm số đã cho đồng biến các khoảng  ; 1 và   1; . Do đó chỉ có mệnh đề 3 và 4 đúng nên chọn đáp án B Ví dụ 10 : Cho hàm số    3 . 2 x y x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng: A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên khoảng       ; 2 2; . C. Hàm số nghịch biến trên \ 2 .D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2 và  2; . Hướng dẫn giải:Chọn D          2 3 1 0 2 2 x y y x x Ví dụ 11: Hàm số  2 2y x x nghịch biến trên khoảng nào. A. 0;1 . B. ;1 . C. 1;2 . D. 1; . Hướng dẫn giải:Chọn C Tập xác định  0;2D . Ta có     2 1 2 x y x x ;   0 1y x . Bảng biến thiên: Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng 1;2 Ví dụ 12 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số      3 2 4 9 5y x mx m x vớim là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên củam để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; ? A.4. B.6. C.7. D.5. Hướng dẫn giải: TXĐ:D . Đạo hàm    2 '''' 3 2 4 9.y x mx m Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; thì   '''' 0,y x ('''' 0y có hữu hạn nghiệm)            2 '''' 0 3 4 9 0 9 3m m m      9; 8;...; 3 .m m Chọn C. Sai lầm hay gặp là'''''''' Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ; thì   '''' 0,y x'''''''' . Khi đó ra giải ra   9 3m và chọn D.                            1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 0 4 2 4 02 2 0 x x x x x x x xx x Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn                  2 2 1 4 3 2 3 2 2 1 2. 4 0 3 3 m m m m          5 3 23 22 2 m m m . Chọn Ví dụ 13: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thựcm để hàm số   3 21 4 3 y x mx x m đồng biến trên khoảng  ; . A.  ; 2 . B. 2; . C. 2;2 . D. ;2 . Hướng dẫn giải:Chọn C Ta có:   2 2 4y x mx . Hàm số đồng biến trên khoảng  ; khi và chỉ khi      0, ;y x .        2 4 0 2 2m m . Ví dụ 14: GọiS là tập hợp các số nguyênm để hàm số     2 3 3 2 x m y x m đồng biến trên khoảng  ; 14 . Tính tổngT của các phần tử trong.S A. 9.T B. 5.T C. 6.T D. 10.T Hướng dẫn giải: TXĐ:  D \ 3 2m . Đạo hàm       2 5 5 '''' . 3 2 m y x m Hàm số đồng biến trên khoảng          ; 14 '''' 0, ; 14y x                              5 5 05 5 0 5 5 0 , 14 3 2 3 2 ; 14 3 2 14 mm m x x m m m              4 1 4; 3; 2; 1;0 10.m m m T Chọn D. Ví dụ 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thựcm thuộc khoảng 1000;1000 để hàm số        3 2 2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x đồng biến trên khoảng 2; ? A.999. B.1001. C.998. D.1998. Hướng dẫn giải: Ta có                   2 2 '''' 6 6 2 1 6 1 6. 2 1 1y x m x m m x m x m m . Xét phương trình 0y có            2 2 1 4 1 1 0, .m m m m Suy ra phương trình 0y luôn có hai nghiệm1 2x x với mọim . Theo định lí Viet, ta có         1 2 1 2 2 1 . 1 x x m x x m m Để hàm số đồng biến trên  2; phương trình 0y có hai nghiệm 1 2 2x x                                               1 2 1 2 1 2 1 21 2 2 2 0 4 2 1 4 1 2 4 0 1 2 2 1 4 02 2 0 x x x x m m x x x x m m mx x     999; 998;...;1 .m m Vậy có1001 số nguyênm thuộc khoảng 1000;1000 . Chọn B. Vậy hàm số luôn tăng trên ;1 và 1; với 1m . Bài tập tính đơn điệu của hàm số tuhoctoan.edu.vn Ví dụ 16: Cho hàm số y f x có đạo ...

Bài 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa :

Giả sử K là một khoảng , một đoạn hoặc một nửa khoảng Hàm số f xác định trên K được gọi là :

 Đồng biến trên K nếu với mọi x x1, 2K , x1x2f x   1 f x2

 Nghịch biến trên K nếu với x x1, 2K x, 1x2 f x 1 f x 2

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu :

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I

 Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f x' 0 với mọi x I 

 Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f x' 0 với mọi x I 

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu :

Định lý :

Giả sử I là một khoảng hoặc nửa khoảng hoặc một đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm tại mọi

điểm trong của I ( tức là điểm thuộc I nhưng không phải đầu mút của I ) Khi đó :

 Nếu f x' 0 với mọi x I thì hàm số f đồng biến trên khoảng I 

 Nếu f x' 0 với mọi x I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I 

 Nếu f x' 0 với mọi x I thì hàm số f không đổi trên khoảng I 

 Ta có thể mở rộng định lí trên như sau

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f x'( ) 0 với  x I

( hoặc f x'( ) 0 với  x I) và f x'( ) 0 tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I

Chú ý Vận dụng định lí trên vào các hàm số thường gặp trong chương trình *Nếu hàm số f là hàm đa thức (không kể hàm số hằng) hoặc f(x) = ( )

( )

P x

Q x(trong đó P(x) là đa thức bậc hai , Q(x) là đa thức bậc nhất và P(x) không chia hết cho Q(x) thì hàm số f đồng biến (nghịch biến ) trên K

A Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  2;  và  ; 2 

B Hàm số đã cho đồng biến trên    ; 1  1;2 

C Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;2 D Hàm số đã cho đồng biến trên 2;2

Hướng dẫn giải: Vì   0;2  1;2, mà hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 nên suy ra C đúng Chọn C

Ví dụ 2: Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên

Khẳng định nào sau đây là sai?

