Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ thức vừa chứngminh nói lên độ dài của dây AB phải nhỏ hơn hay bằng độ dài cungAB.. Xéthiệu: Trang 12 Ta chứng minh vế phải của hai đẳng thức trên bằng nhau.. Do đó tam giác z1z2z3là
BÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC Ngày 17 tháng 1 năm 2022 2 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Số phức, dãy số phức và chuỗi số phức 7 2 Hàm phức 25 3 Hàm chỉnh hình và lí thuyết Cauchy 49 4 Lý thuyết thặng dư 99 Tài liệu tham khảo chính 149 3 4 Lời nói đầu Tác giả 5 6 Chương 1 Số phức, dãy số phức và chuỗi số phức Bài 1.1 Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác, dạng mũ: (1 + i√3)3 √ √4 a) −1−i; b) 1+i 3; c) ; d) ( 3+i) (1−i) −1 − i Lời giải √ 3π a) Ta có | − 1 − i| = 2, arg(−1 − i) = − Do đó 4 √ 3π 3π √ −i 3π −1 − i = 2(cos(− ) +i sin(− )) = 2.e 4 4 4 √ √π b) Ta có |1 + i 3| = 2, arg(1 + i 3) = Do đó 1 + i√3 = 2(cos π + i sin π ) = 2.ei π 3 3 3 3 7 (1 + i√3)3 |1 + i√3|3 8 √ c) Ta có = = √ = 4 2 và −1 − i | − 1 − i| 2 (1 + i√3)3 √ π 3π 7π arg = 3 arg(1 + i 3) − arg(−1 − i) = 3 + = −1 − i 34 4 Do đó (1 + i√3)3 √ 7π 7π √ i 7π = 4 2 (cos + i sin ) = 4 2.e 4 −1 − i √ 4 √4 √ 4 4 d) Ta có |( 3 + i) (1 − i)| = 2 2 = 16 2, và arg((√3 + i)4(1 − i)) = 4 arg(√3 + i) + arg(1 − i) = 4 π − π = 5π 6 4 12 Vậy (√3 + i)4(1 − i) = 16√2.(cos 5π +i sin 5π ) = 16√2.ei 12 5π 2 12 12 Bài 1.2 Rút gọn: a) z = 1−i ; b) z = (1 + i√3)3 1+i Lời giải a) z = 1 − i (1 − i)2 −2i = = = −i 1+i 2 2 √ π π b) 1 + i 3 = 2(cos − i sin ) √ 3 3 z = (1 + i 3)3 = 8(cos π + i sin π) = −8 2 Bài 1.3 Chứng minh rằng |z1 + z2| ≥ 1 (|z1| + |z2|) z1 + z2 2 |z1| |z2| Lời giải Đặt z1 = r1(cos α + i sin α), z2 = r2(cos β + i sin β) Khi đó V T = (r1 cos α + r2 cos β)2 + (r1 sin α + r2 sin β)2 = r21 + r22 + 2r1r2 cos(α − β) 8 V P = 1 (r1+r2) (cos α + cos β)2 + (sin α + sin β)2 = 1 (r1+r2) 2 + 2 cos(α − β) 2 2 2 Từ đó bình phương hai vế dễ dàng suy ra bất đẳng thức đúng Bài 1.4 Chứng minh |1 − z1.z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|2) Lời giải Chú ý rằng |Z|2 = Z.Z¯ Ta có |1 − z1.z2|2 − |z1 − z2|2 = (1 − z1.z2)(1 − z1.z2) − (z1 − z2)(z1 − z2) = (1 − z1.z2)(1 − z1.z2) − (z1 − z2)(z1 − z2) = 1 − z1z2 − z1z2 + z1z1z2z2 − z1z1 + z1z2 + z2z1 − z2z2 = 1 + |z1|2|z2|2 − |z1|2 − |z2|2 = (1 − |z1|2)(1 − |z2|2) 2 Bài 1.5 Chứng minh |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2) Lời giải Ta có |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) 9 = (z1 + z2)(z1 + z2) + (z1 − z2)(z1 − z2) = z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2+ z1z1 − z1z2 − z2z1 + z2z2 = 2(|z1|2 + |z2|2) Cách 2 Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di V T = |(a + c) + i(b + d)|2 = |(a − c) + i(b − d)|2 = [(a + c)2 + (b + d)2] + [(a − c)2 + (b − d)2] 2 = 2[(a2 + b2) + (c2 + d2)] = 2(|z1|2 + |z2|2) = V P Bài 1.6 Tìm căn các số phức sau: a) √3 1; b) √4 1; c) √3 −2 + 2i Lời giải a) 1 = 1.e0i nên √3 1 = e(2kπi)/3 (k = 0, 1, 2) hay √3 −1 √3 −1 √ 3 1 = 1, + i , − i 2 22 2 b) √4 −1 = e 4 π+2kπ (k = 0, 1, 2, 3) hay √ √ √ √ √ √√ √ √4 −1 = 2 + i 2 , − 2 + i 2 , − 2 − i 2 , 2 − i 2 2 22 22 22 2 c) −2 + 2i = √8ei 43π Do đó (k = 0, 1, 2) √3 −2 + 2i = √2ei 12 3π+8kπ Vậy √3 −2 + 2i = √2ei 4π , √2ei 12 11π , √2ei 12 19π 10