Đang tải... (xem toàn văn)
Khiđó M, ρ cũng là không gian metric và được gọi là một không gian con củakhông gian metric X, ρ.1.1.2 Sự hội tụĐịnh nghĩa 1.4.. Trong không gian R các số thực với metric thông thườngρx,
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH HÀM NHIỀU BIẾN 1 Mục lục 1 Tôpô và hàm liên tục trên Rn 4 1.1 Tôpô trên Rn 4 1.1.1 Không gian metric 4 1.1.2 Sự hội tụ 5 1.1.3 Tập mở và tập đóng 7 1.1.4 Chuẩn trên không gian vectơ 12 1.1.5 Metric sinh bởi chuẩn 13 1.1.6 Chuẩn tương đương 15 1.1.7 Nguyên lý Cauchy 17 1.1.8 Tập compact 18 1.1.9 Nguyên lý Cantor 19 1.2 Hàm liên tục trên Rn 20 1.2.1 Hàm vectơ n biến 20 1.2.2 Giới hạn của hàm vectơ 21 1.2.3 Hàm liên tục 23 1.2.4 Các tính chất của hàm liên tục trên tập compact và trên tập liên thông 24 1.2.5 Hàm liên tục theo từng biến 26 2 1.2.6 Giới hạn lặp 26 2 Phép tính vi phân trên Rn 32 2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một 32 2.1.1 Định nghĩa 32 2.1.2 Đạo hàm riêng 35 2.1.3 Đạo hàm theo hướng 37 2.1.4 Công thức số gia hữu hạn 38 2.1.5 Các phép tính về đạo ánh 38 2.1.6 Biểu diễn đạo hàm bởi ma trận 38 2.1.7 Đạo hàm riêng của hàm hợp 39 2.1.8 Ứng dụng của khái niệm đạo hàm 40 2.2 Hàm ngược và hàm ẩn 41 2.3 Đạo hàm và vi phân cấp cao 43 2.3.1 Đạo hàm riêng cấp cao 43 2.3.2 Đạo hàm và vi phân cấp hai 45 2.3.3 Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến 46 2.4 Cực trị hàm nhiều biến 47 2.4.1 Cực trị tự do 47 2.4.2 Cực trị có điều kiện 51 2.4.3 Phương pháp 1: đưa về bài toán tìm cực trị tự do 52 3 Tích phân bội Riemann 57 3 Chương 1 Tôpô và hàm liên tục trên Rn 1.1 Tôpô trên Rn 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1 Cho tập X khác rỗng Hàm ρ : X × X → R được gọi là một metric (hay khoảng cách) trên X nếu các tính chất sau được thoả mãn: i, ρ(x, y) ≥ 0∀x, y ∈ X ; ρ(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y; ii, ρ(x, y) = ρ(y, x)∀x, y ∈ X; iii, ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z)∀x, y, z ∈ X Định nghĩa 1.2 Cặp (X, ρ) xác định như trên được gọi là một không gian metric Ví dụ 1.1 Hàm ρ : R × R → R cho bởi ρ(x, y) = |x − y| với x, y ∈ R là một metric trên R Ví dụ 1.2 Hàm ρ : R2 × R2 → R cho bởi ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 4 với x = (x1, x2); y = (y1, y2) ∈ R2 là một metric trên R2 Kiểm tra điều kiện iii, với x = (x1, x2); y = (y1, y2); z = (z1, z2) ∈ R2: ρ2(x, z) = (x1 − z1)2 + (x2 − z2)2 = (x1 − y1 + y1 − z1)2 + (x2 − y2 + y2 − z2)2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 + 2(x1 − y1)(y1 − z1) + 2(x2 − y2)(y2 − z2) ≤ (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 + 2 (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 2 = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (y1 − z1)2 + (y2 − z2)2 = (ρ(x, y) + ρ(y, z))2 Sử dụng bất đẳng thức |ab + cd| ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric (X, ρ), M là tập con của X Khi đó (M, ρ) cũng là không gian metric và được gọi là một không gian con của không gian metric (X, ρ) 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa 1.4 Giả sử {xn} là dãy trong không gian metric (X, ρ) Ta nói điểm x ∈ X là giới hạn của {xn} nếu lim ρ(xn, x) = 0 n→∞ hay ∀ϵ > 0∃nϵ sao cho ρ(xn, x) < ϵ∀n ≥ nϵ Khi đó ta nói {xn} hội tụ đến x và kí hiệu