ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Công Nghệ Thông Tin, it, phầm mềm, website, web, mobile app, trí tuệ nhân tạo, blockchain, AI, machine learning - Báo cáo khoa học, luận văn tiến sĩ, luận văn thạc sĩ, nghiên cứu - Sinh học TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG NAM KHOA: LÝ – HÓA – SINH ---------- VÕ THỊ HUỲNH TRANG ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Quảng Nam, tháng 5 năm 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trı̀nh nghiên cứu được hoàn thành dưới sự cố gắng và nỗ lực của riêng tôi. Những nội dung và kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận này là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kı̀ một công trı̀nh nào khác. Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang ii LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến cô giáo TS. Võ Thị Hoa – người đã tận tı̀nh hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện và hoàn chı̉nh bài khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu cùng quý thầy cô giáo tổ Vật lý, khoa Lý-Hóa-Sinh, trường Đại học Quảng Nam đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành tốt bài khóa luận này cũng như đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Bên cạnh đó, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các bạn học cùng lớp Đại học Sư phạm Vật lý K12 đã ủng hộ và đóng góp những ý kiến hữu ı́ch cho tôi trong quá trı̀nh hoàn thành khóa luận. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến những thành viên trong gia đình, người thân đã luôn bên cạnh, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn Tam Kỳ, tháng 05 năm 2016 Sinh viên thực hiện Võ Thị Huỳnh Trang iii MỤC LỤC Phần 1. MỞ ĐẦU .................................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................................... 1 2. Mục tiêu của đề tài .................................................................................................. 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ........................................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................................. 2 5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 2 6. Lịch sử nghiên cứu .................................................................................................. 2 7. Giả thuyết khoa học ................................................................................................ 3 8. Cấu trúc của đề tài ................................................................................................... 3 Phần 2. NỘI DUNG ................................................................................................................... 4 Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ........................ 4 1.1. NHỮNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ ................................... 4 1.1.1. Giả thuyết De Broglie ....................................................................................... 4 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh ...................................................................... 4 1.1.3. Hàm sóng của hạt vi mô .................................................................................... 5 1.1.4. Toán tử .............................................................................................................. 5 1.2. CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP ........................................................................ 7 1.2.1. Toán tử tọa độ ................................................................................................... 7 1.2.2. Toán tử xung lượng ........................................................................................... 7 1.2.3. Toán tử năng lượng ........................................................................................... 8 1.2.4. Toán tử momen xung lượng .............................................................................. 8 1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC .............. 9 1.3.1. Theo cơ học cổ điển .......................................................................................... 9 1.3.2. Theo cơ học lượng tử ........................................................................................ 9 1.4. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH ...................................................................................... 10 1.4.1. Sai số của phép đo ........................................................................................... 10 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch.......................................................... 10 iv 1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg ........................................................................... 10 1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER ................................................................ 11 1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ............................................... 11 1.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian .................................... 11 1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ........................... 12 1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn ............................. 13 1.5.5. Dao động tử điều hòa ...................................................................................... 