Cực trị số phức và hình học

Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M0; số phức z4+3i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N0... Tập hợp các điể

biểu diễn số phức z =x+yi, A(1; 1)biểu diễn số phức 1+i, B(−1;−3)

biểu diễn số phức−1−3i.

Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6√5 và A, B là hai tiêu điểm.

ACngược hướng và AB=2AC.

Gọi M0 là điểm nằm trên elip sao cho A, B, M0thẳng hàng và M0khác phía A so với B.

Với H(1; 2) Dễ thấy A, B, H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB.

Do đó Pmin ⇔ MHngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH =b =√

Gọi điểm A(2;−2), B(−1; 3) khi đó ta có AB =√

34 Kết hợp với (1) ta suy ra MA−MB= AB.⇒

Điểm M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA Ta xét hai trường hợp sau:

Suy ra, min P =4√2.

Câu 8. Cho số phức z thỏa mãn |z−2−3i| + |z−5+2i| = √34 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức|z+1+2i| Khi đó tổng M+mbằng

Đặt z =x+yivới x, y ∈ R.

Gọi I(x; y)là điểm biểu diễn của số phức z.

Ta có A(2; 3), B(5;−2), C(−1;−2) lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z1 = 2+3i, z2 = 5−2i, z3 = −1−2i Khi đó AB = √

34 và

|z+1+2i| = CI.

Theo đề bài thì AI+BI =√

34= ABnên I thuộc đoạn thẳng AB Phương trình của đường thẳng AB là 5x+3y−19=0.

Câu 9. Cho các số phức z1và z2thỏa mãn các điều kiện|z1−i| = |z1−1+i và|z2−1| = |z2+2i| Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= |z1−z2| + |z1−3| + |z2−3|?

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bốn điểm M, N, A1, A2thẳng hàng.

Gọi∆1 là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với d1, ta có phương trình đường thẳng ∆1 là

Gọi M(a; b) là điểm biểu diễn số phức z, suy ra M thuộc đường tròn (T) tâm I(3;−2) bán kính R =3.

Gọi A(1; 2), B(5; 2)và E(3; 2)là trung điểm của AB Ta có P=MA+MB Khi đó P2 = (MA+MB)2 62(MA2+MB2) =4ME2+AB2.

Nhận thấy E nằm ngoài đường tròn (T), gọi D là giao điểm của tia đối của tia IE và đường tròn(T)suy ra ME 6 ED, với mọi M

⇒P 62√53, dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M≡ D Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là Pmax =2√53.

Để ý đường thẳng 3x−4y+12 = 0 tiếp xúc với đường tròn(x−1)2+ (y−10)2 = 25, nên hệ trên chỉ có một cặp nghiệm(x; y), suy ra chỉ có một số phức thỏa yêu cầu đề bài.

• Đặt E(−2; 0), F(0;−2), A(1, 2), B(3, 4), C(5, 6), M(x, y)biểu diễn cho số phức z.

• Từ giả thiết, ta có M thuộc đường trung trực∆ : y= xcủa đoạn EF và P =AM+BM+CM • Ta chứng minh điểm M chính là hình chiếu vuông góc của B lên đường thẳng∆.

– Với M0tuỳ ý thuộc∆, M0khác M Gọi A0là điểm đối xứng của A qua∆ Nhận thấy rằng

Câu 14. Cho hai số phức z1, z2 đồng thời thỏa mãn hai điều kiện|z−1| = √34 và|z+1+mi| = |z+m+2i|trong đó m∈ R, sao cho|z1−z2|lớn nhất Khi đó giá trị của|z1+z2|bằng

Hướng dẫn giải

Đặt z= x+yi, x, y∈R.|z−1| = √34 suy ra biểu diễn của z thuộc đường tron tâm I(1; 0), bán kính

34, |z+1+mi| = |z+m+2i| ⇔ (2m−2)x+ (4−2m)y+3 = 0 (d) nên biểu diễn của z thuộc đường thẳng d, dễ thấy d luôn đi điểm K

Biểu diễn của z1, z2là giao điểm của đường tròn tâm I và đường thẳng d, dễ thấy|z1−z2|lớn nhất khi d đi qua I, khi đó z1= −4−3i, z2=6+3i và|z1+z2| = 2.