limn→∞ xn = x 5 Định lý 1.1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất Chứng minh Giả sử {xn} hội tụ đến x và y khi n → ∞ Khi đó ∀ϵ∃n1, n2 sao cho ρ(xn, x) < ϵ nếu n ≥ n1, ρ(xn, y) < ϵ nếu n ≥ n2 Vậy với mọi n ≥ max{n1, n2} ta có ρ(x, y) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xn, y) < 2ϵ Do ϵ nhỏ tuỳ ý nên x = y (thật vậy, có thể chọn ϵ = ρ(x, y)/2) Ví dụ 1.3 Trong không gian R các số thực với metric thông thường ρ(x, y) = |x − y|, sự hội tụ của dãy {xn}n theo metric này chính là sự hội tụ của dãy số thực đã được học Ví dụ 1.4 Trong không gian R2 với metric thông thường ρ(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2, dãy {xn}n = {(xn1 , xn2 )}n hội tụ đến điểm x = (x1, x2) tức là lim ρ(xn, x) = lim (xn1 − x1)2 + (xn2 − x2)2 = 0 n→∞ n→∞ Điều này tương đương với limn→∞ xn1 = x1 và limn→∞ xn2 = x2 Nhận xét 1.1 Sự hội tụ trong R2 với metric thông thường là sự hội tụ theo toạ độ Tổng quát, xét không gian Rn với metric: ρ(x, y) = n (xi − yi)2 (ta gọi là metric Euclid hay metric thông thường), i=1 trong đó x = (x1, x2, , xn), y = (y1, y2, , yn) ∈ Rn Sự hội tụ đối với metric này cũng là sự hội tụ theo toạ độ Ta thấy rằng trên một tập khác rỗng có thể trang bị nhiều metric khác nhau Sau này khi xét không gian Rn nếu không nói gì thêm ta hiểu là xét với metric Euclid hay metric thông thường 6 1.1.3 Tập mở và tập đóng Định nghĩa 1.5 Ta gọi hình cầu "mở" tâm a bán kính r trong không gian (X, ρ) là tập hợp B(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) < r} Ta gọi hình cầu "đóng" tâm a bán kính r trong không gian (X, ρ) là tập hợp B(a, r) := {x ∈ X : ρ(x, a) ≤ r} Ví dụ 1.5 Trong R hình cầu mở tâm a bán kính r là B(a, r) = (a−r, a+r) (khoảng), hình cầu đóng tâm a bán kính r là B(a, r) = [a − r, a + r] (đoạn) Ví dụ 1.6 Mô tả hình cầu đóng, mở tâm a bán kính r trong R2, R3 Định nghĩa 1.6 Tập con V ⊂ X được gọi là một lân cận của x0 nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ V Từ định nghĩa trên suy ra hình cầu B(x0, r) cũng là lân cận của x0 Sau đây ta xét các vị trí tương đối của một điểm và một tập hợp Định nghĩa 1.7 A là tập con của không gian metric X và x0 là một điểm trong X a, Nếu tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A thì x0 được gọi là điểm trong của A Tập tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu là IntA b, Nếu B(x0, r) ∩ A̸ = ∅∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm dính của A Tập tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A và kí hiệu là A c, Nếu B(x0, r) ∩ A \ {x0}̸ = ∅∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm tụ của A 7 Tập tất cả các điểm tụ của A kí hiệu là A′ d, Nếu tồn tại r > 0 để B(x0, r) ∩ A = {x0} thì x0 được gọi là điểm cô lập của A e, Nếu B(x0, r) ∩ A̸ = ∅ và B(x0, r) ∩ (X \ A)̸ = ∅ ∀r > 0 thì x0 được gọi là điểm biên của A Tập tất cả các điểm biên của A kí hiệu là ∂A Ví dụ 1.7 Xét hình cầu đóng đơn vị B(0, 1) (tâm 0 bán kính 1) trong R Tập các điểm trong của hình cầu đóng đơn vị là hình cầu mở B(0, 1) = {x ∈ R : |x| < 1} Tập các điểm dính của hình cầu đóng đơn vị là B(0, 1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1} Tập các điểm tụ của hình cầu đóng đơn vị là B(0, 1) = {x ∈ R : |x| ≤ 1} Tập các điểm biên của hình cầu đóng đơn vị là ∂B(0, 1) = {−1, 1} Định nghĩa 1.8 Cho X là không gian metric, A ⊂ X Ta nói A là tập mở nếu với mọi điểm x0 ∈ A tồn tại r > 0 sao cho B(x0, r) ⊂ A (hay nói cách khác IntA = A) Ta nói A là tập đóng nếu X \ A là tập mở Mệnh đề 1.1 Hình cầu mở là tập mở Hình cầu đóng là tập đóng Chứng minh A = B(a, r) là hình cầu mở tâm a bán kính r trong X Lấy x0 ∈ A và chọn ϵ = r − ρ(a, x0) > 0 Ta sẽ chứng minh rằng B(x0, ϵ) ⊂ A Chọn ϵ = r − ρ(a, x0) > 0 Ta sẽ chứng tỏ rằng B(x0, ϵ) ⊂ A Lấy x ∈ B(x0, ϵ) ta có: ρ(a, x) ≤ ρ(a, x0) + ρ(x0, x) < ρ(a, x0) + ϵ = ρ(a, x0) + r − ρ(a, x0) = r 8 tức là x ∈ A, suy ra B(x0, ϵ) ⊂ A Mệnh đề 1.2 a, Giao của hai tập mở là tập mở Giao của một họ hữu hạn các tập mở cũng là tập mở b, Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở Chứng minh a, Giả sử D1, D2 là các tập mở Lấy phần tử tuỳ ý x ∈ D := D1 ∩ D2 Do x ∈ D1 và D1 mở nên tồn tại r1 sao cho B(x, r1) ⊂ D1 Tương tự D2 mở nên tồn tại r2 sao cho B(x, r2) ⊂ D2 Chọn r = min{r1, r2} thì B(x, r) ⊂ D1 ∩ D2 Vậy x là điểm trong của D hay D mở Cho họ các tập mở Gi, i = 1, , n Ta sẽ chứng minh G = ∩ni=1Gi là tập mở Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ Gi∀i = 1, , n Do Gi là mở nên tồn tại ri > 0 sao cho B(x, ri) ⊂ Gi Chọn r0 = min{r1, , rn} suy ra B(x, r0) ⊂ ∩ni=1Gi Vậy x là điểm trong của G và do đó G mở b, Cho họ các tập mở Gi, i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý) Ta sẽ chứng minh G = ∪i∈IGi là tập mở Lấy x ∈ G tuỳ ý, khi đó x ∈ Gi0, i0 ∈ I Do Gi0 là mở nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ Gi0 Suy ra B(x, r) ⊂ ∪i∈IGi Vậy x là điểm trong của G và do đó G mở Mệnh đề 1.3 Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là tập đóng Giao của một họ tuỳ ý các tập đóng là tập đóng Chứng minh Cho họ các tập đóng Gi, i = 1, , n Ta sẽ chứng minh G = ∪ni=1Gi là tập đóng Thật vậy X \ G = X \ ∪i=1 n Gi = ∩i=1 n (X \ Gi) là mở vì X \ Gi là mở với mọi i = 1, , n và giao hữu hạn tập mở là tập mở 9 Cho họ các tập đóng Fi, i ∈ I (I là tập chỉ số tuỳ ý) Ta sẽ chứng minh F = ∩i∈IFi là tập đóng Thật vậy X \ F = X \ ∩i∈IFi = ∪i∈I(X \ Fi) là mở vì X \ Fi là mở với mọi i = 1, , n và hợp tuỳ ý tập mở là tập mở Mệnh đề 1.4 Phần trong của A là tập mở và là tập mở lớn nhất chứa trong A Chứng minh Từ định nghĩa ta suy ra tập A mở khi và chỉ khi A = IntA Ta sẽ chỉ ra phần trong của A là tập mở lớn nhất chứa trong A Thật vậy, nếu U là một tập mở chứa trong A thì U ⊂ A = IntA Vậy IntA là tập mở lớn nhất chứa trong A Mệnh đề 1.5 Bao đóng của A là tập đóng và là tập đóng nhỏ nhất chứa A Tập A đóng khi và chỉ khi A = A Chứng minh Để chứng minh A là tập đóng ta sẽ chỉ ra X \ A là mở Thật vậy, lấy x ∈ X \ A, khi đó x ∈/ A nên tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ∩ A = ∅ Chọn y ∈ B(x, r), do B(x, r) mở nên tồn tại r′ > 0 để B(y, r′) ⊂ B(x, r) suy ra B(y, r′) ∩ A = ∅ hay y ∈/ A Do đó B(x, r) ⊂ X \ A Vậy x là điểm trong của X \ A nên X \ A là mở Vậy A đóng Giả sử B đóng và B ⊃ A Ta cần chứng minh B ⊃ A hay X \ A ⊃ X \ B Lấy x ∈ X \ B, do X \ B là mở nên tồn tại r > 0 để B(x, r) ⊂ X \ B Khi đó B(x, r) ∩ B = ∅ suy ra B(x, r) ∩ A = ∅ hay x ∈/ A hay x ∈ X \ A Mệnh đề 1.6 Một tập con F của không gian metric X là đóng khi và chỉ khi với mọi dãy {xn} ⊂ F , nếu xn → x thì x ∈ F 10