15 1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ........... 15 1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian ................................................................ 15 1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x ............................................................... 15 1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px ............................................................. 16 1.6.4. Tích phân chuyển động ................................................................................... 16 1.7. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN................................................................................. 16 1.7.1. Khái niệm ........................................................................................................ 16 1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) ............................................................. 17 1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) .............................................. 18 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 ....................................................................................................... 18 Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA ....... 19 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA ....... 19 2.1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 19 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica............................................................. 20 2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica............................................................... 20 2.1.4. Các tính năng của Mathematica ...................................................................... 21 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHÁP ............. 21 2.2.1. Sử dụng các lệnh trực tiếp trong Mathematica ............................................... 22 2.2.2. Các phép toán cơ bản trong biểu thức ............................................................. 22 2.2.3. Sử dụng các kí hiệu đặc biệt trong Mathematica ............................................ 25 v 2.3. TÍNH TOÁN CƠ BẢN TRONG MATHEMATICA ........................................ 26 2.3.1. Tính giới hạn ................................................................................................... 26 2.3.2. Tính đạo hàm của hàm số................................................................................ 26 2.3.3. Tính tích phân ................................................................................................. 26 2.3.4. Giải phương trình và hệ phương trình............................................................. 27 2.4. CÁC KIỂU SỐ TRONG MATHEMATICA ..................................................... 28 2.5. CÁC PHÉP TÍNH TOÁN SỐ HỌC .................................................................. 28 2.5.1. Số nguyên ........................................................................................................ 28 2.5.2. Số hữu tỷ ......................................................................................................... 28 2.5.3. Số vô tỷ ........................................................................................................... 29 2.5.4. Số phức ............................................................................................................ 29 2.6. ĐỒ HỌA VỚI MATHEMATICA ..................................................................... 29 2.6.1. Đồ họa hai chiều.............................................................................................. 29 2.6.2. Đồ họa ba chiều ............................................................................................... 32 2.6.3. Các tùy chọn quan trọng chung cho các lệnh vẽ đồ thị................................... 34 2.7. MỘT SỐ LƯU Ý KHI SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA ............... 35 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 ....................................................................................................... 35 Chương 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHEMATICA GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ....................................................................................... 37 3.1. BÀI TOÁN VỀ HÀM SÓNG CỦA HẠT VẬT CHẤT .................................... 37 3.2. BÀI TOÁN TÌM HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ ....................... 39 3.3. BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC .............................................................................................................. 39 3.4. BÀI TOÁN TÌM NĂNG LƯỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA .......... 41 3.5. BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN ...................................................... 42 3.6. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN ......................................................................................................................... 45 vi 3.7. BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN .............................................................................................................. 46 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 ....................................................................................................... 