Câu 15. Cho số phức z thỏa mãn|2z−3−4i| =10 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

Ta nhận thấy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn

|z+1−i| + |z−3+i| = 6 chính là đường elíp(E) có độ dài trục lớn bằng 2a=6, trục nhỏ bằng 2b=4 với A(−1; 1)và B(3;−1)là hai đỉnh trên trục lớn.

Xét điểm I(−1; 4) nằm ngoài elíp(E)và I nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Ta có P = |z+1+4i| = MI với mọi điểm M ∈ (E) Từ đó suy ra giá

Câu 17. Trong mặt phẳng phức, xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M0; số phức z(4+3i) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N0 Biết rằng M, M0, N, N0là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của|z+4i−5|.

Câu 19. Cho số phức z = x+yivới x, y ∈ R thỏa mãn|z−1−i| ≥ 1 và|z−3−3i| ≤ √5 Gọi m, Mlần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P=x+2y Tính tỉ số M

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z, I(1; 1) là điểm biểu diễn số phức 1+ivà J(3; 3)là điểm biểu diễn số phức 3+3i.

Theo giả thiết |z−1−i| ≥ 1 ⇔ I M ≥ 1 ⇔ M

không nằm trong (có thể thuộc) đường tròn (C) có nhất hoặc lớn nhất khi d tiếp xúc với(C0)đồng thời Mphải không nằm trong hình tròn(C).

Với P =4⇒ d : x+2y−4=0 Vì M là tiếp điểm nên J M ⊥d⇒ J M : 2x−y−3 =0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

⇒ Mkhông nằm trong đường tròn(C).

Với P =14⇒ d : x+2y−14=0 Vì M là tiếp điểm nên J M ⊥d⇒ J M : 2x−y−3 =0 Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z=x+yi, x, y∈ R Ta có

|z−1+3i| = |z+3−i| ⇔ x−y=0 Gọi A(1; 2), B(−1; 1), khi đó P= ||z−1−2i| − |z+1−i|| = |MA−MB|.

Bài toán trở thành: Tìm M thuộc đường thẳng d : x−y =0 sao cho|MA−MB|lớn nhất Xét P(x, y) = x−y, ta có P(A) ·P(B) = 2>0 nên A, B nằm cùng phía đối với d.

Gọi I là giao điểm của AB với d, ta tìm được I(3; 3).

Ta có|MA−MB| ≤ AB Đẳng thức xảy ra khi M ≡ I Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi tọa độ M là

Câu 25. Gọi z1, z2 là hai trong tất cả các số phức thỏa mãn điều kiện |(i−1)z−3i+3| = 2 và

|z1−z2| = 2 Gọi m, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = |z1| + |z2| Giá trị của S=m3+n3bằng

Hướng dẫn giải

Ta có:|(i−1)z−3i+3| =2⇔ |(i−1)(z−3)| =2⇔ |z−3| = √2 Gọi M là điểm biểu diễn của z.

Ta có M nằm trên đường tròn(C)tâm I(3; 0), R=√

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn cho z1, z2 Ta có|z1−z2| =2 ⇔ AB=2 Gọi H là trung điểm AB ta có tam giác I AB vuông tại I (theo định lí Pitago

Mặt khác theo công thức độ dài đường trung tuyến ta có

Câu 26. Cho z =x+yivới x, y ∈R là số phức thỏa điều kiện|z+2−3i| ≤ |z+i−2| ≤5 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y Tính M+m.

Câu 27. Cho z1, z2là hai số phức thỏa mãn hệ thức

Câu 28. Cho số phức z thỏa mãn |z−1+2i| = 5 Phép tịnh tiến vec-tơ #»v(1; 2) biến tập hợp biểu diễn số phức z thành tập hợp biểu diễn số phức z0 Tìm P =max|z−z0|.

A P =15 B P =20−√5 C P=10+√

Hướng dẫn giải

Xét hai đường tròn(I; 5)và(I0; 5)với I(1;−2), I0(2; 0).

Khi đó max|z−z0| = ABvới AB là các giao điểm của đường thẳng I I0 với (I; 5)và(I0; 5) (A không nằm trong(I0; 5)và B không nằm trong

Câu 29. Cho hai số phức z1 và z2 thỏa mãn|z1−1+2i| = 1, |z2−3−i| = 2 Tìm giá trị lớn nhất

Câu 32. Gọi n là số các số phức z đồng thời thỏa mãn|iz+1+2i| = 3 và biểu thức T = 2|z+5+

2i| +3|z−3i|đạt giá trị lớn nhất Gọi M là giá trị lớn nhất của T Giá trị của tích Mn là

BA <0 ⇒ 4ABCtù tại B Do đó|z+2−i đạt giá trị nhỏ nhất khi M trùng với B hay z = −i+i Vậy m =BC =1.

