TS N Ô N G Q U Ố C C H I N H TÔPÔ ĐẠI CƯƠNG NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM Mã số: 01.02 -17/18 - Đ H 2003 M Ụ C LỤC Lời nói đ ầ u 5 C h ư ơ n g 0 N h ữ n g kiến t h ứ c c ơ sỏ 6 §1 C á c phép toán về tạp hợp 6 §2 Quan h ệ thứ tự 8 §3 Tiên đ ề c h ừ n lo C h ư ơ n g 1 K h ô n g g i a n m ê t r i c 12 §1 Không gian mêtric, sụ hội trụ ừ o n g k h ô n g gian mêtric 12 §2 Tập hợp m ỏ v à t ậ p hợp đ ó n g ló §3 Ánh xạ liên t ụ c giữa c á c không gian mêtric 21 §4 Không gian mêtric đ ầ y đ ủ 24 §5 Tập c o m p á c 37 Bài t ạ p 50 C h ư ơ n g 2 K h ô n g gian t ô p ô 34 §1 Cấu trúc t ô p ô 34 §2 Điểm giới hạn, p h ầ n trong, phần ngoài, biên v à bao đóng của một tập 61 §3 C ơ sở c ủ a k h ô n g gian t ô p ô 68 Bài t ậ p 75 C h ư ơ n g 3 Á n h x ạ liên t ụ c , k h ô n g g i a n c o n , k h ô n g gian tích, không gian thương 79 §1 Ánh xạ liên tục - p h é p đ ồ n g phôi 79 3 §2 So s á n h hai t ô p ô 85 §3 Tôpô xác định bởi một hừ ánh xạ 86 §4 C á c tiên đ ề t á c h 89 §5 Không gian con của một không gian t ô p ô 97 §6 Tích Đ ề c á c c ủ a c á c k h ô n g gian t ô p ô 102 §7 Tổng trục tiếp của một hừ không gian t ô p ô 114 §8 Tôpô thương nó §9 Tôpô mêtric không gian mêtric hoa 117 Bài t ậ p 122 C h ư ơ n g 4 K h ô n g g i a n c o m p â c , k h ô n g g i a n liên t h ô n g 127 §1 Không gian compổc 127 §2 Không gian c o m p ắ c địa phương 136 §3 C o m p á c hoa 141 §4 Không gian liên t h ô n g 144 B à i t ạ p 153 4 Lòi n ó i đ á u Giáo trình "Tôpỏ đại cương" trình bày những khái niệm cơ bản của tôpô, cách xây dựng tôpô, phân loại các không gian tôpô, sự đồng phôi giữa các khôn", gian tôpô và xét trường hợp riêng của không gian tốpõ như không gian compắc, không gian liên thông, không gian mêtric, Đây là những kiến thức cơ sở cần thiết cho nhiều lĩnh vực toán hừc khác nhau như Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo và tích phân, Tôpỏ đại số, Hình hừc vi phân, Giáo trình được viết trên cơ sở những bài giảng cho sinh viên năm thứ 3 hệ Cử nhân n g à n h T o á n và sinh viên h ệ Sau đ ạ i hừc n g à n h Toán của khoa Toán, trường Đ ạ i hừc Sư phạm - Đ ạ i hừc Thái Nguyên Giáo trình bao g ồ m 4 c h ư ơ n g , trong m ỗ i chương có nêu nhiều ví dụ minh hoa và có phần bài tập cơ bản để sinh viên tự giải Trong lần xuất bản đầu tiên này chắc rằng không tránh khỏi thiếu sót Chúng tôi mong nhận được sự góp ý của bạn đừc TÁC GIẢ 5 Chương 0 N H Ữ N G KIÊN THỨC c ơ S Ỏ §1 C Á C PHÉP TOÁN VỀ TẬP H Ợ P Ì Giao, hợp, hiệu Đ ố i với các tập con A, B, c của tập hừp X ta có: A u B = B u A, A n B = B n A, A u (B u C) = (A u B) u c, A n (B n C) = (A n B) n c, A n (B u C) = (A n B) u (A n C), A u (B n C) = (A u B) n (A u C), X \ (A u B) = (X \ A ) n (X \ B), (Công thức De Morgan) X \ (A n B) = (X \ A ) u (X \ B), (Công thức De Morgan) A \ B = A n (X\B), (A\B)\C = A\(BUC), X\(A\B) = BU(X\A) Giả sử ( A j ) i e j và ( B k ) k e K là hai hừ những tập con tùy ý I hừp X Khi đó: isl keK 6 íìAi U n B * =fì(AiUBk), J VksK J isl ksK x \ u A i = p | ( X \ A i ) (Công thức De Morgan m ở rộng) isi J i€i X \ ỉ P l A i = | J ( X \ A i ) (Công thức De Morgan m ở rộng) isl / isl 2 Tích Đềcác Giả sử, X và Y là những tập hợp, X x Y là tích Đềcác của chúng Với u , , ụ c X và V , , V j C Y ta có: (U,xv,) n (U2XV2) = (U, n U2)X(V, n Vj), (U,xvẵ) u (U2XV2) c (U, u U2)X(V, u v 2 ) 3 Ánh xạ Cho ánh xạ f : X - > Y Đ ố i với bất kỳ A, B c X ta có: f(A u B) = f(A) u f(B), f(A n B) c f(A) n f(B), f(A) \ f(B) c f(A \ B) Giả sử ( A i ) i e i là hừ những tập con tùy ý của tập hừp X K h i đó: f(UAi) = Ùf' i-I i 1 f(nA,)cfìf(Aj) L-I Đ ố i với bất kỳ M , N c Y ta có: f l ( M u N) = r ' ( M ) u r ' ( N ) , 7 r ' ( M n N) = r ' ( M ) n r'(N), r '(M \ N) = r ' ( M ) \ r'(N), f(r'(M)) = M n f(X), Giả sử ( M i ) , e i là hừ những tập con tùy ý của tập hóp Y K h i đó: r'ÍUMiì = Url(Mi), i ì ) iì í =ni'"(M,) -Ì r ì M ; v i ! J isl §2 Q U A N HỆ THỨ Tự Quan hệ hai ngôi < trên tập hợp X được gừi là một quan hệ thứ tự nếu các điều kiện sau thỏa m ã n : a) Phản xạ: X < X , Vx e X b) Phản đ ố i xứng: Vx, y e X , nếu X < y và y < X thì X = y c) Bắc cầu: Vx, y, z e X , nếu X < y và y < z thì X < z Tập hợp X đã trang bị m ộ i quan hệ thứ tự < được gừi là tập sắp thứ tự Nếu X < y, ta nói X đứng trước y, hay X nhỏ hơn hoặc bang y Khi X < y và X + y, tã sẽ viết X < y Ta nói hai phần tử X và y trong X là so sánh được nếu X < y hoặc y < X Cho X là tập sắp thứ tự Phẩn tử a e x được gừi là phần tử cực tiểu (lương ứng cực đại) trong X , nếu Vx e X , điều kiện X < a (tương ứng a < X) kéo theo X = a Trong một táp sắp thứ tự không nhát thiết phải luôn có phần tử cực tiêu (cực đại), và cũng có thể có nhiêu s