49 Phần 3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................ 50 1. KẾT LUẬN ........................................................................................................... 50 2. KIẾN NGHỊ .......................................................................................................... 50 Phần 4. HƯỚNG PHÁT TRIỂN .......................................................................................... 51 Phần 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................... 52 PHỤ LỤC...................................................................................................................................P1 vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn ............................ 12 Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng................................................. 13 Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng ..................................... 14 Hình 2.1. Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0 ............................................................ 20 Hình 2.2. Bảng Basic Math Input trong giao diện của phần mềm Mathematica 8.0 ..... 24 viii DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU Bảng 2.1. Một số hàm cơ bản trong Mathematica ............................................................. 24 Bảng 2.2. Một số lệnh vẽ đồ thị trong Mathematica .......................................................... 34 ix DANH MỤC CÁC ĐỒ THỊ Đồ thị 2.1. Đồ thị hai chiều của hàm f(x). ........................................................................... 29 Đồ thị 2.2. Đồ thị hai chiều của ba hàm f1, f2, f3. ................................................................ 31 Đồ thị 2.3. Đồ thị hai chiều của một hàm 2 tham số. ......................................................... 31 Đồ thị 2.4. Đồ thị ba chiều của một hàm f(x,y) .................................................................. 32 Đồ thị 2.5. Đồ thị ba chiều của hai hàm f1, f2...................................................................... 33 Đồ thị 2.6. Đồ thị ba chiều của một hàm 3 tham số. .......................................................... 33 Đồ thị 3.1. Trạng thái hạt trong hố thế với bức tường cao vô hạn tại x =L. .................... 46 Đồ thị 3.2. Trạng thái hạt trong hố thế dịch chuyển tới vị trı́ x = 2L................................ 47 1 Phần 1. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học, chúng ta có thể dần khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những ngành khoa học ngày càng phát triển đó là Vật lý. Trong quá trình học tập và lĩnh hội kiến thức về lý thuyết nói chung và lý thuyết vật lý nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò khá quan trọng. Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học. Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở đại học, cao đẳng đó là Cơ học lượng tử, đây là một bộ môn mới được hình thành vào đầu những năm 30 của thế kỷ XX. Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của Vật lý học. Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý như Vật lý chất rắn, Vật lý hạt…Cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được. Các tiên đoán của Cơ học lượng tử chưa bao giờ bị thực nghiệm chứng minh là sai sau thế kỷ. Như vậy, Cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu Cơ học lượng tử là rất quan trọng đối với sinh viên vật lý. Thế nhưng đa số sinh viên vật lý lại gặp không ít khó khăn trong việc học tập môn học này do có hệ thống bài tập tương đối nhiều và đa dạng, tuy nhiên phần kiến thức toán học được dùng để giải các bài tập về chúng thì lại khá phức tạp, tốn nhiều thời gian và công sức. Hiện nay, trên thế giới đã có những phần mềm được sử dụng như là một công cụ mạnh trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật cũng như trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo và mang tính thực tiễn cao, Mathematica là một trong những phần mềm đó. Với những ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, về khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng xử lý số liệu nhanh sẽ giúp cho việc xử lý các bài toán vật lý được nhanh chóng và thuận tiện. Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử”. 2 2. Mục tiêu của đề tài - Nghiên cứu khai thác và sử dụng phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. - Làm rõ được ưu điểm của việc sử dụng phần mềm Mathematica. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Các dạng bài tập trong Cơ học lượng tử. - Ngôn ngữ lập trình Mathematica với các tính năng tính toán. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt được mục tiêu đề ra, đề tài có những nhiệm vụ chính sau: - Nghiên cứu cơ sở lý thuyết về Cơ học lượng tử. - Khai thác các tính năng tính toán của phần mềm Mathematica. - Nghiên cứu sử dụng cú pháp, cấu trúc câu lệnh của phần mềm Mathematica để giải các bài toán về Cơ học lượng tử. 5. Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết . - Phương pháp giải bài tập. - Phương pháp phân tích tổng hợp. - Sử dụng phần mềm Mathematica. 6. Lịch sử nghiên cứu Trong những năm qua có nhiều người đã ứng dụng phần mềm toán học Mathematica vào dạy giải bài tập vật lý phổ thông trung học ở các chương, các phần chẳng hạn như: - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để giải bài toán chương “ Dòng điện xoay chiều” vật lý 12 nâng cao. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Nguyễn Thị Diệu Ly ). - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica trong dạy học phần “Dao động và sóng điện từ” chương trình vật lý 12 trung học phổ thông. (Luận văn thạc sĩ chuyên ngành lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Vật lý – Hoàng Việt Hưng ). 3 - Sử dụng phần mềm toán học Mathematica để vẽ đồ thị. (Khóa luận tốt nghiệp Phạm Thị Hạnh Thảo). 7. Giả thuyết khoa học Đề tài được hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo bổ ích cho sinh viên chuyên ngành Vật lý nói chung và đồng thời xây dựng được cách học mới, đó là ứng dụng công nghệ thông tin trong việc giải quyết các bài toán vật lý khó và phức tạp. 8. Cấu trúc của đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo khóa luận gồm có 3 chương : Chương 1: Tổng quan lý thuyết về Cơ học lượng tử. Chương 2: Giới thiệu tổng quan về phần mềm Mathemetica. Chương 3: Ứng dụng phần mềm Mathematica giải một số bài toán về Cơ học lượng tử. 4 Phần 2. NỘI DUNG Chương 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1. NHỮNG CƠ SỞ VẬT LÝ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.1.1. Giả thuyết De Broglie Theo giả thuyết phôtôn thì bức xạ điện từ có tính chất như những dòng hạt. De Broglie đã nêu lên một giả thuyết về vấn đề này (năm 1924): một hạt tự do có năng lượng ߝ và xung lượngܲ ሬԦ tương ứng với một sóng phẳng có tần số góc߱ và véc tơ sóng݇ ሬԦ;߱ và݇ ሬԦ thỏa mãn hệ thức sau đây: ߱ħ ൌ ߝ ܲ ሬԦ ൌ ħ݇ሬԦ Với ħ =h2π ; trong đó h là hằng số Planck, hằng số này chung cho mọi loại hạt, nó có ý nghĩa rất quan trọng trong vật lý. Nhiều thí nghiệm kiểm chứng lại giả thuyết De Broglie đã chứng tỏ rằng: không những một chùm nhiều electron có tính chất sóng mà ngay cả từng electron chuyển động cũng có tính chất sóng. Theo giả thuyết về phôtôn và giả thuyết De Broglie thì ánh sáng cũng như các hạt vi mô vừa có tính chất sóng,vừa có tính chất hạt, người ta nói rằng chúng có lưỡng tính sóng hạt. Bước sóng λ của sóng De Broglie tương ứng là : ൌ ߣ ଶగ ௞ ൌ ଶగħ ௠௩ (1.1) Trong đó : v là vận tốc chuyển động của hạt ݇ ሬԦ là véc tơ sóng của hạt có độ lớn݇ ൌ ௠௩ ħ ൌ ௉ ħ 1.1.2. Lý thuyết về nguyên tử của Borh Để giải thích hiện tượng bền vững của nguyên tử và phổ phát xạ gián đoạn của nguyên tử khi bị kích thích, Borh dã đưa ra một giả thuyết lượng tử: Năng lượng E của nguyên tử chỉ có thể có những giá trị gián đoạn. E ൌ Eଵ , Eଶ , Eଷ , … E୬ , … Khi nguyên tử chuyển từ trạng thái có năng lượng En sang trạng thái có năng lượng Em thì nguyên tử phát ra bức xạ, lượng tử năng lượng ߝ của bức xạ 5 bằng hiệu năng lượng của trạng thái đầu E n và năng lượng của trạng thái cuối Em . Nếu gọi ωmn là tần số góc của bức xạ phát ra thì ta sẽ có : ħωmn ൌ En – Em (1.2) 1.1.3. Hàm sóng của hạt vi mô a. Biểu diễn trạng thái của hạt bằng hàm sóng Trạng thái bất kì của một hạt vi mô vào thời điểm t có thể biểu diễn bởi một hàm߰ ݎሺԦ, ݐሻ gọi là hàm sóng của hạt: ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ݁଴ ቂെ ݌ݔ ௜ ħ ݌ െ ݐܧሺݎԦԦሻቃ (1.3) b. Xác suất tìm thấy hạt trong một miền không gian Gọi ߩ là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại điểm M, theo ý nghĩa thống kê của hàm sóng ta có: ߰ܥ ൌ ߩ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ. Để đơn giản, chọn C=1 → ߰ ൌ ߩ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ Xác suất tìm thấy hạt trong toàn bộ không gian: ܹ ൌ ݎሺߩ ׬ൌ ܸ݀ሻݐԦ, ߰׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ (1.4) Vậy điều kiện chuẩn hóa hàm sóng được xác định bởi công thức: ߰׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ ൌ 1 (1.5) Với: ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ଶ ߰ൌ ∗ ݎሺ߰ሻݐԦ, ݎሺԦ, ݐሻ Hàm sóng thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hàm sóng đã chuẩn hóa. Đối với hàm sóng đã chuẩn hóa thì xác suất tìm thấy hạt trong thể tích dV bao quanh điểm M có vectơ tia r là:݀ ൌ ݓ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ Đối với hàm sóng chưa được chuẩn hóa thì:݀ ܥ ൌ ݓ ߰ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ Trong đó C thỏa mãn điều kiện (1.5) →߰ܥ ׬ ݎሺԦ, ݐሻ ܸ݀ଶ ൌ 1 Nếu một hạt chuyển động theo trục x thì hàm sóng có dạng߰ ݎሺԦ, ݐሻ . Xác suất tìm thấy hạt trong khoảng từ x đến x + dx là: Nếu hàm sóng đã chuẩn hóa:݀ ൌ ݓ ߰ ሺݔ, ݐሻ ݀ଶ ݔ Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa:݀ ൌ ݓ టሺ௫,௧ሻ మ ௗ௫ ׬టሺ௫,௧ሻ మ ௗ௫ 1.1.4. Toán tử a. Khái niệm Toán tử là một thực thể toán học tác dụng lên một hàm bất kì (của x chẳng hạn) chuyển nó thành một hàm khác: 6 ܣ߰መ ݔሺ ߮ൌ ሻݔሺ (1.6) Với ܣመ là toán tử tác dụng lên hàm߰ ሻݔሺvà biến hàm này thành hàm߮ ሻݔሺ . Nếu tác dụng của toán tử ܣመ lên hàm߰ ሻݔሺ chỉ đơn giản là phép nhân hàm này cho một số a: ܣ߰መ ሻݔሺ ߮ܽൌ ሻݔሺ (1.7) Lúc đó ta nói rằng߰ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܣመ, a gọi là trị riêng của ܣመ . Tập hợp các trị riêng của ܣመ được gọi là phổ trị riêng. Phương trình (1.7) được gọi là phương trình cho trị riêng và hàm riêng của toán tử hay gọi tắt là phương trình trị riêng. b. Các phép tính toán tử - Phép cộng (trừ) toán tử: ܣ߰መ ሺݔሻ േ ܤ߰෠ ሺݔሻ ൌ ሺܣመ ൅ ܤ߰෠ሻ ሻݔሺ - Phép nhân toán tử: ܣܤመ߰෠ ሺݔሻ ൌ ܣܤመሺ߰෠ ሻሻݔሺ ܣܤመ൫ܥ෠෡ ൯ ൌ ሺ ܣܤመܥሻ ෡෡ - Giao hoán tử:ൣ ,ܣܤ ෡෠൧ ൌ ܣܤመ෠ െ ܤܣ෠መ - Phản giao hoán tử:ൣ ,ܣܤ ෡෠൧ ା ܣ ൌܤመ෠ ൅ ܤܣ෠መ c. Toán tử tự liên hợp Hermite Toán tử ܣመ được gọi là toán tử tự liên hợp hermite (toán tử hermite) khi và chỉ khi hệ thức sau được thỏa mãn: ߰׬ ∗ ܣ൫ൌ ܸ݀൯ ߮.መ ሻ ߰.