Gọi A(3;−3), B(1;−3), C(3;−5)và M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z= x+yi Theo giả thiết ta có|z−3+3i| = √2⇔ MA =√

2 và MB+MCđạt giá trị nhỏ nhất.

Yêu cầu của bài toán tương đương với tìm điểm M thuộc đường tròn tâm A bán kính R = √

2 để MA+MBnhỏ nhất.

Ta có MB+MC ≥BC =2√2, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn BC.

Phương trình đường thẳng BC : x+y+2=0, phương trình đường tròn tâm A bán kính√2 là Suy ra quỹ tích điểm M là đường elip với trục lớn 2a=

10 và hai tiêu điểm A(−1; 0), B(3; 4).

Nhận thấy, I là trung điểm của AB, suy ra I là tâm đối xứng của elip Mặt khác P= |z−1+2i| = I M, suy ra Pmin=b, với b là bán trục nhỏ.

Giả sử z = x+yi, z0 = x0+y0i với x, y, x0, y0 ∈ R Từ giả thiết ta có (x−3)2+ (y−2)2 = 1 và 2x0+4y0−1 = 0 Như vậy tập các điểm biều diễn z là đường tròn(C)tâm I(3; 2), bán kính R =1 và tập các điểm biểu diễn z0là đường thẳng d : 2x+4y−1 =0.

Gọi A(x; y)và B(x0; y0)lần lượt là điểm biểu diễn của z và z0, C= 5

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn |z+2−i| + |z−4−7i| = 6√2 Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của|z−1+i Khi đó P= Ma2+m2bằng

Giả sử z = x +yi với x, y ∈ R Gọi P, A, B lần lượt là

điểm biểu diễn cho các số phức z,−2 +i, 4+7i Khi đó

Dễ thấy tam giác KAB là tam giác có ba góc nhọn, do đó hình chiếu vuông góc H của điểm K trên đường thẳng AB nằm trong đoạn AB, do đó m=KH =d(K, AB).

Mặt khác, AM+BM ≥ AB = 2√5, kết hợp với (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M nằm

Kiểm tra ta thấy # »

Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn cho z, z1và z3 Khi đó: Điểm A nằm trên đường tròn(C1)có tâm I1(3; 4), bán kính R1 =1; Điểm B nằm trên đường tròn(C3)có tâm I3(6; 8), bán kính R3=1 Và điểm M nằm trên đường thẳng d : 3x−2y−12 =0.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của P= MA+MB+2.

Ta kiểm tra thấy(C1)và(C3)nằm cùng phía và không cắt đường thẳng d : 3x−2y−12=0 Gọi đường tròn(C10)có tâm I10 và bán kính R01 =1 đối xứng với(C1)qua d.

Điểm A0 đối xứng với A qua d thì A0thuộc(C10).

Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn của z, lúc đó M thuộc đường thẳng d : 2x−6y+1=0.

Gọi A(2; 4), B(4; 6) Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của MA+MB Kiểm tra được A, B nằm cùng phía với d nên gọi A0 là điểm đối xứng với A qua d Ta tìm được A0 39

Câu 43. Cho số phức z thỏa mãn(3−7i)|z| = 176−82i

z +7+3i Tìm giá trị nhỏ nhất của|(1+i)z+2−i .

A 5√2−√5 B 6√2−√5 C 3√2−√5 D √5.

Hướng dẫn giải

Suy ra tập hợp số phức z là miền nghiệm(E1)của bất phương trình x+5y ≥3 (phần gạch sọc).

Câu 45. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường thẳng có phương trình√3x−y−2018=0 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=

Hướng dẫn giải

Gọi z =x+yivới x, y ∈ R có điểm biểu diễn là M(x; y).

Số phức 1+i, 5+2i có điểm biểu diễn lần lượt là A(1; 1), B(5; 2).

Dựa vào hình vẽ ta có MA+MB ≥ AB Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB và đường tròn tâm I.

Câu 48. Cho số phức z = x+iy (x, y ∈ R) thỏa mãn |z2+1| = |(z+i)(z+2)| Khi z có mô-đun nhỏ nhất hãy tính giá trị của biểu thức P =x2+2y.

• Với z thỏa|z−i| = |z+2|thì tập hợp z là đường trung trực d của đoạn thẳng AB với A(0; 1), B(−2; 0) Khi đó z có mô-đun nhỏ nhất khi điểm biểu diễn của z là hình chiếu vuông góc của

Câu 49. Với các số phức z thỏa mãn|(1+i)z+1−7i| = √2, hãy tìm giá trị lớn nhất của|z|.

A max|z| =3. B max|z| =4. C max|z| =7. D max|z| =6.

Hướng dẫn giải

Vậy tập hợp số phức z thoả điều kiện đề bài là đường thẳng d : x−y+2=0.

Gọi∆ là đường thẳng qua O và vuông góc với d Phương trình đường thẳng ∆ : x+y=0 Gọi H =∆∩d Tọa độ H là nghiệm hệ phương trình Độ dài OH là mô-đun nhỏ nhất của số phức z thỏa yêu cầu bài.

Vậy số phức thoả yêu cầu bài là z= −1+i.

•Gọi M1, M2lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z1, z2 Ta có M1thuộc đường tròn(C): (x+5)2+y2 =5 và M2thuộc đường thẳng∆ : 8x+6y−

Gọi A(x; y)là điểm biểu diễn của số phức z=x+iy Ta có

Nên điểm A là điểm thỏa mãn AF1+AF2 =10, với F1(4; 0)và F2(−4; 0) Do đó tập hợp các điểm A là e-líp(E)với tiêu cự 2c =8, độ dài trục lớn 2a=10, độ dài trục nhỏ 2b =2√a2−c2 =6.

Khi đó m=OAmin=b =3 và M =OAmax=a =5 Vậy M+m=8.

64−25 = 39 Vậy, GTNN cần tìm là √39, đạt được khi MA = MB = 4, tức M là giao điểm của đường trung trực của AB và đường tròn tâm A, bán kính 4.

Câu 55. Cho hai số phức z1;z2thỏa mãn|z1−3i+5| = 2 và|iz2−1+2i| = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |2iz1+3z2|.

Câu 56. Cho các số phức z1, z2 thỏa mãn|z1−1+2i| = 1 và|z2−2+i| = |z¯2+i Tìm giá trị nhỏ nhất Pmincủa biểu thức P= |z1−z2|.

A Pmin=√

2−1 B Pmin=√

2+1 C Pmin =0 D Pmin =1.

Hướng dẫn giải

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của z1, z2 trên mặt phẳng phức Từ giả thiết, ta suy ra M nằm trên đường tròn(C)có tâm I(1;−2), bán kính bằng R=1, N nằm trên đường thẳng d : x−y−1=0 (là đường trung trực của đoạn thẳng mà các điểm đầu mút là điểm biểu diễn của các số phức 2−i

Đặt z = x+yi với x, y ∈ R Biến đổi giả thiết ta được x−y+3 = 0(d) Gọi A(3;−2)là điểm biểu diễn của số phức 3−2i, M là điểm biểu diễn của z Khi đó, M thuộc đường thẳng(d) và P = AM.

Vì|z| = |z|nên|z| = |z−1+2i| ⇔ |z| = |z−1+2i|.

Gọi A, M lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z và 1−2i Từ đẳng thức trên suy ra khoảng cách từ điểm A đến O bằng khoảng cách từ điểm A đến M, suy ra A thuộc đường trung trực của OM.

Điểm thuộc đường trung trực của OM mà cách O ngắn nhất đó là trung điểm của OM, tương ứng là điểm biểu diễn của số phức z= 1

Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z−3+3i| = 2 là đường tròn (C) tâm I(3;−3), bán kính R = 2 Như vậy bài toán trở thành: “Tính khoảng cách lớn nhất từ điểm A(0; 1) đến một điểm trên đường tròn(C)” Và đó chính là khoảng cách từ điểm A đến điểm Q như Gọi z0 =1+i√2 có điểm biểu diễn là I1;√2.

Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn của z1,z2 Vì|z1−z2| =2 nên I là trung điểm của AB Ta có

Tập hợp điểm của số phức z là đường thẳng 6x+8y−25 =0 Vậy mô-đun nhỏ nhất của số phức z là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O lên đường thẳng.

