HOJAS DE PROBLEMAS – ESTADÍSTICA VII

Kinh Tế - Quản Lý - Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Chuyên ngành kinh tế Hojas de Problemas – Estadística VII 110 264.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la siguiente: jx 1 2 3 … n jP 1 1 4 +n 44 2 1 +n 44 3 1 +n … 44 1 nn + Se pide: 1º) Esperanza matemática o valor medio probable de la variable. 2º) Límite de la esperanza cuando n tiende a infinito. RESOLUCIÓN.- 1º) Evidentemente ∑ ≠ 1iP , luego X no es una variable aleatoria. Si lo fuera: n n n n n n XE + + + + + + = 4444 1 ... 2 1 2 1 1 1) ( 2º) ∑∑ = ∞ → = ∞→∞→ =       + =       + = n k n n k nn n k n k n n k n k XE 1 4 1 4 2 1 1 lim 1 lim)(lim ( ) Arg dx x x n k n k n n k n ( 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 lim 1 0 221 2 2 = + =               + = ∫∑ = ∞→ sh Arg−1 sh =)0 Arg 2 1 = sh 4407,01 = Observando que el valor obtenido es menor que 1, se confirma que la distribución dada no es una distribución de probabilidad puesto que el valor de la esperanza cae siempre dentro del recorrido de la variable. 265.- Se dispone de una urna que contiene cinco bolas rojas y cuatro bolas blancas. Se extraen de su interior cinco bolas y estamos interesados en definir la variable aleatoria X = número de bolas blancas extraídas. Completar la adjunta tabla en los dos casos siguientes: a) Las cinco bolas se extraen de una en una, devolviéndolas cada vez a la urna. b) Las cinco bolas se extraen de una sola vez. r 0 1 … … … P(X = r) 0P 1P … … … 210 c) Calcular en cada uno de los casos X y 2 xσ RESOLUCIÓN.- a) 05292'''' 0 9 5 9 4 0 5 5 0 0 =                     =P , siendo r = 0 21169'''' 0 9 5 9 4 1 5 4 1 1 =                     =P , siendo r = 1 33870'''' 0 9 5 9 4 2 5 3 2 2 =                     =P , siendo r = 2 27096'''' 0 9 5 9 4 3 5 2 3 3 =                     =P , siendo r = 3 10838'''' 0 9 5 9 4 4 5 1 4 4 =                     =P , siendo r = 4 01734'''' 0 9 5 9 4 5 5 0 5 5 =                     =P , siendo r = 5 199999''''054321 ==++++ PPPPP b) 00793'''' 0 126 1 5 9 5 5 0 4 0 = =                         =P , siendo r = 0 15873'''' 0 126 20 5 9 4 5 1 4 1 = =                         =P , siendo r = 1 47619'''' 0 126 60 5 9 3 5 2 4 2 = =                         =P , siendo r = 3 31746'''' 0 126 40 5 9 2 5 3 4 3 = =                         =P , siendo r = 3 310 03968'''' 0 126 5 5 9 1 5 4 4 4 = =                         =P , siendo r = 4 05 =P , siendo r = 5 199999''''054321 ==++++ PPPPP c) En el caso a) estamos ante distribución binomial de parámetros ) 9 4 ,5(),( =pn Por consiguiente 22'''' 2 9 20 9 4 ·5· ==== pnX 2345'''' 1 81 100 9 5 9 4 5)1(2 ===−= pnpxσ En el caso b) estamos en una distribución hipergeométrica, luego, siendo el número de bolas N = 9, el de bolas blancas n = 4 y el número de bolas extraídas M = 5, se tiene que: 22'''' 2 9 20 9 5 4 ==== N M nX 6172'''' 0 684 400 8 5 9 4 9 5 4 1 2 == = − − − = N n N N M N N M nxσ 266.- Disponemos de dos urnas con N bolas cada una, numeradas de 1 a N en ambas. Se extrae simultáneamente una bola de cada urna y sin devolverlas repetimos esta operación, hasta vaciar las urnas. a) Hallar la probabilidad de que en ninguna de las extracciones los números de las bolas coincidan. b) Hallar el límite de dicha probabilidad cuando N tiende a infinito. RESOLUCIÓN.- Puesto que las N ordenaciones que resultan al extraer las N bolas de la primera urna son equiprobables, el problema queda simplificado en su notación si suponemos fijada la ordenación que resulta de las extracciones en la primera urna. Así pues, sea )1( NiAi ≤≤ es suceso que consiste en que haya coincidencia en la extracción i. Evidentemente NN N Ap i 1 )1 ( )( = − = 410 Sea NAAAH ∪∪∪= ...21 . Evidentemente H es el suceso que consiste en que al menos haya una coincidencia. Se tiene: )1 ( 1 )2 ( )( − = − =∩ NN N N AAp ji )( ji ≠ )2)(1 ( 1 )3 ( )( − − = − =∩∩ NNN N N AAAp kji (i, j, k diferentes) M 2)...1 ( 1 ))1( ( )...( 121 − = − − =∩∩∩ − NN N N N AAAp Niii ) ( diferentes subindices 1 ))0( ( )...( 21 NN N N AAAp Niii = − − =∩∩∩ En consecuencia: + + −−        + −       −        =∪∪∪== ... )2)(1 ( 1 3)1 ( 1 2 1 1 )...()( 21 NN N N N N N N N AAAHpHp N =        − + −        − −+ + 1 )1 ( 2)...1 ( 1 1 )1( 1 N N N NN N N NN 1 )1 ( )1 ( 1 )1( ... 4 1 3 1 2 1 1 1 NN NN + − + − −++−+−= a) El suceso que consiste en que no haya coincidencias es H . Así: =−++−+−−= + ) 1 )1( ... 4 1 3 1 2 1 1(1)( 1 N Hp N 1 )1( ... 4 1 3 1 2 1 N N −+−+−= b) Puesto que ..., 3 1 2 1 1 1 11 +−+−=− e se tiene que 1 )(lim − +∞→ = eHp N 267.- Dos personas A y B, juegan una competición de ajedrez, la cual será ganada por el primero de los dos jugadores que gane dos partidas. Las probabilidades que tiene A de ganar, hacer tablas o perder en una partida son a, b, c, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que A venza en la competición?. RESOLUCIÓN.- Para que A gane la competición se ha n de celebrar n + 2 partidas con n = 0, 1, 2,… La probabilidad de que gane A la competición en la partida n + 2 exactamente, es: cb a n n b a n nn 122 1 1 1 1 1 −                 + +        + si 1≥n 510 2 a si n = 0 La probabilidad buscada es: ∑∑ ∑∑ ∞ = − ∞ = ∞ = − ∞ = =++++=                + +        + += 1 1 2 1 1 221 2 1 22 )1()1 ( 1 1 1 1 1 n n n n n n n n nbncabnaacb a n n b a n ap ∑∑ ∞ = − ∞ = +++= 1 1 2 0 2 )1()1( n n n n nbncabna Teniendo en cuenta que ∑ ∞ = − = 0 1 1 n n x x si 1