መ ܣሺ ߮׬ ܸ݀∗ (1.8) Trong đó: ܣመ ∗ là một toán tử sao cho ܣመ ∗ ߮. ∗ ܣሺ ൌሻ߮መ ∗߮ là một hàm bất kì Các trị riêng của toán tử hermite là số thực: ܣ߮መ ௡ ܽൌ ሻݔሺ ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.9) Các hàm riêng tương ứng với hai trị riêng phân biệt của toán tử hermite là trực chuẩn: ߮׬ ௡ ∗ ߮.ሻݔሺ ௡ ߜ ൌ ܸ݀ሻݔሺ ௠,௡ (1.10) Với ߜ௠,௡ là kí hiệu Kronecker Khi m = n → ߜ௠,௡ ൌ 1 : hệ chuẩn hóa Khi m ≠ n → ߜ௠,௡് 1 : hệ trực giao 7 Các hàm riêng của toán tử hermite hợp thành một hệ đầy đủ: ߰ ሺݔሻ ൌ ∑ ܥ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.11) Với:߮ ௡ là hàm riêng của toán tử ܣመ ܥ௡ là hệ số phân tích, hệ số khai triển. Xác suất để toán tử ܣመ có giá trị ܣ௜ :ܹ ஺ି஺ ೔ ܥ ൌ௡ ଶ 1.2. CÁC TOÁN TỬ THƯỜNG GẶP 1.2.1. Toán tử tọa độ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng߰ ሻݔሺ. Giả sử߰ ሻݔሺ đã được chuẩn hóa. Phương trình trị riêng của toán tử tọa độ ܣመ là: ܣ߰መ ߰ݔ ൌ ሻݔሺ ሻݔሺ (1.12) Trong biểu diễn tọa độ thì tọa độ và hàm của tọa độ là phép nhân thông thường nên: ݔො ൌ ݔ vàܷ ෡ሺݔሻ ൌ ܷሺݔሻ Dựa vào tính chất hàm Delta: ݔ െ ݔሺ଴ ݔ െ ݔሺߜሻ଴ ሻ ൌ 0 Ta có: ݔ െ ݔሺߜݔ଴ ሻ ൌ ݔ଴ ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ hay ݔݔ െ ݔሺߜො଴ ሻ ൌ ݔ଴ ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ Lúc này người ta nói toán tử ݔො có hàm riêng ݔ െ ݔሺߜ଴ ሻ ứng với giá trị ݔ଴ . Trường hợp tổng quát, trong không gian 3 chiều toán tử tọa độ ݎԦመ có: - Dạng : ݎԦመ ݎ ൌԦ → ൝ ݔ ො ൌ ݔ ݕ ො ൌ ݕ ݖ ൌ ̂ݖ - Trị riêng : ݎԦ ൌ ݎ଴ሬሬሬԦ - Hàm riêng :߰ ௥బሬሬሬሬԦ ݎሺԦሻ ൌ ߜሺݎԦ െ ݎ଴ሬሬሬԦሻ với ߜሺݎԦ െ ݎ଴ሬሬሬԦሻ là hàm Delta-Dirac ba chiều. 1.2.2. Toán tử xung lượng Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng߰ ሻݔሺ . Trong biểu diễn tọa độ theo trục x, toán tử xung lượng có: - Dạng :ܲ ሬԦ෠ ൌ െ݅ħ డ డ௫ - Trị riêng : liên tục - Hàm riêng :߰ ௉ೣ ሺݔሻ ൌ ଵ √ଶగħ݁ ቀ ೔ ħ ቁ.ሺ௉ೣ ௫ሻ Trường hợp tổng quát trong không gian 3 chiều, xung lượng có: 8 - Dạng :ܲ ሬԦ෠ ׏ħ݅െ ൌሬ ሬԦ → ۖە ۖ۔ ܲۓ෠௫ ൌ െ݅ħ డ ܲడ௫ ෠௬ ൌ െ݅ħ డ ܲడ௬ ෠௭ ൌ െ݅ħ డ డ௭ - Trị riêng :ܲ ෠ có giá trị liên tục - Hàm riêng :߰ ௉ሬԦ ݎሺԦሻ ൌ ଵ ሺ√ଶగħሻ ݁మయ ቀ ೔ ħ ቁ.ሺ௉ೣ ௫ା௉೤ ௬ ା௉೥ ௭ሻ ൌ ଵ ሺ√ଶగħሻ ݁మయ ቀ ೔ ħ ቁ.௉ሬԦ௥Ԧ Các toán tử xung lượng cũng là các toán tử hermite. 1.2.3. Toán tử năng lượng Hàm năng lượng tương ứng với toán tử năng lượng có: - Dạng : ܪ෡ ൌ െ ħ మ ଶ௠ ∆ ൅ ܷሺݎ Ԧ ) - Phương trình trị riêng: ܪ߰෡ ݎሺԦሻ ൌ ߰ܧ ݎሺԦሻ (1.13) hay ߰∆ ݎሺԦሻ ൅ ଶ௠ ħమ ߰Ԧሻሿ ݎሺ ܷെ ܧሾ ݎሺԦሻ ൌ 0 (1.14) Với ∆ là toán tử Laplace. - Trường hợp hạt chuyển động một chiều theo trục x thì phương trình trị riêng có dạng: ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ௫ మ ൅ ଶ௠ ħమ ܷെ ܧሾ ߰ሻሿݔሺ ሺݔሻ ൌ 0 (1.15) 1.2.4. Toán tử momen xung lượng Toán tử momen xung lượng có dạng : ܮሬԦ෠ ݎ ൌԦመ.ܲ ሬԦ෠ Trong đó : ݎԦ,ܲ ሬԦ lần lượt là vec tơ định vị và vec tơ xung lượng của hạt. Các thành phần của toán tử mômen xung lượng trong hệ tọa độ Descartes có dạng : ەۖ ۔ۖ ۓܮሬԦ෠ ௫ ൌ െ݅ħ ቀݕ డ డ௭ ݖ െ డ డ௬ ቁ ൌ ܲݕ ෠௭ ෠ ܲݖ െ ௬ ܮሬԦ෠ ௬ ൌ െ݅ħ ቀݖ డ డ௫ ݔ െ డ డ௭ ቁ ൌ ܲݖ ෠௫ ෠ ܲݔ െ ௭ ܮሬԦ෠ ௭ ൌ െ݅ħ ቀݔ డ డ௬ ݕ െ డ డ௫ ቁ ൌ ܲݔ ෠௬ ෠ ܲݕ െ௫ (1.16) Với ܮ෠ là toán tử hermite. 9 Khi khảo sát momen xung lượng người ta thường xét hai toán tử đó là toán tử hình chiếu momen xung lượng trên trục z (ܮ෠ ௭) và toán tử momen xung lượng toàn phần hay gọi là toán tử bình phương momen ܮ෠ଶ. Toán tử ࡸ෠ ࢠ Trong tọa độ Descartes toán tử có: - Dạng : ܮ෠ ௭ ൌ െ݅ħ డ డ∅ - Trị riêng : ܮ௭ ħ ݉ൌ có giá trị gián đoạn: ܮ௭ ൌ 0ħ, േ1ħ, േ2 ħ … - Hàm riêng :߰ ௫ ሺ∅ሻ ൌ ଵ ݁√ଶగ ௜௠∅ Toán tử bình phương momen xung lượng ࡸ෠ ૛ Trong tọa độ cầu toán tử này có: - Dạng : ܮ෠ଶ ൌ െħ ଶ ∆ ఏ,∅ Với ∆ఏ,∅ là phần góc của toán tử Laplace trong hệ tọa độ cầu và có dạng như sau : ∆ఏ,∅ ൌ ଵ ௦௜௡ మ ఏ ߠ݊݅ݏቂ డ డఏ ߠ݊݅ݏቀ డ డఏ ቁ ൅ డ మ డ మ ∅ ቃ (1.17) - Phương trình trị riêng: െħଶ ∆߰∅,ఏ ሺߠ, ∅ሻ ൌ ܮ߰ଶ ሺߠ, ∅ሻ (1.18) Trong đó : ܮଶ ൌ ħ ݈ଶ ሺ ݈൅ 1 ሻ hay ܮൌ ħඥ ݈ሺ ݈൅ 1 ሻ, với݈ nhận các giá trị khả dĩ 0,1,2,… - Hàm riêng :߰ ሺߠ, ∅ሻ ൌܻ ௜௠ ሺߠ, ∅ሻ ൌܲ ௜௠ ݁ሻߠݏ݋ܿሺ ௜௠∅ 1.3. TRỊ TRUNG BÌNH TRONG PHÉP ĐO CÁC BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC 1.3.1. Theo cơ học cổ điển Nếu trong phổ gián đoạn thì: ݔ̅ ൌ ∑ ݔܹ௜ ௜ ௡ ௜ୀଵ Với: ݔ௜ giá trị đo được ở lần thứ i. ܹ ௜ xác suất tại i. Nếu trong phổ liên tục thì: ݔ ׬ ൌ ̅ݔ௔ ܹ݀. ௔ 1.3.2. Theo cơ học lượng tử Xét đại lượng vật lý L có giá trị trung bình ܮത ܮ߰׬ ൌ ത ∗ ܮ .ܸ݀. ߰.෠ (1.19) Chú ý:߰ phải là hàm sóng chuẩn hóa. 10 1.4. HỆ THỨC BẤT ĐỊNH 1.4.1. Sai số của phép đo Độ lệch ܮ∆ cho biết độ chính xác của quá trình đo: ܮ െ ܮ ൌ ܮ∆ത (1.20) ܮ∆ ⇒തതതത ൌ ܮെ ܮതതതതതതതത ܮ ൌത െ ܮതത ܮ ൌത െ ܮത ൌ 0 Với: ∆ ܮൌ ∞: độ bất định. ∆ ܮൌ 0: độ chính xác cao. 1.4.2. Trị trung bình của bình phương độ lệch ሻܮሺ∆ ଶതതതതതതത ൌ ሺ ܮെ ܮതሻଶതതതതതതതതതതത ܮ ൌଶ ܮܮ2 െത ൅ ሺܮതሻ ଶതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ܮ ൌଶഥ ܮ2 െܮതതത ܮሺ ൅തሻ ଶതതതതതത ܮ ൌଶഥ െ 2ሺܮതሻଶ ܮሺ ൅തሻ ଶ ⇒ ሺ∆ܮሻ ଶതതതതതതത ܮ ൌଶഥ ܮሺ െതሻ ଶ 0 (1.21) Với: ሻܮሺ∆ଶതതതതതതത : trị toàn phương trung bình ሻܮൌ ටሺ∆ ܮߜ ଶതതതതതതത : thăng giáng hoặc là độ bất định của phép đo đại lượng L. 1.4.3. Hệ thức bất định Heisenberg Toán tử ܮ෠và ܯ෡ được đo chính xác đồng thời khi và chỉ khi: ൣ ܯ ,෠ܮ෡൧ ൌ 0 ݄ܽ ݕൣ ܮ ܯ ,෠෡൧ ൌ݅ ܥመ (1.22) Với: ܥመ là toán tử hermite Hệ thức bất định Heisenberg: ሻܮሺ∆ଶതതതതതതത. ሺ∆ܯሻ ଶതതതതതതതത ൐ ሺ஼̅ሻ మ ସ (1.23) Hay ൐ ܯߜ .ܮߜ ஼̅ ଶ (1.24) a. Hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng ܲߜ .ݔߜ ௫ ൒ ħ ଶ (1.25) Nếu tọa độ được xác định một cách chính xác thì xung lượng sẽ hoàn toàn bất định và ngược lại, hay nói cách khác tọa độ và xung lượng của hạt vi mô không đồng thời đo được chính xác. Chính vì thế không thể xác định được quỹ đạo chính xác của hạt, đây chính là ý nghĩa quan trọng của hệ thức bất định Heisenberg đối với tọa độ và xung lượng. 