Xét đường thẳng qua O và vuông góc với đường thẳng 6x+8y−25 = 0 có phương trình là

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn(C2)có tâm I2(2;−3), bán kính R=2.

|z−w| = p(x−a)2+ (y−b)2 đây là biểu thức xác định khoảng cách giữa hai điểm biểu diễn cho

Ta có|z1−z2| = |z1−iz1| = |1−i| · |z1| = √2|z1| Do đó P lớn nhất khi và chỉ khi|z1|lớn nhất Gọi M(x; y)là điểm biểu diễn số phức z1 Ta có

Vậy điểm biểu diễn hai số phức z và w trên mặt phẳng tọa độ Oxy tương ứng là điểm thuộc hình tròn(x−3)2+ (y−2)2 =1 và nửa mặt phẳng được giới hạn bởi phương trình x+y =0 Bài toán yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của P= |z−w| = p

Câu 66. Cho hai số phức z1, z2 có điểm biểu diễn lần lượt là M1, M2 cùng thuộc đường tròn có phương trình: x2+y2=1 và|z1−z2| = 1 Tính giá trị biểu thức P=|z1+z2|.

Ta có M1, M2thuộc đường tròn tâm O(0; 0)và bán kính R=1.

|z1−z2| = 1⇔ M1M2 =1 ⇔ 4OM1M2là tam giác đều cạnh bằng 1 Gọi H là trung điểm M1M2⇒OH =

CỰC TRỊ SỐ PHỨC ĐẠI SỐ

Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn|z| = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z+2| +2|z−2|

A max T =5√2 B max T =2√10 C max T =3√5 D max T =2√5.

Câu 5. Cho số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện |z−3−4i| = √5 và biểu thức M = |z+2|2− |z−i 2đạt giá trị lớn nhất Môđun của số phức z−2−ibằng

Câu 7. Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= |z+1| + |z2−z+1| Giá trị của M·mbằng

5, ∀m ∈R Dấu dẳng thức xảy ra khi m =0 Vậy giá trị nhỏ nhất của mô đun số phức z2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M(z), N(z), A(−2; 1), B(2;−1), C(2; 1), khi đó MC=NB Khi đó ta được MA+MC =10, quỹ tích điểm M là Elip với

(phương trình Elip với hệ trục tọa độ IXY với I(0; 1)là trung điểm của đoạn AC)

Áp dụng công thức đổi trục tọa độ

21 cos t2 = −4 cos2t+2√21 cos t+26= f (t) Xét hàm số f (t) = −4 cos2t+2√21 cos t+26, đặt cos t =a∈ [−1; 1],

Từ bảng biến thiên trên suy ra

|z| = qcos22α+ (sin α−cos α)2

= p1−sin22α+1−2 sin α cos α

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sin 2α = −1

2 Vậy giá trị lớn nhất của|z|là

Suy ra P =|z1| + |z2| ≤ 2√26, dấu bằng xảy ra khi

dấu “=” xảy ra khi ad =bc ≥0 Áp dụng bất đẳng thức này với a = x+1, c=1−x, b = d= yvà tính chất của giá trị tuyệt đối ta có

Khi đó P ≥ f(y) ≥ 4+2√3, ∀y ∈ [−2; 2] Dấu bằng xảy ra ⇔

Câu 17. Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M, M0 Số phức z(4+3i)và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N, N0 Biết rằng M, M0, N, N0 là bốn đỉnh của

Đặt z =a+bi Khi đó, các điểm M, M0, N, N0 lần lượt có tọa độ M(a, b), M0(a,−b), N(4a−3b, 3a+

4b), N0(4a−3b,−3a−4b) Vì M, M0, N, N0 lần lượt là 4 đỉnh của một hình chữ nhật nên có 2 trường hợp xảy ra.

• Trường hợp 1: Tứ giác MM0N0Nlà hình chữ nhật • Trường hợp 2: Tứ giác MM0NN0là hình chữ nhật.

Ta có P= |z+4i−5| = |z− (5−4i)| Đặt K(5;−4) Khi đó P= |MK| Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật.

Vì M đối xứng với M0 qua trục Ox, N đối xứng với N0qua trục Ox nên I thuộc trục Ox hay điểm I có tung độ bằng 0.

Trường hợp 1: Tứ giác MM0N0Nlà hình chữ nhật.

Tung độ của điểm I bằng 0 nên−3a−3b =0⇔ a+b =0 Do đó điểm M thuộc đường thẳng d1: x+y=0.

Đoạn MK ngắn nhất có độ dài bằng khoảng cách từ điểm K đến đường thẳng d1và bằng