A Hàm số đồng biến trên 1; B Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1;.

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1  D Hàm số đồng biến trên   ; 1 1;.

Hướng dẫn giải: Dựa vào đồ thị ta có kết quả: Hàm số đồng biến trên  ; 1 và 1;, nghịch biến trên 1;1 nên các khẳng định A, B, C đúng

Theo định nghĩa hàm số đồng biến trên khoảng  a b; thì khẳng định D sai

Ví dụ 3 : Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A Hàm số đồng biến trên khoảng B.Hàm số nghịch biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Hướng dẫn giải: Chọn B

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Khi đó, hàm số đồng biến trên các khoảng hàm số nghịch biến trên các khoảng

Ví dụ 4: Khoảng đồng biến của hàm số   3 

yxxx Mệnh đề nào dưới đây sai?

yxxxx R (Dấu '' '' chỉ xảy ra tại  x 1 ) Suy ra hàm số đồng biến trên R

Ví dụ 6: Cho hàm số   32

3 4

yxx Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 B Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 D Hàm số đồngbiến trên khoảng 2;0

1) Hàm số đã cho đồng biến trên ; 1  1; .2) Hàm số đã cho đồng biến trên \ 1  3) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định

4) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và   1; 

x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số đồng biến trên khoảng     ; 2  2; 

C Hàm số nghịch biến trên \ 2 .D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2 và  2; 

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng  1;2

Ví dụ 12 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Cho hàm số y  x3 mx24m9x5 với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng  ; ?

Vậy có 1001 số nguyên m thuộc khoảng 1000;1000  Chọn B

Vậy hàm số luôn tăng trên ;1 và 1; với m1

Ví dụ 16: Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số yf x , f x  liên tục trên Xét hàm số    2  

g xf x Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng  ; 2

B Hàm số g x  đồng biến trên khoảng 2;

C Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng 1;0

D Hàm số g x  nghịch biến trên khoảng  0;2

Hướng dẫn giải: Giả sử      2  

yxxx Mệnh đề nào dưới đây sai?

nghịch biến trên

C Trên khoảng  ; 2 hàm số đã cho đồng biến D Trên khoảng 2; hàm số đã cho đồng biến

yxx Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng 2;0 B Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

C Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 2 D Hàm số đồngbiến trên khoảng 2;0

Câu 6 Khoảng đồng biến của hàm số   32 

Câu 9 Cho hàm số yf x  2x33x212x5 Mệnh đề nào sau đây sai?

A f x  đồng biến trên khoảng  0;2 B f x  đồng biến trên khoảng 1;1

C f x  nghịch biến trên khoảng 1; D f x  nghịch biến trên khoảng  ; 3

C Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 D Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;3

1) Hàm số đã cho đồng biến trên ; 1  1;  2) Hàm số đã cho đồng biến trên \ 1  3) Hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định

4) Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ; 1 và   1; 

x Mệnh đề nào đưới đây là đúng?

A Hàm số nghịch biến trên tập xác định.B Hàm số nghịch biến trên hai khoảng ;0 và 0;.

x Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng:

A Hàm số đồng biến trên B Hàm số đồng biến trên khoảng     ; 2  2; 

C Hàm số nghịch biến trên \ 2 .D Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  ; 2 và  2; 

x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;

B Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;

C Hàm số đồng biến trên \ 1   D Hàm số đồng biến với mọi x1.

x Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng

A Hàm số đồng biến trên mỗi (từng) khoảng ;1 và 1;

B Hàm số nghịch biến trên mỗi (từng) khoảng ;1 và 1;

C Hàm số nghịch biến trên \ 1 D Hàm số nghịch biến với mọi x1 Câu 20 Xét tính đơn điệu của hàm số  

A Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1  1;.

B Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1;

C Hàm số nghịch biến trên tập xác định D \ 1   D Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; .

x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;

B Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;

C Hàm số đồng biến trên \ 1   D Hàm số đồng biến với mọi x1.

Câu 24 Cho các hàm sốyx5x32 ;x yx31;y   x3 x 4sinx Trong các hàm số trên có bao nhiêu hàm số đồng biến trên tập xác định của chúng

Câu 26 Biết rằng bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của một hàm số trong các hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Câu 34: Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm như sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2;0) B Hàm số đồng biến trên khoảng (;0)

C Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2) D Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 2) Câu 35 : Cho hàm sốy f x  có đạo hàm   2

f xx ,  x Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0 B Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;

C Hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 D Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 

Câu 36: Cho hàm số xác định trên , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Chọn khẳng định đúng?

A.Hàm số nghịch biến trên (;0) (1; ) B Hàm số nghịch biến trên (0;1) C.Hàm số đồng biến trên khoảng (1;) D Hàm số đồng biến trên (0;1)

Câu 37: Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ bên

Nhận xét nào sau đây là sai ?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1 B Hàm số đồng biến trên khoảng 1;

C Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng khoảng ;0 và

D Hàm số đồng biến trên khoảng ;3 và 1;

Câu 38 Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để hàm số yx33x2mx m đồng biến trên tập xác

Câu 39 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc khoảng 1000;1000 để hàm số

x m với m là tham số thực Gọi S

là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định Tìm số phần tử

Câu 42 : ( Đề chính chức 2019) : Cho hàm số f x , bảng xét dấu f x  như sau:

Hàm số yf5 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?