11 b. Hệ thức bất định Heisenberg đối với năng lượng và thời gian ൒ ݐߜ .ܧߜ ħ ଶ hay ∆ .ܧ∆ݐ ൒ ħ ଶ (1.26) Hệ thức này có ý nghĩa như sau: - Nếu trạng thái của hạt có năng lượng càng xác định (ܧ∆ càng nhỏ) thì thời gian sống của hạt càng lâu (ݐ∆ càng lớn) và ngược lại. Riêng trạng thái có năng lượng xác định (trạng thái dừng) là trạng thái có thời gian sống vô hạn. - Nếu hạt ở trạng thái kích thích trong khoảng thời gian ݐ∆ thì độ bất định về năng lượng là ܧ∆ . - Khi đo năng lượng trong khoảng thời gian ݐ∆ thì gặp phải một sai số là ܧ∆ 1.5. PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Phương trình Schrodinger là phương trình cơ bản của Cơ học lượng tử, vai trò của nó trong Cơ học lượng tử cũng giống như vai trò của phương trình Newton trong cơ học cổ điển. 1.5.1. Phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Tiên đề V trong Cơ học lượng tử đưa ra một phương trình tổng quát diễn tả sự thay đổi của hàm trạng thái theo thời gian, phương trình đó gọi là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ݅ ħ డటሺ௥ Ԧ,௧ሻ డ௧ ܪ ൌ߰෡ ݎሺԦ, ݐሻ (1.27) Trong đó, ܪ෡ là Hamiltonian của hệ được định nghĩa như sau: ܪ෡ ൌ ܶ෠ ൅ ܷ෡ ൌ െ ħ మ ଶ௠ ׏ଶ ܷ൅ ݎሺԦ, ݐሻ (1.28) ߰ ݎሺԦ, ݐሻ là hàm mô tả trạng thái của hệ. 1.5.2. Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng: ߰ ௡ ݎሺԦ, ݐሻ ൌ߰ ௡ ݎሺ݁.Ԧሻ ష೔ಶ೙೟ ħ (1.29) Nghiệm của phương trình có dạng: ߰ ௡ ߰ൌ ሻݐ ,ݔሺ ௡ ݁.ሻݔሺ ష೔ಶ೙೟ ħ (1.30) Do tính chất tuyến tính của phương trình nên nghiệm tổng quát của phương trình có dạng khác nhau tùy vào phổ trị riêng gián đoạn hay liên tục: 12 Khi ܪ෡ có phổ trị riêng gián đoạn: ߰ ୬ ሺx, tሻ ൌ ∑ C߰୬ ୬ ሺxሻe ష౟ు౤౪ ħ ൌ ∑ C୬ ߰ሺtሻ ୬ ሺxሻ୬ (1.31) Khi ܪ෡ có phổ trị riêng liên tục: ߰ ୬ ሺx, tሻ ൌ ׬ C ߰୉ ୉ ሺrԦሻe ష౟ు౪ ħ ൌ ׬ C୉ ߰ሺtሻ ୉ ሺrԦሻ dE (1.32) Trong đó, các hệ số C n(t) và CE (t) được xác định từ điều kiện ban đầu. Phương trình Schrodinger có nghiệm ứng với bất kỳ giá trị nào của E, nhưng không phải giá trị nào của ܧ cũng ứng với một trạng thái vật lý, mà chỉ có những trạng thái thỏa mãn các điều kiện tiêu chuẩn của hàm sóng đó là phải đơn trị, liên tục và hữu hạn mới ứng với một trạng thái vật lý. Trong khóa luận này chỉ xét chuyển động 1 chiều. 1.5.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn U(x) I II III -a 0 a x Hình 1.1. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu hữu hạn Nếu hạt chuyển động trên một đường thẳng, thế năng U(x) có dạng biểu diễn trên hình 1.1: ܷ ሺݔሻ ൌ ൜ ݄݅݇0 ܷܽ൑ ݔ ଴ ݄݅݇, ݔ൒ , ܽሺ ܧ൒ܷ ଴ ሻ (1.33) Phương trình Schrodinger trong miền x  a: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.34) Phương trình có nghiệm tổng quát:߮ ூூ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ ሻ ݔ݇ሺ ݏ݋ܿܣ ൌ ሻݔሺ , với ݇ ଶ ൌ ா.ଶ.௠ ħమ Phương trình Schrodinger trong miền x > a: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ሺாି௎ ሺ௫ሻሻ.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.35) 13 Phương trình có nghiệm tổng quát :߮ ܫ ሺݔሻ ߮ൌ ܫܫܫ ሺݔሻ ݁ܥ ൌ ݔܭ ݁ܦ ൅ ݔܭെ , với ܭ2 ൌ ܷെܧሺ ሺ ݔሻ ሻ.2.݉ ħ2 Điều kiện biên: ߮ቊ ܫܫܫ ሺ ݔሻ ஶ ߮0 ൌ ܫ ሺ ݔሻ ି ஶ ൌ 0 Điều kiện liên tục:߮ቊ ܫ ሺ ܽെ ߮ൌ ሻ ܫܫ ሺ ܽെ ߮ሻ ܫܫܫ ܽሺ ߮ൌ ሻ ܫܫܫ ܽሺ ሻ Mặt khác ta có: ߮ቊ ܫ ᇱ ሺܽെ ߮ൌ ሻ ܫܫ ᇱ ሺ ܽെ ߮ሻ ܫܫܫ ᇱ ܽሺ ߮ൌ ሻ ܫܫܫ ᇱ ܽሺ ሻ Từ các điều kiện trên ta suy ra được: ൝ ݉.2.ܧ ħ2 ݊ܽݐ ଶ ܽ݇ሺ ሻ ൌ ݉.2 ħ2 ܷሺ ଴ ሻܧെ ݉.2.ܧ ħ ܿ2 ݐ݋ ଶ ܽ݇ሺ ሻ ൌ ݉.2 ħ 2 ܷെ ܧሺ ଴ ሻ (1.36) Vậy năng lượng của hạt chuyển động trong hố thế có bề sâu hữu hạnܷ ଴ chỉ có thể có một giá trị gián đoạn ܷ൏ ܧ ଴ (E thể hiện tính chất lượng tử). Có thể chứng minh được rằng trong trường hợpܷ൐ ܧ ଴ thì năng lượng thể hiện giá trị liên tục. 1.5.4. Chuyển động của hạt trong giếng thế có chiều sâu vô hạn a. Giếng thế đối xứng  U x x a 0 a Hình 1.2. Chuyển động của hạt trong giếng thế đối xứng Thế năng có dạng biểu diễn trên hình 1.2: ܷ൜ ܷܽ൏ ݔ ൏ ܽെ ݄݅݇,0 ൌ ሻݔሺ ݄݅݇,∞ → ሻݔሺ ܽ൒ ݔ (1.37) Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.38) 14 Phương trình có nghiệm dạng tổng quát là :߮ ܫܫ ሺݔሻ ݏ݋ܿܣ ൌ ݇ሺݔ ሻ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ , với݇ 2 ൌ ݉.2.ܧ ħ 2 Điều kiện biên: ߮൜ ሺ ܽെ ሻ ߮0 ൌ ܽሺ ሻ ൌ 0 Vậy hàm sóng của hạt có dạng:߮ ሺݔሻ ൌ ቐ ଵ ܿ√௔ ݏ݋ ௡గ௫ ଶ௔ , ݊ൌ 3,5,7 … ଵ √௔ ݊݅ݏ ௡గ௫ ଶ௔ , ݊ൌ 2,4,6 … Năng lượng của hạt ở trạng thái thứ n: ܧ௡ ൌ ħ మ ଶ௠ గ మ ௡ మ ସ௔ మ ሺ ݊ൌ 1,2,3. . ሻ (1.39) b. Giếng thế không đối xứng U (x) x 0 a Hình 1.3. Chuyển động của hạt trong giếng thế không đối xứng Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng U(x) có giá trị như sau:ܷ ሺݔሻ ൌ ൜ ܽ൑ ݔ ൑ 0 ݄݅݇,0 ݄݅݇,∞ ݔ൏ 0 và ܽ൐ ݔ (1.40) Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong hố thế: డ మ ఝሺ௫ሻ డ௫ మ ൅ ா.ଶ.௠ ħ߮మ ሺݔሻ ൌ 0 (1.41) Phương trình có dạng tổng quát là:߮ ሻݔ݇ሺ݊݅ݏܤ ൅ ሻ ݔ݇ሺ ݏ݋ܿܣ ൌ ሻݔሺ , với݇ 2 ൌ ݉.2.ܧ ħ 2 Điều kiện biên: ߮൜ ሺ 0ሻ ߮0 ൌ ܽሺ ሻ ൌ 0 Vậy hàm sóng của hạt ở trạng thái dừng là:߮ ሺݔሻ ൌ ට ଶ ௔ ݊݅ݏ ௡గ௫ ௔ Ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hố thế là : ܧ௡ ൌ ħ మ ଶ௠ గ మ ௡ మ ௔ మ ሺ ݊ൌ 1,2,3. . ሻ (1.42) 15 Hay ܧ௡ ݊ൌ ଶ ܧ଴, trong đó ܧ଴ ൌ గ మħ మ ଶ௠௔ మ là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản. Như vậy, hạt ở trong hố có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng: E଴ , 4E଴ , 9E଴ , 16E଴ … 1.5.5. Dao động tử điều hòa Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa: ௗ మ టሺ௫ሻ ௗ మ ௫ ൅ ଶ௠ ħమ െ ܧቀ ௠ఠ మ ௫ మ ଶ ߰ቁ ሺݔሻ ൌ 0 (1.43) Năng lượng của dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn và được xác định bởi công thức: ܧ௡ ൌ ħ߱ሺ݊ ൅ ଵ ଶ ሻ (1.44) Với n là một số nguyên dương. Mức năng lượng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n = 0 là ܧ଴ ൌ ħఠ ଶ 1.6. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1.6.1. Đạo hàm của toán tử theo thời gian Đạo hàm theo thời gian của toán tử ܮ෠, kí hiệu ˆ dL dt , là một toán tử ܣመ được xác định sao cho giá trị trung bình ̅ܣ của nó bằng đạo hàm theo thời gian của giá trị trung bình ܮത của toán tử ܮ෠. Nếu ܮ߰׬ ൌ ത ∗ ܣൌ ݔ݀߰መ ௗሺ௅ തሻ ௗ௧ thì ܣመ ൌ ௗ௅ ෠ ௗ௧ ⇒ ௗ௅ ෠ ௗ௧ ൌ డ௅ ෠ డ௧ ܪ൛ ൅ܮ ,෡෠ൟ , với ܪ൛ܮ ,෡෠ൟ ൌ ௜ ħ ܪ൫ܮ෡෠ െ ܮܪ෠෡൯ là dấu ngoặc Poátxông lượng tử. Phương trình này được gọi là phương trình Heisenberg. Nếu toán tử ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian thì: ௗ௅ ෠ ௗ௧ ܪ൛ ൌܮ ,෡෠ൟ (1.45) 1.6.2. Phương trình chuyển động đối với x Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử ܮ෠ ൌ ݔො với ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có: ௗ௫ ௗ௧ ܪ൛ ൌݔ ,෡ොൟ (1.46) Với ܪ෡ ൌ ௉෠ೣ మ ା ௉෠ ೤ మ ା ௉෡ ೥ మ ଶ௠ ݕ ,ො ݔሺ ܷ൅ො, ݖ̂ሻ 16 Vì ൛ܪݔ ,෡ොൟ ൌ ௜ ଶ௠ħ ሺെ2݅ħܲ ෠௫ ሻ ൌ ௉ ෠ೣ ݊ ௠ ݊ê : ௗ௫ ௗ௧ ൌ ௉ ෠ೣ ௠ (1.47) Biểu thức (1.47) chính là phương trình chuyển động đối với x. 1.6.3. Phương trình chuyển động đối với Px Áp dụng phương trình Heisenberg, chọn toán tử ܮ෠ ൌܲ ෠௫ với ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian, ta có: ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ܪ൛ ൌ෡,ܲ ෠௫ ൟ (1.48) Vớiܪ෡ ൌ ௉෠ೣ మ ା ௉෠ ೤ మ ା ௉෡ ೥ మ ଶ௠ ݕ ,ො ݔሺ ܷ൅ො, ݖ̂ሻ Vìܲൣ ෠௫ , ܷሺݔሻ൧ ൌ ሺെ݅ħሻ డ௎ డ௫ ܷ⇒ൣ ሺݔሻ,ܲ ෠௫ ൧ ൌ݅ ħ డ௎ డ௫ Nên ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ൌ ௜ ħ ħ݅ቀ డ௎ డ௫ ቁ ൌ െ డ௎ డ௫ Vậy ௗ௉ ෠ೣ ௗ௧ ൌ െ డ௎ డ௫ (1.49) Biểu thức (1.49) được gọi là phương trình chuyển động đối vớiܲ ෠௫ . 1.6.4. Tích phân chuyển động Trong Cơ học lượng tử, nếu toán tử ܮ෠ có đạo hàm theo thời gian bằng không : ௗ௅ ෠ ௗ௧ ൌ 0 thì đại lượng L được gọi là tích phân chuyển động. Theo phương trình Heisenberg nếu L là tích phân chuyển động thì: డ௅ ෠ డ௧ ܪ൛ ൅ܮ ,෡෠ൟ ൌ 0 (1.50) Trường hợp nếu ܮ෠ không phụ thuộc rõ vào thời gian thì ta có: ܪ൛ܮ ,෡෠ൟ ൌ 0 Nghĩa là đối với tích phân chuyển động (không phụ thuộc rõ vào thời gian) thì dấu ngoặc Poátxông lượng tử bằng không. 1.7. LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 1.7.1. Khái niệm Để biểu diễn trạng thái của một hệ người ta sử dụng hàm sóng߰ ௔ ሻݐ ,ݔሺ là hàm của tập hợp các tọa độ x ở thời điểm t. Trong đó: a là các đại lượng vật lý (các lượng tử số) x là chỉ số biểu diễn 17 Trong biểu diễn tọa độ Khi hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ, thời gian và mật độ xác suất tìm thấy hạt: ߰ห ௔ ሻหݔሺ ଶ thì hàm sóng đó được gọi là hàm của tọa độ và ta nói hàm đó đã được cho trong biểu diễn tọa độ hay trong x- biểu diễn. Trong biểu diễn tọa độ, các toán tử có dạng: ݔො ൌ ܲ ;ݔ ෠௫ ߲߲ħ݅െ ൌݔ ܮ ;෠ ௭ ߲߲߮ħ݅െ ൌ ܮ ;෠ଶ ൌ െħ ଶ ∆߮,ఏ Xét một toán tử ˆL biểu diễn một biến số động lực có hàm riêng߮ ௡ ሻݔሺ . Phương trình trị riêng có dạng: ܮ߮෠ ௡ ߮ܮ ൌ ሻݔሺ ௡ ሻݔሺ (1.51) Trong đó:߮ ௡ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܮ෠ trong x - biểu diễn ߮ ௡ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong L - biểu diễn Cn là hàm sóng trong L - biểu diễn Với : ܥ௡ ߮׬ ൌ ௡ ߰∗ ௔ ݔ ݀ሻݔሺ ߰ ௔ ሺݔሻ ൌ ∑ ܥ߮௡ ௡ ሻݔሺ௡ 1.7.2. Biểu diễn năng lượng (E – biểu diễn) Xét trạng thái của một hạt chuyển động trong trường ngoài có năng lượng âm, như vậy trị riêng của năng lượng En là gián đoạn. Phương trình trị riêng có dạng: ܪ߮෡ ௡ ሺݔሻ ൌ ܧ߮௡ ௡ ሻݔሺ (1.52) Trong đó:߮ ௡ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ܪ෡ trong x- biểu diễn ߮ ௡ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong E - biểu diễn ܥ௡ ߮׬ ൌ ௡ ߰∗ ௔ ݔ݀ሻݔሺ : là hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong E –biễu diễn. ܥ௡ ૛ là xác suất để năng lượng đạt giá trị ܧ௡ 1.7.3. Biểu diễn xung lượng (P – biểu diễn) Xét toán tử xung lượng có hàm riêng߮ ௉ ሻݔሺ ứng với trị riêng p. Phương trình trị riêng có dạng: ܪ߮෡ ௉ ߮ܲൌ ሻݔሺ ௉ ሻݔሺ (1.53) Hàm sóng߰ ሻݔሺ theo hàm riêng toán tử xung lượng߰ ௉ ሻݔሺ: ߰ ܥ ׬ ൌ ሻݔሺ߰௉ ௉ ݌݀ሻݔሺ (1.54) 18 Trong đó:߰ ௉ ሻݔሺ là hàm sóng trong biễu diễn tọa độ ߮ ௉ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tửܲ ෠ trong x- biểu diễn ߮ ௉ ∗ ሻݔሺ là hàm riêng của toán tử ݔො trong P – biểu diễn ܥ௉ ߮׬ ൌ ௉ ߰∗ ௉ ݔ݀ሻݔሺ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn. ܥ௉ ૛ là xác suất để năng lượng đạt giá trị p 1.7.4. Biểu diễn momen xung lượng (Lz – Biểu diễn) Xét toán tử hình chiếu momen động lượng trên trục x có hàm riêng߮ ௠ ሻݔሺ và trị riêng ܮ௭. Phương trình trị riêng có dạng: ܮ෠ ߮௭ ௠ ሺݔሻ ൌ ܮ ߮௭ ௠ ሻݔሺ (1.55) Trong đó:߰ ௠ ሺݔሻ ൌ ଵ √ଶగħ݁ ೔ ħ ௉௫: hàm sóng trong biễu diễn tọa độ ߮ ௠ ൌ ଵ ݁ଶగ ௜௠ఝ: là hàm riêng của toán tử ܮ෠ ௓ trong x - biểu diễn ߮ ௠ ∗ ሻݔሺ: hàm riêng của toán tử ݔො trong L z - biểu diễn ܥ௠ ߮׬ ൌ ௠ ݉߰∗ ሺ ݔݔ݀ሻ : hệ số khai triển hay hàm sóng của trạng thái a trong P – biễu diễn. ܥ௠ ૛ là xác suất để momen động lượng đạt giá trị Lz KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về Cơ học lượng tử bao gồm một số vấn đề như sau: - Tı̀m hiểu cơ sở vật lý của cơ học lượng tử, khái niệm hàm sóng của hạt, toán tử, trị trung bı̀nh của các biến số động lực, phương trı̀nh Schrodinger, phương trı̀nh chuyển động trong Cơ học lượng tử và lý thuyết biểu diễn. - Đồng thời đưa ra các tı́nh chất của toán tử để tı́nh toán; các công thức để: xác định hàm sóng, tı́nh trị trung bı̀nh, giải phương trình Schrodinger, tı́nh năng lượng, tı̀m xác suất tı̀m thấy hạt và mật độ dòng xác suất… Đây sẽ là cơ sở cho việc ứng dụng phần mềm Mathematica giải các bài toán về Cơ học lượng tử. 19 Chương 2. GIỚI THIỆU TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 2.1. GIỚI THIỆU SƠ BỘ VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH MATHEMATICA 2.1.1. Giới thiệu Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán cụ thể với thời gian nhanh nhất là yêu cầu cấp thiết. Thế hệ ngôn ngữ giải tích đầu tiên là Macsyma, Reduce…ra đời từ những năm 60 của thế kỷ XX. Các ngôn ngữ này chủ yếu dùng cho bài toán giải năng lượng cao. Nhược điểm của chúng là định hướng trên các máy tính lớn. Thế hệ tiếp theo là Maple, Mathlab, Mathematica… Các ngôn ngữ này có ưu điểm là chạy nhanh hơn và chấp nhận bộ nhớ nhỏ hơn chạy hoàn hảo trên máy tính cá nhân. Nổi bật lên là Mathematica với ưu điểm vượt trội về giao diện thân thiện, khả năng vẽ đồ thị siêu việt và khả năng tính toán không thua kém gì các ngôn ngữ khác. Mathematica là một công cụ mạnh với hơn 700 hàm có trong thư viện của hàm để giải quyết các vấn đề nêu trên. Mathematica là môi trường ngôn ngữ tích hợp đầy đủ nhất cho các tính toán kỹ thuật được sử dụng cho các ngành khoa học vật lý, công nghệ, toán học và các lĩnh vực khác của kỹ thuật máy tính. Mathematica là thế hệ thứ 3 của dạng ngôn ngữ dựa trên nguyên lý xử lý các dữ liệu tượng trưng. Nó là ý tưởng của Stephen Wolfram, người được xem là nhà sáng tạo quan trọng nhất trong lĩnh vực khoa học tính toán. Version đầu tiên của Mathematica được công bố ngày 2361988. Trong những năm tiếp theo, việc sử dụng Mathematica ngày càng nhiều nên Stephen Wolfram đã cho ra đời nhiều phiên bản như Mathematica 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0… Mathematica ngoài thế mạnh về ngôn ngữ tự nhiên, gần gũi được viết dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên trong định dạng tự do và chuyển hoá điều kiện thành cú pháp ngôn ngữ riêng của mathematica. Các phiên bản về sau có thêm nhiều chức năng mới như về lý thuyết xác suất thống kê, khả năng phân tích hình ảnh, đồ hoạ, lồng ghép...Trong giới hạn thời gian và khả năng cho phép chúng tôi xin giới thiệu với các bạn các lưu ý và những thao tác cần thiết trong việc khai báo khi tính toán và vẽ đồ thị khi làm việc với phần mềm mathematica 8.0 . 20 Hình 2.1. Biểu tượng phần mềm Mathematica 8.0 2.1.2. Giao diện tương tác của Mathematica Mathematica đưa ra một giao diện rất thân thiện với người được sử dụng, được đặt tên là bản ghi (notebook – thường được gọi tắt là nb). Các bản ghi là dạng của số biểu diễn một lượt sử dụng Mathematica bao gồm đầy đủ các ghi chép cả về chương trình nguồn, cả về kết quả thực hiện trên cùng một bản ghi và được ghi lại dưới dạng một file riêng của Mathematica có đuôi là nb. Các bản ghi được tổ chức thành các ô (cell) một cách có trật tự và thứ bậc. Ta có thể nhóm một nhóm ô lại sao cho chỉ thấy ô đầu của nhóm ô đó (với số nhóm lồng tùy ý). Mathematica còn đưa ra một giao diện phụ là các bảng lệnh (palettes) và các nút lệnh (Button). Người sử dụng chỉ cần nhấp chuột rất đơn giản và có thể tùy biến theo ý mình. 2.1.3. Khai thác thư viện của Mathematica Một trong những kĩ năng quan trọng mà người học cần thành thạo khi sử dụng Mathematica là khai thác thư viện của Mathematica. Có thể nói thư viện của Mathematica chứa một lượng lớn kiến thức toán học khổng lồ với các định nghĩa khá chi tiết giúp người học có thể tự học và làm việc trên Mathematica. Việc khai thác thư viện tiến hành cũng rất đơn giản trong mục Help ( Help Browser). Trong đó có một số phương pháp khai thác cơ bản : Khai thác đối tượng theo tên: 21 - Gõ chữ cái (ví dụ chữ A) nếu đối tượng cần tìm hiểu có tên bắt đầu bằng chữ cái đó (chữ A). - Gõ tên đối tượng vào mục tìm kiếm nếu biết tên đối tượng. Khai thác đối tượng theo chuyên mục (vẽ hình, tính giải tích,…) - Tìm đối tượng trong các chuyên mục của Built-in Functions,…Trong các chuyên mục này đều có định nghĩa, giới thiệu cú pháp, hướng dẫn và ví dụ minh họa để bạn đọc tham khảo. 2.1.4. Các tính năng của Mathematica a. Khả năng tính toán bằng số Mathematica cho phép tính toán một cách trực tiếp giống như dùng một Calculator với độ chính xác bất kì một biểu thức phức tạp nào bằng cách viết biểu thức và nhấn tổ hợp phím Shift + Enter . b. Khả năng tính toán với biến tượng trưng Mathematica cho phép giải các phương trình hay tính toán các biểu thức mà nghiệm hay các kết quả được biểu diễn bằng biến tượng trưng : Ví dụ: Inሾ1ሿ: ൌ ׬√ݔ√ ܽ൅ ݀ݔ ݔ Outሾ1ሿ ൌ ଵ ସ ሺ√ݔ√ ܽ൅ ݔሺ ܽ൅ 2ݔሻ െܽ ଶ Logሾ√ ݔ൅ √ ܽ൅ ݔ ሿሻ c. Khả năng đồ họa Mathematica cho phép vẽ tất cả các dạng đồ thị có thể có của hàm số với cấu trúc lệnh đơn giản nhất như đồ thị 2 chiều, đồ thị 3 chiều, đồ thị đường viền, đồ thị mật độ… 2.2. CÁC QUY TẮC CƠ BẢN CỦA MATHEMATICA VỀ NGỮ PHÁP Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, các hàm của nó đều bắt đầu bằng chữ hoa. Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông và được dùng để nhóm các toán tử, các vecto, các ma trận. Cú pháp hình thức như sau: Hàmexpr. Có thể lấy ví dụ như: Cosx, Sinx. Danh mục được liệt kê trong dấu {…}. Ví dụ : {1,2,3…}, {Sint,Cost}... Dấu (…) dùng để nhóm các biểu thức lại. Ví dụ: Sinx(x+3) Để thực hiện một câu lệnh, ta dùng tổ hợp phím “Shift + Enter”. 22 Phép nhân được hiển thị bởi một khoảng trắng hoặc bởi kí tự “ ”. Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dưới. Lệnh Nexpr dùng để hiện thị kết quả thành số thập phân. Ví dụ: nếu bạn gõ Cos1 thì kết quả hiển thị chỉ là Cos1, nếu bạn gõ NCos1,6 thì kết quả sẽ là 0.540302. Không được chạy nhiều chương trình cùng một lúc vì các biến vẫn còn lưu giá trị của nó, khi đó kết quả của bạn sẽ bị sai, để khắc phụ...