Đang tải... (xem toàn văn)
TS NGUYỄN VÃN KHUÊ chủ biên PTS BÙI ĐẮC T Ắ C KHÔNG GIAN TƠPƠ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U Trang 5 LÒI M Ỏ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tíc
ĐẠI HỌC VINH NGUYỀN VĂN KHUÊ (Chủ biên) THƯ VIỆN PTS BÙI ĐẮC TẮC 514.071 NG-K/96 DT 003835 KHÓM * • Ly thuyết Tíchph ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM GS TS NGUYỄN VÃN KHUÊ (chủ biên) PTS BÙI ĐẮC TẮC KHÔNG GIAN TÔPÔ - ĐỘ ĐO VÀ LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN GIẢI TÍCH I U ĐẠI HỌC Q U Ố C GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM LÒI MỎ ĐAU \ Tiếp theo hai tập giải tích ì và li vè phép tính vi tích phân cổ điển, giáo trình này nhàm mục đích trình bày một số uẩn đè vè tôpô đại cương và sau đó là lý thuyết về độ do và tích phân Lebesgue Lý thuyết độ đo được trình bày trong mối liên hệ vói cáu trúc tôpô và vì vậy đây không hằn là lý thuyết độ đo thuần túy Điêu này có thề thấy qua định lý quan trọng cớa Alexandrov về tính khả cộng đếm, dược cớa hàm tập hợp chính quy khả cộng hữu hận trên õ - đại số các tập Borel cớa một không gian compac- - Giáo trình gồm 6 chương Các lớp không gian quan trọng trong giải tích như không gian chuẩn tác, không gian •compac, không gian paracompac dược trình bày trỏng 3 chương đầu Phần còn lại dành cho việc trinh bày lý thuyết độ đo và tích phân hiện đại Giáo trình này được dùng cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường Đại học sư phạm và được viết bời PTS Bùi Đác Tắc với sự sáp xếp chinh lý bới GSTS Nguyền Văn Khuê Nội dung cuốn sách có lẽ không phải chỉ cho sinh viên năm thứ ba khoa toán các trường ĐHSP mà nó sẽ còn rát có ích đối VÓI sinh viên năm cuối đặc biệt là các cao học viên chuyên ngành giải tích Ngoài ra các NCS chuyển ngành giải tích có thè tim tháy à đáy những kiến thức cần thiết cho sụ học tập nghiên cứu cùa minh Vi dậy là lần đầu xuất bản nên không thế tránh khỏi một số sai lăm thiếu xót rất mong bạn đọc góp ý Nhăn dây chớ biên và tác giả cảm ơn GS TS Phạm Ngọc Thao cùng PGS TS Đặng Hùng Thảng và PTS Lé Mậu Hải vè những ý kiến cho sụ cải tiến cuốn sách này Chủ biên GS TS Nguyên Văn Khuê Tác giả PTS Bui Đác Tác 3 CHƯƠNG I KHÔNG GIAN METRIC Trong giải tích ì và l i chúng ta đã đề cập đến một lớp không giáp tôpô quan trọng, đó là không gian metric Tuy n h i ê n t r o n g k h u ô n k h ổ giáo t r ì n h g i à n h cho sinh v i ê n những năm đẩu mới làm quen với giải tích hiện đại cùng một lúc chưa t h ể giới thiệu hết những vấn đè liên quan đến không gian metric Trong chương này chúng tôi tiếp tục trình bày một số vấn để xung quanh không gian metric đủ, không gian metric compac, không gian metric k h ả l i Trước hết chúng ta nhớ l ạ i rằng không gian metric, đó là tập X cùng với một khoảng cách p trên nó, tịc là cùng với một h à m thực p t r ê n X X X thỏa m ã n ba t í n h c h ấ t sau: Mị />(x, y) ĩzO, Vx, y e X v à />(x, y) = 0 « X= y (tính xác định dương) M 2 f i x , y ) = f ( y , x), Vx, y G X (tỉnh đối xịng) M 2 , f ( x , z) í p(y, x) + /Hy, z), Vx, y, z G X (bất đẳng thịc tam giác) Một dãy { x n } trong X được gọi là dãy Côsi nếu y ° ( x n , x m ) —» 0 (hay đầy đủ) khi m, n — » 0 0 Không gian metric X gọi là đủ nếu mọi dãy Côsi trong nó đểu hội tụ 5 §1 MỘT SỐ VÍ DỤ VÈ KHÔNG GIAN METRIC ĐỦ THƯỜNG GẶP Ví dụ Ì Không gian metric (X, p) với p (x,y) = 0 nếux=y (a > 0 cố định) là đủ a nếux5*y T h ậ t vậy, cho { x n } là m ó t dãy Côsi trong (X, p) N ế u chọn 0 < € < a, phải có số nguyên dương n G sao cho / > ( x n , x m ) < E, Vn, m 5= n 0 Suy ra / 5 ( x n > X ) = 0 , Vn > n„ o Vậy limxn = x n n—»00 Ví dụ 2 X = N * = {Ì, 2, 3 }, không gian metric c x , d) là đủ với metric 0 nếu m=n d(m, n) = Ì Ì H nếum^n m+n Tính đủ của không gian này được suy ra bằng lập luận tương tự như trong ví dụ 1 Ví dụ 3 K h ô n g gian Ì 1 t ấ t cả các dãy sò thực hoặc phức khả tổng tuyệt đối với metric 00 />(x, y) = E l * n - y n l > x = ten}' y = { y n } e 1 1 l à đ ủ n=l , T h ậ t vậy, cho x n = {xy, x§ } là m t dãy Côsi t r o n g Ì 1 Với m ọ i E > 0, t ổ n t ạ i Tif sao cho: 00 ỵ |xp-x, Vn, m > ní: (ì: i= l Do đó với m ỗ i i = Ì, 2 ta cũng có \xf - x Ị " | =s E, V n , m > n £ Tức là dãy tọa độ thứ i {xỊ1} là dãy Côsi trong không gian metric đủ R (hoặc C) Đặt limxỊ1 = Xị v à X = ( X ị , x 2 , ) n-*oo Ta sẽ chứng tỏ rằng X e Ì1 và dãy { x n } hội tụ đến X theo k h o ả n g c á c h p T ừ b ấ t đ ẳ n g t h ứ c (1), đ ố i v ớ i m ỗ i số t ở n h i ê n k 35 Ì t a có: k 2 | x f - x Ị ^ I € t V n , m > n E i=l T r o n g b ấ t đ ẳ n g t h ứ c n à y cho m —» 00, t a đ ư ợ c k 2 1 — Xjl í £ Vu, m í nE (2) IxỊ i=i ^ D ặ c b i ệ t v ớ i n 0 Si n £ t h ì k k ỵ \xị\ ^ E + ỵ Ixfoi i=l i=l Bởi vì k là túy ý nên 200 00 < +00 í Xi! «s £ + ỵ |x[M i=l i=l Vậy X G Ì1 Cuối c ù n g chú ý rằng bất đẳng thức (2) đ ú n g với m ọ i k nên 2 I xp — X ị l í £ Vn » ny i=l 7 Vậy limxn = X n-»00 VÍ dụ 4 K h ô n g gian metric M(X) các h à m số giá trị thực hoặc phức bị chặn t r ê n tập X là đầy đủ (với k h o á n g cách p{ĩ, g) = supl f ( x ) - g ( x ) | ) XGX Thật vậy, cho { f n } là d ã y C ô s i trong M(X); tức l à với mọi £ > 0 tổn t ạ i n £ sao cho />(fn, f m ) í £,.Vn, m > n £ hay là | f n ( x ) - f m ( x ) | =s E, Vn, m > n £ , V X e X (1) Theo bất đ ả n g thức này với m ỗ i X e X, dãy số { f n ( x ) } là Côsi trong R (hoặc trong C), do đó nó hội t ụ Đ ặ t f(x) = limfn(x) Ta sẽ chủng tẳ rằng f e M(X) và { f n } h ộ i tụ n-»°0 đến f theo khoảng cách p Trong bất đẳng thức (1) cho m -* 00, ta được | f n ( x ) - f ( x ) | í E, Vn > n £ , Vx 6 X (2) Dặc biệt với n = n £ | f n £ ( x ) - f ( x ) | *s É, X e X Suy ra supịf(x)| í £ + s u p | f n ( x ) | < + 00 xGX XGX Vậy f bị chặn trên X, tức là f e M(X) Cuối cùng, t ừ bất đẳng thức (2) suy ra / > ( f n i 0 « £, v n > n£ tức là limfn = f n-»oo Nhận xét Trong trường hợp đặc biệt X = N thì M(X) chính là không gian t ấ t cả các dãy số bị chặn Không gian này thường được ký hiệu là Ì00 8: