Bài tập lớn giải tích 1 ứng dụng của tích phân suy rộng

Giá trị tương lai của dòng thu nhập Future Value of an Income Stream: Giả sử trong khoảng thời gian 0 ≤

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 1

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG

GVHD: TS ĐẶNG VĂN VINH

NHÓM 8

Huỳnh Đình Quang 2110473

Trần Ngọc Thùy Trinh 2115076

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM

LỜI CẢM ƠN

Trong khoảng thời gian học tập với học phần Giải tích 1 ở lớp, nhóm em đã có cơ hội tiếp xúc và làm quen với nhiều kiến thức hay và bổ ích – đó là cơ sở để nhóm em hoàn thành bài tập lớn này Với những kiến thức này sẽ phục vụ cho chúng em trong quá trình học tập cũng như làm việc ở tương lai sau này Ngoài ra, thông qua việc làm bài tập lớn, bản thân chúng em cảm nhận được sự tiến bộ trong việc chủ động học tập, tìm kiếm các nguồn thông tin, trau dồi kĩ năng làm việc nhóm và gắn kết các thành viên trong nhóm lớp

Để đạt được kết quả như hôm nay là nhờ vào sự tận tâm trong quá trình giảng dạy, truyền đạt kiến thức ở lớp, hướng dẫn chúc em trong quá trình thực hiện bài tập lớn của thầy Đặng Văn Vinh Nhóm em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành đến thầy

Trang 3

MỤC LỤC

Lời cảm ơn 1

I Ứng dụng trong tính toán giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài 4

a Một số khái niệm 4

i Lãi kép liên tục (Continuous Compound Interest): 4

ii Giá trị hiện tại (Present Value – PV): 4

b Giá trị tương lai của dòng thu nhập (Future Value of an Income Stream): 4

c Giá trị hiện tại của dòng thu nhập (Present Value of an Income Stream): 4

d Giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài (Present Value of a Perpetal Income

Trang 4

Trang 5

I Ứng dụng trong tính toán giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài a Một số khái niệm

i Lãi kép liên tục (Continuous Compound Interest):

Giả sử đầu tư 𝑃𝑃 (đơn vị tiền tệ) với lãi suất thường nhiên 𝑟𝑟 và số tiền tích lũy được sau 𝑡𝑡 năm là 𝐵𝐵(𝑡𝑡) (đơn vị tiền tệ) Với cách tính lãi kép liên tục thì tổng số tiền thu được sau 𝑡𝑡 năm là:

𝐵𝐵(𝑡𝑡) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑘𝑘→+∞𝑃𝑃 �1 +𝑘𝑘𝑟𝑟�𝑘𝑘𝑘𝑘 = 𝑃𝑃𝑒𝑒𝑟𝑟𝑘𝑘

ii Giá trị hiện tại (Present Value – PV):

Giá trị hiện tại của 𝐵𝐵 (đơn vị tiền tệ) sau 𝑇𝑇năm đầu tư với lãi suất thường niên 𝑟𝑟và được tính lãi kép liên tục là

𝑃𝑃 = 𝐵𝐵𝑒𝑒−𝑟𝑟𝑟𝑟

Giá trị hiện tại được xem như thước đo giá trị của một cuộc đầu tư và các nhà kinh tế học sử dụng nó để so sánh các cơ hội đầu tư khác nhau

b Giá trị tương lai của dòng thu nhập (Future Value of an Income Stream):

Giả sử trong khoảng thời gian 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑇𝑇, một lượng tiền 𝑓𝑓(𝑡𝑡) được chuyển liên tục vào một tài khoản được tính lãi kép liên tục với lãi suất thường niên 𝑟𝑟thì giá trị tương lai của dòng thu nhập 𝑓𝑓(𝑡𝑡) sau khoảng thời gian 𝑇𝑇được tính bằng một tích phân xác định:

tục 𝑓𝑓(𝑡𝑡) vào một tài khoản được tính lãi kép liên tục với lãi suất thường niên 𝑟𝑟 sau khoảng thời gian hữu hạn 𝑇𝑇năm, được tính bằng một tích phân xác định:

𝑃𝑃𝐹𝐹 = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑟𝑟 −𝑟𝑟𝑘𝑘𝑑𝑑𝑡𝑡

0

Trang 6

Chứng minh

Giả sử số tiền 𝐴𝐴 được gửi vào để tạo ra một dòng thu nhập 𝑓𝑓(𝑡𝑡), cả hai được tính lãi kép liên tục với lãi suất thường niên 𝑟𝑟 Sau 𝑇𝑇 năm, số tiền 𝐴𝐴 tăng lên 𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟, trong khi tổng lượt tiền của 𝑓𝑓(𝑡𝑡) là ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒0𝑟𝑟 𝑟𝑟(𝑟𝑟−𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑡𝑡 như ta đã biết ở phần trên Khi đó, ta có:

𝐴𝐴𝑒𝑒𝑟𝑟𝑟𝑟 = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑟𝑟(𝑟𝑟−𝑘𝑘)𝑑𝑑𝑡𝑡

𝐴𝐴 = ∫ 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒0𝑟𝑟 −𝑟𝑟𝑘𝑘𝑑𝑑𝑡𝑡

mà ờ đây 𝐴𝐴 chính là giá trị hiện tại của dòng thu nhập 𝑓𝑓(𝑡𝑡)

d Giá trị hiện tại của dòng thu nhập lâu dài (Present Value of a Perpetal Income Flow):

Như ở trên đã đề cập, giá trị hiện tại của dòng thu nhập trong một khoảng thời gian hữu hạn T có thể được tính bằng một tích phân xác định Nếu việc tạo ra dòng thu nhập này cần được đảm bảo về lâu dài, ta cần sử dụng tích phân suy rộng để tính được giá trị hiện tại của dòng thu nhập này Khi đó:

𝑃𝑃𝐹𝐹 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟→+∞� 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒𝑟𝑟 −𝑟𝑟𝑘𝑘𝑑𝑑𝑡𝑡 =

0

Trang 7

e Bài tập ứng dụng:

Một nhà tài trợ muốn tạo ra một quỹ học bổng cho một trường đại học địa phương về lâu dài với giá trị học bổng là 25000 + 1200𝑡𝑡 đô la một năm Giả sử lãi hàng năm được tính bằng lãi suất kép liên tục với lãi suất thường niên không đổi là 5% Khi đó, nhà tài trợ phải chi bao nhiêu để thành lập quỹ học bổng này?

Ta dễ dàng thấy rằng số tiền nhà tài trợ phải chi chính là giá trị hiện tại của dòng thu nhập vĩnh viễn mà ở đây là giá trị học bổng hàng năm Từ đây, ta tính được số tiền nhà tài trợ phải chi:

𝑃𝑃𝐹𝐹 = � 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑒𝑒+∞ −𝑟𝑟𝑘𝑘𝑑𝑑𝑡𝑡

Trong trường hợp này, ta có 𝑓𝑓(𝑡𝑡) = 25000 + 1200𝑡𝑡và lãi suất

Trang 8

II Ứng dụng trong vật lý

a Tính toán tuổi thọ trung bình của một nguyên tố phóng xạ i Cơ sở lý thuyết:

Hằng số phóng xạ 𝜆𝜆 là đại lượng đặc trưng cho nuclide đang xét, tỉ lệ nghịch với chu kì bán rã của nguyên tố, được xác định bởi hệ thức: 𝜆𝜆 =𝑙𝑙𝑙𝑙2𝑟𝑟

Tuổi thọ trung bình của một nuclide là tổng thời gian tồn tại của một số xác định các nuclei (trước khi chúng bị phân rã hoàn toàn) chia cho số nuclei ban đầu Trong khoảng thời gian dt, một lượng dN nuclei bị phân rã Như vậy ta được phương trình:

Ví dụ: Một chất phóng xạ phân rã theo cấp số nhân: Khối lượng tại

thời điểm t là m(t) = moekt, trong đó mo là khối lượng ban đầu và k là một hằng số âm Một nguyên tử mất M = −𝑘𝑘 ∫ 𝑡𝑡𝑒𝑒∞ 𝑘𝑘𝑘𝑘

đồng vị đó phân rã hoàn toàn

Trang 9

Năng lượng điện trường định xứ trong không gian có điện trường Năng lượng điện trường trong miền thể tích V:

Ví dụ: Cho điện tích Q = 9 nC phân bố đều trên một mặt cầu bán kính

R = 1 m Tổng năng lượng điện trường của hệ này bằng bao nhiêu?

Mặt cầu có điện tích phân bố đều (mặt cầu dẫn điện) có điện trường:

Trang 10

Trang 11

III Ứng dụng trong tính toán xác suất và thống kê a Cơ sở lý thuyết

Hàm mật độ xác xuất (Probability Density Functions – PDF) cho một biến ngẫu nhiên liên tục X là một hàm số f(x) thỏa ba điều kiện sau:

1 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ≥ 0, ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑅𝑅

2 Tổng diện tích dưới đồ thị của 𝑓𝑓(𝑥𝑥) là 1

3 Xác suất để biến X thuộc khoảng [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] được tính bởi tích phân sau 𝑃𝑃(𝑎𝑎 ≤ 𝑋𝑋 ≤ 𝑏𝑏) = � 𝑓𝑓(𝑥𝑥)𝑑𝑑𝑥𝑥𝑏𝑏

Giá trị của a và b không cần thiết phải hữu hạn và nếu một trong hai là vô hạn thì xác suất tương ứng sẽ được viết dưới dạng tích phân suy rộng Ví

Hàm này được sử dụng trong thống kế để biểu thị một tổng thể được phân phối với giá trị trung bình và độ lệch chuẩn Cụ thể, nếu biến X được chọn ngẫu nhiên từ [𝑎𝑎, 𝑏𝑏] thì xác xuất của X được tính như sau:

Trang 12

c Hàm mật độ xác suất đồng đều

không nằm ngoài khoảng đó

Một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất đồng đều thì liên tục và có xác suất phân bố đồng đều, tất cả các giá trị trong một khoảng giới hạn nào đó có khả năng xảy ra là như nhau

Một biến ngẫu nhiên liên tục phân bố đồng đều được đặt ra nếu xác suất giá trị của nó nằm trong một khoảng thời gian con cụ thể bằng xác suất nó sẽ nằm trong bất kỳ khoảng thời gian con nào khác có cùng chiều dài

Hàm mật độ xác suất đồng đều đôi khi còn được gọi là hàm phân phối hình chữ nhật và khi biểu diễn bằng hình vẽ sẽ có dạng hình chữ nhật:

Cho k là giá trị hằng số của hàm mật độ đều f (x) trên khoảng A ≤ x ≤ B để tổng diện tích dưới đồ thị của f (x) bằng 1 Ta có:

Trang 13

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Từ (1) và (2), ta có công thức tổng quát cho hàm mật độ mũ của một biến ngẫu nhiên:

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �𝑘𝑘𝑒𝑒−𝑘𝑘𝑥𝑥0,, 𝑥𝑥 ≥ 0𝑥𝑥 < 0

trong đó, k > 0 là tham số của phân bố trên khoảng [0,∞), thường

được gọi là tham số tỉ lệ (rate parameter)

Một vài ví dụ cho các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ mũ là tuổi thọ của các bộ phận điện tử, thời lượng của các cuộc điện thoại và khoảng thời

(2)

Trang 14

e Bài tập ứng dụng:

Ví dụ 1: Chiều cao trung bình của người đàn ông Mĩ (từ 20 đến 29

tuổi) là 70 inches và độ lệch chuẩn là 3 inches Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông từ 20 đến 29 tuổi thì xác xuất để người đó cao từ 72 inches trở lên

Ví dụ 2: (QUẢN LÝ CHẤT LƯỢNG) Một công ty sản xuất thước đo

gỗ Chiều dài của cây thước thông thường được sản xuất với độ dài trung bình là 36 inches và có độ lệch chuẩn là 0.2 inch Tính xác xuất mà cây thước sản xuất với độ dài hơn 35.5 inches

Ví dụ 3: Một đèn giao thông chuyển sang màu đỏ trong 40 giây tại

một thời điểm Giả sử bạn Nam đến ngẫu nhiên lúc nó đang chuyển sang màu đỏ Sử dụng một hàm mật độ đồng nhất để tìm xác suất thời gian bạn Nam sẽ phải đợi ít nhất 15 giây thì đèn chuyển sang màu xanh

Kết luận: Xác suất thời gian bạn Nam sẽ phải đợi ít nhất 15 giây thì

đèn chuyển sang màu xanh là 62.5%

Trang 15

Ví dụ 4: Bạn Thành đứng đợi xe buýt để tới trường Khoảng thời gian

mà bạn Nam phải chờ xe tới nơi nằm trong khoảng 40 phút a/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi ít hơn 8 phút b/ Tính xác suất bạn Thành phải đợi hơn 30 phút

Gọi X là một biến ngẫu nhiên đo thời lượng của các cuộc điện thoại trong một thành phố Giả sử một hàm mật độ xác suất cho X là:

Trang 16

Công ti X sản xuất laptop với độ bền là 5 năm Độ bền của laptop được biểu diễn theo hàm mật độ xác suất dạng mũ

a/ Tính tham số tỉ lệ

b/ Tính xác suất laptop có độ bền ít hơn 3 năm c/ Tính xác suất laptop có độ bền hơn 10 năm d/ Tính xác suất laptop có độ bền 4 -7 năm

Trang 17

IV Ứng dụng trong tính toán giá trị kỳ vọng a Cơ sở lý thuyết

Một đặc tính hữu ích của biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥 là giá trị kỳ vọng của nó,

ngẫu nhiên Nó cho kết quả đầu ra trung bình của biến ngẫu nhiên Theo trực quan, nó có nghĩa là nó cung cấp giá trị mà biến ngẫu nhiên sẽ ném thường xuyên nhất khi thử nghiệm được lặp lại vô số lần.

Thí nghiệm ngẫu nhiên là những thí nghiệm không thể chắc chắn về kết quả Trong những trường hợp như vậy, chỉ có thể gán xác suất cho các kết quả.Nếu một thử nghiệm ngẫu nhiên được thực hiện lặp đi lặp lại và các kết quả được ghi lại, thì giá trị trung bình cộng của các kết quả được ghi lại sẽ đạt đến giá trị mong đợi, do đó, E(𝒙𝒙) có thể được coi là "trung bình" của

biến ngẫu nhiên 𝑥𝑥 Đây là công thức cho giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên liên tục 𝑥𝑥 về mặt tích phân liên quan đến hàm mật độ khả năng xác suất

phân là∫ , và −∞+∞ tích phân đề cập ở định nghĩa là tổng của hai tích phân suy

Và cả hai đều phải hữu hạn đối với tích phân∫ ,−∞+∞ với giới hạn tích phân vô

Nếu 𝒙𝒙 là một biến ngẫu nhiên liên tục trên tập xác định và có xác suất tuân theo hàm độ

f, giá trị kỳ vọng (hoặc giá trị trung bình) của 𝒙𝒙 là :

𝑬𝑬(𝒙𝒙) = � 𝒙𝒙𝒙𝒙(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒙𝒙+∞

−∞

Trang 18

+ Giá trị kỳ vọng có rất nhiều trường hợp sử dụng và ứng dụng trong cuộc sống thực Các khái niệm này được các công ty bảo hiểm sử dụng để tính xác suất tử vong của một người Kỳ vọng cũng được sử dụng trong trò chơi may rủi Ví dụ, trong khi chơi poker, hoặc có thể phân tích một hệ thống xổ số Các nhà phân tích sử dụng nó để tính toán xác suất chiến thắng Khái niệm này cũng được sử dụng nhiều trong lĩnh vực Trí tuệ nhân tạo (AI) để hiểu các kịch bản và hành động trong đời thực

b Hàm mật độ xác suất đồng đều

Gọi 𝑥𝑥 là một biến ngẫu nhiên Biết hàm mật độ xác suất cho 𝑥𝑥 tuân theo quy luật sau:

Gọi 𝑥𝑥 là một biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất cho 𝑥𝑥 tuân theo quy luật sau:

Trang 19

d Bài tập ứng dụng: Ví dụ 1:

Một đèn giao thông đỏ tối đa trong 40 giây tại một thời điểm Bạn đến

(ngẫu nhiên) lúc đèn vẫn sáng và thấy nó màu đỏ Gọi x là biến ngẫu nhiên

đo thời gian (tính bằng giây) mà bạn phải chờ đợi Vì tất cả thời gian chờ từ

0 đến 40 đều "có khả năng như nhau", nên x được phân bổ đồng đều trong

Kết quả này nói lên rằng thời gian chờ trung bình tại màu đỏ ánh sáng là 20 giây, bởi vì biến ngẫu nhiên được phân phối đồng đều giữa 0 và 40

Ví dụ 2:

Gọi x là một biến ngẫu nhiên đo thời lượng của các cuộc điện thoại trong một thành phố và hàm mật độ xác suất cho x là:

Trang 20

Giả sử khoảng thời gian mà một con chuột thí nghiệm cần để đi qua

một mê cung nhất định được đo lường bởi một biến x ngẫu nhiên được phân

phối theo cấp số nhân với hàm mật độ sau 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �14𝑒𝑒−𝑥𝑥4, 𝑥𝑥 ≥ 0

0 , 𝑥𝑥 < 0

trong đó x là số phút ngẫu nhiên để con chuột đi qua hết mê cung Tìm thời gian dự kiến cần thiết cho phòng thí nghiệm chuột đi qua mê

Trang 21

Trang 22

V Nguồn tham khảo

trang 512

[5] Vật Lý Đại cương A1 (lưu hành nội bộ), ĐHQG TP.HCM, Trường Đại học Bách Khoa