SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 1 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Trong bài viết này chúng tôi giới thiệu với bạn đọc một kĩ thuật thường sử dụng để xử lí các bài toán về bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và giả thiết của bài toán đều là những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng cấp. Trước hết xin nhắc lại định nghĩa biểu thức đẳng cấp: Biểu thức 12 (,, ,) n fxxx được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc k ( k ∈ ¥ ) nếu ( ) ( ) 1212 ,, ,,, , k nn fmxmxmxmfxxx = Nếu biểu thức 12 (,, ,) n fxxx là biểu thức đẳng cấp bậc 0 thì với phép đặt 11 ,0 ii xtxx =≠ , 2,3, , in = ta có: ( ) 1223 (,, ,)1,,, , nn fxxxfttt = là biểu thức 1 n − biến, tức là ta đã làm giảm đi số biến. Đặt biệt với biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu thức một biến. Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát hàm số. Sau đây là các ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hai số thực , xy thay đổi và thỏa mãn 22 1 xy += . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2(6) 122 xxy P xyy + = ++ (Đề thi ĐH Khối B – 2009 ). Lời giải. * Nếu 01 yP =⇒= . * Nếu 0 y ≠ thì đặt : xty = ta có: () 2222 22222 2(6)2(6) 2 2323 tytytt Pft tytyytt ++ === ++++ Xét hàm số () ft , ta có : () ( ) 2 2 2 4618 ' 23 tt ft tt −++ = ++ () 12 3 '03, 2 fttt ⇒=⇔==− , ( ) lim1 t ft →±∞ = Lập bảng biến thiên ta được: 33 max()(3), min()()3 22 ftfftf ===−=− Vậy: max3 P = đạt được khi 2 3 11 10 1 xy y t  =   =±=±  +  Và min6 P =− đạt được khi 2 3 2 12 13 1 xy y t  =−     =±=±  +  . Ví dụ 2. Cho , xy là hai số thực thay đổi và thỏa mãn 2 2 32 11 y y x x ++= . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 12 3 y Ay x x =++ . Lời giải. Đặt t y x = , từ giả thiết bài toán ta có: 2 222 1111 (32)11 32 tt xxtt ++=⇒= ++ . Do 2 230ttt ++>⇒∈ ¡ SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 2 Khi đó: 2 2 22 1321 (123)11 23 tt Att xtt ++ =++= ++ Xét hàm số 2 2 321 (), 23 tt ftt tt ++ =∈ ++ ¡ có 2 22 4(41) '(),'()023 (23) tt ftftt tt ++ ==⇔=−± ++ ( ) ( ) 2323,2323,lim()3 t ffft →±∞ −+=−−−=+= Suy ra max11.max()22113 Aft==+ đạt được khi 2 23623 1111 23 tt x y x  +++  =±=±    −− =   min11.min()22113 Aft==− đạt được khi 2 23623 1111 23 tt x y x  ++−  =±=±    −+ =   . Ví dụ 3. Cho hai số thực 1 0, 4 xy ≥≥ thỏa 3322 2 xyxy +=− . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 Pxy =+ . Lời giải. Đặt ,2 xtyt=≥ , khi đó từ giả thiết bài toán ta suy ra : ( ) 2 32 3 2 12 1 t ytty t − +=−⇒= + Vì 322 1113 490(3)(3)03 42 ytttttt + ≥⇒−+≤⇔−−−≤⇔≤≤ . Ta có: ( ) 22 33 (3)(2)327 31 11 tttt Pyt tt +−−− =+==+ ++ Xét hàm số 2 3 327113 (),;3 2 1 tt fttD t  −−+ =∈=   +  , ta có: 432 32 34212 '() (1) ttt ft t −++− = + Vì ( ) ( ) ( ) 43233222 34212322930, ttttttttttD −++−=−+−+−+>∀∈ Dẫn tới '()0, fttD >∀∈ . Từ đó ta tìm được: 113713 min1 28 Pf  ++ =+=   đạt được khi 113 8 1 4 x y  + =     =   () 3 max13 2 Pf =+= đạt được khi 3 4 1 4 x y  =     =   . Ví dụ 4. Cho các số thực dương , xy thỏa 1 xyy ≤− . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32 32 2 yx P xy =+ . Lời giải. Đặt 3 2 2 0 y tPt x t =>⇒=+ SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 3 Khi đó 1 xyy ≤− trở thành 2 10 xttx −+≤ , vì x tồn tại nên bất phương trình này phải có nghiệm x hay 2 404 ttt ∆=−≥⇔≥ Xét hàm số 3 2 2 (),4 fttt t =+≥ có ( ) 5 2 33 22 4 '()20, 4 t fttt tt − =−=>∀≥ Suy ra 4 513 min()(4) 8 t ftf ≥ ==. Vậy 513 min 8 P = đạt được khi 1 2 2 x y  =    =  . Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi số thực dương ,, xyz thoả ()3 xxyzyz ++= (*), ta luôn có: 333 ()()3()()()5() xyxzxyyzzxyz +++++++≤+ (ĐH Khối A – 2009 ). Lời giải. Đặt ; yaxzbx == . Khi đó gải thiết bài toán trở thành: 2 ()3 xxaxbxabx ++= 13 abab ⇔++= (*) và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 333 ()()3()()()5() xaxxbxxaxaxbxbxxaxbx +++++++≤+ 333 (1)(1)3(1)(1)()() abababab ⇔+++++++≤+ (1). Vì (*) và (1) là những biểu thức đối xứng đối với , ab nên ta nghĩ tới cách đặt ; SabPab  Mỗi quan hệ giữa S và P là 2 2 1 4 3 13 3440 S P SP SP SS  +  =  ≥ ⇔  +=    −−≥  1 3 2 S P S  + =  ⇔   ≥  . Khi đó : 14(1) (1)(1)11 33 SS abababS ++ ++=+++=++= ( ) 3 333 (1)(1)23(1)(1)(2)(2)4(1)(2) ababababSSS +++=++−++++=+−++ Nên 323 (1)(2)4(32)4(1)5 SSSSSS ⇔+−++++≤ 2 2320(21)(2)0 SSSS ⇔−−≥⇔+−≥ luôn đúng do 2 S ≥ . Vậy bài toán đã được chứng minh. Ví dụ 6. Cho các số thực ,,1;4;, xyzxyxz     . Tìm giá rị nhỏ nhất của biểu thức 23 xyz P xyyzzx   (ĐH Khối A – 2011 ). Lời giải. Đặt 1 ,,;1 4 yaxzbxab      . Khi đó: 1 23231 xaxbxab P xaxaxbybxxaabb   Xét hàm số 22 13 (),'() 23 (23)() ab fafa aab aab    Xét 222 2 2 (23)3( 643 ) 93 ababb baa a b b        2222 15433 351(43)0 abbbabbab   SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 4 Nên () fa là hàm đồng biến trên 1141 ;1() 441114 faf b                Do đó: 41 () 11141 b Pgb bb   Ta có: 22 411 '()'()0 2 (14)(1) gbgbb bb    Từ đó suy ra: 134 () 233 gbg            hay 34 33 P  Đẳng thức xảy ra khi 1 4 4 12 2 a xy xz b                       , mà 4,1 ,,1;4 2 xy xyz z              Vậy 34 min 33 P  . Ví dụ 7. Cho ,,0 abc > thỏa 11 (2)4 ab bc  ++=   và 3 ac ≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 22 2 ab P ac + = . Lời giải. Đặt ,;,0 axbcybxy ==> Từ giả thiết ta có: 142(1) (2)142 11 yy xx yyy  − ++=⇒=−=  ++  Do 2 122 56023 3313 xayyy xyyy ycy − =≥⇒≥⇔≥⇔−+≤⇔≤≤ + Khi đó: 22 3 2323 () xyy Pfy xy yy +−+ === − Xét hàm số () fy với 2;3 y  ∈  , có : ( ) 32 43 3232 32(23) 343 '()0, 2;3 ()() yyy yy fyy yyyy −−−− −++  ==<∀∈  −− Suy ra 2;3 11 maxmax()(2) 6 Pfyf   ===, đạt được khi 2 ,2 3 abcb == 2;3 minmin()(3)1 Pfyf   === , đạt được khi ,3 abcb == . Ví dụ 8. Cho các số dương ,, abc thỏa mãn : 111 ()16. abc abc  ++++=   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 2 . ab P ab + = Lời giải. Đặt ,;,0 baycaxxy ==> , từ giả thiết ta có: ( ) 11 1116 xy xy  ++++=   2 11 (1)1310 xyxy yy  ⇔+++−++=   (*) SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 5 ,, abc tồn tại khi (*) có nghiệm ,0 xy > hay là: 2 0 11 134(1)10 1 13 y yy yy y y   >     ∆=+−−++≥      +<    2 0 0 11735735 301610 1 7 22 1 13 y y yyy y yy y y y   >   >   −+  ⇔+−++≥⇔⇔≤≤   +≤     +<    . Khi đó 2 Py y =+ , khảo sát 2 ()fyy y =+ với 735735 ; 22 y  −+ ∈    ta tìm được 7352135 max 22 Pf  −+ ==   , đạt được khi 735 2 35 2 ba ca  − =    −  =   ( ) min222 Pf==, đạt được khi 2 ba cxa   =  =   với x là nghiệm của phương trình ( ) ( ) 2 211323210 xx +−−++= . Cuối cùng chúng tôi đưa ra một số bài tập để bạn đọc luyện tập. Bài 1. Cho 22 xyxy1 ++= . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 22 Axxy2y =−+ . Bài 2. Cho các số thực , xy thỏa 22 3 xyxy ++≤ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 Pxxyy =−+ Bài 3. Cho , xy là hai số thực tùy ý thỏa mãn điều kiện 22 1 xyxy ++≥ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 2 1 xxyy P y −+ = + . Bài 4. Cho ,0 xy ≥ thỏa 33 xyxy +=− . Chứng minh rằng 22 1 xy +< . Bài 5. Cho các số thực ,,0 abc ≥ thỏa 33 42() abcabc ≥−+ . Chứng minh rằng ( ) 444222222 7 3232 16 abcabbcca ++≥−+ . Bài 6. Cho các số thực dương ,, abc thỏa 2 3 abbccab ++= . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 2 ()() () acabcacac P bcab bac −++ =++ ++ + . Bài 7. Cho các số thực dương , xy thỏa 28 xxyy +≥. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3322 3322 49 xyxy P yxyx   =+−+   . SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 6 Bài 8. Cho các số thực dương ,, abc thỏa ( ) 22 1110 ac b ab  ++=   và 4 cb ≥ . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: acb P b +− = . GV: Nguyễn Tất Thu – GV trường THPT Lê Hồng Phong Biên Hòa Đồng Nai Email: nguyentatthudn@gmail.com ĐT: 01699257507 . SỬ DỤNG TÍNH ĐẲNG CẤP ĐỂ CHỨNG MINH BĐT GV: Nguyễn Tất Thu 1 SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐẲNG CẤP TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Trong bài viết. thường sử dụng để xử lí các bài toán về bất đẳng thức và bài toán tìm cực trị của một biểu thức trong đó các biểu thức và giả thiết của bài toán đều là những biểu thức, đẳng thức, bất đẳng thức đẳng. biểu thức đẳng cấp bậc 0 hai biến thì ta có thể chuyển về biểu thức một biến. Do đó để tìm cực trị của biểu thức này ta có thể sử dụng phương trình khảo sát hàm số. Sau đây là các ví dụ minh